1.3直角三角形同步练习2025-2026学年北师大版数学八年级下册

1.3直角三角形 考点1: 直角三角形的性质与判定 1. 性质：①直角三角形的两个锐角互余 ②直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方(勾股定理) ③在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 2. 判定：①有两个角互余的三角形是直角三角形 ②如果三角形三条边的长度a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形(勾股定理的逆定理) · 1.利用角证明直角三角形的方法：(1)证明三角形中有一个内角为90°(或证明三角形的两条边互相垂直)； (2)证明三角形中有两个内角互余. 2.利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形的一般步骤:找出最长边→计算最长边的平方及另两边的平方和→若最长边的平方等于另两边的平方和，则三角形是直角三角形. 练习1. 1. 在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，则∠A＝(　B　). A.15° B.30° C.45° D.60° 2. 直角三角形中，两锐角的角平分线所夹的钝角的度数是(　B　). A.120° B.135° C.150° D.160° 3. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A－∠B＝10°，则∠A的度数为(　A　). A.50° B.60° C.70° D.80° 4. 满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是(　D　). A.AB＝5，BC＝13，AC＝12 B.AB∶BC∶AC＝3∶4∶5 C.中线CD＝AB D.∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 5. 如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE＝∠DEC＝60°，AB＝3，CE＝4，则AD等于(　A　). A.10 B.12 C.24 D.48 6. 一个三角形的三边长的比为3:4:5，且其周长为24cm，则其面积为 24cm2 7. 如图，方格中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，求： (1)△ABC的周长； (2)请判断△ABC是不是直角三角形，并说明理由； (3)△ABC的面积； (4)点C到AB边的距离. 解：(1)C△ABC＝＋＋；(2)△ABC不是直角三角形(3)S△ABC＝；(4)点C到AB的距离为. 考点2: 互逆命题、互逆定理 1. 互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，如果把其中一个命题称为原命题，那么另一个命题就称为它的逆命题. 2. 互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，称这两个定理是一对互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 例如： · ①命题有真有假，而定理都是真命题. ②每个命题都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理. · 注意： (1)写原命题的逆命题时，最好先将原命题改写成“如果……那么……”的形式，再根据改写后的命题写出原命题的逆命题. (2)判定一个命题是真命题要经过证明，但判定一个命题是假命题只需举出一个反例即可. 练习2. 1. 下列说法中正确的是(　A　). A.任何一个命题都有逆命题 B.若原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题 C.任何一个定理都有逆定理 D.若原命题是真命题，则它的逆命题也是真命题 2. 下列命题的逆命题成立的是(　B　). A.全等三角形的对应角相等 B.若三角形的三边满足a2＋b2＝c2，则该三角形是直角三角形 C.对顶角相等 D.同位角互补，两直线平行 3. 下列定理中，没有逆定理的是(　C　). A.三边对应相等的两个三角形全等 B.直角三角形两锐角互余 C.互为相反数的两个数的绝对值相等 D.等腰三角形的两个底角相等 4. 下列命题中真命题是(　D　). A.如果两个直角三角形的两条边相等，那么这两个直角三角形全等 B.如果两个直角三角形的一条边和一个锐角相等，那么这两个直角三角形全等 C.如果两个直角三角形的两个角对应相等，那么这两个直角三角形全等 D.如果两个直角三角形的一条直角边和斜边对应相等，那么这两个直角三角形全等 5. 命题“如果a＝b，那么|a|＝|b|”的逆命题是　 假 　命题.(填“真”或“假”)  6. “如果a＞0，b＞0，那么ab＞0”的逆命题是　如果ab＞0，那么a＞0，b＞0 　． 考点3: 直角三角形全等的判定(HL) 内容：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边直角边”或“HL”) 应用格式：在Rt△ABC和 Rt△A'B'C'中， ∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C' (HL) · ①“HL”只适用于判定两个直角三角形全等，对一般三角形并不适用，因此在使用“HL”的时候，要先确定两个三角形为直角三角形，书写时必须在两个三角形前面加上“Rt”. ②判定一般三角形全等的方法对判定两个直角三角形全等全部适用，因此可以根据“HL”、“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”这五种方法来判定两个直角三角形全等 练习3. 1. 下列说法正确的有(　B　). (1)一个锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等. (2)一个锐角及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. (3)两个锐角对应相等的两个直角三角形全等. (4)有两条边相等的两个直角三角形全等. (5)斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等. A.2个 　B.3个 　C.4个 　D.5个 2. 如图，AD是△ABC的边BC上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是(　A　). A.AB＝AC B.∠BAC＝90° C.BD＝AC D.∠B＝45° 3. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，E为AC上一点，连接BE交AD于点F.若BF＝AC，FD＝CD，AB＝3，则AD的长为(　B　). A.2 B.3 C.4 D.6 4. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，CD＝1.5，BD＝2.5． (1)求点D到直线AB的距离； (2)求线段AC的长． 解：(1)点D到直线AB的距离为1.5；(2)AC＝3． 巩固练习： 1. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，则下列条件中不能说明△ABC是直角三角形的是(　C　). A. (a＋b)(a－b)＝c2 B.∠A＝90°－∠B C.a∶b∶c＝1∶2∶3 D.6∠A＝2∠B＝3∠C 2. 下列命题：①若＞1，则a＞b；②若a＋b＝0，则|a|＝|b|；③等边三角形的三个内角都相等；④底角相等的两个等腰三角形全等。其中原命题与逆命题均为真命题的有(　A　). A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3. 如图所示，∠C＝∠D＝90°，添加下列条件①AC＝AD；②∠ABC＝∠ABD；③∠BAC＝∠BAD；④BC＝BD，能判定Rt△ABC与Rt△ABD全等的条件的个数是(　D　). A.1 B.2 C.3 D.4 4. 如图，每个小正方形的边长都是1，A，B，C分别在格点上，则∠ABC的度数为(　B　). A．30° B．45° C．50° D．60° 5. 如图，△ABC中，AB＝6，AC＝10，AD是中线，且AD⊥AB，则△ABC的面积为(　C　) A．30 B．48 C．24 D．18 6. 如图，在长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为(　C　). A.3cm2 B.4cm2 C.6cm2 D.12cm2 7. 有五根小木棒，其长度分别为7，15，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是(　D　). A． B． C． D． 8. 已知△ABC的三边分别长为a，b，c，且满足(a－17)2＋|b－15|＋c2－16c＋64＝0，则△ABC是(　A　). A．以a为斜边的直角三角形 B．以b为斜边的直角三角形 C．以c为斜边的直角三角形 D．不是直角三角形 9. 如图，已知在Rt△ABC中，∠A＝90°，EF∥BC，若∠1＝50°，则∠C的度数为 40° . 10. 在△ABC中，AB＝13，BC＝10，BC边上的中线AD＝12，则AC的长为　 13 　． 11. 如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB＋∠PBA＝ 45° (点A，B，P是网格线交点). 12. 如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点E是边BC的中点，连接AE，把△ABE沿AE对折得到△AFE，延长AF与CD交于点G，则DG的长为　 　． 13. 如图，圆柱形玻璃杯高为5cm，底面周长为12cm，在杯内壁底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿1cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离是　6cm.(杯壁厚度不计) 14. 已知：如图，D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为点E，F，且DE＝DF. 求证：△ABC是等腰三角形. 证明：∵D是△ABC的边BC的中点，∴BD＝CD. ∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠BFD＝∠CED＝90°， 在Rt△BDF与Rt△CDE中， BD＝CD，DF＝DE， ∴Rt△BDF≌Rt△CDE(HL)， ∴∠B＝∠C， ∴△ABC是等腰三角形. 15. 我市夏季经常收台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，且AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域． (1)求证：∠ACB＝90°； (2)海港C受台风影响吗？为什么？ (3)若台风的速度为40km/h，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 解：(1)∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB＝90° (2)海港C受台风影响．(3)台风影响该海港持续的时间为3.5h． 16. 如图，已知在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从点B出发沿射线 BC 以每秒2个单位长度的速度运动.设点P的运动时间为t秒.连接AP. (1)当t＝3时，求AP的长度(结果保留根号)； (2)当△ABP为等腰三角形时，求t的值； (3)过点D作DE⊥AP 于点E.在点P的运动过程中，当t为何值时，DE＝CD? 解：(1)AP＝2；(2)t的值为4或16或5；(3)在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，DE＝CD. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3直角三角形 考点1: 直角三角形的性质与判定 1. 性质：①直角三角形的两个锐角互余 ②直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方(勾股定理) ③在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 2. 判定：①有两个角互余的三角形是直角三角形 ②如果三角形三条边的长度a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形(勾股定理的逆定理) · 1.利用角证明直角三角形的方法：(1)证明三角形中有一个内角为90°(或证明三角形的两条边互相垂直)； (2)证明三角形中有两个内角互余. 2.利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形的一般步骤:找出最长边→计算最长边的平方及另两边的平方和→若最长边的平方等于另两边的平方和，则三角形是直角三角形. 练习1. 1. 在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，则∠A＝(　 　). A.15° B.30° C.45° D.60° 2. 直角三角形中，两锐角的角平分线所夹的钝角的度数是(　 　). A.120° B.135° C.150° D.160° 3. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A－∠B＝10°，则∠A的度数为(　 　). A.50° B.60° C.70° D.80° 4. 满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是(　 　). A.AB＝5，BC＝13，AC＝12 B.AB∶BC∶AC＝3∶4∶5 C.中线CD＝AB D.∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 5. 如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE＝∠DEC＝60°，AB＝3，CE＝4，则AD等于(　 　). A.10 B.12 C.24 D.48 6. 一个三角形的三边长的比为3:4:5，且其周长为24cm，则其面积为 7. 如图，方格中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，求： (1)△ABC的周长； (2)请判断△ABC是不是直角三角形，并说明理由； (3)△ABC的面积； (4)点C到AB边的距离. 考点2: 互逆命题、互逆定理 1. 互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，如果把其中一个命题称为原命题，那么另一个命题就称为它的逆命题. 2. 互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，称这两个定理是一对互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 例如： · ①命题有真有假，而定理都是真命题. ②每个命题都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理. · 注意： (1)写原命题的逆命题时，最好先将原命题改写成“如果……那么……”的形式，再根据改写后的命题写出原命题的逆命题. (2)判定一个命题是真命题要经过证明，但判定一个命题是假命题只需举出一个反例即可. 练习2. 1. 下列说法中正确的是(　 　). A.任何一个命题都有逆命题 B.若原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题 C.任何一个定理都有逆定理 D.若原命题是真命题，则它的逆命题也是真命题 2. 下列命题的逆命题成立的是(　 　). A.全等三角形的对应角相等 B.若三角形的三边满足a2＋b2＝c2，则该三角形是直角三角形 C.对顶角相等 D.同位角互补，两直线平行 3. 下列定理中，没有逆定理的是(　 　). A.三边对应相等的两个三角形全等 B.直角三角形两锐角互余 C.互为相反数的两个数的绝对值相等 D.等腰三角形的两个底角相等 4. 下列命题中真命题是(　 　). A.如果两个直角三角形的两条边相等，那么这两个直角三角形全等 B.如果两个直角三角形的一条边和一个锐角相等，那么这两个直角三角形全等 C.如果两个直角三角形的两个角对应相等，那么这两个直角三角形全等 D.如果两个直角三角形的一条直角边和斜边对应相等，那么这两个直角三角形全等 5. 命题“如果a＝b，那么|a|＝|b|”的逆命题是 命题.(填“真”或“假”)  6. “如果a＞0，b＞0，那么ab＞0”的逆命题是 ． 考点3: 直角三角形全等的判定(HL) 内容：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边直角边”或“HL”) 应用格式：在Rt△ABC和 Rt△A'B'C'中， ∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C' (HL) · ①“HL”只适用于判定两个直角三角形全等，对一般三角形并不适用，因此在使用“HL”的时候，要先确定两个三角形为直角三角形，书写时必须在两个三角形前面加上“Rt”. ②判定一般三角形全等的方法对判定两个直角三角形全等全部适用，因此可以根据“HL”、“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”这五种方法来判定两个直角三角形全等 练习3. 1. 下列说法正确的有(　 　). (1)一个锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等. (2)一个锐角及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. (3)两个锐角对应相等的两个直角三角形全等. (4)有两条边相等的两个直角三角形全等. (5)斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等. A.2个 　B.3个 　C.4个 　D.5个 2. 如图，AD是△ABC的边BC上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是(　 　). A.AB＝AC B.∠BAC＝90° C.BD＝AC D.∠B＝45° 3. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，E为AC上一点，连接BE交AD于点F.若BF＝AC，FD＝CD，AB＝3，则AD的长为(　 　). A.2 B.3 C.4 D.6 4. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，CD＝1.5，BD＝2.5． (1)求点D到直线AB的距离； (2)求线段AC的长． 巩固练习： 1. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，则下列条件中不能说明△ABC是直角三角形的是(　 　). A. (a＋b)(a－b)＝c2 B.∠A＝90°－∠B C.a∶b∶c＝1∶2∶3 D.6∠A＝2∠B＝3∠C 2. 下列命题：①若＞1，则a＞b；②若a＋b＝0，则|a|＝|b|；③等边三角形的三个内角都相等；④底角相等的两个等腰三角形全等。其中原命题与逆命题均为真命题的有(　 　). A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3. 如图所示，∠C＝∠D＝90°，添加下列条件①AC＝AD；②∠ABC＝∠ABD；③∠BAC＝∠BAD；④BC＝BD，能判定Rt△ABC与Rt△ABD全等的条件的个数是(　 　). A.1 B.2 C.3 D.4 4. 如图，每个小正方形的边长都是1，A，B，C分别在格点上，则∠ABC的度数为(　 　). A．30° B．45° C．50° D．60° 5. 如图，△ABC中，AB＝6，AC＝10，AD是中线，且AD⊥AB，则△ABC的面积为(　 　) A．30 B．48 C．24 D．18 6. 如图，在长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为(　 　). A.3cm2 B.4cm2 C.6cm2 D.12cm2 7. 有五根小木棒，其长度分别为7，15，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是(　 　). A． B． C． D． 8. 已知△ABC的三边分别长为a，b，c，且满足(a－17)2＋|b－15|＋c2－16c＋64＝0，则△ABC是(　 　). A．以a为斜边的直角三角形 B．以b为斜边的直角三角形 C．以c为斜边的直角三角形 D．不是直角三角形 9. 如图，已知在Rt△ABC中，∠A＝90°，EF∥BC，若∠1＝50°，则∠C的度数为 . 10. 在△ABC中，AB＝13，BC＝10，BC边上的中线AD＝12，则AC的长为 ． 11. 如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB＋∠PBA＝ (点A，B，P是网格线交点). 12. 如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点E是边BC的中点，连接AE，把△ABE沿AE对折得到△AFE，延长AF与CD交于点G，则DG的长为 ． 13. 如图，圆柱形玻璃杯高为5cm，底面周长为12cm，在杯内壁底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿1cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离是 .(杯壁厚度不计) 14. 已知：如图，D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为点E，F，且DE＝DF. 求证：△ABC是等腰三角形. 15. 我市夏季经常收台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，且AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域． (1)求证：∠ACB＝90°； (2)海港C受台风影响吗？为什么？ (3)若台风的速度为40km/h，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 16. 如图，已知在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从点B出发沿射线 BC 以每秒2个单位长度的速度运动.设点P的运动时间为t秒.连接AP. (1)当t＝3时，求AP的长度(结果保留根号)； (2)当△ABP为等腰三角形时，求t的值； (3)过点D作DE⊥AP 于点E.在点P的运动过程中，当t为何值时，DE＝CD? 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $