10.4分式的乘除讲义 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

本讲义聚焦分式乘除运算核心知识点，通过分数乘除法法则类比引入，推导分式乘除法则，再进阶到分子分母为多项式时先因式分解后运算，构建从旧知到新知、从简单到复杂的学习支架。 以类比转化思想引导法则探究，发展数学抽象与推理能力，如探究一通过分数乘法类比推导分式乘法法则。例题分层设计，课中助力教师引导学生逻辑推理，课后知识清单与练习帮助学生规范运算步骤，提升数学运算核心素养。

2025-2026学年苏科版八年级数学下 《第十章分式第四节分式的乘除》讲义 一．学习目标 ( 1.   理解并掌握分式乘、除法的运算法则，能熟练运用法则进行分式乘除运算，会对分子、分母为多项式的分式进行先因式分解再乘除的运算，最终将结果化为最简分式或整式。 2.   通过类比分数乘除法的运算法则，探究分式乘除法法则的推导过程，体会类比、转化的数学思想，提升代数运算能力和逻辑推理能力。 3.   在自主探究、合作交流的学习过程中，感受数学知识的连贯性，培养严谨的运算习惯，提升解决数学问题的自信心。 4.   发展数学运算、数学抽象核心素养，明晰分式运算的算理，规范运算步骤。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.   分式乘、除法运算法则的理解与记忆，熟练进行分子、分母为单项式的分式乘除运算。 2.   掌握分式乘除运算的基本步骤，能准确将运算结果化为最简分式或整式。 （二）学习难点 1.   分子、分母为多项式时，先对多项式进行因式分解，再依据分式乘除法则运算，准确找到公因式并约分。 2.   运算过程中符号的判断、整式与分式的乘除转化，避免出现因式分解错误、约分不彻底、符号混淆等问题。 3.   理解分式乘除运算中 “ 先分解、再约分、后计算 ” 的运算逻辑，规避运算误区。 ) 三．课前预习 1.分数乘法法则：分数乘分数，用______的积作为积的分子，______的积作为积的分母。 2.分数除法法则：分数除以分数，把除式的______、______颠倒位置后，与被除式相乘。 3.分式乘法法则：分式乘分式，用______的积作为积的分子，_____________的积作为积的分母，字母表示为×=____________（b≠0，d≠0）。 4.分式除法法则：分式除以分式，把除式的______、_______颠倒位置后，与被除式相乘，字母表示为÷=______=______（b≠0，c≠0，d≠0）。 5.分式乘除运算结果必须化为______或______。 6.当分式的分子、分母是多项式时，应先对多项式进行______，再进行约分、计算。 四．知识探秘 探究一：类比推导分式乘法法则 1.回顾： 分数乘法：×==，从分数乘法的运算逻辑出发，思考分式乘法的运算方式。 2.猜想： 对于分式和，×=____________？ 3.推导： 分式的本质是两个整式相除，根据整式乘法和分数乘法法则，分式相乘时，分子与分子相乘、分母与分母相乘，即分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。×= 4.注意： 运算过程中，若分子、分母有公因式，要及时约分；运算结果必须化为最简分式（分子、分母没有公因式）或整式。 探究二：类比推导分式除法法则 1.回顾： 分数除法：÷=×===，分数除法需转化为乘法运算，核心是“颠倒除式分子分母”。 2.猜想： 对于分式和，÷=____________？ 3.推导： 分式除法与分数除法算理一致，除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，即分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 ÷=×= 4.关键提醒： 除法转化为乘法时，除式的分子、分母必须完全颠倒，且除式不能为0，即除式的分子、分母均不能为0，需注意字母取值范围。 探究三：分子、分母为多项式的分式乘除运算 1. 问题： 计算，如何简化运算？ 分析：直接相乘会导致分子、分母多项式复杂，难以约分，因此先对分子、分母中的多项式进行因式分解，再找公因式约分，最后相乘。 解：先分解因式x2-1=(x+1)(x-1)，原式=×，约去公因式x+1、x-2，得到结果。 2.运算步骤总结： 第一步：观察分式，判断分子、分母是单项式还是多项式； 第二步：若有多项式，先对其进行因式分解； 第三步：除法转化为乘法（颠倒除式分子分母）； 第四步：约去分子、分母的公因式； 第五步：分子、分母分别相乘，化为最简分式或整式。 探究四：分式乘除运算的符号规则 分式乘除运算的符号与分数一致：同号得正，异号得负，运算时先确定结果符号，再进行数值计算，避免符号错误。 五．经典例题 例1. 计算： （1）÷； （2）； （3） 例2. 化简： 例3. 先化简，再求值：，其中x= - 例4.嘉琪准备完成这样一道填空题．其中一部分被墨水污染了，若该题化简的结果为． 化简：的结果为　　 （1）求被墨水污染的部分； （2）嘉琪认为当时，原分式的值等于1，你同意嘉琪的说法吗？如果不同意，请说明理由？ 六．基础过关 （一）．选择题 1. 下列变形错误的是（ ） A. B. C. D. 2. 等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知分式有意义，则x的取值为（ ） A. x≠－1 B. x≠3 C. x≠－1且x≠3 D. x≠－1或x≠3 4. 下列分式，对于任意的x值总有意义的是（ ） A. B. C. D. 5. 分式的值为零，则m取值为（ ） A. m＝±1 B. m＝－1 C. m＝1 D. m的值不存在 6. 小马在下面的计算题中只做对了一道题，你认为他做对的题目是（ ） A. B. C. D. 7.计算等于( ) A. B. C. D. 8. 计算的结果是( ) A. - B. C. -1 D. 1 9. 已知，则M等于（ ） A. B. C. D. 10.下列计算正确的是（　　） A.＝ B. C. D. （二）．填空题 11. 计算：＝________。 12.计算（）÷6ab=　     　． 13.计算：       　． 14.计算÷＝____________. 15.以下四个式子①÷；②·；③÷；④÷.其计算结果仍是分式的是_______(填序号)． 16.计算分式得____________. 17.化简结果为　       　． 18.计算()3·()3，结果等于　     　． 19. 计算=_________． 20.陈老师设计了接力游戏，规则是“每人只能看到前一人给的式子，并进行相应计算，再将结果传递给下一人，若结果已是最简，游戏结束”．过程如下： 整个游戏过程，　     　负责的那一步出现了错误． （三）．解答题 21.计算: (1)·； (2)÷； (3)(a2＋3a)÷. (4)÷(x－3)·. 22．先化简，再求值： （1）÷·，其中a＝2026. （2）,其中是不等式组的整数解. 23.按要求答题 （1）已知x﹣3y=0，求•（x﹣y）的值． （2）已知：，试说明不论x为任何有意义的值，y值均不变． 24． 求下列各式的值. (1)已知xa=2，xb=6，x≠0，求x3a-2b的值； (2)若= -2，求的值. 25．数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题： 已知实数a，b同时满足a2+2a＝b+2，b2+2b＝a+2，求代数式的值． 结合他们的对话，请解答下列问题：（1）当a＝b时，a的值是 　 　．（2）当a≠b时，代数式的值是 　 　． 26.有甲、乙两筐水果，甲筐水果重(x－1)2千克，乙筐水果重(x2－1)千克(其中x>1)，售完后，两筐水果都卖了50元． (1)哪筐水果的单价卖得低？ (2)高的单价是低的单价的多少倍？ 七．知识清单 1.分式乘分式，用______的积作为积的分子，______的积作为积的分母。 2.分式乘法法则用字母表示为：×=______（a、b、c、d均为整式，且b≠0，d≠0）。 3.分式除以分式，把除式的______、______颠倒位置后，与被除式相乘。 4.分式除法法则用字母表示为：÷=________=_______（a、b、c、d均为整式，且b≠0，c≠0，d≠0）。 5.分式的乘除法运算，最终结果必须化为______或______。 6.分式乘除运算时，先把分子、分母中能因式分解的多项式进行______，再确定公因式进行______，最后完成运算。 7.分式的乘除混合运算，要按照从______到______的顺序依次进行，有括号先算______里面的。 8.分式乘除混合运算，可先将所有除法统一转化为______，再按照分式乘法法则计算。 9.运算过程中，整式可看作分母是______的分式，再参与分式乘除运算。 10.约分时，分子、分母的公因式要______，确保结果是最简分式。 八．强化提优 （一）选择题 1. 下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 化简÷的结果是　(　　) A. -a-1 B. -a+1 C. -ab+1 D. -ab+b 3. 下列计算结果正确的有（ ） ①；②6a2b3=-4a3；③；④b÷a·=b ⑤. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则M等于（ ） A. B. C. D. 6. 计算的结果是( ) A. - B. C. -1 D. 1 7. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 8.下列计算正确的是（　　） A．（﹣2x2y）3•（﹣y）＝10x6y4 B．÷（a+b）＝1 C．＝a+1 D．2a÷＝b 9．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 10．分式的值可能等于（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 （二）填空题 11.计算      　； 12.计算　   　． 13.计算：　   　． 14.化简：　  　． 15.计算=  . 16.计算=　       ． 17.化简1÷=　          ． 18.化简=　        ． 19.计算：          ． 20.计算：＝     　． （三）解答题 21．计算 （1）÷（x﹣2）•． （2） ÷． （3）． （4）÷×2． 22.先化简，再求值： （1），其中x2－4＝0． （2），其中a= - 23.按要求答题 （1）已知y＝÷－x＋3.试说明不论x为任何有意义的值，y的值均不变． （2）已知|a-4|+，计算·的值. 24．先化简，再求值． （1），其中x=-． （2）若1＜x＜2，化简． 25．观察下列各组式子： ①；②；③ （1）请根据上面的规律写出第 个式子； （2）请写出第个式子，并证明你发现的规律． 26.如图， 种小麦试验田是边长为 的正方形中减去一个边长为 的正方形蓄水池后余下的部分； 种小麦试验田是边长为 的正方形. （1）设两块试验田都收获了 小麦，求 ， 两种小麦单位面积产量的比. （2）当 时， ， 两种小麦单位面积产量哪个较大？ （3）若 ， 两种小麦单位面积产量相同，求 ， 满足的关系式. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年苏科版八年级数学下 《第十章分式第四节分式的乘除》讲义 一．学习目标 ( 1.   理解并掌握分式乘、除法的运算法则，能熟练运用法则进行分式乘除运算，会对分子、分母为多项式的分式进行先因式分解再乘除的运算，最终将结果化为最简分式或整式。 2.   通过类比分数乘除法的运算法则，探究分式乘除法法则的推导过程，体会类比、转化的数学思想，提升代数运算能力和逻辑推理能力。 3.   在自主探究、合作交流的学习过程中，感受数学知识的连贯性，培养严谨的运算习惯，提升解决数学问题的自信心。 4.   发展数学运算、数学抽象核心素养，明晰分式运算的算理，规范运算步骤。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.   分式乘、除法运算法则的理解与记忆，熟练进行分子、分母为单项式的分式乘除运算。 2.   掌握分式乘除运算的基本步骤，能准确将运算结果化为最简分式或整式。 （二）学习难点 1.   分子、分母为多项式时，先对多项式进行因式分解，再依据分式乘除法则运算，准确找到公因式并约分。 2.   运算过程中符号的判断、整式与分式的乘除转化，避免出现因式分解错误、约分不彻底、符号混淆等问题。 3.   理解分式乘除运算中 “ 先分解、再约分、后计算 ” 的运算逻辑，规避运算误区。 ) 三．课前预习 1.分数乘法法则：分数乘分数，用______的积作为积的分子，______的积作为积的分母。 2.分数除法法则：分数除以分数，把除式的______、______颠倒位置后，与被除式相乘。 3.分式乘法法则：分式乘分式，用______的积作为积的分子，_____________的积作为积的分母，字母表示为×=____________（b≠0，d≠0）。 4.分式除法法则：分式除以分式，把除式的______、_______颠倒位置后，与被除式相乘，字母表示为÷=______=______（b≠0，c≠0，d≠0）。 5.分式乘除运算结果必须化为______或______。 6.当分式的分子、分母是多项式时，应先对多项式进行______，再进行约分、计算。 【答案】1.分子；分母 2.分子；分母 3.分子；分母； 4.分子；分母；× = 5.最简分式；整式 6.因式分解 四．知识探秘 探究一：类比推导分式乘法法则 1.回顾： 分数乘法：×==，从分数乘法的运算逻辑出发，思考分式乘法的运算方式。 2.猜想： 对于分式和，×=____________？ 3.推导： 分式的本质是两个整式相除，根据整式乘法和分数乘法法则，分式相乘时，分子与分子相乘、分母与分母相乘，即分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。×= 4.注意： 运算过程中，若分子、分母有公因式，要及时约分；运算结果必须化为最简分式（分子、分母没有公因式）或整式。 探究二：类比推导分式除法法则 1.回顾： 分数除法：÷=×===，分数除法需转化为乘法运算，核心是“颠倒除式分子分母”。 2.猜想： 对于分式和，÷=____________？ 3.推导： 分式除法与分数除法算理一致，除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，即分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 ÷=×= 4.关键提醒： 除法转化为乘法时，除式的分子、分母必须完全颠倒，且除式不能为0，即除式的分子、分母均不能为0，需注意字母取值范围。 探究三：分子、分母为多项式的分式乘除运算 1. 问题： 计算，如何简化运算？ 分析：直接相乘会导致分子、分母多项式复杂，难以约分，因此先对分子、分母中的多项式进行因式分解，再找公因式约分，最后相乘。 解：先分解因式x2-1=(x+1)(x-1)，原式=×，约去公因式x+1、x-2，得到结果。 2.运算步骤总结： 第一步：观察分式，判断分子、分母是单项式还是多项式； 第二步：若有多项式，先对其进行因式分解； 第三步：除法转化为乘法（颠倒除式分子分母）； 第四步：约去分子、分母的公因式； 第五步：分子、分母分别相乘，化为最简分式或整式。 探究四：分式乘除运算的符号规则 分式乘除运算的符号与分数一致：同号得正，异号得负，运算时先确定结果符号，再进行数值计算，避免符号错误。 五．经典例题 例1. 计算： （1）÷； （2）； （3） 解：（1）原式=×=； （2）原式 （3）原式=. 例2. 化简： 解：原式 例3. 先化简，再求值：，其中x= - 解：原式=·=，当x= -时，原式==4. 例4.嘉琪准备完成这样一道填空题．其中一部分被墨水污染了，若该题化简的结果为． 化简：的结果为　　 （1）求被墨水污染的部分； （2）嘉琪认为当时，原分式的值等于1，你同意嘉琪的说法吗？如果不同意，请说明理由？ 解：（1）设被墨水污染的部分是，则， 解得：. （2）不同意，理由如下：若，则由原题可知，当时，原式，原分式无意义，所以当时，原分式的值不能等于1 六．基础过关 （一）．选择题 1. 下列变形错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A选项分子和分母同时除以最大公因式；B选项的分子和分母互为相反数；C选项分子和分母同时除以最大公因式，D选项正确的变形是所以答案是D选项故选D. 2. 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】原式 故选C. 3. 已知分式有意义，则x的取值为（ ） A. x≠－1 B. x≠3 C. x≠－1且x≠3 D. x≠－1或x≠3 【答案】C 【解析】由题意得：x+1≠0，x-3≠0，解得：x≠－1且x≠3.故选C. 4. 下列分式，对于任意的x值总有意义的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为分式有意义的条件是分母不能为0，而B选项的分母为，故选B． 5. 分式的值为零，则m取值为（ ） A. m＝±1 B. m＝－1 C. m＝1 D. m的值不存在 【答案】B 【解析】由题意得，，，解得m=-1，故选B。 6. 小马在下面的计算题中只做对了一道题，你认为他做对的题目是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为，所以D选项约分后等于y-x，故答案是D选项.故选D. 7.计算等于( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】：，故答案是B选项故选B. 8. 计算的结果是( ) A. - B. C. -1 D. 1 【答案】A 【解析】原式．故选：A． 9. 已知，则M等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】故选A. 10.下列计算正确的是（　　） A.＝ B. C. D.【答案】C 【解析】∵＝，∴A选项错误；∵，∴B选项错误； ∵，∴C选项正确；∵，∴D选项错误． 故选：C． （二）．填空题 11. 计算：＝________。 【答案】 【解析】原式 12.计算（）÷6ab=　     　． 【答案】 【解析】原式=×=. 13.计算：       　． 【答案】 【解析】原式． 14.计算÷＝____________. 【答案】 【解析】÷＝·＝. 15.以下四个式子①÷；②·；③÷；④÷.其计算结果仍是分式的是_______(填序号)． 【答案】① 【解析】①÷＝·＝，结果是分式；②·＝，结果不是分式；③÷＝·＝，结果不是分式；④÷＝·＝，结果不是分式． 16.计算分式得____________. 【答案】 【解析】＝＝. 17.化简结果为　       　． 【答案】4b 【解析】原式=••a(x﹣y)=4b. 18.计算()3·()3，结果等于　     　． 【答案】 【解析】原式==. 19. 计算=_________． 【答案】 【解析】原式=故答案为： 20.陈老师设计了接力游戏，规则是“每人只能看到前一人给的式子，并进行相应计算，再将结果传递给下一人，若结果已是最简，游戏结束”．过程如下： 整个游戏过程，　     　负责的那一步出现了错误． 【答案】乙、丁 【解析】， 游戏过程中，乙、丁负责的那步出现了错误． （三）．解答题 21.计算: (1)·； (2)÷； (3)(a2＋3a)÷. (4)÷(x－3)·. 解：(1)原式＝＝. (2)原式＝÷＝· ＝. (3)原式＝a(a＋3)÷＝a(a＋3)·＝a. (4)原式＝··＝. 22．先化简，再求值： （1）÷·，其中a＝2026. 解：原式＝··＝a＋1.当a＝2026时，原式＝2027. （2）,其中是不等式组的整数解. 解：原式=•﹣=﹣=，不等式组解得：3＜x＜5，整数解为x=4，当x=4时，原式=． 23.按要求答题 （1）已知x﹣3y=0，求•（x﹣y）的值． 解： ==； 当x﹣3y=0时，x=3y；原式=． （2）已知：，试说明不论x为任何有意义的值，y值均不变． 证明：==x﹣x+3=3． 24． 求下列各式的值. (1)已知xa=2，xb=6，x≠0，求x3a-2b的值； (2)若= -2，求的值. 解： 原式 25．数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题： 已知实数a，b同时满足a2+2a＝b+2，b2+2b＝a+2，求代数式的值． 结合他们的对话，请解答下列问题：（1）当a＝b时，a的值是 　 　．（2）当a≠b时，代数式的值是 　 　． 解：（1）当a＝b时，a2+2a＝a+2，a2+a﹣2＝0，（a+2）（a﹣1）＝0，解得：a＝﹣2或1，故答案为：﹣2或1； （2）联立方程组，将①+②，得：a2+b2+2a+2b＝b+a+4，整理，得：a2+b2+a+b＝4③，将①﹣②，得：a2﹣b2+2a﹣2b＝b﹣a，整理，得：a2﹣b2+3a﹣3b＝0，（a+b）（a﹣b）+3（a﹣b）＝0，（a﹣b）（a+b+3）＝0，又∵a≠b， ∴a+b+3＝0，即a+b＝﹣3④，将④代入③，得a2+b2﹣3＝4，即a2+b2＝7，又∵（a+b）2＝a2+2ab+b2＝9∴ab＝1，∴，故答案为：7． 26.有甲、乙两筐水果，甲筐水果重(x－1)2千克，乙筐水果重(x2－1)千克(其中x>1)，售完后，两筐水果都卖了50元． (1)哪筐水果的单价卖得低？ (2)高的单价是低的单价的多少倍？ 解：(1)甲筐水果的单价为，乙筐水果的单价为. ∵0<(x－1)2<x2－1，∴<.答：乙筐水果的单价低． （2）÷＝·＝. 答：高的单价是低的单价的倍 七．知识清单 1.分式乘分式，用______的积作为积的分子，______的积作为积的分母。 2.分式乘法法则用字母表示为：×=______（a、b、c、d均为整式，且b≠0，d≠0）。 3.分式除以分式，把除式的______、______颠倒位置后，与被除式相乘。 4.分式除法法则用字母表示为：÷=________=_______（a、b、c、d均为整式，且b≠0，c≠0，d≠0）。 5.分式的乘除法运算，最终结果必须化为______或______。 6.分式乘除运算时，先把分子、分母中能因式分解的多项式进行______，再确定公因式进行______，最后完成运算。 7.分式的乘除混合运算，要按照从______到______的顺序依次进行，有括号先算______里面的。 8.分式乘除混合运算，可先将所有除法统一转化为______，再按照分式乘法法则计算。 9.运算过程中，整式可看作分母是______的分式，再参与分式乘除运算。 10.约分时，分子、分母的公因式要______，确保结果是最简分式。 【答案】1.分子；分母 2. 3.分子；分母 4.×； 5.最简分式；整式 6.因式分解；约分 7.左；右；括号 8.乘法 9.1 10.全部约去 八．强化提优 （一）选择题 1. 下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】：A.此选项错误；B. 此选项错误；C．此选项正确； D． ，此选项错误；故选C. 2. 化简÷的结果是　(　　) A. -a-1 B. -a+1 C. -ab+1 D. -ab+b 【答案】B 【解析】试题解析：原式故选B. 3. 下列计算结果正确的有（ ） ①；②6a2b3=-4a3；③；④b÷a·=b ⑤. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】试题解析：①③⑤正确.故选C. 4. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】试题解析：原式故选D. 5. 已知，则M等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】试题解析：故选A. 6. 计算的结果是( ) A. - B. C. -1 D. 1 【答案】A 【解析】原式．故选：A． 7. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】试题解析：原式故选D. 8.下列计算正确的是（　　） A．（﹣2x2y）3•（﹣y）＝10x6y4 B．÷（a+b）＝1 C．＝a+1 D．2a÷＝b 【答案】A 【解析】：A、结果是10x6y4，故本选项符合题意；B、结果是，故本选项不符合题意；C、结果是，故本选项不符合题意；D、结果是，故本选项不符合题意；故选：A． 9．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】：，故选：B． 10．分式的值可能等于（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 【答案】D 【解析】：＝×＝，由题意可知，分式的值反映的是分子x﹣1与分母x的倍数关系，由此易得：若x﹣1＝2x，则x＝﹣1，此时原式无意义；当x﹣1＝1•x，则x不存在（无解）；若x﹣1＝0•x，则x＝1，此时原式无意义；若x﹣1＝﹣1•x，则x＝，此时原式有意义．综上分析，应选D．故选：D． （二）填空题 11.计算      　； 【答案】； 【解析】原式； 12.计算　   　． 【答案】 【解析】原式. 13.计算：　   　． 【答案】 【解析】. 14.化简：　  　． 【答案】 【解析】原式. 15.计算=  . 【答案】 【解析】原式=×=. 16.计算=　       ． 【答案】 【解析】==. 17.化简1÷=　          ． 【答案】 【解析】原式=1÷=1÷=． 18.化简=　        ． 【答案】 【解析】原式===. 19.计算：          ． 【答案】 【解析】原式． 20.计算：＝     　． 【答案】 【解析】原式＝. （三）解答题 21．计算 （1）÷（x﹣2）•． （2） ÷． （3）． （4）÷×2． 解：（1）原式＝••＝． （2）原式＝×＝． （3）原式=＝•（3﹣x）•＝﹣1． （4）原式＝××2＝ 22.先化简，再求值： （1），其中x2－4＝0． 解：原式＝，原式＝－3　 （2），其中a= - 解：原式=·=，当a= -时，原式==9 23.按要求答题 （1）已知y＝÷－x＋3.试说明不论x为任何有意义的值，y的值均不变． 解：y＝÷－x＋3＝×－x＋3＝x－x＋3＝3. 根据化简结果与x无关可以知道，不论x为任何有意义的值，y的值均不变． （2）已知|a-4|+，计算·的值. 解：∵|a-4|+，∴a-4=0，b-9=0，∴a=4，b=9， ∴原式=·===. 24．先化简，再求值． （1），其中x=-． （2）若1＜x＜2，化简． 解：（1）原式 当时，原式 （2）∵1＜x＜2 原式 25．观察下列各组式子： ①；②；③ （1）请根据上面的规律写出第 个式子； （2）请写出第个式子，并证明你发现的规律． 解：（1）； （2）证明：等式左边， ∵等式右边为，与等式左边计算出的结果相等， ∴成立. 26.如图， 种小麦试验田是边长为 的正方形中减去一个边长为 的正方形蓄水池后余下的部分； 种小麦试验田是边长为 的正方形. （1）设两块试验田都收获了 小麦，求 ， 两种小麦单位面积产量的比. （2）当 时， ， 两种小麦单位面积产量哪个较大？ （3）若 ， 两种小麦单位面积产量相同，求 ， 满足的关系式. 解：（1）根据题意得： 种小麦： ， 种小麦： ， 则 ， 两种小麦单位面积产量的比为 ： ； （2）把 代入得： ， ， ， 种小麦单位产量较大； （3）根据题意得： ， 整理得： ， ， ， ，整理得： . 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