精品解析：湖北武汉部分重点中学（六校）2025-2026学年下学期学期期中高一数学试题

湖北武汉部分重点中学（六校）2025-2026学年下学期学期期中高一数学试题 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知一个弹簧振子的运动方程为，则该弹簧振子的振幅、初相分别是（ ） A. 振幅是2，初相是 B. 振幅是4，初相是 C. 振幅是2，初相是 D. 振幅是4，初相是 3. 已知平面向量，，若，则（ ） A. B. C. 6 D. 4. 用斜二测画法得到一个水平放置的四边形的直观图为如图所示的直角梯形，已知，，，四边形的面积为，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5. 把函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变.得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，且，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的图象与轴的交点坐标为，与直线的三个相邻交点的横坐标依次为，，，且，.当时，恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 下列命题中，真命题是（ ） A. 两个共轭复数的差是纯虚数 B. 复数的模是非负实数 C. 若两个复数相等，则这两个复数的模相等 D. 若、，且，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 为平面内一定点，若，则、、三点共线且 B. 在中，若点满足，则为的垂心 C. 在中，若，则为钝角三角形 D. 若，且有两解，则的取值范围是 11. 在武汉，有一座摩天轮被称为“东湖之眼”.该摩天轮向东是磨山和马鞍山森林公园，向西是武汉市城中湖东湖和东湖听涛景区，向南为武汉东湖磨山樱园和武汉大学，向北则是东湖落雁景区.在2025年至2026年的跨年期间，“东湖之眼”参与了武汉市城市地标跨年灯光秀，并举办了新年许愿季等活动.2026年元旦当天，还通过巨幕为游客模拟了“人造太阳”光效.“东湖之眼”摩天轮最低点距离地面5米，最高点离地面55米，摩天轮有28个采用“樱花粉”色系的座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转，转一圈的时间约为，假如你坐上该摩天轮的座舱，开始转动后距离地面高度为，下列说法正确的是（ ） A. 摩天轮的轮盘半径为 B. 关于的函数解析式为 C. 在你乘坐一周的过程中，有时间距地面高度超过 D. 若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔6个座舱，从游客甲坐上摩天轮后开始计时，经过游客乙和游客甲距离地面的高度首次相同 三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的单调递减区间为______. 13. 玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称：如图所示，圆筒内径长3 cm，外径长4 cm，筒高6 cm，中部是棱长为4 cm的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为__________； 14. 已知的外心满足，若，且，则面积的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤. 15. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式以及对称中心； （2）先将函数的图象向右平移个单位，再把得到的曲线上的各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象.求在上的值域. 16. 如图，在直角梯形中，，，，为上靠近的三等分点，交于，为线段上的一个动点. （1）若为中点，分别将和用和表示； （2）求的取值范围. 17. 如图为一个正方体与一个半球构成的组合体，半球的底面圆与正方体的上底面的四边相切，球心与正方形的中心重合，将此组合体重新置于一个球中（球未画出），使正方体的下底面的顶点均落在球的表面上，半球与球内切，设切点为，若球的表面积为. （1）求正方体的棱长； （2）若四棱锥的四条侧棱、、、分别与上底面交于点、、、，求几何体的体积和表面积. 18. 记的内角，，的对边分别为，，，已知点为线段上的一点，为的平分线，. （1）若，， （i）求角的大小： （ii）求的面积： （2）当时，求的最小值. 19. 定义：对于非零向量，若函数，则称为向量的“伴生函数”，向量为函数的“源向量”. （1）若函数为向量的“伴生函数”，求： （2）已知向量为函数的“源向量”，若方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数的取值范围； （3）已知为函数的“源向量”，若在中，角，，所对的边分别为，，，，，点为该的外心，则是否存在最小值，如果有，求出最小值，并求此时的大小；如果没有，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北武汉部分重点中学（六校）2025-2026学年下学期学期期中高一数学试题 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：. 2. 已知一个弹簧振子的运动方程为，则该弹簧振子的振幅、初相分别是（ ） A. 振幅是2，初相是 B. 振幅是4，初相是 C. 振幅是2，初相是 D. 振幅是4，初相是 【答案】C 【解析】 【详解】由题意，振幅是2，初相是. 3. 已知平面向量，，若，则（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以，解得. 4. 用斜二测画法得到一个水平放置的四边形的直观图为如图所示的直角梯形，已知，，，四边形的面积为，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【详解】设直观图中，由题， 直观图是直角梯形，，所以为等腰直角三角形， 故梯形的高，直角梯形面积 ， 又斜二测画法中，原图形面积与直观图面积满足， 已知原图形面积，代入得， 化简得，即， 斜二测画法中，平行于轴的线段长度不变，轴， 故. 5. 把函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变.得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】向左平移​个单位，原函数，左移对加，得  横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得  6. 已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算律和投影向量计算公式即可得到答案. 【详解】由题意得，设两个向量的夹角为， 则， 所以向量在向量方向上的投影向量为. 7. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，且，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，，所以，即，所以，所以，，解得， 因为锐角，，所以，解得，所以，所以 由正弦定理得，所以，所以 8. 已知函数的图象与轴的交点坐标为，与直线的三个相邻交点的横坐标依次为，，，且，.当时，恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为过点，所以​， 又​，得，由题意得，故， 由周期公式，得， 当时，， 故 ， 而恒成立等价于对所有恒成立， 因此，左边，右边， 故得的范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 下列命题中，真命题是（ ） A. 两个共轭复数的差是纯虚数 B. 复数的模是非负实数 C. 若两个复数相等，则这两个复数的模相等 D. 若、，且，则 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A，当互为共轭复数的两个复数分别为1，1时， 它们的差为实数，故A错误； 对于B，对于任意的，则，故B正确； 对于C，当两个复数相等时，这两个复数的模相等，故C正确； 对于D，当时，，而不能比较大小，故D错误. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 为平面内一定点，若，则、、三点共线且 B. 在中，若点满足，则为的垂心 C. 在中，若，则为钝角三角形 D. 若，且有两解，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【详解】选项A ：由，移项得， 即，等价于， 且与共线且有公共点，故三点共线，A正确. 选项B ：由，移项得， 即，故； 同理可得，，满足垂心定义，B正确. 选项C： ，即， 仅能说明为锐角，无法判定为钝角三角形，C错误. 选项D ：已知，，设，. 已知角、其对边及邻边，有两解的充要条件是. 代入数据得，解得，即，D正确. 11. 在武汉，有一座摩天轮被称为“东湖之眼”.该摩天轮向东是磨山和马鞍山森林公园，向西是武汉市城中湖东湖和东湖听涛景区，向南为武汉东湖磨山樱园和武汉大学，向北则是东湖落雁景区.在2025年至2026年的跨年期间，“东湖之眼”参与了武汉市城市地标跨年灯光秀，并举办了新年许愿季等活动.2026年元旦当天，还通过巨幕为游客模拟了“人造太阳”光效.“东湖之眼”摩天轮最低点距离地面5米，最高点离地面55米，摩天轮有28个采用“樱花粉”色系的座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转，转一圈的时间约为，假如你坐上该摩天轮的座舱，开始转动后距离地面高度为，下列说法正确的是（ ） A. 摩天轮的轮盘半径为 B. 关于的函数解析式为 C. 在你乘坐一周的过程中，有时间距地面高度超过 D. 若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔6个座舱，从游客甲坐上摩天轮后开始计时，经过游客乙和游客甲距离地面的高度首次相同 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据摩天轮最低点和最高点离地面距离即可求解判断；对于B，设关于的函数解析式为，根据最高、最低点距离地面高度计算出，根据转一周的时间计算出，再结合初始位置计算出，进而判断即可；对于C，令，解不等式即可求解判断；对于D，分析可得乙和甲距离地面的高度首次相同时，乙与甲所在座舱的圆心角为，进而求解判断即可. 【详解】对于A，由题意，摩天轮最低点距离地面5米，最高点离地面55米， 则摩天轮的轮盘半径为米，故A正确； 对于B，设关于的函数解析式为， 因为摩天轮最低点距离地面5米，最高点离地面55米， 所以，解得， 又摩天轮转一圈的时间约为，则，即， 因为时，，则，即，则， 则关于的函数解析式为，故B错误； 对于C，令，则， 所以，即， 在你乘坐一周的过程中，，则， 因此，有时间距地面高度超过，故C正确； 对于D，由题意，摩天轮有28个座舱，则相邻座舱的圆心角为， 由于乙与甲间隔6个座舱，且乙和甲距离地面的高度首次相同， 此时乙与甲所在座舱的圆心角为，如图， 而摩天轮转一圈的时间约为， 则经过游客乙和游客甲距离地面的高度首次相同，故D正确. 三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的单调递减区间为______. 【答案】 【解析】 【详解】令 ， 解得， 因此原函数的单调递减区间为 13. 玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称：如图所示，圆筒内径长3 cm，外径长4 cm，筒高6 cm，中部是棱长为4 cm的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为__________； 【答案】 【解析】 【分析】根据几何体的特点，结合长方体，圆柱体体积的计算公式，求解即可. 【详解】圆筒体积为底面半径2cm，高度为6cm的圆柱体的体积减去底面半径为cm，高度为6cm的圆柱体的体积， 故其体积； 中间部分的体积为棱长为4 cm的正方体的体积减去底面半径为2cm，高为4 cm的圆柱体的体积， 故其体积； 故玉琮的体积. 14. 已知的外心满足，若，且，则面积的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【详解】设，， 因为为外心，所以，， 所以，即，整理得  代入已知条件得，约去非零得​ 由余弦定理，，代入得 面积，则 又​、 ，所以，当时，取最大值，即 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤. 15. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式以及对称中心； （2）先将函数的图象向右平移个单位，再把得到的曲线上的各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象.求在上的值域. 【答案】（1），对称中心为 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据图象求函数的解析式，再结合余弦函数的性质求解即可； 再根据余弦函数的性质求函数的对称中心. （2）先根据函数图象变换可得函数的解析式，再结合余弦函数的图象求函数的值域. 【小问1详解】 由的图象得，，， ，即，此时， 又，则， 即，又，则，， 令，得， 所以函数的解析式以及对称中心为. 【小问2详解】 函数的图象向右平移个单位，得到， 再把得到的曲线上的各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到， 当时，， 则，所以在上的值域为. 16. 如图，在直角梯形中，，，，为上靠近的三等分点，交于，为线段上的一个动点. （1）若为中点，分别将和用和表示； （2）求的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据平面向量的线性运算可求解，设，可得，再根据三点共线的推论可得，进而求解即可； （2）根据平面向量的数量积运算律可得，进而求解即可. 【小问1详解】 由于为中点，，， 则， ， 设， 因为三点共线，则，即，则. 【小问2详解】 由（1）知，， 设，则，而， 则 ， 函数开口向下，对称轴为，又， 则时，取得最大值， 时，取得最小值， 所以的取值范围为. 17. 如图为一个正方体与一个半球构成的组合体，半球的底面圆与正方体的上底面的四边相切，球心与正方形的中心重合，将此组合体重新置于一个球中（球未画出），使正方体的下底面的顶点均落在球的表面上，半球与球内切，设切点为，若球的表面积为. （1）求正方体的棱长； （2）若四棱锥的四条侧棱、、、分别与上底面交于点、、、，求几何体的体积和表面积. 【答案】（1）； （2）,表面积为. 【解析】 【分析】（1）由题意求得球的半径，设正方体的棱长为，到平面的距离为，则半球的半径为，由和，联立求解即可； （2）根据相似可求得正四棱台的的上底为2，侧棱长为，进而求得斜高为，结合体积各表面积公式求解即可. 【小问1详解】 因为球的表面积为， 设球的半径为， 所以，解得， 设正方体的棱长为， 则半球的半径为， 球心在过正方形中心且垂直于面的直线上， 设到平面的距离为， 则， 又因为半球与球内切， 所以，又因为， 所以，得， 代入， 得， 解得或(舍去)， 所以正方体的棱长为； 【小问2详解】 由（1）可知正方体的棱长为，半球的半径为3，球的半径， 易知几何体为正四棱台， 且， 所以点到平面的距离为， 设正方形的棱长为， 由相似知识可得， 所以， 设正四棱台的体积为， 则 ； 因为， 所以正四棱台的的侧棱， 设正四棱台的的斜高为， 则， 所以正四棱台的的一个侧面面积为， 所以正四棱台的的表面积. 18. 记的内角，，的对边分别为，，，已知点为线段上的一点，为的平分线，. （1）若，， （i）求角的大小： （ii）求的面积： （2）当时，求的最小值. 【答案】（1） （i）（ii） （2） 【解析】 【分析】（1）（i)可利用正弦定理将边转化为角，再结合三角形内角和定理与两角和的正弦公式化简，进而求出角； (ii)先利用余弦定理求出b，再结合三角形面积公式计算面积; （2）可利用角平分线性质和余弦定理建立、的关系式，再结合基本不等式，即可求出的最小值. 【小问1详解】 （i）已知，由正弦定理得 整理得即 左边，因此 因为，，所以，又，故 (ii) 设，在中，已知，，， 由余弦定理得代入得， 整理得，解得​（负根舍去）   【小问2详解】 设，是角平分线，​，代入面积公式： ，代入，得   由余弦定理，​，且， 代入化简得 整理得 ​ 令，，得 由基本不等式， ​，且，代入得  当且仅当​​时等号成立，故的最小值为. 19. 定义：对于非零向量，若函数，则称为向量的“伴生函数”，向量为函数的“源向量”. （1）若函数为向量的“伴生函数”，求： （2）已知向量为函数的“源向量”，若方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数的取值范围； （3）已知为函数的“源向量”，若在中，角，，所对的边分别为，，，，，点为该的外心，则是否存在最小值，如果有，求出最小值，并求此时的大小；如果没有，请说明理由. 【答案】（1）2 （2） （3）存在，最小值为， 【解析】 【分析】（1）根据两角差的正弦公式化简可得，进而根据题设定义可得，进而求解即可； （2）根据题意得到在上有且仅有四个不相等的实数根，设，，分类讨论求得其解析式，画出函数图象，结合图象求解即可； （3）由题意可得，结合求得，再结合正弦定理可得，转化，结合余弦定理及基本不等式求解最值，进而求解即可. 【小问1详解】 由， 因为为向量的“伴生函数”，所以， 则，. 【小问2详解】 因为向量为函数的“源向量”，所以， 则方程在上有且仅有四个不相等的实数根， 所以在上有且仅有四个不相等的实数根， 令，， ①当时，， ②当时，， 所以， 其图象为： 结合，，， 故当在上有且仅有四个不相等的实数根时， k的取值范围为． 【小问3详解】 因为为函数的“源向量”， 所以， 则，即， 因为，所以，则，即， 设的外接圆半径为，根据正弦定理，得，故， 所以， 则 ， 由余弦定理，， 则，即，当且仅当时等号成立， 则， 所以存在最小值，此时， 在中，，， 则， 因为， 所以，则，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $