第10章第4节 第2课时《分式的混合运算》分层讲义 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

运算有先后，分式亦有序——分式混合运算通关攻略 ——苏科版数学八年级下册 第10章第4节第2课时《分式的混合运算》分层讲义 一、知识导航 1. 分式混合运算的概念 分式的混合运算是将分式的加、减、乘、除、乘方等运算综合在一起的计算。正确进行分式混合运算，需要综合运用分式的运算法则和运算顺序，是初中代数计算能力的重要体现。 2. 分式混合运算的顺序 核心规则：先乘方，再乘除，后加减；有括号，先算括号内的。 运算优先级 运算类型 说明 第1级 括号内的运算 有括号时，先进行括号内的所有运算 第2级 乘方运算 分子、分母各自乘方 第3级 乘除运算 从左到右依次进行（除法转化为乘法） 第4级 加减运算 通分后分子相加减 特别提醒：分式的混合运算顺序与分数的混合运算顺序完全一致，体现了“数式统一”的数学思想。 3. 分式混合运算的关键步骤 五步法： 第一步——看结构：识别运算种类（加减？乘除？乘方？括号？）； 第二步——定顺序：根据优先级别确定运算的先后顺序； 第三步——先分解：运算前，将能因式分解的多项式全部分解因式； 第四步——逐层算：按照确定的顺序，一层一层往下算，不急不躁； 第五步——化最简：最终结果必须化为最简分式（或整式）。 4. 分式混合运算与分数混合运算的类比 对比项 分数混合运算 分式混合运算 运算顺序 先乘除，后加减，有括号先算括号 完全相同 核心操作 通分、约分 通分、约分 运算对象 具体数字 含字母的整式 最终要求 化为最简分数 化为最简分式或整式 分式的加、减、乘、除混合运算的顺序是先乘除，后加减，如果有括号，先进行括号内的运算。 二、新知讲授 题型一：分式的乘除混合运算——“一转化二约分三结果” 解法口诀：乘除混合式，除号变乘号。分子分母全分解，公因式一并消。从左到右勿跳步，最简结果是王道。 例题 1（基础）——分式的乘除混合运算 题目：（2025江苏南京中考改编）计算：÷ 答案: 【方法总结】 分式乘除混合运算三步走：①将除法转化为乘法；②分子分母全分解因式；③约分时每一步都约干净，最后剩啥就写啥。 变式训练 1-1 （2025苏州四市期中改编）计算：÷ 【答案】 a 变式训练1-2 化简：· 【答案】 变式训练1-3 （2025江苏淮安期中）计算：÷· 【答案】 1 题型二：分式的加减混合运算——“同分母直接加，异分母先通分” 解法口诀：同分母加减易，分子相加减，分母不用变。异分母加减难，先通分再加减，公分母找对是关键。 例题 2（基础）——分式的加减混合运算 题目：（2025江苏宿迁宿城期末改编）计算： + 答案：- 【方法总结】 遇到互为相反数的分母（如a-b和b-a），提取负号后即可化为同分母。通分前先观察，避免复杂的公分母计算。 变式训练 2-1 （2025泰州姜堰期中）计算： - 【答案】 变式训练 2-2 （2025常州溧阳期末改编）计算：+ 【答案】 变式训练 2-3 计算： - + 【答案】 0 题型三：分式的四则混合运算——“顺序是灵魂，分解是利器” 解法口诀： 混合运算看全局，先定顺序再下手。括号乘方优先算，乘除加减按步走。能分（因式分解）不分你吃亏，约分简化事半功倍。 例题 3（中等）——加减乘除混合运算 题目：（2025江苏扬州期末）计算：(1 - ) ÷ 答案： 【方法总结】 混合运算中，括号优先始终是第一原则。括号内算完后，按“乘除→加减”的层级继续。因式分解一定要在运算过程中及时进行。 变式训练 3-1 （2025盐城东台期中）计算：( + )÷ 【答案】 变式训练3-2 （2025江苏南京秦淮区期中）计算：()÷ 【答案】 1 变式训练3-3 计算：() ÷ 4。 【答案】 1 题型四：分式的化简求值——“先化简再代入，整体思想巧运用” 解法口诀：化简求值两步走，先化到最简再代入。代入之时需检验，分母为零要排除。若遇x和，平方公式记心中。 例题 4（中等）——化简后求值 题目：（2025江苏镇江句容期末）先化简，再求值： ÷+ ，其中 x = 2。 化简后： 代入 x=2。 原式 = = = 答案： 变式训练 4-1 （2025扬州梅岭中学期中）先化简，再求值：÷ ，其中 a = -3。 【答案】，代入得 变式训练 4-2 （2025江苏无锡期中改编）先化简，再求值：÷其中 x=3, y=1。 【答案】 ,代入得 变式训练 4-3 （2025江苏连云港海州期中）先化简，再求值：÷ 其中x满足 x²+3x-4=0。 【答案】，当 x=-4 时值为 题型五：分式混合运算的技巧策略——“善用方法，化繁为简” 解法口诀：整体看待分子式，换元设k巧化归。乘法分配可拆项，分式运算有高招。 例题 5（提优）——换元法与整体法的运用 题目：（2025江苏无锡江阴期中）已知 x²-3x+1=0，求 x² + 的值。 【答案】 7 变式训练5-1 （2025南京金陵中学月考）已知 = k，求 k 的值。 【答案】 k = 2 或 k = -1 ▲ 变式训练5-2 计算：(x+1)/(x²-x) - (x-1)/(x²+x)（提示：裂项法）。 【答案】 题型六：分式混合运算中的易错辨析——“知错能改，防患未然” 解法口诀：通分别忘分子乘，约分别跳步。括号前面是负号，变号要全面。分母为零不可取，时刻记心中。 例题 6（提优）——典型错误辨析与纠正 题目：（2025江苏扬州宝应期中改编）下面是小明化简分式的过程，请找出错误并纠正。 化简： ÷ 小明的解答：= ÷ = ÷ = ÷ = 1。 小明的化简结果对吗？如果不对，请指出错误并改正 【答案】 小明计算正确，结果为 1（x ≠ ±2）。 变式训练6-1 计算：1 - 【答案】 三、分层达标检测 ★ 基础巩固 1. （2025江苏宿迁宿城期末）计算 ÷ 的结果是（ ） A. 　　B. 　C. 　　D. 2. （2025江苏常州溧阳期末改编）计算： 3. 计算： 4. （2025江苏无锡江阴期中）计算：· ★★ 能力进阶 5. （2025江苏扬州期末改编）计算：÷ 6. （2025江苏盐城东台期中）先化简，再求值：(a-1+ ) ÷ ，其中a = 7. （2025南通海安模拟）已知 a²+2a-1=0，求() ÷ 的值。 ★★★ 思维拓展 8. （2025江苏苏州）阅读下面材料，并解答问题。 〖材料〗 将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式。 〖解〗 由分母 x+3，可设 x²+2x-5 = (x+3)(x+a)+b， 则 x²+2x-5 = (x+3)(x+a)+b = x²+ax+3x+3a+b = x²+(a+3)x+(3a+b)。 ∴ 对于任意 x，上述等式均成立。 比较系数得：a+3 = 2，3a+b = -5，解得 a = -1，b = -2。 ∴ = = = x-1 - 这样，分式被拆成了一个整式 x-1 与一个分式的和。 〖解答〗（1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式。 （2）当 -1 < x < 1 时，求分式 的最小值。（提示：先拆项，再利用不等式性质） 四、解题方法口诀大全 题型 口诀 乘除混合 除号变乘号，全分解再约分，从左往右不乱序 加减混合 同分母直接加，异分母先通分；相反分母提负号，化为同母再加减 四则混合 先乘方再乘除后加减；括号优先不用想，因式分解及时做 化简求值 先化到最简再代值，分母为零要排除；条件关系找整体，代入时需同时处理 换元设k 连等形式设参数，多元变成一元算；等比性质巧利用，分类讨论不要忘 整体思想 条件变形找整体，分式结构明关联；x± 常用法，平方公式心中记 拆项法 假分式先拆整，分子次数低于母；待定系数或配方，拆后运算更轻松 易错防范 通分别漏乘，约分别跳步；负号变号要全面，分母非零记心间 纠错审题 看顺序 → 查分解 → 验约分 → 思条件 教师寄语： 分式的混合运算，是初中代数计算能力的“集大成者”。从分式的概念到基本性质，从约分通分到加减乘除，所有知识在这里汇聚，所有的技巧在这里融通。希望同学们像打造一件精密仪器一样，耐心对待每一个运算步骤——看清顺序、及时分解、认真约分、严密检验。在分式的世界里，每一步精准的运算都是通往成功的阶梯！ 五、答案 基础巩固 1. A 2. 3. 4. 能力进阶 5. x+1 6. a+1，代入得 7. 此题为综合计算题，详细解题略。 【解析】由 a²+2a-1=0 得 a²+2a=1。化简原式：( - ) ÷ 。通分后代入 a²+2a=1 可得结果。 思维拓展 8. （1）x-5 + 　（2）最小值为 -2 学科网（北京）股份有限公司 $