2025-2026学年人教版九年级数学下册 五·一假期作业

2026春五·一假每日任务试题解析 2026春五·一假每日任务 暨 5月1日 小练 参考答案与试题解析 1．某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如表： 原进价（元/张） 零售价（元/张） 成套售价（元/套） 餐桌 a 380 940 餐椅 a﹣140 160 已知用600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量相同． （1）用含a的代数式表示600元购进的餐椅，1300元购进的餐桌数量分别为 　　 ，　　 ； （2）求表中a的值； （3）该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．若将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1），； （2）表中a的值为260； （3）当购进餐桌30张、餐椅170张时，才能获得最大利润，最大利润是9200元． 【分析】（1）根据数量＝总价÷单价，即可得出结论； （2）根据用600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量相同列出方程，解方程即可求出a； （3）设购进餐桌x张，则购进餐椅（5x+20）张，由餐桌和餐椅的总数量不超过200张，可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，设销售利润为y元，根据销售方式及总利润＝整套销售的利润+餐桌零售的利润+餐椅零售的利润，即可得出y关于x的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题． 【解答】解：（1）600元购进的餐椅为（张）， 1300元购进的餐桌数量为（张）， 故答案为：，； （2）根据题意得：＝， 解得a＝260， 经检验，a＝260是原分式方程的解． 答：表中a的值为260； （3）设购进餐桌x张，则购进餐椅（5x+20）张， 根据题意得：x+5x+20≤200， 解得：x≤30， 设销售利润为y元， 根据题意得：y＝[940﹣260﹣4（160﹣140）]×x+（380﹣260）×x+[160﹣（260﹣140）]×（5x+20﹣4×x） ＝100x+60x+120x+800 ＝280x+800， ∵k＝280＞0， ∴当x＝30时，y取最大值，最大值为：280×30+800＝9200， 此时5×30+20＝170（张）， 答：当购进餐桌30张、餐椅170张时，才能获得最大利润，最大利润是9200元． 【点评】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程并利用一次函数的性质解决最值问题． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝x+2与x轴交于点A，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点C（a，4）． （1）求反比例函数的解析式； （2）已知点D（4，0），连接CD，点E是反比例函数图象上第一象限内的一点，若，求点E的坐标． 【答案】（1）y＝； （2）E（8，1）． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）先求得△ACD的面积，进一步求得△ADE的面积，利用三角形面积公式求得点E的纵坐标，代入反比例函数的解析式即可求得横坐标． 【解答】解：（1）把点C（a，4）代入y＝x+2得a＝2， ∴点C（2，4）， ∵反比例函数经过点C， ∴k＝2×4＝8，即反比例函数的表达式为：y＝； （2）直线y＝x+2与x轴交于点A，则点A的坐标分别为：（﹣2，0）， ∵A（﹣2，0），D（4，0）， ∴AD＝6， ∵C（2，4）， ∴S△ACD＝＝12， ∵， ∴S△ADE＝3， ∴，即， ∴yE＝1， 把y＝1代入y＝得，x＝8， ∴点E（8，1）． 【点评】主要是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标投资，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形面积，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键． 3．如图，某景区为游客精心设计了两条游览路线，路线一：在A点登船，沿水路A→C→D游览沿途风光；路线二：先坐观光车从A至B，沿途游览，再在B点登船，沿水路BD游览沿途美景．已知点C在点A的东北方向，点C在点B的北偏东30°方向，点B在点D的南偏西75°方向，点D在点C的南偏东75°方向，BC相距20千米．（参考数据：，，） （1）求AB的距离（结果保留根号）； （2）小聪和小明同时从点A出发，分别选择路线一和路线二游览，若游船和观光车均保持匀速行驶，游船的速度为10千米/小时，观光车的速度为20千米/小时，上下车和上下船的时间忽略不计，请问小聪和小明谁先到达点D，并说明理由． 【答案】（1）千米； （2）小明先到达点D，理由见解析． 【分析】（1）过点C作CE⊥AB，交AB延长线于点E，先在Rt△BCE中，解直角三角形可得BE，CE的长，再在Rt△ACE中，解直角三角形可得AE的长，然后根据AB＝AE﹣BE计算即可得； （2）过点C作CE⊥AB，交AB延长线于点E，交BD于点M，过点C作CF⊥BD于点F，先根据平行线的性质、三角形的内角和定理可得∠CDB＝30°，∠CBD＝45°，再在Rt△BCF中，解直角三角形可得BF，CF的长，在Rt△DCF中，解直角三角形可得DF，CD的长，然后根据两条路线的长度和速度计算时间，由此即可得． 【解答】解：（1）如图，过点C作CE⊥AB，交AB延长线于点E， 由题意得：∠CAE＝45°，∠CBE＝60°，BC＝20千米， BE＝BC•cos∠CBE＝10千米，千米， 千米， 则千米， 答：AB的距离为千米； （2）如图，设CE交BD于点M，过点C作CF⊥BD于点F， 由题意得：∠DCE＝75°，∠BDG＝75°，CE∥DG， ∴∠CMD＝∠BDG＝75°， ∴∠CDB＝180°﹣∠CMD﹣∠DCE＝30°， 由（1）可知，∠BCE＝90°﹣∠CBE＝30°， ∴∠CBD＝180°﹣∠BCE﹣∠DCE﹣∠CDB＝45°， 千米，千米， 千米，千米， ∴千米， 在Rt△ACE中，千米， ∴小聪选择路线一所需时间为（小时）， 小明选择路线二所需时间为（小时）， 因为4.225＜5.2， 所以小明先到达点D． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用、平行线的性质、三角形的内角和定理等知识，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键． 4．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AC上，以AD为直径作⊙O交BD的延长线于点E，交AB于点F，CE＝BC．连接EF交AD于点G． （1）求证：CE是⊙O的切线． （2）若CD＝2，BD＝，求⊙O的半径，EG的长． 【答案】（1）详见解答； （2）⊙O的半径为3，EG的长为． 【分析】（1）连接OE，根据等腰三角形的性质得到∠1＝∠2，∠3＝∠4，由∠1+∠5＝90°得到∠2+∠3＝90°，得∠OEC＝90°，于是得到结论； （2）设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r，OC＝r+2，由OE2+CE2＝OC2得到关于r 的方程，即可求出半径． 【解答】解：（1）如图，连接OE， ∵∠ACB＝90°， ∴∠CBD+∠BDC＝90°， ∵CE＝BC， ∴∠CBD＝∠BEC， ∵OE＝OD， ∴∠OED＝∠ODE， 又∵∠BDC＝∠ODE， ∴∠OED＝∠BDC， ∴∠OED+∠BEC＝90°，即∠OEC＝90°， ∴OE⊥CE． ∵OE是⊙O的半径， ∴CE是⊙O的切线； （2）在Rt△BCD中，∠DCB＝90°，CD＝2，BD＝2， BC＝＝4＝CE， 设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r，OC＝r+2， 在Rt△OEC中，∠OEC＝90°， ∴OE2+CE2＝OC2， ∴即r2+42＝（r+2）2， 解得r＝3， ∴⊙O的半径为3； 连接DF、AE， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠AFD＝∠AED＝90°， ∵tan∠BAC＝＝＝＝， 在Rt△ADF中，AD＝6， ∴DF＝＝，AF＝， 又∵EC是⊙O的切线，DE是弦， ∴∠DEC＝∠EAC， 又∵∠DCE＝∠ECA， ∴△DEC∽△EAC， ∴＝＝＝， 在Rt△AED中，AD＝6， ∴DE＝＝＝DF，AE＝＝AF， ∴EF⊥AD， 在Rt△ADE中，由面积公式得， DE•AE＝AD•EG 即×＝6EG， ∴EG＝， ∴⊙O的半径为3，EG的长为． 【点评】本题考查切线的判定与性质，圆周角定理，等腰三角形与直角三角形的性质，掌握切线的判定方法以及等腰三角形直角三角形的性质是正确解答的前提． 2026春五·一假每日任务 暨 5月2日 小练 参考答案与试题解析 1．某工厂现有甲种原料380千克，乙种原料290千克，计划用这两种原料生产A、B两种产品共50件．已知生产一件A产品需要甲种原料9千克，乙种原料3千克，可获利700元；生产一件B产品需要甲种原料4千克，乙种原料10千克，可获利1200元．设生产A、B两种产品总利润为y元，其中A种产品生产件数是x． （1）写出y与x之间的函数关系式； （2）如何安排A、B两种产品的生产件数，使总利润y有最大值，并求出y的最大值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据等量关系：利润＝A种产品的利润+B种产品的利润，可得出函数关系式； （2）这是一道只有一个函数关系式的求最值问题，可根据等量关系：总利润＝A种产品的利润+B种产品的利润，可得出函数关系式，然后根据函数的性质确定自变量的取值范围，由函数y随x的变化求出最大利润． 【解答】解：（1）由题意：y＝700x+1200（50﹣x）， 即y＝﹣500x+60000； （2）由题意得， 解得30≤x≤36， ∵y＝﹣500x+60000， ∴y随x的增大而减小， ∴当x＝30时，y最大＝45000， 故生产B种产品20件，A种产品30件时，总利润y有最大值，y最大＝45000元． 【点评】本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题．注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数y随x的变化，结合自变量的取值范围确定最值． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x+2的图象与y轴交于点A，与反比例函数的图象交于点B（b，3）． （1）求b，k的值； （2）点C是x轴正半轴上一点，连接BC交反比例函数于点D，连接AD，若BD＝2CD，求△ABD的面积． 【答案】（1），； （2）△ABD的面积为1． 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）如图，过点B作BG⊥x轴于点G，过点D作DH⊥x轴于点H，设BC交y轴于点K，可得△BCG∽△DCH，得到，即得，进而得到，利用待定系数法求出直线BC的解析式，可得K的坐标，最后根据S△ABD＝S△ADK﹣S△ABK即可求解． 【解答】解：（1）把B（b，3）代入y＝2x+2中，得3＝2b+2， 解得：， ∴； 把代入得：； 即，； （2）如图，过点D作DH⊥x轴于点H，过点B作BG⊥x轴于点G，设BC交y轴于点K， ∴BG∥DH， ∴△BCG∽△DCH， ∴， ∴， 把y＝1代入中， ， ∴； 设直线BD的解析式为y＝k′x+b′， 把，代入得： ， 解得， ∴直线BD的解析式为y＝﹣2x+4， 当x＝0时，y＝4， ∴K（0，4）， ∴AK＝4﹣2＝2， ∴若BD＝2CD，则． 【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，平行线等分线段定理，正确作出辅助线是解题的关键． 3．如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别去B，C两港装载物资，B港位于C港西南方向，最后都运送到D港．甲货轮沿A港的南偏东30°方向航行60海里后到达B港，再沿北偏东75°航行一定距离到达D港．乙货轮沿A港的正东方向航行一定距离到达C港，装载好货物后再沿正南方向航行一定距离到达D港． （参考数据：，，） （1）求A、C两港之间的距离（结果保留根号）． （2）若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠B、C两港的时间相同），哪艘货轮先到达D港？请通过计算说明． 【答案】（1）海里； （2）甲货轮先到达D港． 【分析】（1）作BE⊥AC于点E，根据方位角的定义得到∠BAE＝60°，∠BCE＝45°，AB＝60海里，推出BE＝CE，然后在Rt△AEB中，利用三角函数求得AE、BE即可得到答案； （2）作DF⊥BC于点F，由（1）可求得BC，然后根据解直角三角形得到BD＝2DF，，CF＝DF，，结合BF+CF＝BC，从而求得DF，进而得到BD、CD，计算出AB+BD和AC+CD进行比较即可． 【解答】解：（1）作BE⊥AC于点E，如图所示， 则∠AEB＝∠CEB＝90°， 由题意可知，∠BAE＝90°﹣30°＝60°，∠BCE＝90°﹣45°＝45°，AB＝60海里， ∴∠CBE＝45°， ∴BE＝CE， （海里）， （海里）， ∴海里， 答：A、C两港之间的距离为海里． （2）作DF⊥BC于点F，如图所示， 则∠BFD＝∠CFD＝90°， 由（1）可知，∠EBC＝45°，（海里）， ∴∠DBF＝∠EBD﹣∠EBC＝75°﹣45°＝30°，∠CDF＝90°﹣∠DCF＝45°， ∴BD＝2DF，，CF＝DF，， ∵BF+CF＝BC，即， 解得， ∴海里， 海里， ∴（海里）， （海里）， ∵甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠B、C两港的时间相同）， ∴甲货轮先到达D港． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，方位角，构建直角三角形是解题的关键． 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC于点D，交AC于点E，过D作DH⊥AC于H，连接DE并延长交BA的延长线于点F． （1）求证：DH是⊙O的切线； （2）连接OH交DF于G，若，OA＝1，求AF的值． 【答案】（1）证明过程见解答． （2）AF的值为2． 【分析】（1）连接AD，OD．由AB为⊙O的直径，可得AD⊥BC．再由AB＝AC，可推出D是BC的中点，所以OD是△ABC的一条中位线，所以OD∥AC．因为DH⊥AC，所以DH⊥OD，即可推出DH是⊙O的切线． （2）连接OH交DF于G，由（1）可知OD∥AC，可证得△EHG∽△DOG，即可求出EH的长．由AB＝AC，可得∠C＝∠ABC．因为∠CED+∠AED＝180°，∠ABC+∠AED＝180°，所以∠CED＝∠ABC，所以∠C＝∠CED，所以可得DE＝CD．因为DH⊥AC，所以CE＝2EH，可求出CE的长，再求出AE的长．因为OD∥AC，所以△EAF∽△DOF，即可求出AF的长． 【解答】（1）证明：如图，连接AD，OD． ∵AB为⊙O的直径， ∴AD⊥BC． ∵AB＝AC， ∴D是BC的中点． ∵O是AB的中点， ∴OD是△ABC的一条中位线， ∴OD∥AC． ∵DH⊥AC， ∴DH⊥OD． ∵OD为⊙O的半径， ∴DH是⊙O的切线． （2）解：如图，连接OH交DF于点G． 由（1）可知OD∥AC， ∴△EHG∽△DOG， ∴，即， 解得EH＝． ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠ABC． ∵∠CED+∠AED＝180°，∠ABC+∠AED＝180°， ∴∠CED＝∠ABC， ∴∠C＝∠CED， ∴DE＝CD． ∵DH⊥AC， ∴CE＝2EH＝2×． ∵AC＝AB＝2OA＝2， ∴AE＝AC﹣CE＝2﹣． ∵OD∥AC， ∴△EAF∽△DOF， ∴，即， 解得AF＝2， ∴AF的值为2． 【点评】本题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质，中位线的性质，平行线的性质，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质的相关知识，掌握“连半径，证垂直”这一切线判定的方法，正确运用等腰三角形的性质，中位线的性质及圆内接四边形的性质，熟练运用平行线判定三角形相似及用相似的性质求线段的长是解题的关键． 2026春五·一假每日任务 暨 5月3日 小练 参考答案与试题解析 1．为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．2022年这种药剂价格为200元，2024年该药剂价格为98元． （1）求2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率； （2）该制药厂计划2025年对此药剂继续降价，并要求此种药剂的价格不低于73.5元，则此次价格的下降率最多是多少？ 【答案】（1）30%； （2）25%． 【分析】（1）设2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为x，利用2024年该药剂的价格＝2022年该药剂的价格×（1﹣2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设此次价格的下降率是y，利用2025年该药剂的价格＝2024年该药剂的价格×（1﹣此次价格的下降率），结合2025年该药剂的价格不低于73.5元，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为x， 根据题意得：200（1﹣x）2＝98， 解得：x1＝0.3＝30%，x2＝1.7（不符合题意，舍去）． 答：2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为30%； （2）设此次价格的下降率是y， 根据题意得：98（1﹣y）≥73.5， 解得：y≤0.25， ∴y的最大值是0.25，即25%． 答：此次价格的下降率最多是25%． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 2．已知一次函数y1＝ax﹣1与x轴交于点A，与反比例函数y2＝在第一、三象限分别交于C、B两点，其中OA＝，点C的横坐标为2． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）将直线y1向左平移个单位长度得直线y3，y3与y2在第一象限交于点E，在第三象限交于点F，求△AEF的面积； （3）当y3＞y2＞y1时，请直接写出符合条件的x的取值范围． 【答案】（1）一次函数的解析式为y1＝2x﹣1，反比例函数的解析式为y2＝； （2）17； （3），或． 【分析】（1）由OA＝，得出点A的坐标，代入一次函数的解析式，解得一次函数的解析式后，再求出点C的坐标，将点C的坐标代入反比例函数的解析式即可得出答案； （2）先求出y3的解析式，结合反比例函数y2求出点E，F的坐标，再求出△AEF的面积； （3）根据图象求出x的取值范围． 【解答】解：（1）∵OA＝， ∴A（，0）， 将A（，0）代入y1＝ax﹣1，得 0＝a﹣1， 解得a＝2， ∴一次函数的解析式为y1＝2x﹣1， ∵点C的横坐标为2， ∴将x＝2代入y1＝2x﹣1，得 y＝3， ∴C（2，3）． 将C（2，3）代入y2＝，得 k＝6， ∴反比例函数的解析式为y2＝． （2）∵直线y1向左平移个单位长度得直线y3， ∴y3＝2（x+）﹣1＝2x+． ∵y3与y2在第一象限交于点E，在第三象限交于点F， ∴， 解得或， ∴E（，8），F（﹣4，）． 设直线EF的解析式为y＝mx+n， ∴将E（，8），F（﹣4，）代入y＝mx+n，得 ， 解得． ∴y＝2x+． 设直线EF与x轴相交于点D， 令y＝0，得x＝， 得D（，0）， ∴AD＝＝． ∴S△AEF＝S△AED+S△ADF＝+＝17． （3）当y3＞y2＞y1时，，或． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，也考查了待定系数法求函数解析式． 3．小明同学和爸爸去六盘水市野钟大峡谷游玩，峡谷的险峻、雄奇引起了小明的好奇心，他们想用锐角三角函数的相关知识测量峡谷的宽度．具体操作如下：他们站在岸边的点A处将无人机铅直上升30m到达点M处，再往峡谷方向水平飞行至点B处，在点B处测得点A的俯角为60°，对面同一水平线上的点C处的俯角为40°，据此计算峡谷的宽度．（题目中所涉及的点都在同一平面内；参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，，） （1）求无人机所在的位置点B与出发点A的水平距离；（结果保留根号） （2）根据题目中测量的数据计算峡谷AC的宽度．（结果精确到1m） 【答案】（1）； （2）峡谷AC的宽度约为53m． 【分析】（1）在Rt△AMB中，根据求解即可； （2）连接AC，过点B作BH⊥AC于点H，先证明四边形AHBM是矩形，得到，BH＝30m，然后在Rt△BHC中，根据可求出CH的长，即可求得答案． 【解答】解：（1）∵∠AMB＝90°， ∴， ∴无人机所在的位置点B与出发点A的水平距离； （2）连接AC，过点B作BH⊥AC于点H， ∵AC是水平线， ∴AM⊥AC， ∵AM⊥BM， ∴四边形AHBM是矩形， ∴BH＝AM＝30m，MN∥AC，， ∴∠C＝∠NBC＝40°， ∵BH⊥AC， ∴， ∴， ∴， ∴峡谷AC的宽度约为53m． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意是关键． 4．如图，ʘO为△ABC的外接圆，直线MN与⊙O相切于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E． （1）求证：∠CAB＝∠CBD； （2）若BC＝5，BD＝8，求⊙O的半径． 【答案】（1）证明见解析过程； （2）． 【分析】（1）由切线的性质可得OC⊥MN，由垂径定理可得＝，可得结论； （2）由垂径定理可得BH＝4，由勾股定理可求CH，OB的长，即可求解． 【解答】证明：（1）连接OC，交BD于H，连接BO， ∵直线MN与⊙O相切于点C， ∴OC⊥MN， ∵BD∥MN， ∴OC⊥BD， ∴＝， ∴∠BAC＝∠CBD； （2）∵OC⊥BD， ∴BH＝HD＝BD＝4， ∴CH＝＝＝3， ∵OB2＝OH2+BH2， ∴OB2＝（OB﹣3）2+16， ∴OB＝， ∴⊙O的半径为． 【点评】本题考查了圆的有关知识，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 2026春五·一假每日任务 暨 5月4日 小练 参考答案与试题解析 1．如图，反比例函数y＝（k为常数，k≠0）与正比例函数y＝mx（m为常数，m≠0）的图象交于A（1，2），B两点． （1）求反比例函数和正比例函数的表达式； （2）若y轴上有一点C（0，n），△ABC的面积为4，求点C的坐标． 【答案】（1）y＝2x． （2）点C的坐标为（0，4）或（0，﹣4）． 【分析】（1）分别将点A（1，2）反比例函数和正比例函数的解析式即可得出答案； （2）先求出点B的坐标，过点A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为E，F，然后根据点A、B、C的坐标表示出AE，BF，OC，最后再根据S△ABC＝S△AOC+S△BOC＝4即可求出点C的坐标． 【解答】解：（1）将点A（1，2）代入，得：k＝2， ∴反比例函数的解析式为：， 将点A（1，2）代入y＝mx，得：m＝2， ∴正比例函数的解析式为：y＝2x． （2）解方程组，得：，， ∴点B的坐标为（﹣1，﹣2）， 过点A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为E，F， ∵A（1，2），B（﹣1，﹣2），C（0，n）， ∴AE＝BF＝1，OC＝|n|， ∵S△ABC＝S△AOC+S△BOC＝4， ∴， 即：|n|×1+|n|×1＝8， ∴|n|＝4， ∴n＝±4， ∴点C的坐标为（0，4）或（0，﹣4）． 【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的图象，解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的解析式，难点是在解答（2）时，过点A，B向y轴作垂线，把△ABC的面积转化为△AOC和△BOC的面积之和，漏解是解答此题的易错点． 12．抗击疫情期间，某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，销售过程中发现，该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数），部分对应值如下表： 每件售价（元） 9 11 13 每天的销售量（件） 105 95 85 （1）求y与x的函数关系式． （2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元． （3）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），问：当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）y＝﹣5x+150（8≤x≤15）； （2）13元； （3）当每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元． 【分析】（1）待定系数法求解即可； （2）由题意知，利润w＝（x﹣8）（﹣5x+150）＝﹣5（x﹣19）2+605，令w＝425，则﹣5（x﹣19）2+605＝425，计算求解满足要求的x值即可； （3）根据二次函数的性质以及x的取值范围进行求解即可． 【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，（8≤x≤15）， 将（9，105），（11，95）代入得， 解得， ∴y＝﹣5x+150， ∴y与x的函数关系式为y＝﹣5x+150（8≤x≤15）； （2）由题意知，利润w＝（x﹣8）（﹣5x+150）＝﹣5（x﹣19）2+605， 令w＝425， 则﹣5（x﹣19）2+605＝425， 解得x＝13或x＝25（不合题意，舍去）， ∴每件消毒用品的售价为13元； （3）由（2）知w＝﹣5（x﹣19）2+605（8≤x≤15）， ∵﹣5＜0， ∴当8≤x≤15时，w随着x的增大而增大， ∴当x＝15时，w＝525，此时利润最大， ∴当每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元． 【点评】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数图象与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 13．如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向，距离小岛80海里的点A处，它沿着点A的南偏东15°方向航行．（结果保留根号） （1）渔船航行多远与小岛B的距离最近？ （2）渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行40海里到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问：救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少？ 【答案】（1）40海里； （2）45°，80海里． 【分析】（1）过B作BM⊥AC于M，解直角三角形即可得到结论； （2）在Rt△BCM中，解直角三角形求得∠MBC＝60°，再求得∠CBG＝45°，BC＝80海里，即可得到结论． 【解答】解：（1）过点B作BM⊥AC于点M，如图所示： 由题意，知∠BAM＝30°+15°＝45°，则∠ABM＝45°． 在Rt△ABM中，∠BAM＝45°，AB＝80海里，sin∠BAM＝＝， ∴BM＝AM＝AB＝40（海里）， 答：渔船航行40海里，与小岛B的距离最近； （2）在Rt△BCM中，BM＝40海里，MC＝40海里， ∴tan∠MBC＝＝＝， ∴∠MBC＝60°， ∴∠CBG＝180°﹣60°﹣45°﹣30°＝45°， 在Rt△BCM中，∠MBC＝60°， ∴∠BCM＝30°， ∴BM＝BC， ∴BC＝2BM＝80（海里）， 答：救援队从B处出发沿着点B的南偏东45°方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是80海里． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解决问题的关键． 4．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，过点C作⊙O的切线交AB延长线于点D，OF⊥BC于点E，交CD于点F． （1）求证：∠BCD＝∠BOE； （2）若sin∠CAB＝，AB＝10，求BD的长． 【答案】（1）见解析； （2）BD的长为． 【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到∠OCD＝90°，求得∠OCB+∠BCD＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠OCB＝∠OBC，等量代换得到∠BCD＝∠BOE； （2）过B作BH⊥CD于H，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据三角函数的定义得到BC＝6，根据平行线的性质得到∠BOE＝∠CAB，根据三角函数的定义得到BH＝，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接OC， ∵CD是⊙O的切线， ∴∠OCD＝90°， ∴∠OCB+∠BCD＝90°， ∵OF⊥BC， ∴∠BEO＝90°， ∴∠BOE+∠OBE＝90°， ∵OC＝OB， ∴∠OCB＝∠OBC， ∴∠BCD＝∠BOE； （2）解：过B作BH⊥CD于H， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵sin∠CAB＝＝，AB＝10， ∴BC＝6， ∵OF⊥BC， ∴AC∥OF， ∴∠BOE＝∠CAB， ∵∠BCD＝∠BOE， ∴∠BAC＝∠BCD， ∴sin∠CAB＝sin∠DCB＝＝， ∴BH＝， ∵OC⊥CD，BH⊥CD， ∴BH∥OC， ∴△BDH∽△ODC， ∴， ∴， 解得BD＝， 故BD的长为． 【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/4/27 23:47:20；用户：吴老师；邮箱：18982467656；学号：8129839 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026春五·一假每日任务 暨 5月1日 小练 1、某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表：已知用600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量相同． （1）求表中a的值； （2）该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．若将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？ 2．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）已知点，连接，点是反比例函数图象上第一象限内的一点，若，求点的坐标． 3．如图，某景区为游客精心设计了两条游览路线，路线一：在点登船，沿水路游览沿途风光；路线二：先坐观光车从至，沿途游览，再在点登船，沿水路游览沿途美景．已知点在点的东北方向，点在点的北偏东方向，点在点的南偏西方向，点在点的南偏东方向，相距千米．（参考数据：，，） (1)求的距离（结果保留根号）； (2)小聪和小明同时从点出发，分别选择路线一和路线二游览，若游船和观光车均保持匀速行驶，游船的速度为千米/小时，观光车的速度为千米/小时，上下车和上下船的时间忽略不计，请问小聪和小明谁先到达点，并说明理由． 4．如图，中，，点在边上，以为直径作交的延长线于点，交于点，．连接交于点． （1）求证：是的切线． （2）若，，求的半径，的长． 2026春五·一假每日任务 暨 5月2日 小练 1.某工厂现有甲种原料380千克，乙种原料290千克，计划用这两种原料生产A、B两种产品共50件.已知生产一件A产品需要甲种原料9千克，乙种原料3千克，可获利700元；生产一件B产品需要甲种原料4千克，乙种原料10千克，可获利1200元。设生产A、B两种产品总利润为y元，其中A种产品生产件数是x. （1）写出y与x之间的函数关系式； （2） 如何安排A、B两种产品的生产件数，使总利润y有最大值，并求出y的最大值. ． 2. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点A，与反比例函数的图象交于点． （1）求b，k的值； （2）点C是x轴正半轴上一点，连接交反比例函数于点D，连接，若，求的面积． 3. 如图，甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别去、两港装载物资，港位于港西南方向，最后都运送到港．甲货轮沿港的南偏东方向航行60海里后到达港，再沿北偏东航行一定距离到达港．乙货轮沿港的正东方向航行一定距离到达港，装载好货物后再沿正南方向航行一定距离到达港．（ ，，） （1）求、两港之间的距离（结果保留根号）． （2）若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠、两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明． 4. 如图，在中，，以为直径作，分别交于点D，交于点E，过D作于H，连接并延长交延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）连接交于G，若，，求的值． 2026春五·一假每日任务 暨 5月3日 小练 1．为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．2022年这种药剂价格为200元，2024年该药剂价格为98元． （1）求2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率； （2）该制药厂计划2025年对此药剂继续降价，并要求此种药剂的价格不低于73.5元，则此次价格的下降率最多是多少？ 2．已知一次函数y1＝ax﹣1与x轴交于点A，与反比例函数y2＝在第一、三象限分别交于C、B两点，其中OA＝，点C的横坐标为2． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）将直线y1向左平移个单位长度得直线y3，y3与y2在第一象限交于点E，在第三象限交于点F，求△AEF的面积； （3）当y3＞y2＞y1时，请直接写出符合条件的x的取值范围． 3．小明同学和爸爸去六盘水市野钟大峡谷游玩，峡谷的险峻、雄奇引起了小明的好奇心，他们想用锐角三角函数的相关知识测量峡谷的宽度．具体操作如下：他们站在岸边的点A处将无人机铅直上升30m到达点M处，再往峡谷方向水平飞行至点B处，在点B处测得点A的俯角为60°，对面同一水平线上的点C处的俯角为40°，据此计算峡谷的宽度．（：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，，） （1）求无人机所在的位置点B与出发点A的水平距离；（结果保留根号） （2）根据题目中测量的数据计算峡谷AC的宽度．（结果精确到1m） 4．如图，ʘO为△ABC的外接圆，直线MN与⊙O相切于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E． （1）求证：∠CAB＝∠CBD； （2）若BC＝5，BD＝8，求⊙O的半径． 2026春五·一假每日任务 暨 5月4日 小练 1．如图，反比例函数（为常数，）与正比例函数（为常数，）的图像交于两点．   (1)求反比例函数和正比例函数的表达式； (2)若y轴上有一点的面积为4，求点的坐标． 2抗击疫情期间，某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，销售过程中发现，该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中，且x为整数），部分对应值如下表：（1）求y与x的函数关系式．（2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元．（3）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），问：当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 每件售价（元） 9 11 13 每天的销售量（件） 105 95 85 3.如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东方向，距离小岛80海里的点A处，它沿着点A的南偏东方向航行．（结果保留根号） (1)渔船航行多远与小岛B的距离最近？ (2)渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行海里到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问：救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少？ 4．如图，为的直径，C为上一点，连接，过点C作的切线交延长线于点D，于点E，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $