江苏省锡山高级中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

江苏省锡山高级中学2024—2025学年度第二学期期中考试 高一数学试卷 命题人 何鹏 刘伟 审核人 刘烨烨 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、单选题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的选项中,只有1项符合题意. 1．已知复数z＝i3(1＋i)，则z在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知在△ABC中，点D在BC边上，且＝3，则(　 ) A．＝＋ B．＝＋ C．＝＋ D．＝＋ 3．在空间中，直线与直线相交，直线也与直线相交，则直线与直线的位置关系是(　　) A.相交 B.平行 C.异面 D.以上都有可能 4．已知向量满足，且，则在上的投影向量为(　　) A． B． C． D． 5．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为,,,若，则△ABC 的形状为(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 6．如图，圆柱的轴截面为正方形，是上底面的一个动点，为上底面圆的圆心，是圆柱下底面圆的直径，且三棱锥的体积最大值为，则该圆柱的侧面积为(　　) A.9π B.10π C.12π D.14π 7．在中，角,,的对边分别为,,,若，， 则的最大值是（ ） A. 1 B.2 C. 3 D. 4 8．在△ABC中 ，，且，，若，则的最小值为(　　) A. B. C. 4 D. 二、多选题：本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题意.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．已知为复数，有以下四个命题，其中正确的是(　　) A．若，则 B．若．则 C．若，则 D．若，则 10．如图，该几何体是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，则下列选项中正确的是(　　) A．正四棱锥的高为 B．该几何体的表面积为 C．该几何体的体积为 D．一只小蚂蚁从点爬行到点，所经过的最短路程为 11．在中，角,,的对边分别为a，b，c,面积为，有以下四个命题中正确的是（ ） A． 当，，时，解三角形有两解 B． 当，时，不可能是直角三角形 C． 当，，时，的周长为 D． 当，，时，若为的外心，则的面积为 三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共计15分.只要求直接写出结果,不必写出计算和推理过程. 12．已知＝＋i(，∈R)，则＝ ▲ . 13．如图，一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图是边长为2的菱形，且＝2，则原平面图形的面积为 ▲ . 14．如图，是边长为2的等边三角形，是边上一点，延长至点, 若,且（为常数），则的长度是 ▲ . 四、解答题：本题共5小题,共计77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （本题满分13分） 在中，内角A，B，C的对边分别为，，，已知，且. (1)求的大小； (2)求的面积. 16. （本题满分15分） 如图，正方体的棱长为4，，，设过B，P，Q三点的平面为β， 平面β平面 . （1）求三棱锥的体积； （2）求证：直线,交于一点. 17. （本题满分15分） 如图，已知是直角边长为2的等腰所在平面内一点，是的中点，是的中点. (1)当时，求的值； (2)当时，求的取值范围. 18. （本题满分17分） 桌状山是一种山顶水平如书桌，四面绝壁临空的地质奇观．位于我国四川的瓦屋山是世界第二大的桌状山，其与峨眉山并称蜀中二绝．苏轼曾有诗云：“瓦屋寒堆春后雪，峨眉翠扫雨余天”．某地有一座类似瓦屋山的桌状山可以简化看作如图1所示的圆台，图中AB为圆台上底面的一条东西方向上的直径，某人从M点出发沿一条东西方向上的笔直公路自东向西以的速度前进，15分钟后到达N点．在M点时测得A点位于北偏西方向上，B点位于北偏西方向上；在N点时测得A点位于北偏东方向上，B点位于北偏东方向上，且在N点时观测A的仰角的正切值为．设A点在地表水平面上的正投影为，B点在地表水平面上的正投影为，，，M，N在地表水平面上的分布如图2所示． (1)该山的高度为多少千米？ (2)已知该山的下底面圆的半径为km，当该山被冰雪完全覆盖时，冰雪的覆盖面积为多少平方千米？ 19. （本题满分17分） 如图，中，，，点在线段上，为等边三角形. （1）若，，求线段AD的长度; （2）若，求线段的最大值; （3）若平分，求与内切圆半径之比的取值范围. 高一数学期中试卷 第 2 页 （共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$