福建莆田哲理中学2025-2026学年下学期九年级数学第二次学情自测

**基本信息** 本试卷以文化传承与现实问题为载体，融合窗棂图案、《算法统宗》、龙舟比赛等素材，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，考查抽象能力、几何直观、运算能力及模型意识，适配九年级下学期学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|绝对值、图形对称、科学记数法等|第2题以传统窗棂考对称图形，体现文化传承；第8题结合物理图像考功率，跨学科融合| |填空题|6/24|一元二次方程、正六边形中心角、概率等|第13题以春晚吉祥物考概率，关联社会热点；第15题七巧板坐标问题，考查空间观念| |解答题|9/86|全等证明、统计分析、抛物线综合、圆综合等|第24题以龙舟比赛为背景，构建几何模型解决实际问题；第25题圆综合题，融合切线、相似等知识，考查推理能力|

2025-2026学年哲理中学九年级下学期第二次月考 数学试题 一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．在，，，这四个数中，绝对值最小的数是（   ） A． B． C． D． 2．窗棂（即窗格）作为中国传统建筑的重要构件，承载着丰富的文化象征．窗棂上雕刻有线槽和各种花纹，构成了种类繁多的优美图案，下列窗棂样式结构图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．截至今年3月，我国某大模型日均处理用户请求约86400000次，有效提升了教育、办公、医疗等领域的服务效率．将86400000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 4.下列运算正确的是 A. B. C. D. 5．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，棋子分黑白两色．在一个不透明的盒子中装有10枚黑棋和若干枚白棋，这些棋子除颜色外都相同，从中随机摸出一枚棋子，记下它的颜色后再放回．不断重复这一过程，共摸了200次，发现有50次摸到黑棋，由此可估计盒中白棋子共有（    ） A．170枚 B．60枚 C．50枚 D．30枚 6．《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 7．如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上，已知，则旋转角为（   ） A． B． C． D． 8．物理实验中，小明分别测量电路中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流I（安）和它们的电压U（伏），根据图象及物理学知识，可判断这四个用电器功率（P）最大的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 9．如图，有一格点，现要找一点P，使得平分，甲、乙两位同学给出了他们的作法见图1、图2，请判断两人的作法是否正确（   ）    A．甲、乙都对 B．甲、乙都错 C．甲错、乙对 D．甲对、乙错 10．已知是抛物线上不同的三个点．若对于，都有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二．填空题（每题4分，共24分） 11．若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为_________． 12．俗话说“瑞雪兆丰年”，2023年冬季湖南境内出现多次降雪，预示着2024年是一个丰收之年．如图是一个正六边形雪花状饰品，正六边形的中心角的度数是_______． 13．中央广播电视总台《2026年春节联欢晚会》发布吉祥物形象“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”．其设计融合传统纹样与时代气息，饱含美好寓意．除夕夜，小明和小红准备了正面分别印有“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的四张卡片（如图），它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，小明从中随机抽取一张后，放回并混在一起，小红再随机抽取一张，则这两张卡片相同的概率是_______． 15．七巧板是我国古代著名的益智玩具，由一个正方形分割成七块几何图形组成，现把正方形边长为的图1七巧板拼成“小天鹅”形状，并放置在图2所示的直角坐标系中，则最高点的坐标为_________． 16．正方形 中，以为边向外作，，连接，过C作于点E，若，则 ________． 三、解答题（共86分） 17.（8分）计算 18.（8分）如图，∠A=∠D=90°，AC=BD，求证：AB=DC 19．（8分）化简代数式：，判断它的值能否等于0，并说明理由． 20．（8分）如图，是的中点，交于点，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，连接，求的长． 21．（8分）某中学开展“唱红歌”比赛活动，九年级（1）、（2）班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分为100分）如图所示． 班级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 九（1） 85 a 85 九（2） b 80 c （1）填空：a=______,b=______,c=______ （2）结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩较好； （3）计算两班复赛成绩的方差,并说明哪一个班级的平均分较稳定。 22．（10分）如图，在中，． (1)尺规作图：求作点D，使得；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 23．（10分）已知抛物线（a为常数，且）的顶点纵坐标与抛物线的顶点纵坐标相等． (1)求a的值； (2)点在抛物线上，点在抛物线上（t，h为常数），若，求h的最大值； (3)点在抛物线上，点在抛物线上（k，m为常数，且），若是一个与无关的定值，求该定值及k的值． 24．（12分）龙舟比赛是端午节传统的比赛项目．某玩转数学小组发现：由于比赛龙舟长短不同，并不是所有龙舟都适合在同一条河道比赛．如图1，在型直角赛道进行龙舟比赛，以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题． 数学抽象绘制图形 龙舟转弯示意图可近似如图2所示 龙舟安全过弯示意图可近似如图3所示 信息收集 1．两河道宽均为米，龙舟长为米（龙头到龙尾之间的距离）； 2．龙舟中间最宽处1米，中间部分的中点即为龙舟中心； 3．当龙头行驶到河道中间某处时开始转弯，转弯过程可近似看作整个龙舟绕点逆时针旋转（在内外河道拐点的延长线上，转弯时龙头和龙尾在如图所示的圆弧上运动），此时测得，与旋转中心夹角． 1．龙舟平面示意图可近似看成是轴对称图形； 2．为保证龙舟能够安全过型直角弯道，龙舟在转弯开始前和转弯结束后都需行驶在河道正中间且与河岸平行； 3．学习小组发现若龙舟能够安全过弯，转弯过程中龙舟中间处边缘与内河道拐点最近距离不少于米（如图3所示）． (1)若该小组经过测量得到河道宽为15米，请求出河道拐点处的距离； (2)假设在龙舟能够安全过弯的情况下，龙舟从竖直河道转到水平河道过程中龙头始终保持速度大小不变，并测得转弯时间为6秒，求龙头转弯过程中的速度大小；（结果用含的代数式表示） (3)在（1）条件下，该河道能够用于比赛的龙舟长度的最大值是多少？ 25．（14分）如图，为的外接圆，点B为的中点，点M为上一点，连接，且，连接交于D点，过M点作的切线交延长线于E点． (1)判断的形状； (2)求证：； (3)已知的半径为，且平分； ①求； ②是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由．（结果用表示） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2025-2026哲理中学九年级下学期第二次月考 数学试题 1．C 2．D 3．C 4. B 5．D 6．D 7．B 8．A 9. A 10．B 解：对于，对称轴为直线， ∵，如图： ∴， 即， ∵， ∴， ∴； ∵，如图： ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 综上：． 11．4 12．/度 13. 14. 95° 15． 16． 解：如图，过A作交的延长线于点H，则； ∵四边形是正方形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 在和中， ， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 即； 在与中， ， ∴， ∴，， ∴； ∵， ∴在中， 由勾股定理得， 即， ∴； 在中，由勾股定理得：， 上两式相加解得：， 即； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴． 故答案为：． 19．解：原式 ． 判断：原式不能等于0． 理由：当时， 此时，分母为零分式无意义． 所以此代数式的值不能为0． 20．（1）证明：∵，交于点，， ∴是的中点， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图，连接， ∵是的中点，是的中点，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴的长是． 21．（1）填表见解析．（2）九（1）班成绩好些；（3）70，160． 【详解】试题分析：（1）分别计算九（2）班的平均分和众数填入表格即可． （2）根据两个班的平均分相等，可以从中位数的角度去分析这两个班级的成绩； （3）分别将两组数据代入题目提供的方差公式进行计算即可． 试题解析：（1）（70+100+100+75+80）=85分， 众数为100分 中位数为：85分； 班级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 九（1） 85 85 85 九（2） 85 80 100 （2）九（1）班成绩好些，因为两个班级的平均数相同，九（1）班的中位数高， 所以在平均数相同的情况下中位数高的九（1）班成绩好些； （3）S12=[（75-85）2+（80-85）2+2×（85-85）2+（100-85）2]=70， S22=[（70-85）2+（100-85）2+（100-85）2+（75-85）2+（80-85）2]=160． 考点：1．方差；2．条形统计图；3．算术平均数；4．中位数；5．众数． 22．（1）解：如图，点为所作； （2）解：交于点，过点作于点，如图， ， ， ， 在中， ， ， ， ， ，， △△， ， 设，则， △△， ，即， 解得， ． 23．（1）解：由题意得：， 所以； （2）解：在抛物线上， ， 在抛物线上， ， ， ， ． ， 当时，h有最大值； （3）解：点在抛物线上，点在抛物线上， ，， 是一个与无关的定值且， ． ， ． 24． （1）解：如图，分别作、，则米， ∵， ∴四边形是矩形， ∴米， ∴米； （2）解：∵转弯时龙头和龙尾在同一圆弧上运动， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴米， ∵龙舟从竖直河道转到水平河道， ∴整个龙舟绕点逆时针旋转， 则转弯过程C点运动路程为米， ∵转弯时间为6秒， ∴转弯过程中的速度为； （3）解：如图，连接交河道边缘于H， 则， ∴， ∴， 即， ∵转弯时龙头和龙尾在同一圆弧上运动， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，米， ∴米， ∵河道宽为15米， ∴米， ∴米， ∴米， ∵龙舟中间最宽处1米， ∴米， ∴米， ∵转弯过程中龙舟中间处边缘与内河道拐点最近距离不少于米， ∴， 解得：， 即龙舟长度的最大值是米． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，等边三角形的判定和性质，弧长公式，解不等式，分母有理化，熟练掌握各知识点是解题的关键． 25．(1)等边三角形 (2)见解析 (3)①见解析；②为定值 【分析】（1）根据圆周角定理即可求解； （2）连接并延长交于N，根据切线的性质及等边三角形的性质即可证明； （3）①连接，由等边三角形的性质及切线的性质易证，利用相似三角形的性质即可求解；②设，则，根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵点B为优弧的中点， ， ， 又， 为等边三角形； （2）证明：连接并延长交于N， 为外接圆， ∴O在的中垂线上， 为等边三角形， ∴B、O、N三点共线，即， ， 又∵与相切 ， ， ， ， ； （3）解：①连接， ∵的半径为， ， 平分， ，且， ， ， ∴，即， ②设， ∴， ∴即， 化简得：，即， ∴为定值． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，切线定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $