重庆十一中教育集团2025-2026学年八下半期质量监测数学试题

**基本信息** 重庆十一中八下半期数学试卷以《国家宝藏》标志（文化传承）、驿站送信（古代问题）等为情境，通过因式分解（基础）、函数图像（能力）、“精益数”定义（创新）的梯度设计，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|中心对称、不等式性质、因式分解|结合文化素材考查图形性质，体现数学眼光| |填空题|6/24|多边形外角和、等腰三角形平移、新定义“精益数”|以“精益数”创新定义考查数感，发展创新意识| |解答题|9/86|函数图像绘制、几何变换综合、利润应用|25题几何变换综合题，通过构造全等培养推理能力|

重庆十一中教育集团2025-2026学年八下半期质量监测 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是 A B C D 2. 不等关系在生活中广泛存在．如图，分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是 A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 3．下列因式分解正确的是 A． B． C． D． 4．函数 中自变量x的取值范围是 A． 且 B．且 C． D． 5．下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．如果两个角是直角，那么它们相等 B．若，则 C．两直线平行，内错角相等 D．全等三角形的对应角相等 6．在古代驿站送信问题中，一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定 时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢 小刚： 小强： 马的2倍，求规定时间．根据题意， 小刚和小强分别列出了尚不完整的 方程如图所示．下列说法不正确的是 A．x表示规定时间 B．y表示慢马的速度 C．*表示 D．△表示 7． 黑板上有一个不完整的题目：如图，在中，是的中点．， 垂足分别为，，．数学兴趣小组的两位同学发表了自己的观点． 小明：是等腰三角形．小红：若，则．对于他们两人的观点 A．只有小明对 B．只有小红对 C．两人都对 D．两人都错 8．如图，直线经过点和；直线过点A，则不等式 的解集为 A． B． C． D． 8题图 9题图 7题图 9. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点M，AC的垂直平5题图 分线交BC于点E，交AC于点N，若BD=，EC=，DE =2，则EN的长为 A. B. C. D. 10. 给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第n个数记为（n为正整数）．已知，并规定：，如：，，以下结论中，正确的个数为 ①； ②若，则； ③若，则； ④若的值为整数，则满足条件的整数共有6个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应横线上． 11. 因式分解：=________． 12. 如图，在五边形ABCDE中，，是五边形的外角，则 =__________°. 13. 如图，等腰中，，，将沿其底边中线向下平移，使的对应点满足，则两三角形重叠部分的面积是____．12题图 13题图 14题图 14．如图，在中，，，是上的动点，连接，将沿折叠，得到，且点在直线的下方，与边交于点，继续将向下折叠，使与重合，折痕为（在边上），连接．若是以DE为底边的等腰三角形，则的度数为 ． 15. 若关于的不等式组有且只有4个奇数解，且关于的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数的值的和为 ． 16．对于一个四位正整数，若满足各数位上的数字互不相同，且它的千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，则称这个数为“精益数”，则最大的“精益数”是___________；若“精益数”，规定将的十位数字与百位数字之差记为. 若正整数都是“精益数”，其中（且是整数），当能被3整除时，求满足条件的所有正整数和的和为 ． 三、解答题：（本大题9个小题，其中17，18题每小题8分，其余各题每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17．解不等式组： ；并把解集在数轴上表示出来． 18． 化简求值：. 其中从0，1，2三个数中选择一个合适的 数代入求值. 19．如图所示，在平面直角坐标系内，△ABC三个顶点的坐标分别为A(-3，5)，B(-5，3)，C（-1，1）． （1）在图中，画出△ABC向右平移6个单位得到的△A1B1C1； （2） 在图中，画出以原点O为对称中心，与△A1B1C1 成中心对称图形的△A2B2C2，并 写出点A2，B2，C2 的坐标； （3） 在轴上找一点P，使得PC+PB2最短，请直接写出点P的坐标． 19题图 20. 小张同学在八年级下册学习三角形的过程中，遇到了这样一个问题：如图，在△ABC 中，，请把△ABC分成两个等腰三角形，并说明理由．聪明的小张经过思 考后很快就有了思路：作线段的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质，得到 两条相等线段，从而构造出等腰三角形，使问题得到解决． 请根据小张的思路进行尺规作图并完成下面的填空： 解：作BC的垂直平分线，分别交BC，AC于点D，E，连接BE．（保留作图痕迹） ∵DE垂直平分线段BC， ∴ ① ， ∴△BCE是等腰三角形． ∴∠C= ② ．20题图 ∵∠AEB=∠CBE+∠C， ∴∠AEB=2∠C． ∵∠A=2∠C， ∴ ③ ∴AB=EB， ∴△ABE是等腰三角形． 故△BCE和△ABE是等腰三角形． 21. 【知识回顾】一般地，两数和的完全平方公式为：，如果我们 将写成，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平 方公式．过程如下：． （1） 【类比推理】已知两数的立方和公式为，请类比两数 差的完全平方公式的推理过程，推导两数的立方差公式：___． （2）【应用公式】因式分解：． （3）【拓展提升】如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形，设 ，，．若，则： ①________． ②若该直角三角形的两条边长分别为和，且 ，请先将代数式进行因式 分解，然后求出代数式的值． 22. 五一小长假即将来临，某商场为迎接即将到来的销售旺季，准备购进甲、乙两种商品 进行销售. 若每个乙商品的进价比每个甲商品的进价贵10元，且用900元购进甲商 品的数量是用500元购进乙商品的数量的2倍． （1）求甲、乙两种商品每个的进价分别是多少元？ （2）若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还多5个，且乙商品的数量不超过30个，甲商品的售价定为每个130元，乙商品的售价定为每个150元. 若购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过5000元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种进货方案？ 23． 如图1，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°， AB＝3，AC＝4，动点P从A出发，沿着 折线A→B→C运动，速度为每秒1个单位长度，到达C点停止运动，设P点的运动 时间为秒（），△ACP 的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，如图2，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出△ACP的面积为3时的值．（结果保留一位小数，误差不超过0.2）23题图1 23题图2 24．如图在平面直角坐标系中，直线过点A（4，0），B（0，2）． （1）求直线表达式. （2）在图1中，以AB为腰在第一象限作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°．线段EF在轴上移动（E在F左侧），EF=2，当FC+EB最小时，求E点坐标和FC+EB的最小值． （3）在（2）的条件下，如图2，点P坐标（0，4），点M是线段BC中垂线上一动点，过点C作轴垂线，点Q是此垂线上的一个动点，若△MPQ是以点M为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点Q的坐标． 24题图2 24题图1 25．如图，等腰△ABC，AB=AC，点D为BC上一点，连接AD. （1）如图1，∠BAC＝60°，以AD为边在其左侧作等边△ADE，连接BE ， BE＝2BD＝2，求AB的长. （2） 如图2，∠BAC＝90°， 以AD为底边在其左侧作等腰直角△ADE，连接BE ， 求证：. （3） 如图3，∠BAC＝120°， E为BC中点，将AD绕点A其逆时针旋转60°得到线段 ，连接，直线与直线AB交于点F，当的长最小时，直接写出 的值. 25题图2 25题图1 25题图3 重庆十一中教育集团初2024级八下半期质量监测 数学试题答案 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D A C D C B B B 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11. ； 12. 270 ； 13. ；14. ；15. 2 ； 16. 9876 ， 14004 ； 三、解答题：（本大题9个小题，其中17，18题每小题8分，其余各题每小题10分， 共86分） 17． 解：解不等式①，得 . 2分 解不等式②，得 . 4分 在同一条数轴上表示以上两个不等式的解集，如图 ………………………………………………6分 所以，原不等式组的解集为. 8分 18．解： 原式 2分 4分 6分 ∵ ∴当时， 原式 8分 19. 解：（1）如答图△A1B1C1； 3分 （2）如答图△A2B2C2， A2(-3，-5)，B2(-1，-3)，C2(-5，-1)； 8分 （3）P(0，)． 10分19题答图 20题答图 20．解：（1）如图所示；……………………… 4分 （2） ①BE=CE；…………………… 6分 ②∠CBE； ………………… 8分 ③∠A=∠AEB； ………………10 分 21. 解：（1）∵， ∴ ； （2） ； （3）①图2是由图1这样八个形状、大小完全相同的直角三角形拼接而成， 由图形2可知，，， ∵， ， ； ② ， ∵，， ∴， ∴， ∴原式． 22．解：（1）设甲商品进价为每个元，则乙商品进价为每个元， 则，………………………………………………………… 2分 解得， …………………………………………………………… 3分 经检验，是原方程的解，…………………………………………4分 乙商品进价： 答：甲商品进价为每个90元，乙商品进价为每个100元． …………5分 （2）设购进乙商品个，则购进甲商品个 得 ……………7分 解得，其中为正整数， …………………………………8分 或30，………………………………………………………………9分 则或95，………………………………………………………10分 答：商场有两种方案，方案①：购进甲商品92个，乙商品29个； 方案②：购进甲商品95个，乙商品30个． 23. 解：（1）； 4分 （2）函数图象如图所示. 6分 当时，△ACP的面积取得最大值，最大值是6；或 当时，△ACP的面积随P点运动的时间增大而增大， 当时，△ACP的面积随P点运动的时间增大而减小. 8分 （3）当△ADP的面积等于3时，点P移动的时间为1.5或5.5秒． 10分 24．解：（1）设直线表达式为, 将点A（4，0），B（0，2）带入表达式得： ∴直线表达式为 2分 （2）如图1，过点C作CD⊥x轴于D， ∴∠ADC＝∠BOA＝90°，24题答图1 ∴∠CAD+∠ACD＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠CAD+∠BAO＝90°， ∴∠CAD＝∠ABO， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AC＝AB， 在△ADC和△BOA中， ， ∴△ADC≌△BOA（AAS）， ∴CD＝OA＝4，AD＝OB＝2， ∴OD＝OA+AD＝6， ∴C（6，4）； 4分 存在点E，使得FC+EB的值最小．如图2将点B交沿x轴向右平移2个单位长度得到B´，过点B´作B´关于x轴的对称点B´´，连接CB´´，与x轴的交点即为点F24题答图2 此时B´´C的长即为FC+EB的最小值， 设直线CB的解析式为y＝ax+c， ∵B（0，2）， ∴B´（2，2），B´´（2，-2） ∵C（6，4）， ∴， ∴直线B´´C的解析式为 当y＝0时，=0，解得： ∴E（ ，0），FC+EB的最小值为B´´C=； 6分 （3）如图3，过点M作MF⊥y轴于F，延长FM交CQ于G， 由（2）问知直线BC的解析式为 直线BC的中垂线解析式为 由（2）问知C（6，4） ∵点P坐标（0，4），点B坐标（8，0）， ∵点D在直线y＝﹣2x+2上，24题答图3 ∴设点M（m，﹣3m+12）， ∴F（0，﹣3m+12），PF＝|4-(-3m+12)|＝|3m-8|， ∵CQ⊥x轴，C（6，4）， ∴G（6，﹣3m+12）， 同（1）的方法得，△PFM≌△MGQ（AAS）， ∴PF＝MG，MF＝QG， ∵MF+MG＝PF+QG＝6， ∴m+|3m-8|＝6， ∴m＝3.5 或m＝1， 当m＝3.5时，G（6，1.5），QG＝MF=3.5，故Q（6，5）, 当m＝1时， G（6，9），QG＝MF=1，故Q（6，8）, 综上，Q点坐标为（6，5）或（6，8）. 10分 25．解：（1）∵ ∠BAC=∠DAE=60°， ∴ ∠BAC-∠BAD=∠DAE-∠BAD 即 ∠EAB=∠CAD. 在△ABE和△DAC中， ∵ ∴ △ABE≌△DAC (SAS). ∴ BE=CD. ∵ BE=2BD=2， ∴ CD=2,BD=1. ∴ AB=BC=CD+BD=2+1=3. 3分 (2)延长DE到F,使得EF=DE,连接AF,BF, ∵△ADE是等腰直角三角形， ∴AE=DE=EF,∠AED=90°， ∴AD= AF,∠DAF=90° ∵∠BAC=∠DAF=90°, ∴∠BAC-∠BAD=∠DAF-∠BAD25题答图1 即∠CAD=∠BAF, 在△ACD和△ABF中， ∴△ACD≌△ABF (SAS), ∴∠C=∠ABF, ∵AB=AC,∠BAC=∠DAF=90° ∴∠C=∠ABC=45°， ∴∠ABF=∠ABC=45°，即∠FBC=90°， ∵EF=DE,∠FBC=90° ∴ ∵ ∴ 7分 (3) 10分 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $