广东广州市第八十六中学2025-2026学年第二学期期中考试数学试题

广州市第/八十六中学2025-2026学年第二学期期中考试数学试卷答案 一、选择题： 1.【答案】D【详解】由题意已知f(x,)=3,可得1imo-fo-22-21imo-fo-2a=6 2△X 2.【答案】D【详解】“至少取到1件次品”分两种情况：取的1件次品的方法数为：CC, 种：取到2件次品的方法数为：CC,种，由分类加法计数原理知，共有CC,+CC,=144种 不同的方法数 3.【答案】C【详解】先排2个歌唱类节目和3个舞蹈类节目，共有A=120种不同的演 出顺序；再排2个小品节目，共有A?=20种不同的演出顺序.根据分步乘法计数原理可知， 共有120×20=2400种不同的演出顺序 4.【答案】B【详解】解：令x=-1,得(3-1)°=a,即a。=32, 令x=-2,得(3-2)°=1=a-4+a2-a+a4-a5,即1=32-a+a-a,+a4-a,所以8-a2+0,-a,+a,=31 5.【答案】C【详解】由于小球每次遇到黑色障碍物时，有一次向左和两次向右或两次向左 和一次向右下落时，小球将落入A袋，所以0=（日）+c得币》 6.【答案】A【详解】解：因为f(x)=(x2-x-1)e定义域为R, 所以f(x)=（x2+x-2)e1=(x+2)(x-1)eH,所以当-2<x<1时f"(x)<0,当x<-2或x>1时f"(x)>0, 所以f(x)在(2,1)上单调递减，在(-n,-2)和(L,+∞)上单调递增，又f(0)=-e<0,故为A: 7.B.【详解】若派到山区A有2人，则不同的派法有A=120种： 若派到山区A只有甲，先把其余5人分为四组，每组人数分别为2,1,1,1，再将四组教师分配 到B,C,D,E四个山区，不同派法有CAt=240种， 其中乙和丙安排到同一山区的情况有A4=24种，所以派到山区A只有甲的派法有240- 24=216种：所以不同的派法共有120+216=336种 8.C【详解】A:由题意，发送0时，收到0的概率为a,发送1时，收到1的概率为B, 所以采用单次传输方案，若依次发送1,0,1，则依次收到1,0,1的概率为B2,错： B:发送0时，接收方收到0（正确）的概率为，收到1（错误）的概率为1-a, 采用三次传输方案，发送数码0，译码为0的情况有0,0,1、0,1,0、1,0,0、0,0,0， 对应概率依次为x21-)、ax21-)、a21-a)、x,故所求概率为3(1-)a2+3,错； C:由B分析，三重传输时，发送数码0，译码为0的概率为3(1-)a2+ax, 单次传输时，发送数码0，译码为0的概率为， 所以31-a)a2+a3-a=3a21-a)-a(1+)1-a)=a(2a-101-a), 又0.5<a<1,则(210->0，即三重传输译码正确的概率大于单次传输译码正确的概率，对： D:单次传输时，发送0，收到0的概率为a,发送1时，收到1的概率为B, 三重传输时，发送0，收到0的概率为3(1-u)x2+,发送1，收到1的概率为3(1-B)B2+B, 所以α=B时，译码正确的概率与传输数码内容无关，结合C分析，显然=B=0.5或1时， 译码正确的概率才与传输方案无关，错. 二多选题 g【答案】ABC【详解】对于A,若A与B互斥，则P4U)=P(A)P(e)-名分故A正 确：对于B,若A与8相互独立，则=(（到兮点 所以，PU)=小+到-A吗专若点号故B正确： 对于C,若，且P国(e)--引产若)，所以，事件与8相互独立，放c 正确；对于D,若BcA,则4=AnB=B,所以P(a)-P)-名，故D错误 10.【答案】AD【详解】对于A:X=2表示决出冠军需进行2局比赛，即甲连赢2局或 乙连羸2局，则-2)号号故A正确： 对于B:若采用“五局三胜制”，则P(A)表示甲赢得冠军，此时可进行3或4或5场比赛， P(B)表示乙赢得冠军，此时可进行3或4或5场比赛， X=3表示比赛3局决出冠军，x=4表示比赛4局决出冠军，X=5表示比赛5局决出冠军， 所以P(A)+P(B)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5),故B错误： 对于c:采用“五局三胜制”则e-周+周子+c)付品 若采用三局两胜制”则e-周+>品 所以采用“三局两胜制”对乙获得冠军更有利，故C错误： 对于D:若采用“五局三胜制”则Px=到-》 2w=n=目c得号所以气xsx汽e名丹吕放D正跪 11.【答案】ABD【解】对于A,因为f(o)=0,所以曲线y=f(x)的图象与x轴有交点，A对： 对于选项B,当a>0时，f(x)=x2(x-a)=x3-ax2，f'(x)=3x2-2ax=x(3x-2a), 当x<0时，f'(x)>0,f(x)在(-o,0)上单调递增： 当0<x号时，了)<0，f)在0号)上单调递减：当台时，了()0，f)在上 单调递增，所以f(x)在x=0处有极大值，B正确： 对于选项C,若1，-1)是曲线y=f(x)的对称中心，则f(1+x)+f1-x)=-2, 等式两边求导得(1+x)-f(1-x)=0,即f'1-x)=f'(1+x), 所以函数f()的图象关于直线x=1对称，即=1，可得a=3, 此时f(x)=x2(x-3)=x3-3x2,因为f(2-x)=(2-x)3-3(2-x)}2=(8-12x+6x2-x）-(3x2-12x+12） =-x2+3x2-4, 所以f(x)+f(2-x)=-4,此时函数f()的图象关于点(1，-2)对称，不合乎题意，所以C错误： 对于选项D,当a=3时，f(x)=x2(x-3), VA 由x2(x-3)=-x2+4x+m,得m=x3-2x2-4x, 设g(x)=x3-2x2-4x(x≥0)，则g'(x)=3x2-4x-4=(3x+2)(x-2), 当0≤x<2时，g'(x)<0,g(x)在[0,2)上单调递减， 当x>2时，g(x)>0,g(x)在(2，+o)上单调递增. 所以当x=2时，g(x)取得最小值，即g(x)mm=g(2)=8-8-8=-8,且g(0)=0, 如右图所示：由图可知，当m∈(-8,0]时，直线y=m与函数g(x)的图像有两个不同的交 点，此时曲线y=f(x)与曲线y=-x2+4x+m在[0，+o)上有两个交点，D正确. 三填空题 12.【答案】0.8【详解】由X~N(2,o2)可得u=2,因P(X≤0)=0.2， 由正态曲线对称性，得P(X>4)=P(X≤0)=0.2，则P(X≤4)=1-P(X>4)=1-0.2=0.8. 13.72.【解答过程】图中区域分别为A,B,C,D,E,则分2类讨论， ①若B、D同色，先涂A,方法有C4种，再涂B、D,方法有C吲种，最后涂E、 C,共有C·C吗·4=48种不同方法. ②若B、D不同色，先涂A,方法有C4种，再涂B、D,方法有A,最后涂E、C只有1种方法， 所以若B、D不同色时共有C4·A经·1=24种不同方法，综上，所有的涂法共有 48+24=72(种) 14【答案】2【详解】因为号-1，所以点a,6)在函数)=6的图象上，点ca在 直线y-1=x-2即y=x-1上，当函数y=fx)的图象过P点的切线与直线y=x-1平行时，切 点P到直线y=x-1的距离最小，也即为PQ1=√(a-c)2+(b-d)的最小值， )=,由了e)1得=0,0=1，P@)到直线y=x-1的距离为”-，所以 lPg=2,所以(a-c)2+(b-d)的最小值为2. 四解答题 15.(11分)【答案】(1)-20.x(2)24 【详解水1)油(-(ae≥)的二项展开式中各项的二项式系数和为64，得2”=64，n=6, (-aeNn)的通项为=c(9旷(=(yc=016, 二项展开式的中间项为第4项，即T1=(-1)Cx2=-20x2; (2)结合(I)可得(-aeNn≥的常数项为(-Cg=15,(-eN≥)展开式中的x 项为（八c3=63,2+x)-展开式中的常数项为2x15-6=24 16解：(15分)(1)方法-：取x=e,则有f@=1'」 e=1-」所以ege…4分 e 即当x=e时，f(x)在g(X)的上方，5分 因此，f(x),g(x)的图象依次是图中的C,.C· .6分 方法二：因为()=x8(=1-子所以了()=g=是 1分 所以当x=1时，f(x)=g(x)=1:当0<x<1时，g(x)>f'(x)>1: 当.x>1时，0<g(r)<f(x)<1. 4分 所以f(x),g(x)在(0，+∞)上都是增函数.在区间(0,1)上，g(x)的图象比f(x)的图象要“陡 峭”；在区间(1，+∞)上，g(x)的图象比f(x)的图象要平缓”.5分 所以，f(,g(y)的图象依次是图中的C2,C1.6分 (2）根据函数图象的位置关系，可以得到不等式r之1-；…8分 陵0--x0叭 10分 当0<1时，()-是0，所以国为减西数，当xs1时，)-，0，所以( 为增函数， 当x变化时，(，g的变化情况如下表 (0,1) 1 (1,+0) u'(x) - 0 + u(x) 单调递减 0 单调递增 13分 所以（≥）=0，即nr≥1-1，命题得证. 15分 1n17分y【答案1aac0-号.00 25 X 0 2 3 1 12 48 64 125 125 125 125 (3)会得到推广，因为E()=80>75 【详解】(1)设事件A表示回答被采纳，事件B表示问题表达清晰， 则e阿-号p)Pu-,则P(P4)(e+)P(回- 2)由(1)知每个间愿的回答被采纳的概率p=且每次回答是否被采纳相互独立。 因此随机变量X服从二项分布x6子，则==c)-)”。 Px=o-周周sx=-c周周品(x=2c周， P=e图)得s00==g-号0-)是 X的分布列为： 0 3 1 12 8 64 125 125 125 125 (3)随机抽取10个问题，设被采纳的次数为5，则有5~Q0,), 总得分Y=105, 则E)-10(传)=10×10×等80≥75，满足推广条件，因此该系统会得到推广 18.(17分)(1)k=16,506:(2)10,7200(元) 【详解】(1)每人血样化验的次数为X, 若混合血样呈阴性，则x=,若混合血样呈阳性，则x-+1, 所以rx-)096,(x=是+1-a96c， 则8U0-士0%++}-0%1+009%=1+片-0-004yr+0042 令f()=+0.04,即f)-0,易得f(在swo)上单调递减：在(5v.+回)上单调递增， 因为k∈z,且1)= 5+004×15=01267,/16)=0.1265,所以当k=16时，8(x)取得最小值，为0.1265. 即按16人一组，每人血样化验次数的数学期望最小，此时化验总次数为4000×0.1265=506. (2)设每组k人，每组化验总费用为Y元， 若混合血样呈阴性，则Y=k+4;若混合血样呈阳性，则Y=6k+4, 且P(Y=k+4)=0.992,P(Y=6k+4)=1-0.992,所以 E(Y)=(k+4)×0.992+(6k+4)×(1-0.992)=6k-5k×0.992+4, 则每人血样化验的费用 g6-509w+t6-5a0-aa时+6-5-a0n陶)1-00k君1-350t是18 当且仅当004-，即k=10时取等号，即10个人一组，每人血样化验费用的数学期塑最 小，此时化验总费用为4000x1.8=7200（元). 19.(17分)【答案】)2②当m0时，f(x)在0+)上单调递增；当m>0时，f在) 上单调递增，f(x)在+上单调递减(3)1 【详解11)已知/d=hr-m+-2mx+16x>0,则f6)-=-2mx+0-2m）(c>0). 因为f')=0,则-2m×1+1-2m=0,解得m1=2 1 2由1)知，了(-}2r+0-2m=2m+2--1-2-+x>0 当m≤0时，f'(x)>0在(0，+∞)上恒成立，此时f(x)在(0，+∞)上单调递增； 当m>0时，令了)=0，即-2m-+)-0,解得x=或x=-1(舍去) 2m 当0六时，0，则o 上单调递增； 当x时、了<0，测在（六*上单调递藏： 1 综上，当m≤0时，f(x)在(0，+∞)上单调递增： 当ms0时，国在〔0品 上单洞途培。了心在（小上单润途发 (3)因为对任意x>0,f(x)≤0恒成立，所以lnx+x+1≤m(x2+2x)在(0，+o)上恒成立， 即m≥x++1在(0，+0)上恒成立 x2+2x 设+中，则r因 x2+2x g2-(1+a -(x+10x+2血9 (x2+2x) (x2+2) 设g()=-(c+2n),g')=-1+头0，则g(在0，+)上单调透减， /2m2-1 2 0 所以x∈ 使得8(x)=0,即飞+2血名=0，则血5=产 当x∈(0，x)时，g(x)>0;当x∈(x,+o)时，g(x)<0: 所以F(x)在(0，x)上单调递增，在(x,+o)上单调递减， -+X+1 X0+1 所以peR,归+28 1, x(x。+2)2x。 因为所似云 故整数m的最小值为1.广州市第八十六中学 2025-2026学年度第二学期期中考试数学试题 考试用时：120分钟卷面总分：150分本卷共4页 命题人： 张科 审核人：高芋 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 1.函数y=f(x)点(y)处的切线方程为y=3x+1,则m f)-f。-2△等于() △x A.-6 B.-3 C.3 D.6 2.在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的不同方法数共有() A.CCi7 B.CC C.C。-C D.CC+C2C 3.一场文艺汇演中共有2个小品节目、2个歌唱类节目和3个舞蹈类节目，若要求2个小品 类节目演出顺序不相邻且不在第一个表演，则不同的演出顺序共有() A.480种 B.1200种 C.2400种 D.5040种 4.若(3+x°=a。+a(1+x)+a,1+x)2+a,1+x)3+a,1+x)+a,1+x°，x∈R,则4-4+4-a,+a,=() A.-31 B.31 C.-32 D.32 5.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由 下落.小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋 中。己知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是子，则 小球落入A袋中的概率为() B. 4 C. D.5 6.已知函数f(x)=(x2-x-1)e*+1,则f(x)的大致图像为() 7.某中学派6名教师到A,B,C,D,E五个山区支教，每位教师去一个地方，每个地方 至少安排一名教师前去支教.学校考虑到教师甲的家乡在山区A,决定派教师甲到山区A, 试卷第1页，共4页 同时考虑到教师乙与丙为同一学科，决定将教师乙与丙安排到不同山区，则不同安排方法共 有() A.360种 B.336种 C.216种 D.120种 8.进行卫星通信时，通常是将所传送的信息转化为0,1信号数码进行发送与接收的.在信道 内传输0,1信号，信号的传输相互独立.发送0时，接收方收到0（正确）的概率为α，收 到1（错误）的概率为1-；发送1时，接收方收到1（正确）的概率为B,收到0（错误） 的概率为1-B.考虑两种传输方案：单次传输和三重传输.单次传输是指每个信号只发送1次， 三重传输是指每个信号重复发送3次.无论哪种方案，接收方收到的信号都需要译码.译码规 则如下：单次传输时，收到的数码即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数最多的即 为译码（例如，若依次收到1,0,1，则译码为1）.下列结论中正确的是() A.采用单次传输时，若依次发送1,0,1，则依次收到1,0,1的概率为(1-)×B2 B.采用三重传输时，若发送数码0，则译码为0的概率为(1-ax)x2+x C.发送0，若0.5<以<1，则三重传输译码正确的概率大于单次传输译码正确的概率 D.当α=B时，译码正确的概率与传输方案以及传输数码内容无关 二多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.) 9已知随机事件A、B发生的概率分别为P(④-了P(©)-名，则下列说法正确的是（） A.若A与B互斥，则P(4U)月 B.若A与B相互独立，则P(4U8)= 9 C.若(a)),则事件A与B相互独立 D.若BEA,则P)片 10.已知某围棋比赛的个人冠军决赛将在甲、乙两人之间展开，且在每一局比赛中甲获胜的 概率为号，乙获胜的概率为行，赛程将采用“三局两胜制”或“五局三胜制”，记“甲获得 冠军”为事件A,“乙获得冠军”为事件B,随机变量X表示决出冠军需进行的比赛局数， 则下列结论正确的为() AP(x=2)-号 B.若采用“五局三胜制”，则P(A)+P(B)>P(X=3)+P(X=4)+P(X=5) C采用“五局三胜制”比采用“三局两胜制”对乙获得冠军更有利 D.若采用“五局三胜制”，则P化≤)-兴 试卷第2页，共4页 11.已知函数f(x)=x2(x-a),则() A.曲线y=f(x)的图象与x轴有交点 B.当a>0时，f(x)在x=0处有极大值 C.存在a>0,使得(1，-)是曲线y=f(x)的对称中心 D.当a=3时，若曲线y=f(x)与曲线y=-2+4x+m在0，+0)上有两个交点，则m∈(-8,0] 三.填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.) 12.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，若P(X≤0)=0.2，则P(X≤4)= 13.将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入下图中的五个区域内，要求 相邻的两个区域的颜色都不相同，则有 不同的涂色方法。 14.若实数a、、c、d满足e-c-2=1,则(a-c+(b-d}的最 b d-1 小值为 四解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15已刻：一(aeN≥1的=夏限开式中各项的二项式系数和为64 (1)求二项展开式的中间项： o球(2*r)e-》 展开式中的常数项 16设x>0,f(x)=血x,g(x)=1-1,两个函数的图象如右图所示. (1)判断f(x),g(x)的图象与C,C2之间的对应关系： (2)根据C,C,的位置关系，写出一个关于∫(x)和g(x)的不等式， 并证明. 试卷第3页，共4页 17,某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被 采纳的概率为了；当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为；.己知输 入的问题表达不清晰的概率为，每次回答是否被采纳相互独立。 ()求智能客服的回答被采纳的概率： (2)在某次测试中输入了3个问题，设X表示智能客服的回答被采纳的次数，求X的分布列 及期望、方差： (3)公司为了测试该系统是否值得推广，随机抽取了10个问题，智能客服的回答每被采纳1 次计10分，不采纳则不计分.记被采纳的回答数的总得分为Y,若E(Y)≥75，则推广该系 统.试推断该系统是否会得到推广，请说明理由. 18.某学校有4000名学生，假设携带乙肝病毒的学生占%，某体检机构通过抽血的方法 筛查乙肝病毒携带者，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验4000次.为减轻化验工 作量，统计专家给出了一种化验方法：随机按照k个人进行分组，将各组k个人的血样混合 再化验，如果混合血样呈阴性，说明这k个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至 少有一人的血样呈阳性，就需对该组每个人的血样再分别化验一次.假设每人的血样化验结 果呈阴性还是阳性相互独立. (1)若=0.4，记每人血样化验的次数为X,求当k取何值时，X的数学期望最小，并求化 验总次数： (2)若m=0.8,设每人血样单独化验一次的费用为5元，k个人混合化验一次的费用为k十4 元.求当k取何值时，每人血样化验费用的数学期望最小，并求化验总费用 参考数据及公式：V10≈3.16，(1+x)”≈1+x(n∈N,n≥2，≤0.01). 19.(17分)己知函数f(x)=lnx-x2+(1-2m)x+1,m∈R. (1)若"(1)=0，求m的值： (2)讨论(x)的单调性： (3)若对任意x>0,有f(x)≤0恒成立，求整数m的最小值. 试卷第4页，共4页