第七章 随机变量及其分布 能力提升卷-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

第七章 随机变量及其分布（能力提升卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（25-26高二下·全国·课后作业）若随机变量X的密度函数为，在区间和内取值的概率分别为，则的关系为（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【分析】根据密度函数可得，然后结合正态分布曲线的对称性可得曲线关于对称，即可判断得. 【详解】根据随机变量X的密度函数可得，然后结合正态分布曲线的对称性可知，曲线关于对称，所以. 故选：C. 2．（25-26高三上·浙江绍兴·期末）随机变量的分布列如图所示，则其数学期望（    ） 1 2 3 A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】由分布列可得，进而结合期望的概念即可求出结果. 【详解】由题意可知，即， 而， 故选：B. 3．（25-26高二下·安徽阜阳·月考）某竞猜活动有人参加.设计者给每位参与者道填空题和道选择题，答对一道填空题得分，答对一道选择题得分，答错得分，若得分总数大于或等于分可获得纪念品.假定每位参与者答对每道填空题的概率为，答对每道选择题的概率为，且每位参与者答题互不影响.设参与者中可获得纪念品的人数为，则均值（数学期望）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由独立事件概率公式可求得每位参与者获得纪念品的概率，可知，由二项分布数学期望的计算公式可求得期望. 【详解】每位参与者得分的概率；得分的概率； 每位参与者能够获得纪念品的概率， ，. 故选：B. 4．（2026·浙江杭州·模拟预测）设，随机变量的分布如下表所示，则当在内增大时，（    ） 0 1 2 A．先减少后增大 B．先增大后减少 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【答案】D 【分析】根据题意计算随机变量ξ的期望和方差，再判断当时，E（ξ）、D（ξ）的单调性即可． 【详解】由期望公式，得，在内一直增大. 由方差公式，得.为开口向下，对称轴的抛物线,在内，先增大后减少, 故当在内增大时先增大后减少. 故选:D. 【点睛】本题考查离散型随机变量的数学期望与方差的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题． 5．（24-25高二下·山西·期末）有一决策系统，其中每个成员做出的决策互不影响，且每个成员作正确决策的概率均为.当占半数以上的成员做出正确决策时，系统做出正确决策.要使有5位成员的决策系统比有3位成员的决策系统更为可靠，的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用独立重复试验概率模型求出概率额，根据题意列不等式求解即可. 【详解】决策系统中每个成员做出的决策互不影响，且每个成员作正确决策的概率均为. 满足独立重复试验的条件，服从二项分布， 当占半数以上的成员做出正确决策时，系统做出正确决策， 要求有位成员的决策系统比有位成员的决策系统更为可靠， 需， 解得，即的取值范围是. 故选：B. 6．（2026高三上·全国·竞赛）随机事件A，B，C满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据概率性质结合条件概率以及互斥事件的定义分析判断. 【详解】由题意可知：，， 因为, 所以，当且仅当时等号成立，此时显然不合题意， 所以， 又， 所以， 又， 即的取值范围包含，结合选项可知D正确. 故选：D. 7．（24-25高二下·江苏扬州·期末）已知集合，，从集合中任取3个不同的元素，其中最小的元素用表示，从集合中任取3个不同的元素，其中最大的元素用表示，记，则随机变量的期望为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据题意，求得随机变量的取值为，分别求得相应的概率，结合期望的计算公式，即可求解. 【详解】根据题意，从集合中任取3个不同的元素，则有，其中最小的元素取值分别为， 从集合中任取3个不同的元素，其中最大的元素的取值分别为， 因为，可得随机变量的取值为， 则， ， 所以随机变量的期望为：. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列及数学期望的计算，其中解答中正确理解题意，求得随机变量的取值，求得相应的概率是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档试题. 8．（25-26高二下·浙江·月考）甲盒中有4个红球，2个白球和3个黑球，乙盒中有3个红球，2个白球和2个黑球（球除颜色不同外，大小质地均相同）．先从甲盒中随机取出一球放入乙盒，分别以事件和表示从甲盒中取出的球是红球、白球和黑球；再从乙盒中随机取出一球，以事件B表示从乙盒中取出的球是红球．下列结论正确的个数是（    ） ①事件与相互独立；②是两两互斥事件； ③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】首先判断出，和是两两互斥事件，判断出①，再判断与是否相等，可确定②；再利用条件概率判断③；利用全概率判断④． 【详解】依题意，，和是两两互斥事件，②正确；，，， 又， 事件，不独立，故①错误， ，，，，故③正确， ，④正确， 综上，正确的有3个， 故选：C. 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（25-26高二·全国·课后作业）（多选）某工厂生产的零件外直径（单位：cm）服从正态分布，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.82cm和10.31cm，下列说法正确的是（    ） A．上午生产情况正常 B．上午生产情况异常 C．下午生产情况正常 D．下午生产情况异常 【答案】AD 【分析】利用原则求出正常零件外直径的范围，再判断零件是否正常即可. 【详解】因为零件外直径服从正态分布，根据原则，当零件外直径在cm和 cm之外时为异常，因为上、下午生产的零件外直径分别为9.82cm和10.31cm， ，所以下午生产的产品异常，上午产品正常. 故选：AD. 10．（24-25高二下·福建泉州·期末）下列命题中，正确的有（    ） A．服从，若，，则； B．若已知二项式的第三项和第八项的二项式系数相等．若展开式的常数项为，则 C．设随机变量服从正态分布，若，则； D．位男生和位女生共位同学站成一排，若男生甲不站两端，位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法有种． 【答案】BCD 【分析】根据二项分布、二项式定理、正态分布、排列组合等知识确定正确答案. 【详解】A选项，依题意，解得，所以A选项错误. B选项，由于二项式的第三项和第八项的二项式系数相等， 所以，所以，二项式， 展开式的通项公式是， 令，解得，所以，所以B选项正确. C选项，，所以C选项正确. D选项，记另一个男生为乙， 若站法如下： 女 甲 女 女 乙 女 甲 乙 女 女 方法有种. 若站法如下： 甲 方法有种. 若站法如下： 女 女 乙 甲 女 乙 女 女 甲 女 方法有种. 综上所述，方法数共有种，所以D选项正确. 故选：BCD 11．（24-25高二下·广东汕尾·期末）端午节期间，某城市举行龙舟比赛，龙舟比赛途经桥、桥、桥、桥及桥，活动期间在5座桥边各设置1个志愿者服务点．现有5名志愿者参加其中三座桥一桥、桥及桥的服务，要求这三个服务点都有人参加，记事件A为“甲在桥服务点”，事件为“乙和丙分到一起”，则（    ） A．事件A与事件相互独立 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】B选项，分和两种情况，求出5名志愿者参加其中三座桥的情况数，再得到甲在桥服务点的情况数，得到概率；C选项，求出乙和丙分到一起的情况数，得到概率；A选项，求出事件包含的情况数，得到，根据得到A正确；D选项，根据求出条件概率. 【详解】B选项，5名志愿者参加其中三座桥，桥、桥及桥的服务， 要求这三个服务点都有人参加，可以分为和， 其中分为时，共有种情况， 其中分为时，共有种情况， 故共有种， 其中甲独自在桥服务点，此时剩余4名志愿者可以分为和， 当剩余4名志愿者分为时，有种情况， 当剩余4名志愿者分为时，有种情况， 当甲和另外一个人在桥服务点，从剩余4名志愿者先选1人，剩余3人，分为两组，故有种情况， 当甲和另外2人在桥服务点，从剩余4名志愿者先选2人，剩余2人，分为两组，故有种情况， 故， 所以，B正确； C选项，乙和丙分到一起，当5名志愿者分为时，有种情况， 当5名志愿者分为时，先从剩余3名志愿者选择1人和乙，丙一起，再将剩余2人进行全排列，有种情况， 故，C错误； A选项，表示甲在桥服务点，乙和丙分到一起， 若甲单独在桥服务点，乙和丙分到一起，且5名志愿者分为，则有种情况， 若甲单独在桥服务点，乙和丙分到一起，且5名志愿者分为，从剩余2人中选择1人和乙，丙一起，有种情况， 若甲和另外一个人在桥服务点，先从除了乙，丙外的剩余2名志愿者选1人，再进行排列，则有种情况， 当甲和另外2人在桥服务点，则一定是和乙，丙一起，剩余2人进行全排列，共有种情况， 综上，，， 因为，故事件A与事件相互独立，A正确； D选项，，D正确. 故选：ABD 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（24-25高二下·江西南昌·期末）设随机变量的分布列为，，，，，，且，则______ 【答案】 【分析】，利用二项分布期望和方差的计算公式求解即可 【详解】依题意可知，所以，所以 则 故答案为： 13．（2026高三·全国·专题练习）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差．已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（若随机变量服从正态分布，则），则下列结论正确的序号是_________． ①；②；③；④ 【答案】②③ 【分析】根据正态分布概率几何意义以及对称性，可得答案. 【详解】由题意可知，， 所以， 所以， 所以①错误，②正确． 因为，所以， 所以 ，所以，所以③正确，④错误． 综上，答案为②③． 故答案为：②③． 14．（2026·浙江·模拟预测）某景区内有10个景点，其平面图如图所示，当时甲在A地，乙在B地，若每经过一个单位时间，他们都将随机走向与之相邻的任意一个景区，记某时刻甲、乙出现在同一景区的概率为，则_____；_________. 【答案】 【分析】给每个景区编号，记时刻，第个景点路径条数为，列举出满足的条件，结合图象对称，利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出. 【详解】给每个景区编号，记t时刻，第个景点路径条数为， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 sum 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 4 4 1 2 2 1 1 1 1 1 0 14 6 7 8 8 7 2 4 4 2 4 52 观察表中数据，寻找规律，可以发现满足以下条件： , , , , , , , , , , ∵图象对称， ∴， . 故答案为：，. 【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关概率的问题，正确解题的关键是正确理解古典概型、列举法、相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（安徽淮南第二中学等校2025-2026学年高二第二学期期中学业质量检测数学试卷）某企业开展内部知识竞赛，参赛的员工需要从8道题中随机抽取3道来回答.竞赛规则规定：每题回答正确得6分，回答不正确得分. (1)已知甲员工每题回答正确的概率均为0.6，且各题回答正确与否之间没有影响，记甲答对的题目个数为X，求X的期望和方差； (2)已知员工乙能正确回答8道题中的5道，记乙的总得分为Y，求Y的分布列. 【答案】(1)， (2)Y的分布列为： Y -6 2 10 18 P 【详解】（1）设甲答对题目的数目为X，则， 可得，． （2）设乙答对的题目数为Z，可知Z的可能取值为0，1，2，3． 则，所以Y的可能取值为，2，10，18． ；； ；． 所以Y的分布列为： Y -6 2 10 18 P 16．（2026·安徽合肥·二模）某出行平台为缓解市高峰时段打车难问题，实行“动态调价”机制.平台根据历史数据发现，乘客是否接受调价与其出行目的密切相关.根据历史订单，市高峰时段乘客出行目的可分为三类：工作通勤、接驳交通枢纽及其他，其占比分别为，，，且这三类出行目的的乘客接受动态调价的概率分别为，，.从市高峰时段所有订单中随机抽取一单. (1)求该订单乘客接受动态调价的概率； (2)已知该订单乘客接受动态调价，求其出行目的为工作通勤的概率. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）设事件表示“出行目的为工作通勤”，表示“出行目的为接驳交通枢纽”，表示“出行目的为其他”，事件表示“乘客接受动态调价”. 由题意得：，，. ，，. 由全概率公式：.代入计算：. 故该订单乘客接受动态调价的概率为. （2）由贝叶斯公式：.代入计算：. 故在接受动态调价的条件下，该订单出行目的为工作通勤的概率为. 17．（2026·重庆·一模）某地区从高一年级的物理测试中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)该地区某学校建议此次物理测试成绩在本地区前的学生选科报物理方向，试估计报物理方向的学生本次成绩不低于多少分？（结果保留整数） (2)从成绩位于区间和的答卷中，采用分层抽样随机抽取7份，再从这7份中随机抽取3份，设成绩在的答卷份数为随机变量，求的分布列及数学期望． 【答案】(1)72分 (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积和为1，可求得a值，分析可得选报物理方向的最低分在内，根据x值右侧面积和为，即可求得答案. （2）求出成绩在区间和的人数，分析可得X的可能取值，求出各个取值对应的概率，列出分布列，求出期望即可. 【详解】（1）由题意，解得， 成绩在的频率为0.1，在的频率为0.25，在的频率为0.3， 因为， 所以选报物理方向的最低分在内，则， 解得，所以估计报物理方向的学生本次成绩不低于72分． （2）由题可知，成绩在区间的频数为， 成绩在区间的频数为， 利用分层抽样，从中抽取7份，成绩在的频数为， 成绩在的频数为， 再从这7份答卷中随机抽取3份，的所有可能取值为， ， 故的分布列为： 0 1 2 所以的数学期望为：． 18．（2026·湖南常德·二模）泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，其中为自然对数的底数． (1)当时，泊松分布可以用正态分布来近似，当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为．若，求的值； (2)设，当且时，二项分布可近似看作泊松分布，即，其中. 某工厂生产件电子元器件，次品率为，各元件是否为次品相互独立，记为产品中的次品数，按泊松分布近似计算． （i）若，求产品中恰有2件次品的概率； （ii）求使得最大时的值． （参考数据：；若，则有，，） 【答案】(1) (2)这1000件产品中恰有2件次品的概率为；当为整数时，最大时的值为或；当不为整数时，最大时的值为小于的最大整数. 【分析】（1）根据正态分布求解相应区间的概率即可；（2）（i）根据题意将已知数据代入公式即可，（ii）根据最大时列不等式组求解即可. 【详解】（1）因为， 所以泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为，即． 所以， 由，得 ，即. （2）（i）由题意知，且， 又，所以二项分布可近似看作泊松分布， 所以， 所以，即这1000件产品中恰有2件次品的概率为. （ii）因为最大，所以， 即，解得， 又，所以当为整数时，最大时的值为或； 当不为整数时，最大时的值为小于的最大整数. 19．（25-26高三上·湖南长沙·月考）甲、乙两人共进行局比赛，假设每局比赛甲赢的概率都是，各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局. (1)设，若全部局比完后，所赢局数多者获胜.甲获胜的概率记为， （i）求； （ii）试比较与的大小，并证明你的结论. (2)设，“局比赛结束后，甲赢得奇数局比赛”的概率记为，证明：. 【答案】(1)（i）；（ii），证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）（i）由比赛局数和甲赢的局数服从二项分布即可结合互斥事件概率加法公式计算求解； （ii）记事件“甲获胜”，事件“乙获胜”，由甲乙获胜各赢的局数以及每局赢的概率结合没有平局结果的特性即可求解证明； （2）先根据甲赢的局数服从二项分布和二项式定理原理求出的表达式，接着计算差值和，再由不等式性质分析即可比较大小得证. 【详解】（1）（i）当时，比赛局数为局， 则甲获胜的条件是至少赢两局，且甲赢的局数服从二项分布， 所以； （ii），证明： 记事件“甲获胜”，则甲赢的局数，事件“乙获胜”，则乙赢的局数， 因为，所以， 又因为打的局数为奇数，各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局. 所以，所以， 所以； （2）由题甲赢的局数服从二项分布， 则“局比赛结束后，甲赢得奇数局比赛”的概率 ， 因为， ， 所以， 所以， 同理， 因为，所以，， 所以， 所以，即. 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 随机变量及其分布（能力提升卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（25-26高二下·全国·课后作业）若随机变量X的密度函数为，在区间和内取值的概率分别为，则的关系为（    ） A． B． C． D．不确定 2．（25-26高三上·浙江绍兴·期末）随机变量的分布列如图所示，则其数学期望（    ） 1 2 3 A． B． C． D．不能确定 3．（25-26高二下·安徽阜阳·月考）某竞猜活动有人参加.设计者给每位参与者道填空题和道选择题，答对一道填空题得分，答对一道选择题得分，答错得分，若得分总数大于或等于分可获得纪念品.假定每位参与者答对每道填空题的概率为，答对每道选择题的概率为，且每位参与者答题互不影响.设参与者中可获得纪念品的人数为，则均值（数学期望）（    ） A． B． C． D． 4．（2026·浙江杭州·模拟预测）设，随机变量的分布如下表所示，则当在内增大时，（    ） 0 1 2 A．先减少后增大 B．先增大后减少 C．先减小后增大 D．先增大后减小 5．（24-25高二下·山西·期末）有一决策系统，其中每个成员做出的决策互不影响，且每个成员作正确决策的概率均为.当占半数以上的成员做出正确决策时，系统做出正确决策.要使有5位成员的决策系统比有3位成员的决策系统更为可靠，的取值范围是 A． B． C． D． 6．（2026高三上·全国·竞赛）随机事件A，B，C满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·江苏扬州·期末）已知集合，，从集合中任取3个不同的元素，其中最小的元素用表示，从集合中任取3个不同的元素，其中最大的元素用表示，记，则随机变量的期望为（    ） A． B． C．3 D．4 8．（25-26高二下·浙江·月考）甲盒中有4个红球，2个白球和3个黑球，乙盒中有3个红球，2个白球和2个黑球（球除颜色不同外，大小质地均相同）．先从甲盒中随机取出一球放入乙盒，分别以事件和表示从甲盒中取出的球是红球、白球和黑球；再从乙盒中随机取出一球，以事件B表示从乙盒中取出的球是红球．下列结论正确的个数是（    ） ①事件与相互独立；②是两两互斥事件； ③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（25-26高二·全国·课后作业）（多选）某工厂生产的零件外直径（单位：cm）服从正态分布，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.82cm和10.31cm，下列说法正确的是（    ） A．上午生产情况正常 B．上午生产情况异常 C．下午生产情况正常 D．下午生产情况异常 10．（24-25高二下·福建泉州·期末）下列命题中，正确的有（    ） A．服从，若，，则； B．若已知二项式的第三项和第八项的二项式系数相等．若展开式的常数项为，则 C．设随机变量服从正态分布，若，则； D．位男生和位女生共位同学站成一排，若男生甲不站两端，位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法有种． 11．（24-25高二下·广东汕尾·期末）端午节期间，某城市举行龙舟比赛，龙舟比赛途经桥、桥、桥、桥及桥，活动期间在5座桥边各设置1个志愿者服务点．现有5名志愿者参加其中三座桥一桥、桥及桥的服务，要求这三个服务点都有人参加，记事件A为“甲在桥服务点”，事件为“乙和丙分到一起”，则（    ） A．事件A与事件相互独立 B． C． D． 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（24-25高二下·江西南昌·期末）设随机变量的分布列为，，，，，，且，则______ 13．（2026高三·全国·专题练习）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差．已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（若随机变量服从正态分布，则），则下列结论正确的序号是_________． ①；②；③；④ 14．（2026·浙江·模拟预测）某景区内有10个景点，其平面图如图所示，当时甲在A地，乙在B地，若每经过一个单位时间，他们都将随机走向与之相邻的任意一个景区，记某时刻甲、乙出现在同一景区的概率为，则_____；_________. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（安徽淮南第二中学等校2025-2026学年高二第二学期期中学业质量检测数学试卷）某企业开展内部知识竞赛，参赛的员工需要从8道题中随机抽取3道来回答.竞赛规则规定：每题回答正确得6分，回答不正确得分. (1)已知甲员工每题回答正确的概率均为0.6，且各题回答正确与否之间没有影响，记甲答对的题目个数为X，求X的期望和方差； (2)已知员工乙能正确回答8道题中的5道，记乙的总得分为Y，求Y的分布列. 16．（2026·安徽合肥·二模）某出行平台为缓解市高峰时段打车难问题，实行“动态调价”机制.平台根据历史数据发现，乘客是否接受调价与其出行目的密切相关.根据历史订单，市高峰时段乘客出行目的可分为三类：工作通勤、接驳交通枢纽及其他，其占比分别为，，，且这三类出行目的的乘客接受动态调价的概率分别为，，.从市高峰时段所有订单中随机抽取一单. (1)求该订单乘客接受动态调价的概率； (2)已知该订单乘客接受动态调价，求其出行目的为工作通勤的概率. 17．（2026·重庆·一模）某地区从高一年级的物理测试中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)该地区某学校建议此次物理测试成绩在本地区前的学生选科报物理方向，试估计报物理方向的学生本次成绩不低于多少分？（结果保留整数） (2)从成绩位于区间和的答卷中，采用分层抽样随机抽取7份，再从这7份中随机抽取3份，设成绩在的答卷份数为随机变量，求的分布列及数学期望． 18．（2026·湖南常德·二模）泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，其中为自然对数的底数． (1)当时，泊松分布可以用正态分布来近似，当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为．若，求的值； (2)设，当且时，二项分布可近似看作泊松分布，即，其中. 某工厂生产件电子元器件，次品率为，各元件是否为次品相互独立，记为产品中的次品数，按泊松分布近似计算． （i）若，求产品中恰有2件次品的概率； （ii）求使得最大时的值． （参考数据：；若，则有，，） 19．（25-26高三上·湖南长沙·月考）甲、乙两人共进行局比赛，假设每局比赛甲赢的概率都是，各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局. (1)设，若全部局比完后，所赢局数多者获胜.甲获胜的概率记为， （i）求； （ii）试比较与的大小，并证明你的结论. (2)设，“局比赛结束后，甲赢得奇数局比赛”的概率记为，证明：. 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $