精品解析：江苏锡山高级中学2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试卷

江苏省锡山高级中学2025—2026学年度第二学期期中考试 高一数学试卷 命题人：彭玲玲 审核人：李金凯 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 若（i为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】,所以,. 2. 已知，，若，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的线性运算及向量的共线结论可得. 【详解】因为，，所以，， 由，所以，解得． 3. 在中，角的对边分别为，，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理以及同角三角函数的关系求解. 【详解】因为， 所以. 因为，所以， 所以. 4. 已知正三棱台的上、下底面边长分别为2，4，高为2，则该三棱台的体积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据棱台的体积公式即可求得答案. 【详解】由题意可得上、下底面的面积分别为， 该三棱台的体积为． 故选：B 5. 已知非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简得到，利用投影向量的公式进行求解. 【详解】因为，所以，化简得， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：C. 6. 若圆锥的高与球的直径相等，圆锥的体积与球的体积也相等，则圆锥与球的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设球的半径为，则球的直径为，由题意，圆锥的高， 所以球的体积为， 设圆锥底面半径为，则， 由，即，所以， 又因为圆锥的母线长， 所以， 又，所以. 7. 如图，测量河对岸塔高时，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点和．现测得，，，在点处测得塔顶的仰角，则塔高为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】在中，， 由正弦定理得，即，所以， 在中，. 8. 在正四棱锥中，点在棱上运动，当平面时，三棱锥与四棱锥的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用线面平行的性质定理可确定Q点位置，再利用等体积转换法，可知只需表示出即可得出比值. 【详解】如图所示，连接对角线交于点，连接. 因为正四棱锥的底面是正方形，所以是的中点. 因为平面，⊂平面，且平面平面，由线面平行的性质得. 因此是的中位线，故是的中点，即. 设正四棱锥的底面积为，高为h，则总体积， 因为 的面积是正方形面积的一半，即 ， 因为是中点，所以到底面的距离为. 所以，所以 . 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，，则（ ）． A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】应用特殊值判断A、D；由判断B；若，且，得，分类讨论判断C. 【详解】对于A、D：当时，，但，故A错误； 又，故D错误； 对于B：由，可得，故B正确； 对于C：设，且， 由，可得，则， 若，则或；若，则， 当，则， 当，则， 当，，则， 综上，，故D正确. 故选：BC. 10. 设向量，，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 与共线的单位向量是 B. 的最小值为3 C. 若与的夹角为锐角，则的取值范围是 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A：与共线的单位向量有两个，为，故A错误； 对于B：，当且仅当时取到等号，即最小值为3，故B正确； 对于C：若与的夹角为锐角，则，即且，故C错误； 对于D：若，则，即，故D正确. 11. 如图，在棱长为1的正方体中，点是棱上的一个动点（异于点，），若平面与棱交于点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与直线是异面直线 B. 延长与直线交于点，延长与直线交于点，则、、三点共线 C. 当平面时，点的位置不唯一 D. 四棱锥的体积恒为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】使用点、线、面的位置关系判断选项，等体积法，线面平行的性质定理判断选项. 【详解】因为平面平面，平面，但点不在直线上，故平面， 所以直线与直线是异面直线，选项正确； 延长与直线交于点，则点在平面内，也在平面内， 同理点在平面内，也在平面内，点在平面内，也在平面内， 故点、、在平面和平面的交线上，故、、三点共线，选项正确； 若平面，又平面，平面平面， 则，又因为，则四边形是平行四边形，所以， 由正方体的对称性，此时平面与棱、交于点、， ，，故点是的中点，选项C错误； ，因为三棱锥和三棱锥的底面积是定值（的面积），高等于点或点C到平面的距离为定值， 所以是定值，所以四棱锥的体积恒为定值，选项正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，点在线段上，点在线段上，且满足，．若（，），则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由向量的线性运算求解. 【详解】 所以（的系数），（的系数） 则 13. 如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则原四边形中最长边的长度为_____． 【答案】9 【解析】 【分析】根据斜二测画法还原规则，将直观图中相关线段长度按“平行于轴长度不变，平行于轴长度加倍”还原，再通过勾股定理计算出原四边形各边长度，即可求得最长边. 【详解】将直观图还原为原图，如图： 在直观图中，，则， 故在原图中，，， 所以， 而，所以原四边形中最长边的长度为9. 14. 在中，，是边上一点且满足，．若的内切圆与边相切于点，则的长度为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理得出，再利用切线长公式计算即可. 【详解】由，得，故， 在中，由已知条件和余弦定理， 联立化简得：， 在中，由余弦定理得，代入， 化简得，故 由于内切圆与相切于，由切线长公式得. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知是关于的方程的一个根，其中，． （1）求的值； （2）设复数满足是纯虚数，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题可知是方程的另外一个根，再利用韦达定理求解； （2）根据复数的乘法计算，再根据纯虚数的概念列式求解即可. 【小问1详解】 解：是关于的方程的一个根， 是方程的另外一个根， ，解得， ； 【小问2详解】 解：， 又是纯虚数， ， 解得． 16. 在中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理与和角公式，结合三角形内角范围即可求得； （2）将代入题设条件，利用辅助角公式，解出，进而推得，再使用余弦定理和三角形面积公式求解. 【小问1详解】 由和正弦定理，可得， 即， 因， 代入可得 ，，则，即， 又，. 【小问2详解】 由（1）知，，即， 可得， 即，即， ，所以，解得，则，所以， 由余弦定理得，，解得，则， 所以的面积为. 17. 如图，在中，，，． （1）求角的大小； （2）若为平面内一点，且满足，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，由，求得，结合向量的数量积的运算公式，得到，即可求解； （2）设，根据向量的运算法则，求得，再由，结合向量的三角不等式，即可求解. 【小问1详解】 由，可得， 因为，所以， 则 ， 又因为，所以，可得， 因为，可得， 又因为，所以. 【小问2详解】 设，可得， 由（1）知，且， 可得， 所以， 又由，可得， 根据向量的三角不等式，可得， 可得， 即的取值范围. 18. 如图，在长方体中，，，，，分别为棱，，的中点． （1）在线段上是否存在点，使得，，，四点共面？请说明理由； （2）证明：平面； （3）点在矩形内（包含边界）运动，且满足平面，求周长的最小值． 【答案】（1） 如图，延长交于，连接交于，连接， ，，分别为棱，，的中点， ，， 又，， 要使得，，，四点共面， ，又， 四边形为平行四边形， ，即为中点，， 易得，， 所以，存在，当为中点时，，，，四点共面； （2） 连接， ，分别为棱，的中点， ，又平面，平面， 平面， 由（1）知，又平面，平面， 平面，又平面， 平面平面，又 平面， 平面； （3） 【解析】 【分析】（1）延长交于，连接交于，连接，由共面可得，进而得到为中点时，，，，四点共面； （2）通过证明平面平面，进而得到平面； （3）由（2）可知在线段上，再展开平面，利用余弦定理求边长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知平面平面， 在线段上，又， 的周长最小，即最小， 将平面沿翻折到平面中，如图， ， ， ， ， ， 又，所以的最小值为， 即周长的最小值为． 19. 如图，在中，，，在平面内以线段为斜边作等腰直角（点和点在线段两侧）．记，． （1）证明：； （2）当角在变化时， （ⅰ）求边上高的取值范围； （ⅱ）若，，三点不共线，求正切值的取值范围． 【答案】（1） 在中，由余弦定理得， 所以． 又因为，由余弦定理得． 由正弦定理得，所以． 因为，所以，从而． （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）先由余弦定理求出，再由余弦定理和正弦定理分别得到和，最后相除得到． （2）以为原点，射线为轴正方向建立平面直角坐标系，用表示点的坐标；再利用“以为斜边的等腰直角三角形”的性质，通过中点和垂直旋转求出点的坐标．（ⅰ）边上的高就是点到轴的距离，转化为求的取值范围；（ⅱ）三角形面积公式求，再用向量数量积求，从而得到，最后求一次分式函数的值域． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以点为原点，射线为轴正方向建立平面直角坐标系，则，． 因为，且，所以点在点的左上方， 故．令，，则． 设为的中点，则． 因为是以为斜边的等腰直角三角形，所以，且． 又，把逆时针旋转得到向量． 由于点和点在线段两侧，应取，所以． （ⅰ）设边上的高为．由于在轴上， 所以等于点的纵坐标，即． 当时，．因为， 所以．因此． （ⅱ）设．由点的坐标得，． 因为，边上的高为，所以． 又，所以． 另一方面，由向量数量积的坐标运算得， 即． 当时，，此时正切值不存在，故求正切值范围时应排除这一情形． 当时，． 令，则，且． 设，则，所以函数在区间和上均单调递减． 当时，；当时，． 综上，的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省锡山高级中学2025—2026学年度第二学期期中考试 高一数学试卷 命题人：彭玲玲 审核人：李金凯 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 若（i为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，若，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 在中，角的对边分别为，，则（ ） A. B. C. 或 D. 4. 已知正三棱台的上、下底面边长分别为2，4，高为2，则该三棱台的体积为（ ）． A. B. C. D. 5. 已知非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 若圆锥的高与球的直径相等，圆锥的体积与球的体积也相等，则圆锥与球的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，测量河对岸塔高时，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点和．现测得，，，在点处测得塔顶的仰角，则塔高为（ ） A. B. C. D. 8. 在正四棱锥中，点在棱上运动，当平面时，三棱锥与四棱锥的体积之比为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，，则（ ）． A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 设向量，，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 与共线的单位向量是 B. 的最小值为3 C. 若与的夹角为锐角，则的取值范围是 D. 若，则 11. 如图，在棱长为1的正方体中，点是棱上的一个动点（异于点，），若平面与棱交于点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与直线是异面直线 B. 延长与直线交于点，延长与直线交于点，则、、三点共线 C. 当平面时，点的位置不唯一 D. 四棱锥的体积恒为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，点在线段上，点在线段上，且满足，．若（，），则的值为_____． 13. 如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则原四边形中最长边的长度为_____． 14. 在中，，是边上一点且满足，．若的内切圆与边相切于点，则的长度为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知是关于的方程的一个根，其中，． （1）求的值； （2）设复数满足是纯虚数，求实数的值． 16. 在中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 17. 如图，在中，，，． （1）求角的大小； （2）若为平面内一点，且满足，求的取值范围． 18. 如图，在长方体中，，，，，分别为棱，，的中点． （1）在线段上是否存在点，使得，，，四点共面？请说明理由； （2）证明：平面； （3）点在矩形内（包含边界）运动，且满足平面，求周长的最小值． 19. 如图，在中，，，在平面内以线段为斜边作等腰直角（点和点在线段两侧）．记，． （1）证明：； （2）当角在变化时， （ⅰ）求边上高的取值范围； （ⅱ）若，，三点不共线，求正切值的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $