10.3 实际问题与二元一次方程组（讲练）-2025-2026学年七年级下册数学同步讲练+课时分层检测（人教版2024）

**基本信息** 以“基础巩固-题型专项-综合应用”三层递进设计，覆盖15类实际问题情境，通过典例变式与跨情境综合题，深化二元一次方程组建模能力，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固层|列方程组步骤及简单应用|结合景区门票、奖品购买等真实情境，培养模型意识| |题型专项层|古代问题、工程、行程等15类情境|典例示范+变式训练，强化问题转化与推理能力| |综合应用层|多知识点交叉的复杂问题|含几何图形、阶梯计费等综合题，提升抽象能力与应用意识|

10.3 实际问题与二元一次方程组 内容导航 知识点一 列二元一次方组解应用题 1 题型1根据题意列方程组 3 题型2 古代问题 4 题型3 工程问题 5 题型4 行程问题 5 题型5 数字问题 7 题型6 和差倍分问题 8 题型7 销售利润问题 9 题型8 年龄问题 10 题型9 分配问题 11 题型10 方案问题 12 题型11 图表信息题 13 题型12 几何图形问题 15 题型13 阶梯计费问题 16 题型14 积分问题 18 题型15 其他问题 19 综合练习 21 知识点一 列二元一次方组解应用题 1.建立二元一次方程组模型 列二元一次方程组解应用题的一般步骤 审 认真审题，分清题中的已知量、未知量，并明确 它们之间的相等关系； 设 恰当地设未知数; 列 依据题中的相等关系列出方程组； 解 解方程组，求出未知数的值； 验 检验所求得的未知数的值是否符合题意和实际意义; 答 写出答案 列二元一次方程组解应用题的常见类型 和差倍分问题 增长量＝原有量×增长率 较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量 产品配套问题 解这类问题的基本等量关系是：加工总量成比例 工程问题 工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 利润问题 商品利润＝商品售价－商品进价， 行程问题 速度×时间=路程. 顺水速度=静水速度+水流速度. 逆水速度=静水速度-水流速度. 数字问题 一般不直接设这个数，而是设这个数的数位上的数字，再根据数的表示方法表示出这个数. 方案问题 在解决问题时，常常需合理安排．需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案． 【基础练习1】（2026·四川广元·一模）剑门关是剑门蜀道核心区域，兼具自然天险与厚重人文，为国家5A级景区．已知剑门关门票单价旺季比淡季贵20元，旺季4张门票的总价和淡季5张门票的总价相同．设旺季门票的单价为元/张，淡季门票的单价为元/张，则，满足的方程组是（  ） A． B． C． D． 【基础练习2】（24-25七年级下·山东淄博·开学考试）某学校举行“疫情防控”宣传活动，故购买、两种奖品以鼓励积极参与的学生．经市场调查发现，若购买种件、种件，共需元；若购买种件、种件，共需元． (1) 、两种奖品每件各多少元？ (2)学校决定购买种奖品件、种奖品件，那么总费用是多少元？ 【基础练习3】（25-26八年级上·四川雅安·期末）某农场现有一批苹果要运往当地水果市场，农场准备租用汽车公司的甲乙两种货车，已知以往租用这两种货车的记录情况如表： 甲种货车（辆） 乙种货车（辆） 总量（吨） 第1次 3 2 13 第2次 4 5 22 (1)甲、乙两种货车每辆可装多少吨苹果？ (2)若农场共有18吨苹果，计划租用该公司的两种货车（两种车都租用，且每辆车都满载）正好把这批水果运完，则汽车公司有哪几种方案？ 设未知数的几种常见方法： 1.直接设未知数：即题目里要求的未知量是什么，就把它设为方程的未知数，并且求几个设几个， 2.间接设未知数：即设的不是所求量.有些应用题，若直接设未知数，则所列的方程比较复杂，若间接设未知数，则能列出既简单又易解的方程. 3.设辅助未知数：有些应用题不仅要直接设未知数，而且要增设辅助未知数，但这些辅助未知数本身并不需要求出，它们的作用只是帮助列方程，同时为了求出真正的未知数. 题型1根据题意列方程组 【典例】（2025七年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）某课外活动小组的学生准备分组外出活动，若每组7人，则余下3人；若每组8人，则少5人．设应分成的组数组，课外活动小组的人数为人，根据题意得，方程组为（   ） A． B． C． D． 【变式练习1】（2025·辽宁辽阳·一模）学校为了培养学生的阅读习惯，计划购买一批图书．已知购买50本文学书和80本科普书需要4800元，购买60本文学书和100本科普书需要5920元．设每本文学书元，每本科普书元，根据题意，可列二元一次方程组为___________． 【变式练习2】（25-26八年级上·山西晋中·期末）小明作业本中有一道未写完的题目如下：李叔叔在某商场看中的一台电视机和一台空调，在“元旦”前购买需花费5500元，由于该商场开展“元旦”促销活动，同样的电视机打8折销售，，于是李叔叔在促销期间购买了同样的电视机一台，空调两台，共花费7200元，则“元旦”前同样的电视机和空调每台分别为多少元？ 解：设“元旦”前同样的电视机每台元，空调每台元， 根据题意，得 该题中的一个条件和方程①不小心被污染了，已知小明所列的方程组是正确的，则方程①是__________． 方法技巧：找相等关系的基本方法 (1)抓住题目中的关键词，常见的关键词有“比”“是”“等于”等; (2)根据常见的数量关系，如路程与时间、速度的关系，基本图形的计算公式（如体积公式、面积公式 等)销售问题中的数量关系等； (3)挖掘题目中的隐含条件; (4)借助列表格、画线段示意图等方法找相等关系. 题型2 古代问题 【典例】（25-26七年级上·陕西西安·期末）古文：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出八，盈十八．问：人数、羊价各几何？ 题目大意：几个人合伙买羊，若每人出5钱，则差45钱；若每人出8钱，则多18钱．合伙人数、羊价各是多少？（请列方程求解） 【变式练习1】（2026·贵州遵义·一模）我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，则木长为______尺． 【变式练习2】（25-26八年级上·山西晋中·期末）利用二元一次方程组解决问题 《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中有这样一道题：“今有醇酒一斗，值钱五十；行酒一斗，值钱一十．今将钱三十，得酒二斗，问醇、行酒各得几何？”译文：今有醇酒（优质酒）1斗，价格50钱；行酒（勾兑酒）1斗，价格10钱．现有30钱，买2斗酒，问能买醇酒、行酒各多少斗？ 题型3 工程问题 【典例】（24-25七年级上·湖南张家界·期末）甲乙加工一批零件共350个，甲先单独做8小时，然后又与乙一起加工5小时完成任务．已知乙每小时比甲少加工2个零件．问甲、乙两人每小时各加工多少个零件？ 【变式练习1】（2025七年级上·广东湛江·专题练习）甲乙两个工程队分别负责两项工作量相同的工程．晴天，甲完成工程要天，乙完成工程要天；雨天，甲和乙的工作效率分别是晴天时的和．实际情况是两队同时开工、同时完工，在施工期间，下雨天的天数与晴天的天数之比是_____．下雨天的天数是_____． 【变式练习2】（25-26八年级上·四川成都·月考）修建某一建筑时，若请甲、乙两个工程队同时施工，8天可以完成，需付两队费用共3520元；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天可以完成，需付两队费用共3480元，问： (1)甲、乙两队每天费用各为多少？ (2)若单独请某队完成工程，则单独请哪队施工费用较少？ 解决工作量问题的方法 工作量问题的基本关系：工作量=工作时间×工作效率.有时需把总工作量看做整体1（在后面学习的分式方程中体现较多）. 题型4 行程问题 【典例】（24-25七年级下·辽宁鞍山·月考）如图，某型号的动车由一节车头和若干节车厢组成，每节车厢的长度都相等．已知该型号的动车挂节车厢以的速度通过某观测点用时，挂节车厢以的速度通过该观测点用时，求车头及每节车厢的长度． 【变式练习1】（25-26七年级上·湖南娄底·期末）一艘轮船往返于、两港之间.顺水航行的速度是，逆水航行的速度是，则轮船在静水中的速度和水流速度分别是（    ） A． B． C． D． 【变式练习2】（25-26七年级上·湖南怀化·期末）某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走3步，接着B型机器人走4步，共需要秒；A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要秒． (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 常见的行程问题可分为两大类型：相遇问题和追及问题， （1)相遇问题：相等关系是双方走的路程和等于两地之间的距离． （2)追及问题：①双方同地不同时出发，同向而行，直到后者追上前者，其相等关系是：双方所走的路程相等（双方所用的时间不同）.②双方同时不同地出发，同向而行，直到后者追上前者，其相等关系是：双方所走的路程之差等于两地之间的距离（双方所用的时间相同）.③双方不同时不同地出发，同向而行，直到后者追上前者，其相等关系是：双方所走的路程之差等于两地之间的距离（双方所用的时间不同). 题型5 数字问题 【典例】（24-25七年级下·全国·课后作业）一个两位数比它个位上的数字与十位上的数字之和的5倍大2．若将它个位上的数字与十位上的数字互换位置，则新得到的数比原来的数大9．求这个两位数． 【变式练习1】（25-26七年级下·山东聊城·月考）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，一行的三个数，列的三个数，斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为________． 【变式练习2】（24-25八年级上·山东枣庄·月考）小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每过一段时间看到的里程碑上的数（单位：公里）如下： 时刻 里程碑上的数 是一个两位数，它的个位数字比十位数字的倍大 也是一个两位数，十位与个位数字与时所看到的正好互换了 是一个三位数，比时看到的两位数的数字中间多了个 如果设小明时看到的两位数的十位数字为，个位数字为．那么： (1)小明时看到的两位数为 ； (2)小明时看到的两位数为 ；时看到的三位数为 ； (3)请你列二元一次方程，求小明在时看到里程碑上的两位数． 方法技巧：多位数的表示方法 一个两位数，当十位上的数字为，个位上的数字为时，这个两位数就可表示为10+；类似地，当一个三位数百位上的数字为，十位上的数字为，个位上的数字为时，这个三位数就可表示为10+ +。 题型6 和差倍分问题 【典例】（2025·吉林长春·三模）2022年第19届亚运会即将在我国杭州举行．如图是杭州市桐庐县瑶琳镇林场区块，从高处俯瞰，有一处白绿相间的“马”字形建筑分外引人注目，这里就是杭州亚运会马术项目比赛场馆桐庐马术中心，其总建筑面积约为5.4万平方米，包括各种功能区．其中主赛场和室内训练场总共占17000平方米，主赛场面积开阔，是室内训练场的2倍还多2000平方米．问主赛场的面积和室内训练场的面积各多少平方米？ 【变式练习1】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在东北大秧歌的踩高跷表演中，已知演员身高是高跷长度的2倍，高跷与腿重合部分的长度为，演员踩在高跷上时，头顶距离地面的高度为，设演员的身高为，高跷的长度为，则的值是_______． 【变式练习2】（2026七年级下·全国·专题练习）七年级（2）班选出部分同学参加夏令营，分成红、蓝两队，红队戴红帽子，蓝队戴蓝帽子．一个红队队员说：“我看见红队人数与蓝队人数相等．”一个蓝队队员说：“我看见红队人数是蓝队人数的2倍．”求红队人数和蓝队人数． 题型7 销售利润问题 【典例】（2026·安徽合肥·一模）在万物皆可沉浸的时代，智慧旅游燃起了前所未有的热度．某景区借助和技术，开发了“红楼梦戏剧幻城”和“驾驶冲上云霄”两个项目．两个项目每次体验成本和收益如下表：已知某天这两个项目共体验140次，成本为4240元，则这天两个项目收益共多少元？ 体验项目 成本（元/次） 收益（元/次） 红楼梦戏剧幻城 35 25 驾驶冲上云霄 24 20 【变式练习1】（25-26八年级上·全国·课后作业）某小麦种植基地去年结余了万元，估计今年可结余万元．若今年的收入将比去年高，支出将比去年低，则该小麦种植基地去年的收入为_______万元，去年的支出为_______万元． 【变式练习2】（24-25七年级上·河南平顶山·期末）某商店销售A，B两种品牌的毛绒玩具，已知两种型号毛绒玩具单个成本价和为25元，且3个A型号毛绒玩具的成本价等于2个B型号毛绒玩具成本价． (1)求A，B两种型号的毛绒玩具成本价分别为多少元？ (2)将A，B两种型号毛绒玩具按成本价均提高后标价出售． ①A型号毛绒玩具的标价为________元，B型号毛绒玩具的标价为________元； ②若商店分别购进两种毛绒玩具各10个，A型号毛绒玩具按标价出售，B型号毛绒玩具打折销售，要保证售完所有毛绒玩具后利润率达到，求B型号毛绒玩具打几折？（提示：利润率） 易错警示：相等关系中的单位未统一就列方程而出错 在列方程组解决实际问题时，往往由于疏忽，忘记统一单位，必须先把单位统一后，再列方程组，否则会出现错误。 题型8 年龄问题 【典例】（23-24七年级下·全国·课后作业）今年父亲的年龄是玲玲的倍，年后父亲的年龄是玲玲的倍，今年父亲、玲玲的年龄各是多少岁？ 【变式练习1】（23-24八年级上·山东青岛·月考）年前母亲的年龄是女儿年龄的倍，年后，母亲的年龄比女儿年龄的倍多岁．那么现在这对母女的年龄和是（    ） A． B． C． D． 【变式练习2】（24-25七年级下·云南·期中）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中毕业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 题型9 分配问题 【典例】（25-26七年级下·全国·课后作业）某车间有工人660名，生产甲、乙两种零件．已知每人每天平均生产甲种零件14个或乙种零件20个，1个甲种零件与2个乙种零件为一套．如何调配人员可使每天生产的两种零件刚好配套？ 【变式练习1】（2025七年级下·全国·专题练习）某工厂有名工人，每个工人每天能加工6个型零件或者3个型零件，其中某产品每套由4个型零件和3个型零件配套组成，现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套，现50天恰好完成1200套产品的生产任务，则的值为______． 【变式练习2】（24-25八年级上·全国·课后作业）某工厂加工螺栓、螺母，已知每块金属原料可以加工成3个螺栓或4个螺母（每块金属原料无法同时既加工螺栓又加工螺母），已知1个螺栓和2个螺母组成一个零件．若把26块相同的金属原料全部加工完，则加工的螺栓和螺母是否存在恰好配套？若存在恰好配套，请求出加工螺栓和螺母各需要的金属原料的块数；若不存在恰好配套，请说明理由． 题型10 方案问题 【典例】（25-26七年级下·浙江·期中）【背景素材】 七年级某班为校运动会采购饮品，计划在超市购买甲、乙两种品牌的运动饮料．若购买10瓶甲品牌饮料、15瓶乙品牌饮料，共需花费180元；若购买15瓶甲品牌饮料、10瓶乙品牌饮料，共需花费170元． 【问题解决】为合理制定采购方案，分步探究如下： (1)求甲、乙两种品牌运动饮料的销售单价各是多少元？ (2)班级采购预算为120元，需同时购买甲、乙两种品牌的饮料，且预算恰好全部用完，请问共有哪几种符合条件的购买方案． 【变式练习1】（2026·四川宜宾·一模）某班准备购买篮球和足球作为期末奖品.据了解，8个篮球和10个足球的进价共计2000元；10个篮球和20个足球的进价共计3100元.该班恰好用4500元购进篮球和足球（两种均购买），该班共有（   ）种采购方案 A．2 B．3 C．4 D．5 【变式练习2】（24-25七年级下·陕西渭南·期中）大荔西瓜生产区域位于关中平原东部，北依镰山，南傍渭水，黄河临东，洛水贯中，是我国唯一具备西瓜生产七项指标的地区，现欲将一批西瓜运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满西瓜一次可运走10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满西瓜一次可运走11吨，现有西瓜30吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满西瓜． (1)1辆A型车和1辆B型车都载满西瓜一次可分别运送多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案． 题型11 图表信息题 【典例】（25-26七年级上·四川绵阳·期末）某校七（1）班40名同学为“山区希望工程”捐款，共捐款500元．捐款情况如表： 捐款（元） 5 10 15 20 人数 6 7 表格中捐款10元和15元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，本着负责的态度，班里小王同学利用学过的数学知识求出被墨水污染的数据，你知道他是怎么做的呢？请你写出解答过程． 【变式练习1】（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，根据图中提供的信息，可知一个杯子的价格是（    ） A．36元 B．32元 C．4元 D．8元 【变式练习2】（24-25七年级下·浙江温州·月考） 制作更多的罐头 素材一 原材料是边长为8分米的正方形铝皮 素材二 通过两种方式裁剪，制作如图所示的罐头（罐头封扣处损耗忽略不计）    圆形材料 长方形材料 裁法一 裁法二 合计 任务一 （1）填空：现在有21张铝皮，若使用裁法一剪裁的有x张，裁法二剪裁的y张，请根据素材，完成表格； 任务二 （2）结合任务一，将裁剪出的圆形和长方形材料用于制作铝制罐头（上下盖均为圆形，侧面为长方形）且裁剪出的材料恰好用完，则最多可以做多少个罐头？ 任务三 （3）若在2024年年终盘点库存时，发现库存中还剩长方形材料40张，在新的一年，对原材料购买时，至少应该买_____张正方形铝皮，才能将库存一次性用完．（直接写出答案） 方法技巧：图表信息题的解法 解答图表信息题的一般步骤：首先根据图表提供的信息，找出其中存在的等量关系，然后设未知数，列出方程组，再求解。 题型12 几何图形问题 【典例】（24-25七年级下·吉林长春·月考）如图，用8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，已知大的长方形的周长为，求小长方形的长和宽？ 【变式练习1】（25-26七年级上·山东青岛·开学考试）如果，长方形中有个形状、大小相同的小长方形，且，，则图中阴影部分的面积为________． 【变式练习2】（25-26七年级下·福建福州·期中）数学实践：探究用标准卡纸制作礼盒个数最多． 素材1：如图1，每张标准卡纸可以剪裁成张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形． 素材2：如图2，可以用小长方形和小正方形制作竖式叠盖和横式叠盖纸盒，如图3是竖式叠盖和横式叠盖纸盒的平面展开图． 素材3：数学实践小组一共有张标准卡纸通过剪裁一共得到张小长方形和张小正方形，做成个竖式叠盖纸盒和个横式叠盖纸盒，恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完． (1)【任务1】若，求，，的值； (2)【任务2】求的最大值． 题型13 阶梯计费问题 【典例】（24-25七年级下·山东泰安·期中）水是万物生命之源，但随着人口急剧增长，水资源透支令人担忧，节约用水迫在眉睫．某城市为了避免居民用水浪费现象，制定了居民每月每户用水标准，收费为正常标准，如果超标用水，超过部分加价收费，下表是小明家2025年两个月的收费表： 时间项目 用水量 费用（元） 1月 11 28 2月 15 44 (1)请问该城市居民标准内用水及超标部分用水的价格各是多少元？ (2)小明家三月份用水量是，他有50元钱，请问他的钱够交水费吗？如果不够，还差多少？ 【变式练习1】（24-25八年级上·重庆南岸·期末）重庆某快递公司规定：寄件不超过的部分按起步价计费，超过不足，按照收费；超过不足按照收费，以此类推．某产家分别寄快递到重庆市内和北京，其中，寄往重庆市内的起步价为元，超过部分元/；寄往北京的起步价为元，超过部分元/．已知一个寄往重庆市内的快件，质量为，收费13元；一个寄往北京的快件，质量为，收费42元．如果一个寄往北京的快件，质量为，应收费______元． 【变式练习2】（24-25八年级上·广东深圳·期末）综合与实践 【背景】住深圳的小颖想给亲朋好友寄送深圳特产． 【素材】 素材1：她了解到某快递公司的收费 标准（单位：元/千克）如下表： 计费单位 收费标准 广东省内 江浙沪地区 首重 续重 素材2： 电子存单1 电子存单2 托寄物：深圳特产 目的地：广州 计量重量：2千克 件数：1 总费用：12元 托寄物：深圳特产 目的地：上海 计量重量：5千克 件数：1 总费用：36元 素材3：收费说明： ①每件快递按送达地分别计算运费； ②运费计算方式：首重价格续重续重运费．首重均为1千克，超过1千克，即要续重，续重以1千克为计重单位（不足1千克按1千克计算）． 【问题解决】 (1)任务1：根据以上信息，求出； (2)任务2：小颖给在汕头的表哥寄出了2.8千克的深圳特产，她需要支付快递费多少元？ (3)任务3：小颖给在杭州的大姨寄特产快递费花了66元，求这份特产重量的取值范围． 题型14 积分问题 【典例】（2024·河北廊坊·二模）篮球赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜场得分，负场得分．小组积分赛中，每个队伍要进行场比赛． (1)队胜了场，那么他们负了 场，积分是 分． (2)队总积分为分，那么队胜负场数分别是多少？ 【变式练习1】（24-25七年级下·湖北孝感·期末）小明、小华和小红三人玩飞镖游戏，各投5支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，中靶和得分情况如图，则小红的得分是______分． 【变式练习2】（25-26七年级上·江苏淮安·月考）为迎接新年，淮安市文通中学举办了迎新年猜灯谜活动．共设20道谜题，各题分值相同，李华和张飞报名参加了活动，对每个谜题都进行了作答，下表记录了他们的得分情况． 参加者 答对题数 答错题数 得分 李华 20 0 100 张飞 14 6 64 (1)请你根据表格数据求出答对一道题得几分，答错一道题扣几分？ (2)参加活动的刘羽同学说他得了76分，请问他答对了几道题？答错了几道题？ (3)晓飞同学说他可以得79分，你认为可能吗？请说明理由． 题型15 其他问题 【典例】（2025年安徽省芜湖市无为市部分学校九年级二模联考数学试题）某景区2023年接待游客总数为480万人次，2024年游客总数增长，省内与省外游客分别按和的比例增长，求2023年的省内、省外游客各为多少万人？ 【变式练习1】（湖北省襄阳市樊城区襄阳实验中学2025-2026学年小升初择校考试数学试题）一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内，如果人淘水，3小时淘完；如果5人淘水8小时淘完．如果要求2小时淘完，要安排______人淘水． 【变式练习2】（2026·广西钦州·一模）2025年5月20日是第36个中国学生营养日，主题为“吃动平衡  身心健康”，核心倡导“加奶、增豆、少油”．初中生小宇的妈妈为他准备了两款营养食品：A款：高钙牛奶；B款：豆谷营养包．每一份的营养成分如下表所示：某天，小宇从这两种食品中恰好摄入了能量和蛋白质． 营养成分 1份A款高钙牛奶 1份B款豆谷营养包 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钙 (1)小宇这天食用了A款高钙牛奶和B款豆谷营养包各多少份？ (2)初中生每日脂肪摄入量的标准为．若小宇这天已经从其他食品中摄入了脂肪，在他吃完这两款食品后，脂肪摄入量是否超标？请说明理由． 综合练习 一、选择题 1．（24-25七年级下·山东聊城·期中）将一摞笔记本分给若干同学，每个同学分5本，则剩下8本；每个同学分8本，又差了7本.设有个同学，本笔记本．根据题意列方程组为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·四川成都·月考）在我国古典数学著作《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”翻译成现代汉语就是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木多少尺？如果设长木长x尺、绳长y尺，则可以列出方程组（    ） A． B． C． D． 3．（24-25六年级下·全国·课后作业）甲、乙两个工人按计划一个月应生产680个零件，结果甲超额完成计划的20%，乙超额完成计划的15%，两人一共多生产118个零件，则原计划甲、乙各生产零件数为（    ） A．320，360 B．360，320 C．300，380 D．380，380 4．（24-25七年级下·甘肃武威·月考）某船顺流航行用了，逆流航行，用了，则水流速度为 ，船在静水中的速度为 A．2，10 B．2，15 C．10，2 D．15，2 5．（23-24七年级下·河北唐山·期中）一个两位数，十位上的数与个位上的数之和是8，个位数字与十位数字交换后所得新数比原数大18，求这个两位数．若设十位数字为，个位数字为，则下列说法正确的是（   ） A．根据题意，列方程组得 B．根据题意，列方程组得 C．这个两位数是26 D．这个两位数是62 6．（2025·贵州遵义·一模）703班有男女同学若干人，女同学因故走了8名，这时男女同学之比为5：2，后来男同学又走了12名，这时男女同学人数相同，那么最初的女同学有（   ） A．15名 B．16名 C．17名 D．18名 7．（2026·安徽阜阳·一模）第十二届世界运动会于年月日至日在四川成都举行，某经销店调查发现：吉祥物“蜀宝”和“锦仔”深受青少年喜爱．已知购进3个“蜀宝”比购进个“锦仔”多用元；购进个“蜀宝”和个“锦仔”共用元．该商店决定购进“蜀宝”和“锦仔”各个，其总费用为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 8．（2026七年级下·全国·专题练习）爸爸今年34岁，子女两人的年龄和是16岁，两年后，妹妹年龄的3倍与哥哥的年龄相加恰好等于爸爸的年龄．哥哥和妹妹今年的年龄分别是（   ） A．9岁、7岁 B．10岁、6岁 C．12岁、4岁 D．12岁、6岁 9．（23-24七年级上·四川绵阳·期末）某工厂有名工人，每个工人每天能加工6个型零件或者3个型零件，其中某产品每套由4个型零件和3个型零件配套组成，现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套，现50天恰好完成1200套产品的生产任务，则的值为（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 10．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）某班有15名女同学参加夏令营活动，住宿时有2人间和3人间可供租住，每个房间都要住满，她们有几种租住方案（   ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 11．（24-25七年级下·河北邢台·期末）如图，两架天平均保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是（    ）    A． B． C． D． 12．（贵州省遵义市2025年初中生数学学科八年级竞赛试卷）如图，将8块相同长方形木板拼成一个长方形，则每块木板的长和宽分别是（   ） A．， B．， C．， D．， E．， 13．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）某城市规定：出租车起步价所包含的路程为0-3km，超过3km的部分按每千米另收费，甲说：“我乘这种出租车走了11km，付了17元．”乙说：“我乘这种出租车走了23km，付了35元．”请你算一算：出租车的起步价是多少元？（　　） A．8元 B．5元 C．6元 D．7元 14．（24-25七年级下·河南鹤壁·期末）某市举行中学生足球比赛，每队胜一场得3分，负一场得1分，本次足球比赛没有平局，下表是市实验学校比赛信息（不完整），则该校获胜的场数为（　　） 胜 负 合计 场数 y 积分 A．6场 B．7场 C．8场 D．9场 15．（23-24七年级下·浙江·期中）假设同种类每枚硬币的质量相同，仅用一架天平和五个10克的砝码作为工具，小明作了以下记录： 记录 天平左边 天平右边 状态 记录一 5枚壹元硬币和1个10克的砝码 10枚伍角硬币 平衡 记录二 15枚壹元硬币 20枚伍角硬币和1个10克的砝码 平衡 记录三 一袋硬币（袋子重量忽略不计） 5个10克的砝码 平衡 记录三的袋子中装了一定数量的壹元硬币和伍角硬币，那袋子中最多有壹元硬币（　　）枚 A．6 B．7 C．8 D．11 二、填空题 16．（2026·山西·一模）为响应“数字校园”建设，某校采购一批智能答题器和错题打印机，用于课堂教学，已知采购2台智能答题器和3台错题打印机共花费1480元，采购4台智能答题器和1台错题打印机共花费1840元．若设1台智能答题器的价格为元，1台错题打印机的价格为元，则可列方程组为________． 17．（2025八年级·山东·竞赛）甲加工一种零件，乙加工另一种零件．甲用型机器需要6小时才能完成任务，用型机器效率降低；乙用型机器需要10小时才能完成任务，用型机器效率提高．如果甲用型机器，乙用型机器同时开始工作，中途某一时刻交换使用机器，甲和乙同时完成任务．则甲完成任务所用的时间是__________小时． 18．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）学校组织学生乘汽车去自然保护区野营，前路段为平路，其余路段为坡路．已知汽车在平路上行驶的速度为，在坡路上行驶的速度为．汽车从学校到自然保护区一共行驶了，则汽车在坡路上行驶了______ h． 19．（山东省潍坊市2025—2026学年下学期期中学业质量监测七年级数学）一个两位数的十位数字与个位数字之和为6，将个位数字与十位数字对调后，得到的两位数比原来的两位数小18．则原来的两位数为______． 20．（24-25七年级下·福建漳州·月考）甲、乙两人共有图书本，若甲给乙本后，甲的图书数是乙的倍，则甲原有图书______本． 21．（2026七年级下·全国·专题练习）小甘到文具超市去买文具．根据图中的对话信息，可求出中性笔和笔记本的单价分别是__________元和__________元． 22．（2024七年级·全国·竞赛）有一对夫妻，他们现在的年龄之和是其子女现在年龄之和的6倍，他们2年前的年龄之和是其子女2年前年龄之和的10倍，他们6年后的年龄之和是其子女6年后年龄之和的3倍，那么这对夫妇共有_______个子女． 23．（25-26七年级下·全国·课后作业）某家具生产厂生产某种配套桌椅（1张桌子配4把椅子），已知每块板材可制作桌子1张或椅子3把，现计划用140块这种板材生产一批桌椅（不考虑板材的损耗），生产出来的桌椅刚好配套．设用块板材制作桌子，用块板材制作椅子，则________． 24．（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）大学生运动会召开时，某校有56名学生报名参加志愿者活动，这些学生被分为4人小组或6人小组，则分组的方案共有________种． 25．（25-26八年级上·全国·随堂练习）小明打算购买笑脸和爱心两种气球，同一种气球的价格相同．第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为______元． 26．（25-26九年级下·江苏徐州·期中）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则__________． 27．（24-25七年级下·重庆九龙坡·月考）我市出租车起步价所包含的路程为，超过的部分按每千米另收费．小江乘坐这种出租车走了，付了元；小北乘坐这种出租车走了，付了元．设这种出租车的起步价为元，超过后每千米收费元．根据题意，可列方程组为__________________． 28．（25-26七年级上·重庆·开学考试）某小学有120人参加数学竞赛，平均得分78分，其中男生平均得分75分，女生平均得分80分，则男生比女生少_______人． 29．（河北省张家口市张家口市高新技术产业开发区2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题）加密是保障数据安全的一种方式，明文通过加密规则加密成密文．某加密规则为：明文对应加密文，如明文对应加密文．若接收到的加密文为，则发送的明文是______． 三、解答题 30．（25-26八年级上·陕西西安·月考）今有雀一只重一两九铢，燕一只重一两五铢．有雀，燕二十五只，并重二斤一十三铢．问：燕，雀各几何？（选自《张丘建算经》）题目大意：只雀重两铢，只燕重两铢．雀和燕一共有只，共重斤铢．燕，雀各有多少只？（这里的“斤”“两”“铢”是我国古代质量单位，斤两，两铢） 31．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如何分配工作时间 如何分配工作时间，使公司能在规定时间内完成任务 素材1 某电子零件生产公司承接到19200个零件的生产订单，计划将任务分配给甲、乙两个车间去完成．若甲车间生产12天，乙车间生产24天，则比订单多生产720个；若甲车间生产24天，乙车间生产12天，则比订单少生产240个零件． 素材2 经调查，甲车间每人每天能生产25个电子零件，乙车间每人每天能生产20个电子零件． 素材3 因分公司生产需求，需从两个车间抽走相同数量的工人，为了保证抽调后两个车间每天生产总和不变，且甲、乙两车间同时开工生产，余下工人每人每天生产个数需要提高． 问题解决 (1)求甲、乙车间原来每天生产多少个电子零件？ (2)甲、乙车间抽调后各有多少人？ (3)若按甲、乙车间抽调后的人数和提高后的工作效率计算，如何分配甲、乙两车间工作的天数（天数为整数），使公司能在不超过20天的情况下，恰好完成该任务？ 32．（25-26八年级上·全国·课后作业）为做好赛事保障工作，甲、乙两辆赛事保障车对一条坡道进行巡逻检查，上、下坡时全程匀速．已知甲车从坡底行驶到坡顶用时3分钟，从坡顶行驶到坡底用时2分钟，甲车下坡比上坡每分钟多行驶300米，若两车上坡、下坡的速度分别相同． (1)求坡道的长度； (2)若甲车在坡顶，乙车在坡底，甲、乙两车同时出发相向而行，经过多久两车相距300米？ 33．（24-25七年级下·河南周口·期中）有一个两位数，设它的十位数字为，个位数字为，已知十位数字与个位数字的和为8．若把十位数字和个位数字互换位置后，得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数小． (1)原来的两位数为_____，新的两位数为_____．（用含，的代数式表示） (2)根据题意，求原来的两位数． 34．（25-26七年级下·全国·课后作业）有一群鸟，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食．若从地上飞到树上1只，则地上的鸟就是整个鸟群的；若从树上飞到地上1只，则树上、地上的鸟就一样多了．你知道树上、地上各有多少只鸟吗？试列方程组解答． 35．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）寒冬时节，哈尔滨冰雪大世界游人如织，景区文创商店热销两款特色纪念品——雪花造型冰箱贴和草莓熊毛绒玩具．已知购买2个雪花冰箱贴和3个草莓熊毛绒玩具共需145元，购买4个雪花冰箱贴和1个草莓熊毛绒玩具则需105元． (1)求每个雪花冰箱贴和草莓熊毛绒玩具的售价各是多少元？（列二元一次方程组解决问题） (2)已知雪花冰箱贴每个进价10元，草莓熊每个进价25元．随着天气变暖，文创商店开展清仓促销活动，草莓熊按原售价降价7元销售，雪花冰箱贴售价不变．店内剩余的30个雪花冰箱贴全部售完，剩余草莓熊也全部售出，本次清仓活动这两款纪念品共获利润420元．请问清仓时出售了多少个草莓熊？ 36．（24-25七年级下·全国·课后作业）若6年前，甲的年龄是乙的3倍，现在甲的年龄是乙的2倍，求甲、乙现在的年龄．设甲现在的年龄为x岁，乙现在的年龄为y岁． (1)填表： 姓名 现在的年龄 6年前的年龄 甲 乙 (2)列出关于x，y的二元一次方程组． 37．（25-26八年级上·全国·随堂练习）某工厂用如图①所示的长方形和正方形纸板做成如图②所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒． (1)现有长方形纸板340张，正方形纸板160张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完，求能做成的两种纸盒的个数； (2)工厂共有78名工人，每名工人一天能生产70张长方形纸板或100张正方形纸板，已知一个竖式纸盒与一个横式纸盒配套．如何分配工人，才能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套？ 38．（25-26七年级下·福建福州·期中）2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武BOT》是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．某快递企业为提高工作效率．拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元． (1)求A、B两种型号智能机器人的单价． (2)现计划用480万元采购A型和B型机器人，两种机器人均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案． 39．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，某纺织厂从原料产地A地购进一批优质长绒棉运回工厂，加工制成高档纺织面料后运往B地销售，该纺织厂所在地与A、B两地分别通过公路、铁路相连，已知公路运费为0.5元/（吨），铁路运费为0.2元/（吨），从A地运输这批优质长绒棉到纺织厂，以及从纺织厂运输面料到B地，总共支出公路运费5200元，铁路运费16640元，求这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉和运往B地的纺织面料分别是多少吨？ 40．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）阅读材料： 小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个边长为1的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． 解决问题： (1)请按照小明的思路完成上述问题：求出每个小长方形的面积； (2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起，此时高度是 ； (3)小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图4），求图中阴影部分的面积，请给出解答过程． 41．（23-24七年级下·广西贵港·期末）某市自来水收费实行阶梯水价，基本用水量为5立方米，超出5立方米的部分另收费．李芳说：“我家8月份用水10立方米，付水费25元．”王明说：“我家8月份用水14立方米，付水费37元．” (1)该市自来水的基本水价为每立方米多少元？超出5立方米的部分每立方米收费多少元？ (2)赵聪家8月份付水费43元，请计算他家该月用了多少立方米水． 42．（2026七年级下·江苏·专题练习）一次知识竞赛，共设20道选择题，每题必答．下表记录了3名参赛同学在这次比赛中的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 93 C 18 2 86 (1)在这次比赛中，答对一道题得 分，答错一道题扣 分； (2)同学G说他得了82分，你认为可能吗？通过列方程计算说明理由． 43．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）综合与实践 【问题背景】 巢湖素有“皖中明珠”之美誉，旅游度假资源丰富．某校八年级（1）班同学为了完成老师布置的综合与实践作业——制作《巢湖市金牌旅游住宿资源推介》，分成了若干个学习小组，先通过携程、飞猪、美团、去哪儿等在线旅游平台提供的相关信息对巢湖市优质度假区、高档宾馆、精品民宿等三种不同类型的住宿资源进行了“金牌旅游住宿”的名称界定；然后，从中各选取两家通过电话咨询了解住宿的位置优势以及不同房间的基本住宿价格；最后，结合平台用户评分和商家电话介绍，在这三种住宿资源类型中均选择了假期预订量最高的家庭房进行了实地调查，希望给《巢湖市金牌旅游住宿资源推介》的制作提供可靠的数据来源． 【材料收集与整理】 各学习小组在同一天奔赴不同金牌旅游住宿地进行调查，获取到度假区和高档宾馆类型的金牌旅游住宿均会结合市场需求根据房型实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间比淡季上涨；精品民宿的定价也有淡季、旺季之分，但上涨比例相对灵活；通过各旅游平台下单、电话预定、现场订房的优惠差距可忽略不计．此外，不同类型的金牌旅游住宿费用差距较大，环境风格差异明显，消费群体有区别．具体材料如下： 材料一：度假区离巢湖市中心约15公里，离高铁站、高速公路收费站均在6公里以内．度假区的一房别墅住宿，可享受一站式家庭旅游体验，同时赠送温泉疗养项目，采用标准化管理．第一学习小组获取某两天的相关记录如表所示： 度假区 淡季 旺季 未入住一房别墅间数 10 0 该房型日总收入（元） 9600 24000 材料二：高档宾馆在巢湖市中心3公里以内，出行观光便利，亲子设施、运动设施、餐饮服务、交通服务等均符合标准化管理，品质有保障．第二学习小组获取某两天的相关记录如表所示： 高档宾馆 淡季 旺季 未入住家庭房间数 5 0 该房型日总收入（元） 5600 10500 材料三：精品民宿距巢湖市中心约20公里，没有明确标注“家庭房”房型，但有适合亲子家庭的替代方案一：适合4个亲子家庭自行组团整体合租的集住宿、休闲、运动、书吧于一体的门庭小院，小院为稀缺型旅游住宿资源只有一座；方案二：在有儿童游乐和手工体验区的民宿公共区选择客栈标准间大床房组合（两者价格一样，各有20间可供选择）．第三学习小组获取某两天的相关记录如表所示： 精品民宿 淡季 旺季 一座门庭小院价格 2000 2600 客栈标准间单价 300 360 【数据分析与运用】 任务1：（1）该度假区的一房别墅有多少间？一房别墅旺季每间价格为多少元？该高档宾馆旺季家庭房每间价格为多少元？ 任务2：（2）请通过计算说明该精品民宿旺季比淡季每间（座）上涨是否符合的标准？ 任务3：（3）如果有位游客在网络上看到了该校八（1）班同学分享的《巢湖市金牌旅游住宿资源推介》视频，想在春节期间来巢湖亲子游，你会给他推荐哪种类型的金牌旅游住宿资源呢？请你说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.3 实际问题与二元一次方程组 内容导航 知识点一 列二元一次方组解应用题 1 题型1根据题意列方程组 4 题型2 古代问题 5 题型3 工程问题 7 题型4 行程问题 9 题型5 数字问题 11 题型6 和差倍分问题 13 题型7 销售利润问题 15 题型8 年龄问题 18 题型9 分配问题 19 题型10 方案问题 21 题型11 图表信息题 24 题型12 几何图形问题 27 题型13 阶梯计费问题 29 题型14 积分问题 32 题型15 其他问题 35 综合练习 37 知识点一 列二元一次方组解应用题 1.建立二元一次方程组模型 列二元一次方程组解应用题的一般步骤 审 认真审题，分清题中的已知量、未知量，并明确 它们之间的相等关系； 设 恰当地设未知数; 列 依据题中的相等关系列出方程组； 解 解方程组，求出未知数的值； 验 检验所求得的未知数的值是否符合题意和实际意义; 答 写出答案 列二元一次方程组解应用题的常见类型 和差倍分问题 增长量＝原有量×增长率 较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量 产品配套问题 解这类问题的基本等量关系是：加工总量成比例 工程问题 工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 利润问题 商品利润＝商品售价－商品进价， 行程问题 速度×时间=路程. 顺水速度=静水速度+水流速度. 逆水速度=静水速度-水流速度. 数字问题 一般不直接设这个数，而是设这个数的数位上的数字，再根据数的表示方法表示出这个数. 方案问题 在解决问题时，常常需合理安排．需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案． 【基础练习1】（2026·四川广元·一模）剑门关是剑门蜀道核心区域，兼具自然天险与厚重人文，为国家5A级景区．已知剑门关门票单价旺季比淡季贵20元，旺季4张门票的总价和淡季5张门票的总价相同．设旺季门票的单价为元/张，淡季门票的单价为元/张，则，满足的方程组是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题干给出的两个等量关系，依次列出方程即可得到正确方程组． 【详解】解：∵旺季门票单价比淡季贵20元，旺季单价为元/张，淡季单价为元/张， ∴可得第一个方程 ， 又∵旺季4张门票的总价和淡季5张门票的总价相同，总价=单价×数量， ∴可得第二个方程 ， 因此,满足的方程组为． 【基础练习2】（24-25七年级下·山东淄博·开学考试）某学校举行“疫情防控”宣传活动，故购买、两种奖品以鼓励积极参与的学生．经市场调查发现，若购买种件、种件，共需元；若购买种件、种件，共需元． (1) 、两种奖品每件各多少元？ (2)学校决定购买种奖品件、种奖品件，那么总费用是多少元？ 【答案】 (1)种奖品每件元，种奖品每件元 (2)元 【分析】（1）由题意可知两条等量关系分别为：奖品价格奖品价格，奖品价格奖品价格，根据等量关系列出二元一次方程组求解即可； （2）根据：总价=单价×数量，分别求出A，B两种奖品的总价，相加即可． 【详解】（1）解：设种奖品每件元，种奖品每件元， 依题意得： ， 解得：， 答：种奖品每件元，种奖品每件元； （2）解：由题意得：（元）， 答：总费用是元． 【基础练习3】（25-26八年级上·四川雅安·期末）某农场现有一批苹果要运往当地水果市场，农场准备租用汽车公司的甲乙两种货车，已知以往租用这两种货车的记录情况如表： 甲种货车（辆） 乙种货车（辆） 总量（吨） 第1次 3 2 13 第2次 4 5 22 (1)甲、乙两种货车每辆可装多少吨苹果？ (2)若农场共有18吨苹果，计划租用该公司的两种货车（两种车都租用，且每辆车都满载）正好把这批水果运完，则汽车公司有哪几种方案？ 【答案】 (1)每辆甲种货车可装3吨苹果，每辆乙种货车可装2吨苹果 (2)农场有两种方案：租用2辆甲种货车和6辆乙种货车，或租用4辆甲种货车和3辆乙种货车 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，正确理解题意列出方程组和方程是解题的关键． （1）根据表格中两次运输的车辆数与总吨数，设未知数列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设租用甲、乙两种货车的数量，根据总吨数列出方程，结合车辆数为正整数求解所有可能组合． 【详解】（1）解：设每辆甲种货车可装x吨苹果，每辆乙种货车可装y吨苹果， 依题意，得， 解得． 答：每辆甲种货车可装3吨苹果，每辆乙种货车可装2吨苹果； （2）解：设租用m辆甲种货车，n辆乙种货车， 依题意，得：， ∴． ∵m，n均为正整数， ∴当时，， 当时，， ∴农场有两种方案：租用2辆甲种货车和6辆乙种货车，或租用4辆甲种货车和3辆乙种货车； 答：农场有两种方案：租用2辆甲种货车和6辆乙种货车，或租用4辆甲种货车和3辆乙种货车． 设未知数的几种常见方法： 1.直接设未知数：即题目里要求的未知量是什么，就把它设为方程的未知数，并且求几个设几个， 2.间接设未知数：即设的不是所求量.有些应用题，若直接设未知数，则所列的方程比较复杂，若间接设未知数，则能列出既简单又易解的方程. 3.设辅助未知数：有些应用题不仅要直接设未知数，而且要增设辅助未知数，但这些辅助未知数本身并不需要求出，它们的作用只是帮助列方程，同时为了求出真正的未知数. 题型1根据题意列方程组 【典例】（2025七年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）某课外活动小组的学生准备分组外出活动，若每组7人，则余下3人；若每组8人，则少5人．设应分成的组数组，课外活动小组的人数为人，根据题意得，方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵设应分成的组数为组，课外活动小组总人数是人， 根据“每组7人，余下3人”可得：，整理得， 根据“每组8人，少人”可得：，整理得， ∴可得方程组． 【变式练习1】（2025·辽宁辽阳·一模）学校为了培养学生的阅读习惯，计划购买一批图书．已知购买50本文学书和80本科普书需要4800元，购买60本文学书和100本科普书需要5920元．设每本文学书元，每本科普书元，根据题意，可列二元一次方程组为___________． 【答案】 【分析】根据总费用等于文学书总费用加科普书总费用，结合两次购买的数量和总花费，分别列出方程联立即可． 【详解】解：已知每本文学书元，每本科普书元．购买50本文学书的总费用为元，购买80本科普书的总费用为元，总花费为4800元，因此得方程． 购买60本文学书的总费用为元，购买100本科普书的总费用为元，总花费为5920元，因此得方程． 联立两个方程可得二元一次方程组． 【变式练习2】（25-26八年级上·山西晋中·期末）小明作业本中有一道未写完的题目如下：李叔叔在某商场看中的一台电视机和一台空调，在“元旦”前购买需花费5500元，由于该商场开展“元旦”促销活动，同样的电视机打8折销售，，于是李叔叔在促销期间购买了同样的电视机一台，空调两台，共花费7200元，则“元旦”前同样的电视机和空调每台分别为多少元？ 解：设“元旦”前同样的电视机每台元，空调每台元， 根据题意，得 该题中的一个条件和方程①不小心被污染了，已知小明所列的方程组是正确的，则方程①是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据在“元旦”前购买需花费5500元可得方程①． 【详解】解：由题意得，方程①为， 故答案为：． 方法技巧：找相等关系的基本方法 (1)抓住题目中的关键词，常见的关键词有“比”“是”“等于”等; (2)根据常见的数量关系，如路程与时间、速度的关系，基本图形的计算公式（如体积公式、面积公式 等)销售问题中的数量关系等； (3)挖掘题目中的隐含条件; (4)借助列表格、画线段示意图等方法找相等关系. 题型2 古代问题 【典例】（25-26七年级上·陕西西安·期末）古文：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出八，盈十八．问：人数、羊价各几何？ 题目大意：几个人合伙买羊，若每人出5钱，则差45钱；若每人出8钱，则多18钱．合伙人数、羊价各是多少？（请列方程求解） 【答案】人数为21人，羊价为150钱 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．本题可通过设未知数，根据两种出钱方式下羊价恒定这一等量关系列出二元一次方程组，进而求解出合伙人数和羊价． 【详解】解：设合伙人数为x人，羊价为y钱． 根据题意，得， 将代入中，得 ， 解得 把代入中，得 ． 答：人数为21人，羊价为150钱． 【变式练习1】（2026·贵州遵义·一模）我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，则木长为______尺． 【答案】 【分析】通过设未知数：设绳子长为尺，长木长为尺，根据绳子比长木长尺和对折绳子比长木短尺，转化为二元一次方程组，并解得答案． 【详解】解：设绳子长尺，长木长尺， ∵绳子比长木长尺，对折绳子比长木短尺， ∴ 可列方程组为：， 解得：， ∴绳子长为尺，长木长为尺． 【变式练习2】（25-26八年级上·山西晋中·期末）利用二元一次方程组解决问题 《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中有这样一道题：“今有醇酒一斗，值钱五十；行酒一斗，值钱一十．今将钱三十，得酒二斗，问醇、行酒各得几何？”译文：今有醇酒（优质酒）1斗，价格50钱；行酒（勾兑酒）1斗，价格10钱．现有30钱，买2斗酒，问能买醇酒、行酒各多少斗？ 【答案】能买醇酒斗、行酒斗 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设能买醇酒x斗、行酒y斗．根据现有30钱，买2斗酒建立方程组求解即可． 【详解】解：设能买醇酒x斗、行酒y斗． 由题意得， 解得 答：能买醇酒斗、行酒斗． 题型3 工程问题 【典例】（24-25七年级上·湖南张家界·期末）甲乙加工一批零件共350个，甲先单独做8小时，然后又与乙一起加工5小时完成任务．已知乙每小时比甲少加工2个零件．问甲、乙两人每小时各加工多少个零件？ 【答案】甲每小时加工20个零件，乙每小时加工18个零件 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，先设甲每小时加工个零件，乙每小时加工个零件，再结合甲乙加工一批零件共350个，甲先单独做8小时，然后又与乙一起加工5小时完成任务．已知乙每小时比甲少加工2个零件列方程组，再解方程，即可作答． 【详解】解：设甲每小时加工个零件，乙每小时加工个零件， 依题意， 解得 ∴甲每小时加工20个零件，乙每小时加工18个零件． 【变式练习1】（2025七年级上·广东湛江·专题练习）甲乙两个工程队分别负责两项工作量相同的工程．晴天，甲完成工程要天，乙完成工程要天；雨天，甲和乙的工作效率分别是晴天时的和．实际情况是两队同时开工、同时完工，在施工期间，下雨天的天数与晴天的天数之比是_____．下雨天的天数是_____． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键，先求出晴天和雨天时甲、乙的工作效率，然后根据两队同时完工，工作量相同，列出方程求解晴天和雨天的天数，再求比例和具体天数． 【详解】解：由题可得：晴天时，甲的工作效率为，乙的工作效率为， 雨天时，甲的工作效率为，乙的工作效率为， 设晴天天数为，雨天天数为， 得：， 得：， 得：， 解得：， 将代入中得：， ∴下雨天天数与晴天天数之比为，下雨天天数为． 【变式练习2】（25-26八年级上·四川成都·月考）修建某一建筑时，若请甲、乙两个工程队同时施工，8天可以完成，需付两队费用共3520元；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天可以完成，需付两队费用共3480元，问： (1)甲、乙两队每天费用各为多少？ (2)若单独请某队完成工程，则单独请哪队施工费用较少？ 【答案】 (1)甲队每天的费用为300元，乙队每天的费用为140元 (2)乙队 【分析】本题考查了二元一次方程的应用． （1）设甲队每天费用为a元，乙队每天费用为b元，根据题意列方程组求解即可； （2）设甲每天完成x，乙每天完成y，根据题意列方程组求出工作效率，求出两队费用，比较即可． 【详解】（1）解：设甲队每天费用为a元，乙队每天费用为b元，由题意得： ， 解得， 答：甲队每天的费用为300元，乙队每天的费用为140元； （2）解：设甲每天完成x，乙每天完成y，由题意得： ， 解得， 即甲单独做需要12天完成，乙单独做需要24天完成． 甲单独做需要元， 乙单独做需要元． 答：乙队单独完成费用较少． 解决工作量问题的方法 工作量问题的基本关系：工作量=工作时间×工作效率.有时需把总工作量看做整体1（在后面学习的分式方程中体现较多）. 题型4 行程问题 【典例】（24-25七年级下·辽宁鞍山·月考）如图，某型号的动车由一节车头和若干节车厢组成，每节车厢的长度都相等．已知该型号的动车挂节车厢以的速度通过某观测点用时，挂节车厢以的速度通过该观测点用时，求车头及每节车厢的长度． 【答案】车头长米，每节车厢长米； 【分析】根据题意，设车头米，车厢每节米，然后列出方程组，解方程组即可得到答案； 【详解】解：设车头米，车厢每节米，根据题意， 可列方程组：， 解得：； 答：车头长米，每节车厢长米． 【变式练习1】（25-26七年级上·湖南娄底·期末）一艘轮船往返于、两港之间.顺水航行的速度是，逆水航行的速度是，则轮船在静水中的速度和水流速度分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用二元一次方程组解决流水行船问题，根据顺水速度、逆水速度与静水速度、水流速度的关系列出方程组，求解即可得出答案． 【详解】解：设轮船在静水中的速度为，水流速度为， ∵顺水速度静水速度水流速度，逆水速度静水速度水流速度 ∴根据题意列方程组得： 将两个方程相加得：， 解得。 把代入得：，解得。 ∴轮船在静水中的速度是，水流速度是。 故选：C 【变式练习2】（25-26七年级上·湖南怀化·期末）某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走3步，接着B型机器人走4步，共需要秒；A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要秒． (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 【答案】 (1)A型机器人走一步需要1秒，B型机器人走一步需要秒 (2)完成这次接力的时间可能是39秒或38秒或37秒 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用．掌握二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用是解本题的关键． （1）设A型机器人走一步需要x秒，B型机器人走一步需要y秒，根据题意列方程组求解即可； （2）设A型机器人步数为m步，B型机器人步数为n步，根据题意列出二元一次方程，求出所有符合条件的情况即可． 【详解】（1）解：设A型机器人走一步需要x秒，B型机器人走一步需要y秒． ， 解得， 答：A型机器人走一步需要1秒，B型机器人走一步需要秒． （2）解：设A型机器人步数为m步，B型机器人步数为n步． ， ， 均为正整数， 或或， ①秒， ②秒， ③秒， 答：完成这次接力的时间可能是39秒或38秒或37秒． 常见的行程问题可分为两大类型：相遇问题和追及问题， （1)相遇问题：相等关系是双方走的路程和等于两地之间的距离． （2)追及问题：①双方同地不同时出发，同向而行，直到后者追上前者，其相等关系是：双方所走的路程相等（双方所用的时间不同）.②双方同时不同地出发，同向而行，直到后者追上前者，其相等关系是：双方所走的路程之差等于两地之间的距离（双方所用的时间相同）.③双方不同时不同地出发，同向而行，直到后者追上前者，其相等关系是：双方所走的路程之差等于两地之间的距离（双方所用的时间不同). 题型5 数字问题 【典例】（24-25七年级下·全国·课后作业）一个两位数比它个位上的数字与十位上的数字之和的5倍大2．若将它个位上的数字与十位上的数字互换位置，则新得到的数比原来的数大9．求这个两位数． 【答案】这个两位数是67 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是设出未知数，表示出两位数． 设这个两位数十位上的数字为，个位上的数字为，分别表示出两个两位数，然后根据题意列方程组求解即可． 【详解】解：设这个两位数十位上的数字为，个位上的数字为． 根据题意，得 解得 故这个两位数是． 【变式练习1】（25-26七年级下·山东聊城·月考）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，一行的三个数，列的三个数，斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为________． 【答案】0 【分析】根据每一行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，列出二元一次方程组，解方程组，即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， ． 【变式练习2】（24-25八年级上·山东枣庄·月考）小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每过一段时间看到的里程碑上的数（单位：公里）如下： 时刻 里程碑上的数 是一个两位数，它的个位数字比十位数字的倍大 也是一个两位数，十位与个位数字与时所看到的正好互换了 是一个三位数，比时看到的两位数的数字中间多了个 如果设小明时看到的两位数的十位数字为，个位数字为．那么： (1)小明时看到的两位数为 ； (2)小明时看到的两位数为 ；时看到的三位数为 ； (3)请你列二元一次方程，求小明在时看到里程碑上的两位数． 【答案】 (1)； (2)，； (3)，小明在时看到里程碑上的两位数为． 【分析】本题考查了列代数式，二元一次方程组的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意列代数式即可； （）根据题意列代数式即可； （）由题意得，然后解方程组即可． 【详解】（1）解：设小明时看到的两位数的十位数字为，个位数字为， ∴小明时看到的两位数为， 故答案为：； （2）解：由题意可得，小明时看到的两位数为，时看到的三位数为， 故答案为：，； （3）解：由题意得：， 解得：， ∴小明在时看到里程碑上的两位数为． 方法技巧：多位数的表示方法 一个两位数，当十位上的数字为，个位上的数字为时，这个两位数就可表示为10+；类似地，当一个三位数百位上的数字为，十位上的数字为，个位上的数字为时，这个三位数就可表示为10+ +。 题型6 和差倍分问题 【典例】（2025·吉林长春·三模）2022年第19届亚运会即将在我国杭州举行．如图是杭州市桐庐县瑶琳镇林场区块，从高处俯瞰，有一处白绿相间的“马”字形建筑分外引人注目，这里就是杭州亚运会马术项目比赛场馆桐庐马术中心，其总建筑面积约为5.4万平方米，包括各种功能区．其中主赛场和室内训练场总共占17000平方米，主赛场面积开阔，是室内训练场的2倍还多2000平方米．问主赛场的面积和室内训练场的面积各多少平方米？ 【答案】主赛场的面积为12000平方米，室内训练场的面积为5000平方米 【分析】设主赛场的面积为x平方米，室内训练场的面积为y平方米，根据其中主赛场和室内训练场总共占17000平方米，主赛场面积开阔，是室内训练场的2倍还多2000平方米，列出方程组进行求解即可. 【详解】解：设主赛场的面积为x平方米，室内训练场的面积为y平方米．             根据题意，得                 解得                 答：主赛场的面积为12000平方米，室内训练场的面积为5000平方米． 【变式练习1】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在东北大秧歌的踩高跷表演中，已知演员身高是高跷长度的2倍，高跷与腿重合部分的长度为，演员踩在高跷上时，头顶距离地面的高度为，设演员的身高为，高跷的长度为，则的值是_______． 【答案】420 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据已知得出等量关系列出方程组是解题的关键． 根据演员身高是高跷长度的2倍得出，利用高跷与腿重合部分的长度为，演员踩在高跷上时，头顶距离地面的高度为可得，然后解二元一次方程组求得x，y的值，最后代入求解即可． 【详解】解：设演员的身高为，高跷的长度为， 根据题意可得：， 解得：， 所以． 故答案为：420． 【变式练习2】（2026七年级下·全国·专题练习）七年级（2）班选出部分同学参加夏令营，分成红、蓝两队，红队戴红帽子，蓝队戴蓝帽子．一个红队队员说：“我看见红队人数与蓝队人数相等．”一个蓝队队员说：“我看见红队人数是蓝队人数的2倍．”求红队人数和蓝队人数． 【答案】红队人数为4人，蓝队人数为3人 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，注意“队员看人数时，会忽略自己”，据此梳理红、蓝队人数的等量关系是解题关键． 根据红蓝队员对人数的描述，结合“实际人数”与“观察到的人数（忽略自己）”的差异，建立方程组求解即可． 【详解】解：设红队人数为人，蓝队人数为人． 一个红队队员说：“我看见红队人数与蓝队人数相等．”， 可得， 一个蓝队队员说：“我看见红队人数是蓝队人数的2倍．”， 可得， 联立可得， 解得，． 答：红队人数为4人，蓝队人数为3人． 题型7 销售利润问题 【典例】（2026·安徽合肥·一模）在万物皆可沉浸的时代，智慧旅游燃起了前所未有的热度．某景区借助和技术，开发了“红楼梦戏剧幻城”和“驾驶冲上云霄”两个项目．两个项目每次体验成本和收益如下表：已知某天这两个项目共体验140次，成本为4240元，则这天两个项目收益共多少元？ 体验项目 成本（元/次） 收益（元/次） 红楼梦戏剧幻城 35 25 驾驶冲上云霄 24 20 【答案】3200元 【分析】设体验“红楼梦戏剧幻城”x次，体验“驾驶冲上云霄”y次．根据题意列二元一次方程组，求出x，y，再计算收益即可． 【详解】解：设体验“红楼梦戏剧幻城”x次，体验“驾驶冲上云霄”y次． 根据题意得， 解得， （元） 答：这天两个项目收益共3200元． 【变式练习1】（25-26八年级上·全国·课后作业）某小麦种植基地去年结余了万元，估计今年可结余万元．若今年的收入将比去年高，支出将比去年低，则该小麦种植基地去年的收入为_______万元，去年的支出为_______万元． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列方程求解，正确找到等量关系是解题的关键. 【详解】解：设去年收入为万元，支出为万元 则 解得 该小麦种植基地去年的收入为万元，支出为万元； 故答案为：， ． 【变式练习2】（24-25七年级上·河南平顶山·期末）某商店销售A，B两种品牌的毛绒玩具，已知两种型号毛绒玩具单个成本价和为25元，且3个A型号毛绒玩具的成本价等于2个B型号毛绒玩具成本价． (1)求A，B两种型号的毛绒玩具成本价分别为多少元？ (2)将A，B两种型号毛绒玩具按成本价均提高后标价出售． ①A型号毛绒玩具的标价为________元，B型号毛绒玩具的标价为________元； ②若商店分别购进两种毛绒玩具各10个，A型号毛绒玩具按标价出售，B型号毛绒玩具打折销售，要保证售完所有毛绒玩具后利润率达到，求B型号毛绒玩具打几折？（提示：利润率） 【答案】 (1)A，B两种型号的毛绒玩具成本价分别为10元和15元 (2)①14，21；②打9折销售 【分析】（1）设A，B两种型号的毛绒玩具成本价分别为x、y，再根据等量关系“两种型号毛绒玩具单个成本价和为25元”和“3个A型号毛绒玩具的成本价等于2个B型号毛绒玩具成本价”列二元一次方程组求解即可； （2）①根据A，B两种型号毛绒玩具按成本价均提高后标价出售，据此分别列式求解即可；②B型号毛绒玩具打z折，即按照标价的销售，再根据“售完所有毛绒玩具后利润率达到”列一元一次方程求解即可； 【详解】（1）解：设A，B两种型号的毛绒玩具成本价分别为x元和y元， 由题意可得：，解得：． 答：A，B两种型号的毛绒玩具成本价分别为10元和15元． （2）解：①A型号毛绒玩具的标价为元； B型号毛绒玩具的标价为元； ②B型号毛绒玩具打z折，即按照标价的销售， 由题意可得：， 解得：， 答：B型号毛绒玩具打9折销售． 易错警示：相等关系中的单位未统一就列方程而出错 在列方程组解决实际问题时，往往由于疏忽，忘记统一单位，必须先把单位统一后，再列方程组，否则会出现错误。 题型8 年龄问题 【典例】（23-24七年级下·全国·课后作业）今年父亲的年龄是玲玲的倍，年后父亲的年龄是玲玲的倍，今年父亲、玲玲的年龄各是多少岁？ 【答案】今年玲玲的年龄是岁，今年父亲的年龄是岁． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设今年玲玲的年龄是岁，今年父亲的年龄是岁，根据题意列出方程，然后解出方程即可． 【详解】解：设今年玲玲的年龄是岁，今年父亲的年龄是岁， 根据题意得，，解得：， 答：今年玲玲的年龄是岁，今年父亲的年龄是岁． 【变式练习1】（23-24八年级上·山东青岛·月考）年前母亲的年龄是女儿年龄的倍，年后，母亲的年龄比女儿年龄的倍多岁．那么现在这对母女的年龄和是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的知识，解题的关键是根据题意，设现在这对母女的年龄分别为岁，岁；根据题意，列出方程，进行解答，即可． 【详解】解：设现在这对母女的年龄分别为岁，岁； ∴， 解得：， ∴现在这对母女的年龄和为（岁）． 故选：C． 【变式练习2】（24-25七年级下·云南·期中）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中毕业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 【答案】 (1)爸爸36岁，爷爷76岁 (2)爸爸是2001年毕业，爷爷是1961年毕业的云附学子 【分析】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁，根据“爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40”列出二元一次方程组求解即可． （2）用现在年份减去年龄加15即可得到答案． 【详解】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁． ． 解得： 答：今年小明的爸爸36岁，爷爷76岁； （2）（年） （年） 小明的爸爸是2001年毕业，爷爷是1961年毕业的云附学子． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键． 题型9 分配问题 【典例】（25-26七年级下·全国·课后作业）某车间有工人660名，生产甲、乙两种零件．已知每人每天平均生产甲种零件14个或乙种零件20个，1个甲种零件与2个乙种零件为一套．如何调配人员可使每天生产的两种零件刚好配套？ 【答案】生产甲种零件需275人，生产乙种零件需385人 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，正确列出方程组是解答的关键． 设生产甲种零件需x人，生产乙种零件需y人，根据题意列出方程组，然后解方程组即可解答． 【详解】解：设生产甲种零件需x人，生产乙种零件需y人， 根据题意，得，解得 答：生产甲种零件需275人，生产乙种零件需385人． 【变式练习1】（2025七年级下·全国·专题练习）某工厂有名工人，每个工人每天能加工6个型零件或者3个型零件，其中某产品每套由4个型零件和3个型零件配套组成，现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套，现50天恰好完成1200套产品的生产任务，则的值为______． 【答案】40 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据等量关系列出方程组，是解题的关键．设安排x名工人加工A型零件，则安排名工人加工B型零件，根据每个工人每天能加工6个型零件或者3个型零件，每套由4个型零件和3个型零件配套组成，50天恰好完成1200套产品，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设安排x名工人加工A型零件，则安排名工人加工B型零件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 则工厂有40名工人， 故答案为：40． 【变式练习2】（24-25八年级上·全国·课后作业）某工厂加工螺栓、螺母，已知每块金属原料可以加工成3个螺栓或4个螺母（每块金属原料无法同时既加工螺栓又加工螺母），已知1个螺栓和2个螺母组成一个零件．若把26块相同的金属原料全部加工完，则加工的螺栓和螺母是否存在恰好配套？若存在恰好配套，请求出加工螺栓和螺母各需要的金属原料的块数；若不存在恰好配套，请说明理由． 【答案】不存在恰好配套，理由见解析． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设把x块金属原料加工成螺栓，y块金属原料加工成螺母恰好配套，根据配套可得出，解出x，y的值，即可判断出结果． 【详解】解：设把x块金属原料加工成螺栓，y块金属原料加工成螺母恰好配套， 依题意，得， 解得： 因为求出的x，y的值不是整数， 所以加工的螺栓和螺母不存在恰好配套． 题型10 方案问题 【典例】（25-26七年级下·浙江·期中）【背景素材】 七年级某班为校运动会采购饮品，计划在超市购买甲、乙两种品牌的运动饮料．若购买10瓶甲品牌饮料、15瓶乙品牌饮料，共需花费180元；若购买15瓶甲品牌饮料、10瓶乙品牌饮料，共需花费170元． 【问题解决】为合理制定采购方案，分步探究如下： (1)求甲、乙两种品牌运动饮料的销售单价各是多少元？ (2)班级采购预算为120元，需同时购买甲、乙两种品牌的饮料，且预算恰好全部用完，请问共有哪几种符合条件的购买方案． 【答案】 (1)甲品牌饮料每瓶6元，乙品牌饮料每瓶8元 (2)共四种方案，方案一：购买甲品牌的饮料16瓶，乙品牌的饮料3瓶；方案二：购买甲品牌的饮料12瓶，乙品牌的饮料6瓶；方案三：购买甲品牌的饮料8瓶，乙品牌的饮料9瓶；方案四：购买甲品牌的饮料4瓶，乙品牌的饮料12瓶 【分析】（1）设甲品牌饮料每瓶元，乙品牌饮料每瓶元，根据单价数量总价，甲的价格乙的价格花费的价格，列出方程组求解即可； （2）设购买甲品牌的饮料瓶，乙品牌的饮料瓶，列出方程后分类讨论解的情况即可． 【详解】（1）解：设甲品牌饮料每瓶元，乙品牌饮料每瓶元， 则由题意可得， 解得， 答：甲品牌饮料每瓶6元，乙品牌饮料每瓶8元． （2）解：设购买甲品牌的饮料瓶，乙品牌的饮料瓶 则由题意可得， 变形得， ∵为正整数， ∴是3的倍数， 或或或， 答：共四种方案： 方案一：购买甲品牌的饮料16瓶，乙品牌的饮料3瓶； 方案二：购买甲品牌的饮料12瓶，乙品牌的饮料6瓶； 方案三：购买甲品牌的饮料8瓶，乙品牌的饮料9瓶； 方案四：购买甲品牌的饮料4瓶，乙品牌的饮料12瓶． 【变式练习1】（2026·四川宜宾·一模）某班准备购买篮球和足球作为期末奖品.据了解，8个篮球和10个足球的进价共计2000元；10个篮球和20个足球的进价共计3100元.该班恰好用4500元购进篮球和足球（两种均购买），该班共有（   ）种采购方案 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】设每个篮球的进价是x元，每个足球的进价是y元，根据题意，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出篮球和足球每个进价；）设采购m个篮球，n个足球，利用总价＝单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各采购方案． 【详解】解：设每个篮球的进价是x元，每个足球的进价是y元， 依题意得：， 解得：， 则每个篮球的进价是150元，每个足球的进价是80元， 设采购m个篮球，n个足球， 依题意得：， ∴， ∵m，n均为正整数， ∴或或， 答：该班共有3种采购方案． 【变式练习2】（24-25七年级下·陕西渭南·期中）大荔西瓜生产区域位于关中平原东部，北依镰山，南傍渭水，黄河临东，洛水贯中，是我国唯一具备西瓜生产七项指标的地区，现欲将一批西瓜运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满西瓜一次可运走10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满西瓜一次可运走11吨，现有西瓜30吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满西瓜． (1)1辆A型车和1辆B型车都载满西瓜一次可分别运送多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案． 【答案】 (1)1辆A型车载满西瓜一次可运送3吨，1辆B型车载满西瓜一次可运送4吨； (2)该物流公司共有2种租车方案：①租用6辆A型车，3辆B型车；②租用2辆A型车，6辆B型车． 【分析】（1）设1辆A型车载满西瓜一次可运送x吨，1辆B型车载满西瓜一次可运送y吨，用2辆A型车和1辆B型车载满西瓜一次可运走10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满西瓜一次可运走11吨，据此列出方程组并解方程组即可； （2）计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满西瓜．据此列出二元一次方程，求出正整数解即可． 【详解】（1）解：设1辆A型车载满西瓜一次可运送x吨，1辆B型车载满西瓜一次可运送y吨， 由题意：， 解得：， 答：1辆A型车载满西瓜一次可运送3吨，1辆B型车载满西瓜一次可运送4吨； （2）由题意得：， 整理得： 又由题意可知，a，b均为正整数， ∴或， ∴该物流公司共有2种租车方案：①租用6辆A型车，3辆B型车；②租用2辆A型车，6辆B型车． 题型11 图表信息题 【典例】（25-26七年级上·四川绵阳·期末）某校七（1）班40名同学为“山区希望工程”捐款，共捐款500元．捐款情况如表： 捐款（元） 5 10 15 20 人数 6 7 表格中捐款10元和15元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，本着负责的态度，班里小王同学利用学过的数学知识求出被墨水污染的数据，你知道他是怎么做的呢？请你写出解答过程． 【答案】捐款10元的有15人，捐款15元的有12人；过程见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设捐款10元的为人，捐款15元的为人，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出结果，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设捐款10元的为人，捐款15元的为人， 根据题意得：， 解得：， 答：捐款10元的有15人，捐款15元的有12人． 【变式练习1】（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，根据图中提供的信息，可知一个杯子的价格是（    ） A．36元 B．32元 C．4元 D．8元 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．设一盒杯子x元，一个暖瓶y元，根据图示可得：一个杯子+一个暖瓶元，3个杯子个暖瓶元，列方程组求解． 【详解】设一盒杯子x元，一个暖瓶y元， 由题意得， ， 解得： ， ∴一个杯子为8元． 故选：D． 【变式练习2】（24-25七年级下·浙江温州·月考） 制作更多的罐头 素材一 原材料是边长为8分米的正方形铝皮 素材二 通过两种方式裁剪，制作如图所示的罐头（罐头封扣处损耗忽略不计）    圆形材料 长方形材料 裁法一 裁法二 合计 任务一 （1）填空：现在有21张铝皮，若使用裁法一剪裁的有x张，裁法二剪裁的y张，请根据素材，完成表格； 任务二 （2）结合任务一，将裁剪出的圆形和长方形材料用于制作铝制罐头（上下盖均为圆形，侧面为长方形）且裁剪出的材料恰好用完，则最多可以做多少个罐头？ 任务三 （3）若在2024年年终盘点库存时，发现库存中还剩长方形材料40张，在新的一年，对原材料购买时，至少应该买_____张正方形铝皮，才能将库存一次性用完．（直接写出答案） 【答案】（1）见解析；（2）56个；（3）20 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程（组）是解题的关键． （1）根据题意列出代数式，即可完成表格； （2）根据题意，列出关于的方程组，求出的值，即可解答； （3）由素材二可知，使用裁法二剪裁得到的圆形材料更多，长方形材料更少，设买张正方形铝皮，根据题意列出方程，求出的值，即可解答． 【详解】解：（1）根据素材，完成表格如下： 圆形材料 长方形材料 裁法一 裁法二 合计 （2）由题意得， 解得：， 则长方形材料有（张）， 因为1个铝制罐头需要2张圆形材料和1张长方形材料， 所以最多可以做56个罐头； （3）由素材二可知，使用裁法二剪裁得到的圆形材料更多，长方形材料更少， 设买张正方形铝皮，则圆形材料有张，长方形材料有张， 由题意得，， 解得：， 所以至少应该买20张正方形铝皮，才能将库存一次性用完． 故答案为：20． 方法技巧：图表信息题的解法 解答图表信息题的一般步骤：首先根据图表提供的信息，找出其中存在的等量关系，然后设未知数，列出方程组，再求解。 题型12 几何图形问题 【典例】（24-25七年级下·吉林长春·月考）如图，用8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，已知大的长方形的周长为，求小长方形的长和宽？ 【答案】这个长方形地砖的长是10，宽是6． 【分析】设小长方形的长为x，宽为y，根据长方形的周长等于长加宽的和的2倍，列二元一次方程组解答． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y， 则有， 解得， 答：这个长方形地砖的长是10，宽是6． 【变式练习1】（25-26七年级上·山东青岛·开学考试）如果，长方形中有个形状、大小相同的小长方形，且，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】令小长方形的长、宽分别为，，根据题意，得出，，得方程组，解出，即可根据得出阴影部分的面积． 【详解】解：令小长方形的长、宽分别为，， 根据题意，，， 可得，，， 故可得方程组， 解得， ∴，， 故阴影部分面积为． 【变式练习2】（25-26七年级下·福建福州·期中）数学实践：探究用标准卡纸制作礼盒个数最多． 素材1：如图1，每张标准卡纸可以剪裁成张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形． 素材2：如图2，可以用小长方形和小正方形制作竖式叠盖和横式叠盖纸盒，如图3是竖式叠盖和横式叠盖纸盒的平面展开图． 素材3：数学实践小组一共有张标准卡纸通过剪裁一共得到张小长方形和张小正方形，做成个竖式叠盖纸盒和个横式叠盖纸盒，恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完． (1)【任务1】若，求，，的值； (2)【任务2】求的最大值． 【答案】 (1)，，的值分别为、、 (2) 【分析】（1）张标准卡纸通过剪裁得到张小长方形，而一张可以剪裁个小长方形，先算出总的小长方形，减去，即为剩余的小长方形，一个小长方形可剪裁两个小正方形，再乘以即可求解，根据个竖式叠盖纸盒需要个小长方形和个正方形，个横式叠盖纸盒个小长方形和个小正方形，即可建立二元一次方程组求解； （2）由题意得，每个竖式叠盖纸盒需要个小长方形，每个横式叠盖纸盒需要个小长方形，则，求其整数解，判断其最大值即可． 【详解】（1）解：由题意得， 则， 解得， ∴，，的值分别为、、． （2）解：由题意得，每个竖式叠盖纸盒需要5.5个小长方形，每个横式叠盖纸盒需要6个小长方形， 即， 其整数解为、、、， ∴的最大值为． 题型13 阶梯计费问题 【典例】（24-25七年级下·山东泰安·期中）水是万物生命之源，但随着人口急剧增长，水资源透支令人担忧，节约用水迫在眉睫．某城市为了避免居民用水浪费现象，制定了居民每月每户用水标准，收费为正常标准，如果超标用水，超过部分加价收费，下表是小明家2025年两个月的收费表： 时间项目 用水量 费用（元） 1月 11 28 2月 15 44 (1)请问该城市居民标准内用水及超标部分用水的价格各是多少元？ (2)小明家三月份用水量是，他有50元钱，请问他的钱够交水费吗？如果不够，还差多少？ 【答案】 (1)正常收费标准为2元，超过部分4元 (2)不够交水费，还差30元 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用； （1）设正常收费标准为x元，超过部分y元，根据表格信息建立方程组解题即可； （2）先列式计算水费，再与50元比较即可； 【详解】（1）解：设正常收费标准为x元，超过部分y元， 由题意，得， 解得， 答：正常收费标准为2元，超过部分4元． （2）解：元， ， 不够， 元， 答：不够交水费，还差30元. 【变式练习1】（24-25八年级上·重庆南岸·期末）重庆某快递公司规定：寄件不超过的部分按起步价计费，超过不足，按照收费；超过不足按照收费，以此类推．某产家分别寄快递到重庆市内和北京，其中，寄往重庆市内的起步价为元，超过部分元/；寄往北京的起步价为元，超过部分元/．已知一个寄往重庆市内的快件，质量为，收费13元；一个寄往北京的快件，质量为，收费42元．如果一个寄往北京的快件，质量为，应收费______元． 【答案】30 【分析】根据分别寄快递到上海和北京的快递质量和费用，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之，然后根据2.8kg按照3kg收费即可得出应收费． 【详解】解：依题意，得：， 解得 ， 寄往北京市快件重2.8kg按照3kg收费， 应收费：元， 故答案为：30． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【变式练习2】（24-25八年级上·广东深圳·期末）综合与实践 【背景】住深圳的小颖想给亲朋好友寄送深圳特产． 【素材】 素材1：她了解到某快递公司的收费 标准（单位：元/千克）如下表： 计费单位 收费标准 广东省内 江浙沪地区 首重 续重 素材2： 电子存单1 电子存单2 托寄物：深圳特产 目的地：广州 计量重量：2千克 件数：1 总费用：12元 托寄物：深圳特产 目的地：上海 计量重量：5千克 件数：1 总费用：36元 素材3：收费说明： ①每件快递按送达地分别计算运费； ②运费计算方式：首重价格续重续重运费．首重均为1千克，超过1千克，即要续重，续重以1千克为计重单位（不足1千克按1千克计算）． 【问题解决】 (1)任务1：根据以上信息，求出； (2)任务2：小颖给在汕头的表哥寄出了2.8千克的深圳特产，她需要支付快递费多少元？ (3)任务3：小颖给在杭州的大姨寄特产快递费花了66元，求这份特产重量的取值范围． 【答案】 (1) (2)14元 (3)这份特产的重量大于9千克，小于等于10千克 【分析】本题主要考查了二元一次方程组以及一元一次方程的应用． （1）根据题意列出关于a，b的二元一次方程组，求解即可． （2）根据广东省内收费标准计算即可． （3）设这份特产按千克计费，根据江浙沪地区收费标准列出关于x的一元一次方程，解方程再结合不足1千克按1千克计算即可得出这份特产重量的取值范围． 【详解】（1）解：由题意可知： 解得． （2）解：因为不足1千克按1千克计算，故2.8千克按3千克计算， 即（元）． 她需要支付快递费14元． （3）解：设这份特产按千克计费， 则 解得． 所以这份特产的重量大于9千克，小于等于10千克． 题型14 积分问题 【典例】（2024·河北廊坊·二模）篮球赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜场得分，负场得分．小组积分赛中，每个队伍要进行场比赛． (1)队胜了场，那么他们负了 场，积分是 分． (2)队总积分为分，那么队胜负场数分别是多少？ 【答案】 (1)，； (2)队胜了场，负了场． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组解决问题． （1）由题意知队负了场，再由积分规则计算即可得到队积分为分； （2）设队胜了场，负了场，由等量关系列方程组求解即可解得答案． 【详解】（1）解：每个队伍要进行场比赛， 队胜了场，负了（场）， （分）， 队积分为分， 故答案为：，； （2）解：设队胜了场，负了场， 由题意可得，解得， 答：队胜了场，负了场． 【变式练习1】（24-25七年级下·湖北孝感·期末）小明、小华和小红三人玩飞镖游戏，各投5支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，中靶和得分情况如图，则小红的得分是______分． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设投中内圆得分，投中外圆得分，根据小明、小华的得分，可列出关于的二元一次方程组，解之可得出，的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：设投中内圆得分，投中外圆得分，根据题意得：， 解得：， （分）， ∴小红的得分是分． 故答案为：． 【变式练习2】（25-26七年级上·江苏淮安·月考）为迎接新年，淮安市文通中学举办了迎新年猜灯谜活动．共设20道谜题，各题分值相同，李华和张飞报名参加了活动，对每个谜题都进行了作答，下表记录了他们的得分情况． 参加者 答对题数 答错题数 得分 李华 20 0 100 张飞 14 6 64 (1)请你根据表格数据求出答对一道题得几分，答错一道题扣几分？ (2)参加活动的刘羽同学说他得了76分，请问他答对了几道题？答错了几道题？ (3)晓飞同学说他可以得79分，你认为可能吗？请说明理由． 【答案】 (1)答对一道题得5分，答错一道题扣1分 (2)刘羽同学答对了16道题，答错了4道题 (3)不可能，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组以及一元一次方程的实际应用，准确理解题意建立方程组或方程是解题的关键． （1）设答对一道题得x分，答错一道题扣y分，建立方程组，解方程组即可； （2）设刘羽同学答对了a道题，答错了道题，根据题意建立方程，解方程即可； （3）假设晓飞同学可以得79分，且他答对了b道题，则晓飞同学答错了道题，根据题意建立方程，解得不符题意，故假设不成立，晓飞同学不可能得79分． 【详解】（1）解：设答对一道题得x分，答错一道题扣y分， 由题意得， 由①得， 将③代入②得， 解得， ∴原方程组的解为， 答：答对一道题得5分，答错一道题扣1分． （2）解：设刘羽同学答对了a道题，答错了道题， 由题意得， 化简得， 解得， ∴ 答：刘羽同学答对了16道题，答错了4道题． （3）解：假设晓飞同学可以得79分，且他答对了b道题，则晓飞同学答错了道题， 由题意得， 化简得， 解得， ∵b应为整数， ∴不符题意， ∴假设不成立，即晓飞同学不可能得79分． 题型15 其他问题 【典例】（2025年安徽省芜湖市无为市部分学校九年级二模联考数学试题）某景区2023年接待游客总数为480万人次，2024年游客总数增长，省内与省外游客分别按和的比例增长，求2023年的省内、省外游客各为多少万人？ 【答案】省内游客为360万人，省外游客为120万人 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程．设2023年省内游客为万人，省外游客为万人，根据2023年接待游客总数为480万人次，2024年游客总数增长，省内与省外游客分别按和的比例增长，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设2023年省内游客为万人，省外游客为万人， 由题意得， 解得， 答：2023年省内游客为360万人，省外游客为120万人． 【变式练习1】（湖北省襄阳市樊城区襄阳实验中学2025-2026学年小升初择校考试数学试题）一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内，如果人淘水，3小时淘完；如果5人淘水8小时淘完．如果要求2小时淘完，要安排______人淘水． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 设一人一小时淘水量为1单位，进水速率为单位/小时，最初水量为单位，根据条件列出方程组求解，再求小时淘完所需人数． 【详解】解：设一人一小时淘水量为1单位，进水速率为单位/小时，最初水量为单位． ∵人淘水3小时淘完，得淘出水量单位， ∴； ∵5人淘水8小时淘完，得淘出水量单位， ∴． 列方程组， 解方程组，得， 解得：； 代入得， 解得：． 要求2小时淘完时，可设需人，则淘出水量单位， ∴期间进水单位， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式练习2】（2026·广西钦州·一模）2025年5月20日是第36个中国学生营养日，主题为“吃动平衡  身心健康”，核心倡导“加奶、增豆、少油”．初中生小宇的妈妈为他准备了两款营养食品：A款：高钙牛奶；B款：豆谷营养包．每一份的营养成分如下表所示：某天，小宇从这两种食品中恰好摄入了能量和蛋白质． 营养成分 1份A款高钙牛奶 1份B款豆谷营养包 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钙 (1)小宇这天食用了A款高钙牛奶和B款豆谷营养包各多少份？ (2)初中生每日脂肪摄入量的标准为．若小宇这天已经从其他食品中摄入了脂肪，在他吃完这两款食品后，脂肪摄入量是否超标？请说明理由． 【答案】 (1)小宇这天食用了A款高钙牛奶1份，B款豆谷营养包2份 (2)小宇这天的脂肪摄入量没有超标，理由见详解 【分析】（1）设小宇这天食用了A款高钙牛奶x份，B款豆谷营养包y份，根据“从这两种食品中恰好摄入了能量和蛋白质”列方程组求解即可； （2）由（1）可知小宇食用了A款高钙牛奶1份，B款豆谷营养包2份，根据表格求出摄入脂肪的量，再加上从其它食品中摄入脂肪，比较即可． 【详解】（1）解：设小宇这天食用了A款高钙牛奶x份，B款豆谷营养包y份， 由题意，列方程组得， 解得， 即小宇这天食用了A款高钙牛奶1份，B款豆谷营养包2份． （2）解：小宇这天的脂肪摄入量没有超标， 理由：由（1）可知小宇食用了A款高钙牛奶1份，B款豆谷营养包2份， ∴从这两款食品中摄入的脂肪量为， ∴小宇这天摄入的总脂肪量为， ∵初中生每日脂肪摄入量的标准为，而， ∴小宇这天的脂肪摄入量没有超标． 综合练习 一、选择题 1．（24-25七年级下·山东聊城·期中）将一摞笔记本分给若干同学，每个同学分5本，则剩下8本；每个同学分8本，又差了7本.设有个同学，本笔记本．根据题意列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两种分笔记本的情况，找出总笔记本数的等量关系，即可列出对应方程组． 【详解】解：设有个同学，本笔记本， 第一种情况：每个同学分5本，剩下8本，分出去的笔记本总数加剩余8本等于总笔记本数， 可得，整理得； 第二种情况：每个同学分8本，差了7本，总笔记本数加缺少的7本才够分， 可得，整理得； ∴列出方程组为． 2．（25-26九年级下·四川成都·月考）在我国古典数学著作《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”翻译成现代汉语就是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木多少尺？如果设长木长x尺、绳长y尺，则可以列出方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据题意找出等量关系即可列出方程组． 【详解】解：∵用绳子量长木，绳子剩余4.5尺，即绳长比木长长4.5尺， ∴可得 ， ∵将绳子对折量长木，长木还剩余1尺，即木长比对折后的绳长长1尺，对折后绳长为， ∴可得 ， 因此列出方程组为． 3．（24-25六年级下·全国·课后作业）甲、乙两个工人按计划一个月应生产680个零件，结果甲超额完成计划的20%，乙超额完成计划的15%，两人一共多生产118个零件，则原计划甲、乙各生产零件数为（    ） A．320，360 B．360，320 C．300，380 D．380，380 【答案】A 【分析】根据题意设原计划甲生产x个零件，乙生产y个零件，根据甲、乙两个工人，按计划本月应共生产680个零件，实际甲超额20%、乙超额15%，因此两人一共多生产118个零件列出方程组，求出方程组的解即可得到结果． 【详解】解：设原计划甲生产x个零件，乙生产y个零件， 根据题意得：， 解得：，即原计划甲生产320个零件，乙生产360个零件． 故选：A． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意设未知数并找出题中的等量关系是解答本题的关键． 4．（24-25七年级下·甘肃武威·月考）某船顺流航行用了，逆流航行，用了，则水流速度为 ，船在静水中的速度为 A．2，10 B．2，15 C．10，2 D．15，2 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，正确列方程组是解题的关键；设水流速度为，船在静水中的速度为，根据题意列方程组求解即可． 【详解】解：设水流速度为，船在静水中的速度为． 由题意，得， 解得， 水流速度为，船在静水中的速度为， 故选：． 5．（23-24七年级下·河北唐山·期中）一个两位数，十位上的数与个位上的数之和是8，个位数字与十位数字交换后所得新数比原数大18，求这个两位数．若设十位数字为，个位数字为，则下列说法正确的是（   ） A．根据题意，列方程组得 B．根据题意，列方程组得 C．这个两位数是26 D．这个两位数是62 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．根据“这个两位数，十位上的数与个位上的数之和是8，个位数字与十位数字交换后所得新数比原数大18”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：依题意得：，即， 解得：， 则这个两位数是． 故选：A． 6．（2025·贵州遵义·一模）703班有男女同学若干人，女同学因故走了8名，这时男女同学之比为5：2，后来男同学又走了12名，这时男女同学人数相同，那么最初的女同学有（   ） A．15名 B．16名 C．17名 D．18名 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系、正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设最初的女同学有x人，最初的男同学有y人，根据“女同学因故走了8名，这时男女同学之比为5：2，后来男同学又走了12名，这时男女同学人数相同”，即可得出关于x，y的二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设最初的女同学有x人，最初的男同学有y人， 依题意，得：，解得：． 故选：B． 7．（2026·安徽阜阳·一模）第十二届世界运动会于年月日至日在四川成都举行，某经销店调查发现：吉祥物“蜀宝”和“锦仔”深受青少年喜爱．已知购进3个“蜀宝”比购进个“锦仔”多用元；购进个“蜀宝”和个“锦仔”共用元．该商店决定购进“蜀宝”和“锦仔”各个，其总费用为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用．先设出两种吉祥物的单价，根据题意列方程组，求解单价后计算总费用即可． 【详解】解：设个“蜀宝”进价为元，个“锦仔”进价为元， 根据题意得， 将两个方程相加，得， ∴， 把代入，得， 解得， ∴总费用为元． 8．（2026七年级下·全国·专题练习）爸爸今年34岁，子女两人的年龄和是16岁，两年后，妹妹年龄的3倍与哥哥的年龄相加恰好等于爸爸的年龄．哥哥和妹妹今年的年龄分别是（   ） A．9岁、7岁 B．10岁、6岁 C．12岁、4岁 D．12岁、6岁 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 设哥哥今年年龄为岁，妹妹为岁，根据年龄和与两年后的条件列方程组求解． 【详解】解：设哥哥今年年龄为岁，妹妹为岁 ∵ 今年子女年龄和， 两年后爸爸年龄为岁， 且， 化简得：， 联立方程： ， ② − ①得：， ， 代入①得：. 故原方程组的解为 ∴ 哥哥岁，妹妹岁； 故选：B. 9．（23-24七年级上·四川绵阳·期末）某工厂有名工人，每个工人每天能加工6个型零件或者3个型零件，其中某产品每套由4个型零件和3个型零件配套组成，现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套，现50天恰好完成1200套产品的生产任务，则的值为（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．设安排x名工人加工型零件，则安排名工人加工B型零件，根据每天加工的零件正好配套，50天恰好完成1200套，列出出关于二元一次方程组，解之可得出m的值即可求出结论． 【详解】解：设安排x名工人加工A型零件，则安排名工人加工B型零件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 则工厂有40名工人， 故选：B． 10．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）某班有15名女同学参加夏令营活动，住宿时有2人间和3人间可供租住，每个房间都要住满，她们有几种租住方案（   ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程，找出符合条件的正整数解．设住了x间2人间，y间3人间，列出方程，根据为偶数，15为奇数，推出y为奇数，找出所有符合条件的正整数解即可． 【详解】解：设住了x间两人间，y间3人间， 根据题意可列方程：， ∵为偶数，15为奇数， ∴为奇数，则y为奇数， 当时，； 当时，； 当时，； ∴共有3种住宿方案， 故选：C． 11．（24-25七年级下·河北邢台·期末）如图，两架天平均保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即三块巧克力的质量＝两个果冻的质量，一块巧克力的质量+一个果冻的质量克．根据这两个等量关系式可列一个方程组，进行求解即可． 【详解】解：设每块巧克力的重量为x克，每块果冻的重量为y克． 由题意列方程组得：， 解方程组得：． 即：每块巧克力的质量是20克． 故选：B． 【点睛】题考查二元一次方程的应用，根据等量关系列方程组是关键． 12．（贵州省遵义市2025年初中生数学学科八年级竞赛试卷）如图，将8块相同长方形木板拼成一个长方形，则每块木板的长和宽分别是（   ） A．， B．， C．， D．， E．， 【答案】A 【分析】设每块木板的长为，宽为，根据长方形的对边相等及大长方形的宽为，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设每块木板的长为，宽为， 依题意得：， 解得：， ∴每块木板的长为，宽为． 13．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）某城市规定：出租车起步价所包含的路程为0-3km，超过3km的部分按每千米另收费，甲说：“我乘这种出租车走了11km，付了17元．”乙说：“我乘这种出租车走了23km，付了35元．”请你算一算：出租车的起步价是多少元？（　　） A．8元 B．5元 C．6元 D．7元 【答案】B 【分析】设这种出租车的起步价为元，超过3千米的部分每千米元，根据“乘这种出租车走了11千米，付了17元；乘这种出租车走了23千米，付了35元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设这种出租车的起步价为元，超过3千米的部分每千米元， 依题意，得：， 解得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组． 14．（24-25七年级下·河南鹤壁·期末）某市举行中学生足球比赛，每队胜一场得3分，负一场得1分，本次足球比赛没有平局，下表是市实验学校比赛信息（不完整），则该校获胜的场数为（　　） 胜 负 合计 场数 y 积分 A．6场 B．7场 C．8场 D．9场 【答案】C 【分析】根据题意得胜场积分为，则胜场数为x，负场数为y，则负场积分为y，列方程，进行计算即可得． 【详解】解：胜场积分为，则胜场数为x，负场数为y，则负场积分为y， ， ②①得，， ， 将代入①式得， ， ∴方程组的解为， 即该校获胜的场数为8场， 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，根据题意找出等量关系列出二元一次方程组． 15．（23-24七年级下·浙江·期中）假设同种类每枚硬币的质量相同，仅用一架天平和五个10克的砝码作为工具，小明作了以下记录： 记录 天平左边 天平右边 状态 记录一 5枚壹元硬币和1个10克的砝码 10枚伍角硬币 平衡 记录二 15枚壹元硬币 20枚伍角硬币和1个10克的砝码 平衡 记录三 一袋硬币（袋子重量忽略不计） 5个10克的砝码 平衡 记录三的袋子中装了一定数量的壹元硬币和伍角硬币，那袋子中最多有壹元硬币（　　）枚 A．6 B．7 C．8 D．11 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，列出方程组是本题的关键． 设1枚壹元硬币重克，1枚伍角硬币重克，根据题意列二元一次方程组并求解；设袋子中有壹元硬币枚，伍角硬币枚，根据记录三得到一个等式，将用表示出来，根据和均为正整数求出的最大值即可． 【详解】解：设1枚壹元硬币重克，1枚伍角硬币重克． 根据题意，得， 解得， ∴枚壹元硬币重6克，1枚伍角硬币重4克． 设袋子中有壹元硬币枚，伍角硬币枚， 则， 解得， ∵和均为正整数， ∴当时，值最大，此时． 故选：B． 二、填空题 16．（2026·山西·一模）为响应“数字校园”建设，某校采购一批智能答题器和错题打印机，用于课堂教学，已知采购2台智能答题器和3台错题打印机共花费1480元，采购4台智能答题器和1台错题打印机共花费1840元．若设1台智能答题器的价格为元，1台错题打印机的价格为元，则可列方程组为________． 【答案】 【分析】根据题目给出的两个总费用的等量关系，分别列出方程，组成二元一次方程组即可． 【详解】解：由题意得． 17．（2025八年级·山东·竞赛）甲加工一种零件，乙加工另一种零件．甲用型机器需要6小时才能完成任务，用型机器效率降低；乙用型机器需要10小时才能完成任务，用型机器效率提高．如果甲用型机器，乙用型机器同时开始工作，中途某一时刻交换使用机器，甲和乙同时完成任务．则甲完成任务所用的时间是__________小时． 【答案】9 【分析】考查二元一次方程组的应用，得到两个工作量1的等量关系是解决本题的关键．设甲用机器小时，机器小时；那么乙用机器小时，用机器小时，等量关系为：甲用型机器的工作量用型机器的工作量；乙用型机器的工作量用型机器的工作量，把相关数值代入求得两个时间，相加即为完成任务需要时间． 【详解】解：甲用机器每小时加工的零件，用机器加工的零件； 乙用机器每小时加工的零件，用机器加工的零件， 设甲用机器小时，机器小时；那么乙用机器小时，用机器小时，则由题意可得： ， 解得， 甲完成任务所用的时间是9小时， 故答案为：9． 18．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）学校组织学生乘汽车去自然保护区野营，前路段为平路，其余路段为坡路．已知汽车在平路上行驶的速度为，在坡路上行驶的速度为．汽车从学校到自然保护区一共行驶了，则汽车在坡路上行驶了______ h． 【答案】5.2 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设汽车在平路上行驶了，在坡路上行驶了，再利用汽车从学校到自然保护区一共行驶了，前路段为平路，建立方程组求解即可． 【详解】解：设汽车在平路上行驶了，在坡路上行驶了， 由题意，得， 解得 故汽车在坡路上行驶了． 故答案为：5.2． 16．（山东省潍坊市2025—2026学年下学期期中学业质量监测七年级数学）一个两位数的十位数字与个位数字之和为6，将个位数字与十位数字对调后，得到的两位数比原来的两位数小18．则原来的两位数为______． 【答案】42 【分析】设原来两位数的十位数字与个位数字分别为未知数，根据题目给出的两个等量关系列二元一次方程组，求解后即可得到原来的两位数． 【详解】解：设原来两位数的十位数字为，个位数字为， 根据题意，得， 解得， 因此原来的两位数为． 20．（24-25七年级下·福建漳州·月考）甲、乙两人共有图书本，若甲给乙本后，甲的图书数是乙的倍，则甲原有图书______本． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设甲原有图书本，乙原有图书本，根据题意列方程组即可求解． 【详解】解：设甲原有图书本，乙原有图书本， 根据题意得：， 解得：， 甲原有图书本， 故答案为：． 21．（2026七年级下·全国·专题练习）小甘到文具超市去买文具．根据图中的对话信息，可求出中性笔和笔记本的单价分别是__________元和__________元． 【答案】 2 6 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设中性笔的单价是元，笔记本的单价是元，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设中性笔的单价是元，笔记本的单价是元， 根据题意得： 解得： 中性笔的单价是元，笔记本的单价是元． 故答案为：，． 22．（2024七年级·全国·竞赛）有一对夫妻，他们现在的年龄之和是其子女现在年龄之和的6倍，他们2年前的年龄之和是其子女2年前年龄之和的10倍，他们6年后的年龄之和是其子女6年后年龄之和的3倍，那么这对夫妇共有_______个子女． 【答案】3 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设子女们今年年龄之和为x岁，子女的人数为y人，那么这对夫妻今年的年龄之和为6x岁，根据题意列出二元一次方程组，求解即可得出答案． 【详解】设子女们今年年龄之和为x岁，子女的人数为y人，那么这对夫妻今年的年龄之和为6x岁，， 解得． 所以子女的人数为3人， 故答案为：3． 23．（25-26七年级下·全国·课后作业）某家具生产厂生产某种配套桌椅（1张桌子配4把椅子），已知每块板材可制作桌子1张或椅子3把，现计划用140块这种板材生产一批桌椅（不考虑板材的损耗），生产出来的桌椅刚好配套．设用块板材制作桌子，用块板材制作椅子，则________． 【答案】60 【分析】本题考查二元一次方程组在配套问题中的应用，掌握根据配套比例建立数量关系，结合总资源数列方程的方法是解题的关键． 根据总板材数和桌椅配套关系列出二元一次方程组，通过代入法求解． 【详解】解：设用块板材制作桌子，块板材制作椅子， 由总板材数可得． 生产桌子张，椅子把，由于配套要求为张桌子配把椅子，故椅子数量是桌子数量的倍，即． 联立方程得： 解得： 故答案为：． 24．（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）大学生运动会召开时，某校有56名学生报名参加志愿者活动，这些学生被分为4人小组或6人小组，则分组的方案共有________种． 【答案】5 【分析】本题考查了二元一次方程的非负整数解，设4人小组有x组，6人小组有y组，则 化简得，求出方程的非负整数解，问题得解﹒ 【详解】解：设4人小组有x组，6人小组有y组，则 化简得， 方程的非负整数解有， ∴有5种分组方案﹒ 故答案为：5 25．（25-26八年级上·全国·随堂练习）小明打算购买笑脸和爱心两种气球，同一种气球的价格相同．第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为______元． 【答案】18 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，正确列出方程组是解题的关键． 根据题意直接列出二元一次方程组，再整理得到的值，即可解题． 【详解】解：设一个笑脸气球的价格为元，一个爱心气球的价格为元， 由图知，， 由①②得：， 整理得：， 第三束气球的价格为元． 故答案为：． 26．（25-26九年级下·江苏徐州·期中）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则__________． 【答案】 【分析】根据题意列出二元一次方程组，求出，的值即可得到答案． 【详解】解：， 解得， ． 27．（24-25七年级下·重庆九龙坡·月考）我市出租车起步价所包含的路程为，超过的部分按每千米另收费．小江乘坐这种出租车走了，付了元；小北乘坐这种出租车走了，付了元．设这种出租车的起步价为元，超过后每千米收费元．根据题意，可列方程组为__________________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理清题意，正确列出二元一次方程组是解答本题的关键． 根据“小江乘坐这种出租车走了，付了元；小北乘坐这种出租车走了，付了元”，列出二元一次方程组，即可解答． 【详解】解：根据题意得， 故答案为：． 28．（25-26七年级上·重庆·开学考试）某小学有120人参加数学竞赛，平均得分78分，其中男生平均得分75分，女生平均得分80分，则男生比女生少_______人． 【答案】24 【分析】设男生有x人，女生有人，根据题意得：，解答即可． 本题考查了方程组的应用，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】解：设男生有x人，女生有人， 根据题意得：， 解得：． 故（人）， 故答案为：24． 29．（河北省张家口市张家口市高新技术产业开发区2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题）加密是保障数据安全的一种方式，明文通过加密规则加密成密文．某加密规则为：明文对应加密文，如明文对应加密文．若接收到的加密文为，则发送的明文是______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设明文为，由加密规则得方程组，解此方程组即可得明文，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设明文为，由加密规则得方程组： ， 解得：， ∴明文为：， 故答案为： 三、解答题 30．（25-26八年级上·陕西西安·月考）今有雀一只重一两九铢，燕一只重一两五铢．有雀，燕二十五只，并重二斤一十三铢．问：燕，雀各几何？（选自《张丘建算经》）题目大意：只雀重两铢，只燕重两铢．雀和燕一共有只，共重斤铢．燕，雀各有多少只？（这里的“斤”“两”“铢”是我国古代质量单位，斤两，两铢） 【答案】有雀14只，燕11只． 【分析】本题主要考查二元一次方程组与实际问题，题目中的等量关系为：雀的数量燕的数量，雀的总重量燕的总重量斤铢． 【详解】根据题意可知，只雀重铢，只燕重铢，雀和燕共重铢． 设有雀只、燕只，根据题意，得    解得 答：有雀只，燕只． 31．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如何分配工作时间 如何分配工作时间，使公司能在规定时间内完成任务 素材1 某电子零件生产公司承接到19200个零件的生产订单，计划将任务分配给甲、乙两个车间去完成．若甲车间生产12天，乙车间生产24天，则比订单多生产720个；若甲车间生产24天，乙车间生产12天，则比订单少生产240个零件． 素材2 经调查，甲车间每人每天能生产25个电子零件，乙车间每人每天能生产20个电子零件． 素材3 因分公司生产需求，需从两个车间抽走相同数量的工人，为了保证抽调后两个车间每天生产总和不变，且甲、乙两车间同时开工生产，余下工人每人每天生产个数需要提高． 问题解决 (1)求甲、乙车间原来每天生产多少个电子零件？ (2)甲、乙车间抽调后各有多少人？ (3)若按甲、乙车间抽调后的人数和提高后的工作效率计算，如何分配甲、乙两车间工作的天数（天数为整数），使公司能在不超过20天的情况下，恰好完成该任务？ 【答案】 (1)甲车间原来每天生产500个零件，乙车间原来每天生产580个零件 (2)甲车间抽调人数后有16人，乙车间抽调人数后有25人 (3)方案一：甲车间工作20天，乙车间工作16天；方案二：甲车间工作15天，乙车间工作20天 【分析】（1）设甲车间原来每天生产个零件，乙车间原来每天生产个零件，根据题意列出方程组进行求解即可； （2）设每个车间被抽走人，根据“抽调后两个车间每天生产总和不变”进行列式求解即可； （3）设甲车间工作天，乙车间工作天，根据题意列出二元一次方程，再求出符合要求的解即可． 【详解】（1）解：设甲车间原来每天生产个零件，乙车间原来每天生产个零件， ， 解得， 答：甲车间原来每天生产500个零件，乙车间原来每天生产580个零件； （2）解：设每个车间被抽走人， 抽调前 抽调后 车间效率 个人效率 人数 个人效率 人数 车间效率 甲 500 25 20 30 和不变 乙 580 20 29 24 ∴ 解得， ∴甲车间人数：（人）；乙车间人数：（人）； （3）解：由（2）得，甲车间抽调后每天生产480个零件，乙车间抽调后每天生产600个零件， 设甲车间工作天，乙车间工作天， 由题意得，， ∴符合要求的解为， ∴方案一：甲车间工作20天，乙车间工作16天；方案二：甲车间工作15天，乙车间工作20天． 32．（25-26八年级上·全国·课后作业）为做好赛事保障工作，甲、乙两辆赛事保障车对一条坡道进行巡逻检查，上、下坡时全程匀速．已知甲车从坡底行驶到坡顶用时3分钟，从坡顶行驶到坡底用时2分钟，甲车下坡比上坡每分钟多行驶300米，若两车上坡、下坡的速度分别相同． (1)求坡道的长度； (2)若甲车在坡顶，乙车在坡底，甲、乙两车同时出发相向而行，经过多久两车相距300米？ 【答案】 (1)坡道的长度为1800米 (2)经过1分钟或1.4分钟后两车相距300米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用——上下坡问题．熟练掌握路程与速度和时间的关系列方程，是解题的关键． （1）设上坡时的速度为米／分钟，坡道长度为米，则下坡时的速度为米／分钟．根据从坡底行驶到坡顶用时3分钟，从坡顶行驶到坡底用时2分钟，列二元一次方程组解答； （2）利用第（1）问求出的速度，设经过分钟后两车相距300米，分①相遇之前，②相遇之后，列方程解答. 【详解】（1）解：设上坡时的速度为米／分钟，坡道长度为米，则下坡时的速度为米／分钟． 根据题意，得解得 答：坡道的长度为1800米． （2）解：由（1）可知甲、乙两车上坡的速度为600米／分钟，下坡的速度为（米／分钟）． 设经过t分钟后两车相距300米， ①相遇之前：，解得； ②相遇之后：，解得． 答：经过1分钟或1.4分钟后两车相距300米． 33．（24-25七年级下·河南周口·期中）有一个两位数，设它的十位数字为，个位数字为，已知十位数字与个位数字的和为8．若把十位数字和个位数字互换位置后，得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数小． (1)原来的两位数为_____，新的两位数为_____．（用含，的代数式表示） (2)根据题意，求原来的两位数． 【答案】 (1)； (2) 【分析】本题考查了列代数式和二元一次方程组的应用，正确理解题意，掌握数字的表示方法即可； （1）根据数字的表示方法即可求解； （2）由题意，得即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：原来的两位数为；新的两位数为； 故答案为：； （2）解：由题意，得         解得             答：原来的两位数为 34．（25-26七年级下·全国·课后作业）有一群鸟，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食．若从地上飞到树上1只，则地上的鸟就是整个鸟群的；若从树上飞到地上1只，则树上、地上的鸟就一样多了．你知道树上、地上各有多少只鸟吗？试列方程组解答． 【答案】树上有7只鸟，地上有5只鸟． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 设树上有只鸟，地上有只鸟，根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设树上有只鸟，地上有只鸟． 根据条件，若从地上飞到树上1只，则地上的鸟为整个鸟群的，得：； 若从树上飞到地上1只，则树上、地上的鸟一样多，得：； 即， 解得：． 答：树上有7只鸟，地上有5只鸟． 35．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）寒冬时节，哈尔滨冰雪大世界游人如织，景区文创商店热销两款特色纪念品——雪花造型冰箱贴和草莓熊毛绒玩具．已知购买2个雪花冰箱贴和3个草莓熊毛绒玩具共需145元，购买4个雪花冰箱贴和1个草莓熊毛绒玩具则需105元． (1)求每个雪花冰箱贴和草莓熊毛绒玩具的售价各是多少元？（列二元一次方程组解决问题） (2)已知雪花冰箱贴每个进价10元，草莓熊每个进价25元．随着天气变暖，文创商店开展清仓促销活动，草莓熊按原售价降价7元销售，雪花冰箱贴售价不变．店内剩余的30个雪花冰箱贴全部售完，剩余草莓熊也全部售出，本次清仓活动这两款纪念品共获利润420元．请问清仓时出售了多少个草莓熊？ 【答案】 (1)每个雪花冰箱贴售价17元，每个草莓熊毛绒玩具售价37元 (2)清仓时出售了42个草莓熊 【分析】（1）设每个雪花冰箱贴的售价是x元，草莓熊毛绒玩具的售价是y元，根据题意列方程求解即可； （2）设清仓时出售了z个草莓熊，根据雪花冰箱贴和草莓熊毛绒玩具的利润之和等于420元列方程求解即可． 【详解】（1）解：设每个雪花冰箱贴的售价是x元，草莓熊毛绒玩具的售价是y元， 根据题意，得， 解得， 答：每个雪花冰箱贴售价17元，每个草莓熊毛绒玩具售价37元． （2）解：设清仓时出售了z个草莓熊， 根据题意，得， 解得， 答：清仓时出售了42个草莓熊． 36．（24-25七年级下·全国·课后作业）若6年前，甲的年龄是乙的3倍，现在甲的年龄是乙的2倍，求甲、乙现在的年龄．设甲现在的年龄为x岁，乙现在的年龄为y岁． (1)填表： 姓名 现在的年龄 6年前的年龄 甲 乙 (2)列出关于x，y的二元一次方程组． 【答案】 (1) (2) 【分析】本题考查了列二元一次方程组，列代数式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据甲现在的年龄为x岁，乙现在的年龄为y岁，得出6年前甲的年龄为岁，6年前乙的年龄为岁，即可作答． （2）结合6年前，甲的年龄是乙的3倍，现在甲的年龄是乙的2倍，列出方程组，即可作答． 【详解】（1）解：∵设甲现在的年龄为x岁，乙现在的年龄为y岁 ∴6年前甲的年龄为岁，6年前乙的年龄为岁， 填表如下： 姓名 现在的年龄 6年前的年龄 甲 乙 （2）解：∵6年前，甲的年龄是乙的3倍，现在甲的年龄是乙的2倍， ∴ 37．（25-26八年级上·全国·随堂练习）某工厂用如图①所示的长方形和正方形纸板做成如图②所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒． (1)现有长方形纸板340张，正方形纸板160张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完，求能做成的两种纸盒的个数； (2)工厂共有78名工人，每名工人一天能生产70张长方形纸板或100张正方形纸板，已知一个竖式纸盒与一个横式纸盒配套．如何分配工人，才能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套？ 【答案】 (1)能做成40个竖式纸盒，60个横式纸盒 (2)分配60名工人生产长方形纸板，18名工人生产正方形纸板 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是弄清题意，找出题目蕴含的等量关系，列出方程或方程组解决问题． （1）设能做成的型盒有个，型盒子有个，根据长方形纸板340张，正方形纸板160张，可得出方程组； （2）设分配个工人生产长方形纸板，则个工人生产正方形纸板，由一个竖式纸盒与一个横式纸盒需要正方形纸板3个，长方形纸板7个，也就是正方形纸板的数量是长方形纸板数量的，由此列出方程解答即可． 【详解】（1）解：设能做成个竖式纸盒，个横式纸盒， 根据题意，得， 解得， 答：能做成40个竖式纸盒，60个横式纸盒． （2）解：设分配个工人生产长方形纸板，则个工人生产正方形纸板，由题意得， ， 解得， ， 答：分配60个工人生产长方形纸板，则18个工人生产正方形纸板． 38．（25-26七年级下·福建福州·期中）2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武BOT》是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．某快递企业为提高工作效率．拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元． (1)求A、B两种型号智能机器人的单价． (2)现计划用480万元采购A型和B型机器人，两种机器人均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案． 【答案】 (1) A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元 (2) 共有1种购买方案，为购买A型机器人3台，B型机器人4台 【分析】（1）设、两种型号智能机器人的单价分别为万元，万元，根据题意列出方程组即可得到答案； （2）设购买A型机器人a台，B型机器人b台，根据题意列出二元一次方程，然后结合a、b为正整数求解即可． 【详解】（1）解：设、两种型号智能机器人的单价分别为万元，万元， 由题意得，，解得， 答：型号智能机器人的单价为80万元，型号智能机器人的单价为万元； （2）解：设购买A型机器人a台，B型机器人b台，得：， ∴ ∵a、b为正整数， ∴此方程的解为：， 答：共有1种购买方案，为购买A型机器人3台，B型机器人4台． 39．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，某纺织厂从原料产地A地购进一批优质长绒棉运回工厂，加工制成高档纺织面料后运往B地销售，该纺织厂所在地与A、B两地分别通过公路、铁路相连，已知公路运费为0.5元/（吨），铁路运费为0.2元/（吨），从A地运输这批优质长绒棉到纺织厂，以及从纺织厂运输面料到B地，总共支出公路运费5200元，铁路运费16640元，求这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉和运往B地的纺织面料分别是多少吨？ 【答案】这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉吨，运往B地的纺织面料吨． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉吨，运往B地的纺织面料吨，再结合图形信息列出方程组解题即可． 【详解】解：设这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉吨，运往B地的纺织面料吨，则 ， 解得：， 答：这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉吨，运往B地的纺织面料吨． 40．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）阅读材料： 小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个边长为1的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． 解决问题： (1)请按照小明的思路完成上述问题：求出每个小长方形的面积； (2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起，此时高度是 ； (3)小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图4），求图中阴影部分的面积，请给出解答过程． 【答案】 (1)15 (2)20 (3)64 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． （1）设小长方形的长为x，宽为y，观察图形即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，再根据长方形的面积公式即可得出每个小长方形的面积； （2）设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为，根据图示数据列二元一次方程组，求出a，b的值，即可求解； （3）设小长方形的长为x，宽为y，根据长方形的长为19，宽的两种不同表达方式列出方程组求出小长方形的长和宽，进一步求出图中阴影部分的面积． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， 每个小长方形的面积为：； （2）解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为， 根据题意，得， 解得， 则13个纸杯整齐叠放在一起的高度为：， 故答案为：20； （3）解：设小长方形的长为x，宽为y， 根据题意得， 解得， ∴阴影部分的面积为：． 41．（23-24七年级下·广西贵港·期末）某市自来水收费实行阶梯水价，基本用水量为5立方米，超出5立方米的部分另收费．李芳说：“我家8月份用水10立方米，付水费25元．”王明说：“我家8月份用水14立方米，付水费37元．” (1)该市自来水的基本水价为每立方米多少元？超出5立方米的部分每立方米收费多少元？ (2)赵聪家8月份付水费43元，请计算他家该月用了多少立方米水． 【答案】 (1)该市自来水的基本水价为每立方米2元，超出5立方米的部分每立方米收费3元 (2)赵聪家该月用了16立方米水 【分析】本题考查了二元一次方程组与一元一次方程的实际应用，理解题意并找到等量关系是解题的关键． （1）设该市自来水的基本水价为每立方米x元，超出5立方米的部分每立方米收费y元．根据：李芳家8月份用水10立方米，付水费25元；王明家8月份用水14立方米，付水费37元；列出二元一次方程组，解之即可； （2）设赵聪家该月用了a立方米水．根据：基本用水量的水费超过部分水量的水费，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：设该市自来水的基本水价为每立方米x元，超出5立方米的部分每立方米收费y元． 由题意，得 解得； 答：该市自来水的基本水价为每立方米2元，超出5立方米的部分每立方米收费3元． （2）解：设赵聪家该月用了a立方米水． 由题意，得，解得． 答：赵聪家该月用了16立方米水． 42．（2026七年级下·江苏·专题练习）一次知识竞赛，共设20道选择题，每题必答．下表记录了3名参赛同学在这次比赛中的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 93 C 18 2 86 (1)在这次比赛中，答对一道题得 分，答错一道题扣 分； (2)同学G说他得了82分，你认为可能吗？通过列方程计算说明理由． 【答案】 (1)5；2 (2)同学G不可能得82分，见解析 【分析】（1）设答对一道题得x分，答错一道题扣y分，根据表中数据列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）假设同学G得了82分，设同学G答对了m道题，则答错了道题，根据得分答对题目数答错题目数，列出关于m的一元一次方程，解之可得出m值，即可解决问题． 【详解】（1）解：设答对一道题得x分，答错一道题扣y分， 由题意得：， 解得：， 即答对一道题得5分，答错一道题扣2分， 故答案为：5；2； （2）解：同学G不可能得82分，理由如下： 假设同学G得了82分， 设同学G答对了m道题，则答错了道题， 根据题意得：， 解得， 又∵m为自然数， ∴不符合题意，舍去， ∴假设不成立， 即同学G不可能得82分． 43．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）综合与实践 【问题背景】 巢湖素有“皖中明珠”之美誉，旅游度假资源丰富．某校八年级（1）班同学为了完成老师布置的综合与实践作业——制作《巢湖市金牌旅游住宿资源推介》，分成了若干个学习小组，先通过携程、飞猪、美团、去哪儿等在线旅游平台提供的相关信息对巢湖市优质度假区、高档宾馆、精品民宿等三种不同类型的住宿资源进行了“金牌旅游住宿”的名称界定；然后，从中各选取两家通过电话咨询了解住宿的位置优势以及不同房间的基本住宿价格；最后，结合平台用户评分和商家电话介绍，在这三种住宿资源类型中均选择了假期预订量最高的家庭房进行了实地调查，希望给《巢湖市金牌旅游住宿资源推介》的制作提供可靠的数据来源． 【材料收集与整理】 各学习小组在同一天奔赴不同金牌旅游住宿地进行调查，获取到度假区和高档宾馆类型的金牌旅游住宿均会结合市场需求根据房型实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间比淡季上涨；精品民宿的定价也有淡季、旺季之分，但上涨比例相对灵活；通过各旅游平台下单、电话预定、现场订房的优惠差距可忽略不计．此外，不同类型的金牌旅游住宿费用差距较大，环境风格差异明显，消费群体有区别．具体材料如下： 材料一：度假区离巢湖市中心约15公里，离高铁站、高速公路收费站均在6公里以内．度假区的一房别墅住宿，可享受一站式家庭旅游体验，同时赠送温泉疗养项目，采用标准化管理．第一学习小组获取某两天的相关记录如表所示： 度假区 淡季 旺季 未入住一房别墅间数 10 0 该房型日总收入（元） 9600 24000 材料二：高档宾馆在巢湖市中心3公里以内，出行观光便利，亲子设施、运动设施、餐饮服务、交通服务等均符合标准化管理，品质有保障．第二学习小组获取某两天的相关记录如表所示： 高档宾馆 淡季 旺季 未入住家庭房间数 5 0 该房型日总收入（元） 5600 10500 材料三：精品民宿距巢湖市中心约20公里，没有明确标注“家庭房”房型，但有适合亲子家庭的替代方案一：适合4个亲子家庭自行组团整体合租的集住宿、休闲、运动、书吧于一体的门庭小院，小院为稀缺型旅游住宿资源只有一座；方案二：在有儿童游乐和手工体验区的民宿公共区选择客栈标准间大床房组合（两者价格一样，各有20间可供选择）．第三学习小组获取某两天的相关记录如表所示： 精品民宿 淡季 旺季 一座门庭小院价格 2000 2600 客栈标准间单价 300 360 【数据分析与运用】 任务1：（1）该度假区的一房别墅有多少间？一房别墅旺季每间价格为多少元？该高档宾馆旺季家庭房每间价格为多少元？ 任务2：（2）请通过计算说明该精品民宿旺季比淡季每间（座）上涨是否符合的标准？ 任务3：（3）如果有位游客在网络上看到了该校八（1）班同学分享的《巢湖市金牌旅游住宿资源推介》视频，想在春节期间来巢湖亲子游，你会给他推荐哪种类型的金牌旅游住宿资源呢？请你说明理由． 【答案】（1）度假区一房别墅有20间，一房别墅旺季每间价格为1200元，高档宾馆旺季家庭房每间价格为700元 （2）精品民宿旺季门庭小院价格上涨30%，客栈标准间价格上涨20%，均不符合25%的标准 （3）推荐高档宾馆，理由是其位于巢湖市中心3公里以内，出行观光便利，亲子设施、运动设施等齐全且品质有保障，旺季每间价格700元较为适中（答案不唯一，合理即可） 【分析】（1）设该度假区的一房别墅有y间，淡季的房价为x元，根据题意，得 ，解方程组即可得解；设该高档宾馆淡季家庭房每间价格为m元，共有n间，根据题意，得，解方程组即可得解； （2）设一座门庭小院价格上涨，客栈标准间单价上涨，根据题意，得 ，，比较解答即可； （3）只要合理即可答案不唯一． 【详解】（1）解：设该度假区的一房别墅有y间，淡季的房价为x元，根据题意，得 ， 解得， 故， 故度假区一房别墅有20间，一房别墅旺季每间价格为1200元； 设该高档宾馆淡季家庭房每间价格为m元，共有n间，根据题意，得， 解得， 故， 故高档宾馆旺季家庭房每间价格为700元； （2）解：设一座门庭小院价格上涨，客栈标准间单价上涨，根据题意，得 ，， 解得，， 故精品民宿旺季门庭小院价格上涨30%，客栈标准间价格上涨20%，均不符合25%的标准； （3）解：推荐高档宾馆，理由是其位于巢湖市中心3公里以内，出行观光便利，亲子设施、运动设施等齐全且品质有保障，旺季每间价格700元较为适中（答案不唯一，合理即可） 学科网（北京）股份有限公司 $