1.3《直角三角形》同步练习 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

1.3《直角三角形》同步练习 一、单选题 1.在Rt△ABC中，LC=90°，∠B=56°，则∠A的度数是() A.24° B.34° C.54 D.64° 2.△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别记为a,b,c,有下列说法错误的是() A.如果a:b:c=7:24:25,则∠C=90° B.如果LA:LB:LC=3:4:5,则△ABC为直角三角形 C.如果a,b,c长分别为6,8,10，则a,b,c是一组勾股数 D.如果LA-LB=LC,则△ABC为直角三角形 3.如图，BD是等腰△ABC底边AC边上的中线，ED∥AB,∠C=65°，则∠BDE度数是() B E A.24° B.25 C.30° D.35 4.如图，在△ABC和△CDE中，∠ACB=∠CED=90°，AB=CD,CE=AC,则下列结论中不一定成立 的是() D E B A.△ABC≌△CDE B.∠CAB=∠DCE C.AB⊥CD D.E为BC中点 5.如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1.点A,B,C都在格点上，则下列结论 错误的是() A.∠BAC=90° B.BC=5 C.△ABC的面积为5 D.点A到BC的距离是1.5 二、填空题 6.如图所示，LC=∠D=90°，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等，则应添加一个条件 是 7.若x-3+(y-4)2+√2-5=0，则由x,y,z组成的三角形是 三角形. 8.如图所示，在Rt△ABC中，LACB=90°，LA=55°，将其沿CD折叠，使点A落在CB边上的A 处，则∠A'DB= 9.如图，在△ABC中，∠B=60°，AB=AC=4,过BC上一点D作PD⊥BC交BA的延长线于点P, 交AC于点Q.若CD=1,则C0=一，PA=—· D B D 10.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC,BC=4V2,AD=√2，LB=45°，直角三角板含45°角 的项点E放在BC边上移动，直角边EM始终经过点A,斜边EN与CD交于点F,若△ABE为等 腰三角形，则CF的长为 M D B E 三、解答题 11.如图，∠A=LD=90°，点B,E,F在同一直线上，AB=CD,BE=CF,求证△ABF≌△DCE y D B F C 12.在一条东西走向河的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,其中AB=AC,由C到 A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A、H、B在一条直 线上)，测得CB=3千米，CH=2.4千米，HB=1.8千米， A H B 。。-。-。-一。--一-。。-一--。- (1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：CH与AB是否垂直？）请通过计算加以说 明； (2)求原来的路线AC的长 13.如图，5×5网格中每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均为网格上的格点. B A (1)AB= BC= AC= (2)△ABC的形状为 三角形； (3)求△ABC中AC边上的高 14.如图，已知∠A=90°，AC=AB=4,CD=2,BD=6. D (1)求BC的长； (2)求∠ACD的度数. 15.定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开心角” 例如：在△ABC中，如果LA=70°，LB=35°，△ABC为“开心三角形” 问题：如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，点D是线段AB上一点（不与AB重合），连接 CD B 图1 图2 (1)如图1，若CD⊥AB,则AACDABCD是“开心三角形”吗？为什么？ (2)若△ACD是“开心三角形”，直接写出∠ACD的度数 16.如图，已知在Rt△ABC中，LACB=90°，AC=8,BC=16,D是AC上的一点，CD=3,点P从 B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动.设点P的运动时间为七，连接AP. D P (备用图) (1)当∠BAP=90°时，则BP= (2)当△ABP为以AP为腰的等腰三角形时，求t的值； (3)过点D作DE⊥AP于点E.在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE=CD? 参考答案 一、单选题 1.B 解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=56°， ∴.LA=90°-56°=34°， 故选：B. 2.B 解：A、.a:b:c=7:24:25, ∴.设a=7k,b=24k,c=25k, a2+b2=(7k)2+(24k)2=625k2,c2=(25k)2=625k2, ∴.a2+b2=c2, ∴.∠C=90°，故不符合题意； B、LA:LB:LC=3:4:5,LA+∠B+∠C=180°， 5 2C=180x3+4+575°， ∴.△ABC不是直角三角形，故符合题意； C、a,b,c长分别为6,8,10， ∴.a2+b2=c2,且a,b,c的长都是正整数， a,b,c是一组勾股数.故不符合题意； D、.LA-LB=LC①， ∠A+∠B+∠C=180°②， 将①代入②得：2∠A=180°， ∴.∠A=90°， ∴△ABC是直角三角形，故不符合题意. 故选：B. 3.B ,BD是等腰△ABC底边AC边上的中线， ∴.BD⊥AC,∠ABD=∠CBD, ∴.∠BDC=90°， .∠C=65°， .∴.∠DBC=90°-∠C=25°， ∴.LABD=LDBC=25°， ,ED∥AB, .∴.∠BDE=∠ABD=25°. 故选：B 4.D 解： A.,∠ACB=∠CED=90°，AB=CD,CE=AC ∴.△ABC≌△CDE(HL),故结论成立，本选项不合题意； B.,△ABC≌△CDE ∴∠CAB=∠DCE,故结论成立，本选项不合题意； C.如图，，△ABC≌△CDE ∴.∠B=∠D. .'∠DGF+∠D+∠GFD=180°，∠FEB+∠B+∠EFB=180°，∠GFD=∠EFB ∴.∠DGF=LFEB=90 .AB⊥CD.故结论成立，本选项不合题意； B D.根据题目条件无法推证E为BC中点，本结论错误，本选项符合题意； 故选：D 5.D 解：A、:AC2=12+22=5,AB2=2+42=20,BC2=32+42=25, ..AC2+AB2=BC2, :∠BAC=90°，本选项结论正确，不符合题意； B、.BC2=32+42=25, ∴.BC=5,本选项结论正确，不符合题意； C、Sc=4×4-x1x2-×2x4-×3×4=5,本选项结论正确，不符合题意： 2 2 D、点A到BC的距离=2Sc÷BC=2×5÷5=2,本选项结论错误，符合题意； 故选：D. 二、填空题 6.AC=AD(答案不唯一) 解：添加的条件是AC=AD, 理由是：.∠C=LD=90°， AB=AB ∴在Rt△ABC与Rt△ABD中 AC=AD' ∴.RtAABC≌RtAABD(HL, 故答案为：AC=AD. 7.直角 解：根据题意得，x-3=0,y-4=0,z-5=0, 解得x=3,y=4,z=5, x2+y2=42+32=25=z2, :此三角形是直角三角形· 故答案为：直角三角形· 8.20° 解：LACB=90°，LA=55°， .∠B=35, 由翻折的性质可得：∠DA'C=LA=55°， ∠B+∠A'DB=∠DA'C, .∴.∠A'DB=∠DA'C-∠B=55°-35°=20°， 故答案为：20°. 9.2 2 解：.∠B=60°，AB=AC=4, ∴△ABC是等边三角形， ∴.AC=BC=4,∠C=60°， PD⊥BC, .∠QDB=∠QDC=90°， .∠P=90°-∠B=30°，∠DQC=90°-∠C=30°， :CD=1, ..OC=2DC=2, .AQ=AC-CQ=4-2=2, ,∠AQP=∠CQD=30°， .∠P=∠AQP=30°， .AP=A0=2, 故答案为：2,2. 10.或45-3或2 解：①如图1，当AE=BE时，过点D作DG⊥BC于点G, M A D G 图1 :等腰梯形ABCD中，LB=45°， LB=LC=LBAE=45°，AB=CD, ∠AEB=90°， AE⊥BC, AD∥BC, ∠AEG=LDGE=∠DAE=90°， ·四边形AEGD是矩形， :EG=AD,AE=DG, BC=42,AD=2, :.EG=AD=2, AB=CD 在Rt△AEB和RtADGC中， AE=DG' RtAAEB≌RtaDGC(HL), :BE =CG, BE=ac-G-=45-)-5, 2 cE=sc-E=45-5-5, AE-BE-3, 2 :在Rt△AEB中，AB=√BE2+AE2=3, :LAEB=90°，LMEN=45°， ∠FEC=180°-LAEB-∠MEN=45°， ∠C=45°， ∠EFC=180°-∠FEC-LC=90°， “aCEF是等腰直角三角形， ∴CF=EF, 在RICFE中，CE=CF+EF=CF+CF=5CF-5, ACF ②如图2，当AB=BE时， B E C 图2 .∠AEB=∠EAB, :等腰梯形ABCD中，∠B=45°， ∠B=LC=45°， 240-51o-∠周-号0r-45例-=675， :∠MEN=45°， ∠CEF=180°-∠AEB-∠MEN=180°-67.5°-45°=67.5°， ∠CFE=180°-∠C-∠CEF=180°-45°-67.5°=67.5°， :ZCEF ZCFE :CF=CE, BC=42,AB=3, :.CF=CE=BC-BE=BC-AB=42-3; ③如图3，当AB=AE时， M◇ D C 图3 :等腰梯形ABCD中，∠B=45°， LB=LC=45°， ∠AEB=∠B=45°， ∠BAE=180°-∠B-LAEB=90°， AB=AE=3, ·在RtABAE中，BE=√AB2+AE2=√2AB=3√2， :∠MEN=45°， ∠CEF=180°-∠AEB-∠MEN=180°-45°-45°=90°， :∠C=45°， ∴△CEF是等腰直角三角形， :.EF=CE=BC-BE=4V2-3V2=√2， 在RtaCEF中，CF=VCE2+EF2=2; 综上所述，C甲的长为或45-3或2. 故答案为：或4反-3或2. 三、解答题 11.证明：，BE=CF, ∴.BE+EF=CF+EF, 即BF=CE, ∠A=LD=90°， 在RtoABF和Rt DCE中， AB=CD BF=CE' ∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL). 12.(1)解：是，理由如下： CB=3千米，CH=2.4千米，HB=1.8千米， ∴.CH2+BH2=9=CB2, .∠CHB=90°，即：CH⊥AB, .CH是从村庄C到河边的最近路； (2)设AC=x, AB=AC=x, ∴.AH=AB-BH=x-1.8, CH⊥AB, ∴.∠CHA=90°， 由勾股定理，得：AC2=CH+AH2, ∴x2=(x-1.82+2.42, 解得：x=2.5, ∴.AC的长为2.5千米. 13.(1)由题可知，AB=√22+22=22； BC=V42+42=4V2; AC=V22+62=210. (2)解：，AB2=8,BC2=32,AC2=(2V10)2=40; .'AB2+BC2=AC2; ∴.△ABC为直角三角形 (3)如下图，过点B作AC的垂线，垂足为D; .BD⊥AC; ,△ABC是直角三角形； ∴÷B8c-4c8m 2 BD=2V2×4V2 2W10 BD=40】 B A D 14.(1)解：∠A=90°，AC=AB=4, ∴.BC=VAC2+AB2=V42+42=4V2; (2)解：∠A=90°，AC=AB=4, ∴.LACB=∠ABC=45°， :CD2+BC2=22+4V2)=36,BD2=62=36, ∴.CD2+BC2=BD2, .△BCD为直角三角形，LBCD=90°， .∠ACD=∠BCD-∠ACB=90°-45°=45°. 15.(1)解：△ACD△BCD是“开心三角形”， 理由如下： :∠ACB=90°，∠A=60°， ∠B=30°， :CD⊥AB, LACD=30°，∠BCD=60°， 在△ACD中，：∠A=60°，∠ACD=30°， ∠A=2LACD, △ACD为开心三角形”， 在△BCD中，∠BCD=60°，∠B=30°， .∠BCD=2∠B, △BCD为开心三角形”； (2)解：若△ACD是“开心三角形”，由于点D是线段AB上一点（不与A,B重合）， 则∠A=2LACD或∠ACD=2LADC或∠ADC=2LACD, 当LA=2LACD时，∠ACD=】∠A=30°： 2 当∠ACD=2LADC时，∠ACD=80°； 当∠ADC=2LACD时，∠ACD=40°； 综上，∠ACD的度数为30°或40°或80°. 16.(1)当∠BAP=90°时，如图： B 由题意，得：BP=2t, .∴.CP=2t-16, 在Rt△ACB中，AB2=BC2+AC2, 在Rt△PAB中，PB2=AP2+BA2, 在Rt△PAC中，AP2=AC2+CP2, .BP2=BC2+AC2+AC2+CP2,即：(2t2=162+82+82+(2t-16), 解得：t=10, ∴BP=20; 故答案为：20. (2)①当AP=AB时，如图 D B C ,AP=AB,AC⊥BC ∴.BP=2BC=32, ∴.1=32÷2=16； E 夕 ②若PA=PB,则BP=AP=21,CP=16-21, 在直角三角形ACP中，PA2+CP2=AC2, ∴.(212=(16-21)2+82 解得：t=5; 综上所述：t的值16或5； (3).DE=CD=3,AD=AC-CD=8-3=5,DE L AP, ∴.AE=4, ①若P在C点的左侧，则BP=2t, .∴.CP=16-2t. 又DE=DC,PD=PD,且LDEP=LDCP=90°， .△PED≌aPCD, ∴.PE=PC=16-2t, ∴.AP=PE+AE=20-2t, 则(20-2t)2=(16-2t)2+82, 解得：t=5; B ②若P在C点的右侧，则BP=2t, ∴.CP=21-16, 同法可得：PE=PC=21-16, .∴.AP=PE+AE=21-12, .(20-2t=(2t-16)2+82, 解得t=11, 综上所述：t=5或11.