23.1--23.2一次函数的概念图象和性质（小模块.微专题.大压轴）（二十四大题型）2025－2026学年人教版数学八年级下册

挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《23.1--23.2一次函数的概念图象和性质》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 正比例函数的定义 模块13根据一次函数的解析式判断象限 模块2 画正比例函数的图象 模块14根据一次函数经过的象限求k.b的范围 模块3 正比例函数图象上点的坐标特征 模块15根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 模块4 正比例函数的增减性 模块16根据一次函数的增减性比较函数值大小 模块5 根据正比例函数的性质比较大小 模块17待定系数法求一次函数解析式 模块6正比例函数经过的象限 模块18求已知直线与坐标轴围成的三角形的面积 模块7求正比例函数的解析式 模块19由已知直线与三角形的面积求点的坐标 模块8 一次函数的定义 微专题1一次函数的平移 模块9画一次函数的图象 微专题2一次函数图象的对称问题 模块10 由kb的正负确定函数的大致图象 微专题3一次函数图象的旋转问题 模块11 由函数的大致图象确定kb的正负 压轴1 一次函数规律探究问题 模块12一次函数与坐标轴的交点 压轴2 一次函数背景下的新定义问题 模块通关·举一反三 【模块一】正比例函数的定义 【例1】下列函数关系式中，是的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】若是正比例函数，则的值是（   ）． A． B． C． D． 【变式1-2】若为正比例函数，则a的值为（   ） A．3 B． C． D．9 【变式1-3】在中，若是的正比例函数，则值为 ． 【模块二】画正比例函数的图象 【例2】用你认为最简单的方法画出下列函数的图象． (1)； (2)． 【变式2-1】在平面直角坐标系中，当时，四个函数的图象与轴正半轴的夹角分别为，则在这四个角中，最小的角是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（1）在同一坐标系内画出正比例函数与的图象； （2）请你用量角器度量一下这两条直线的交角，你会发现什么？写出你的猜想． 【变式2-3】在由边长为1的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，函数（其中）的图象经过点． (1)给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象． (2)若图象上有两点，，且，直接写出与的大小关系． 【模块三】正比例函数图象上点的坐标特征 【例3】下列各点中，不在正比例函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】若点在正比例函数的图象上，则m的值是（　　） A． B． C．1 D． 【变式3-2】一个正比例函数的图象经过，两点，则m的值为（   ） A．2 B．8 C． D． 【变式3-3】在平面直角坐标系中，正比例函数的图象经过点和．若，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 【模块四】正比例函数的增减性 【例4】若正比例函数中，值随着值的增大而减小，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知关于的正比例函数．若值随值的增大而增大，则的取值范围是 ． 【变式4-2】正比例函数的函数值随的增大而减小，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】关于函数，下列判断正确的是（   ） A．图像经过第一、三象限 B．无论为何值，总有 C．图像经过点 D．随的增大而减小 【模块五】根据正比例函数的性质比较大小 【例5】点，都在直线上，则与之间的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【变式5-1】点，，在正比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图：三个正比例函数的图像分别对应的解析式是①，②，③，则、、的大小关系是（    ）. A． B． C． D． 【变式5-3】已知点在正比例函数的图象上，若点也在这个正比例函数的图象上，且，则和的大小关系是 ． 【模块六】正比例函数经过的象限 【例6】已知函数的图象过第一、三象限，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】正比例函数的图象是（   ） A．B． C． D． 【变式6-2】关于正比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象经过点 B．图象经过第二、四象限 C．不论x取何值，总有 D．y随x的增大而增大 【变式6-3】已知，则其在平面直角坐标系中的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【模块七】求正比例函数的解析式 【例7】已知与成正比，当时，，那么当时，的值为（   ） A．4 B． C．6 D． 【变式7-1】已知函数是正比例函数，点在其函数图象上．当时，，则的值为 ． 【变式7-2】平面直角坐标系第三象限内有一点P，它到x轴的距离为2，到y轴的距离为6，则直线的表达式为 ． 【变式7-3】如图，已知在平面直角坐标系中的点，，，，，，，，若已知直线经过点且平分多边形的面积，则直线的解析式为 ．    【模块八】 一次函数的定义 【例8】函数①；②；③；④；⑤，其中是一次函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式8-1】已知函数是一次函数，则的值为（   ） A． B． C． D．或 【变式8-2】下列用表格表示的变量关系中，是的一次函数的是（    ） A． … 1 2 3 4 … … 8 6 6 8 … B． … 1 2 3 4 … … 12 10 7 3 … C． … 1 2 3 4 … … 3 6 11 12 … D． … 1 2 3 4 … … 12 9 6 3 … 【变式8-3】下列语句中，与是一次函数关系的有（　　）个 （1）汽车以千米/时的速度匀速行驶，行驶路程（千米）与行驶时间（时）之间的关系 （2）圆的面积（厘米2）与它的半径（厘米）之间的关系； （3）一棵树现在高厘米，每个月长高厘米，月后这棵树的高度为厘米，与的关系； （4）某种大米的单价是元/千克，当购买千克大米时，花费元，与的关系． A． B． C． D． 【模块九】画一次函数的图象 ．【例9】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为．请仅用无刻度的直尺，分别在图，图中画出满足条件的直线（保留画图痕迹）． (1)在图中，画直线； (2)在图中，画直线． 【变式9-1】已知函数． (1)填表，并在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； x … _____ … … ___ … (2)当时，求y的取值范围． 【变式9-2】已知一次函数． (1)将下面的表格补充完整，并在所给的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； x 0 1 (2)点 (填“在”或“不在”)函数图象上． 【变式9-3】已知一次函数． (1)画出函数图象，观察图象，当时，的取值范围是__________； (2)平移上述函数的图象后经过点，求平移后的函数表达式； (3)一次函数与、轴分别交于、两点，若一次函数的图象与线段有交点，则的取值范围是__________． 【模块十】 由kb的正负确定函数的大致图象 ．【例10】若，，则函数的图象大致是（　　） A．B． C． D． 【变式10-1】已知点在第二象限，则直线的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】已知正比例函数的图象经过二、四象限，则一次函数的图象大致是（    ）． A． B． C． D． 【变式10-3】在同一平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的图象可能是（    ）． A． B． C． D． 【模块十一】 由函数的大致图象确定kb的正负 【例11】已知一次函数的图像如图所示，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式11-1】已知一次函数的图象如图所示，则k，b的取值范围是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式11-2】若一次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C．随的增大而减小 D．当时， 【变式11-3】一次函数的图象如图所示，下列结论正确的是（   ） A．图象经过第一、二、三象限 B．图象经过原点 C． D．的值随值的增大而增大 【模块十二】 一次函数与坐标轴的交点 ．【例12】方程的解就是函数的图象与（    ） A．轴交点的横坐标 B．轴交点的横坐标 C．轴交点的纵坐标 D．轴交点的纵坐标 【变式12-1】一次函数与y轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】直线与轴、轴的交点坐标分别为 ， ，图象不经过第 象限． 【变式12-3】函数的图象为(    ) A． B． C． D． 【模块十三】 根据一次函数的解析式判断象限 ．【例13】在平面直角坐标系中，直线经过的象限有（   ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 【变式13-1】一次函数的函数值y随x的增大而增大，它的图象不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式13-2】初二（1）班在学习了一次函数的知识后，对于一次函数的图象经过的象限，大家议论纷纷：小红说：它经过第一、二、三象限；小龙说：它经过第二、三、四象限；小彬说：它经过第一、二、四象限；小航说：它经过第一、三、四象限．其中说法是正确的是（   ） A．小红 B．小龙 C．小彬 D．小航 【变式13-3】下列图象可能是一次函数的图象是（   ） A．B．C． D． 【模块十四】 根据一次函数经过的象限求k.b的范围 ．【例14】若直线经过第二、三、四象限，则函数的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【变式14-1】已知一次函数的图像如图所示，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式14-2】若直线（k是常数，）经过第一、二、三象限，则k的值可能为（    ） A． B． C． D．1 【变式14-3】已知一次函数的图象经过一、二、四象限，则下列判断中正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【模块十五】 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 ．【例15】若点都在一次函数的图象上，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法比较大小 【变式15-1】已知点，在直线上，则a与b的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式15-2】已知，为直线上的两个点，且，则以下判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式15-3】已知，，为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【模块十六】 根据一次函数的增减性比较函数值大小 ．【例16】已知点和点都在直线上，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【变式16-1】已知点、是函数图象上的两个点，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式16-2】已知点都在直线上，则的大小关系 (    ) A． B． C． D．不能确定 【变式16-3】若点、，都在一次函数的图象上，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【模块十七】 待定系数法求一次函数解析式 ．【例17】《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间.某学校小组仿制了一套浮箭漏，通过观察，每小时记录一次箭尺读数，得到表格如下，那么箭尺读数和供水时间最可能满足的函数关系是（   ） 供水时间（小时） 箭尺读数（厘米） A． B． C． D． 【变式17-1】若一次函数的图象与直线平行，且经过直线与轴的交点，则该一次函数的解析式是（   ） A． B． C． D． 【变式17-2】已知与成正比例，当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值． 【变式17-3】已知一次函数．当时，对应的函数值的取值范围是，求此函数的解析式． 【模块十八】求已知直线与坐标轴围成的三角形的面积 【例18】若直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为6，则的值为（   ） A．6 B． C． D． 【变式18-1】已知一次函数． (1)在直角坐标系中画该一次函数的图象； (2)求该函数的图象与两坐标轴围成的三角形面积． 【变式18-2】已知直线（k、b为常数，且）经过点和，将直线向左平移3个单位长度后得到的直线与x轴、y轴围成的三角形的面积是（   ） A．3 B． C．2 D．1 【变式18-3】已知直线，若点满足，且，则称点A，B关于直线对称． (1)点关于直线对称点的坐标为 ． (2)若点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为，直线l经过点，则直线l与坐标轴围成的三角形面积为 ． 【模块十九】 由已知直线与三角形的面积求点的坐标 【例19】如图，已知直线经过点，，与直线相交于点B，且直线交x轴于点C，直线交x轴于点D． (1)求直线的函数表达式； (2)若在x轴上有一点P，且的面积等于的面积的，求点P的坐标． 【变式19-1】设一次函数，为常数，的图象过，两点． (1)求该函数表达式； (2)若点在该函数图象上，求的值； (3)设点在轴上，若，求点的坐标． 【变式19-2】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)点是轴上一点，连接，若的面积为，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，将沿折叠，点的对应点为点，请直接写出点的坐标． 【变式19-3】如图，直线与x轴交于点A、与y轴交于点B，与经过原点的直线相交于点； (1)直接写出点B的坐标为___________； (2)求出的面积； (3)在直线上是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】一次函数的平移 【例20】若一次函数的图象向左平移2个单位后经过原点，则的值为（    ） A．2 B． C．0 D． 【变式20-1】在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向下平移2个单位后，得到一个正比例函数图象，则该一次函数图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式20-2】将正比例函数的图象向下平移5个单位后，得到一个一次函数的图象，则关于这个一次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．与轴的交点坐标点是 B．经过第一、二、四象限 C．与两坐标轴围成的三角形的面积为 D．若一次函数的图象经过两点，且， 【变式20-3】如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边落在x轴的正半轴上，且点，，直线以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，经过（    ）秒该直线可将平行四边形分成面积相等的两部分． A．3秒 B．秒 C．5秒 D．6秒 【微专题二】 一次函数图象的对称问题 【例21】若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为“对偶值”．下列结论： ①函数与函数不具有“对偶关系”； ②函数与函数的“对偶值”为； ③若1是函数与函数的“对偶值”，则： ④若函数与函数具有“对偶关系”，则． 其中正确个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式21-1】在平面直角坐标系中，若直线与直线关于轴对称，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式21-2】如图，在平面直角坐标系中，已知点，点．若点A与点A′关于直线l成轴对称，则直线l的解析式是（　　） A． B． C． D． 【变式21-3】对于函数的图象我们可以这么理解：如果点在的图象上，那么点一定也在的图象上．我们发现：点和点是关于y轴对称的．若在函数上，存在两个点，给出下面四个结论： ①若，当时，x有唯一的对应值5； ②当点A在点B上方时，则无论a为何值，都有； ③若，，则无论a为何值，都有；   ④若对于，，都有，则a满足条件的最大整数值为． 上述结论中，正确结论的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【微专题三】 一次函数图象的旋转问题 【例22】把函数的图象分别沿轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数或的图象． 【阅读理解】 小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数表达式？ 老师给了以下提示：如图1，在函数的图象上任意取两个点，分别向右平移3个单位长度，得到，直线就是函数的图象沿轴向右平移3个单位长度后得到的图象． 请你帮助小尧解决他的困难． （1）将函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为___________． 【解决问题】 （2）已知某一次函数的图象与直线关于轴对称，求此一次函数的表达式． 【拓展探究】 （3）一次函数的图象绕点逆时针方向旋转后得到的图象对应的函数表达式为___________．（直接写结果） 【变式22-1】对于函数，在如图所示的平面直角坐标系中． (1)画出函数的图象； (2)填空：写出图象与x轴的交点A的坐标（____，____），与y轴交点B的坐标（____）； (3)在（2）的条件下，求出的面积． (4)直接写出该函数图象绕原点旋转后图象的函数表达式． 【变式22-2】如图，一次函数的图象经过点，且与轴、轴分别交于，两点． （1） ． （2）将该直线绕点顺时针旋转得直线，过点作交直线于点，则直线的函数解析式为 ． 【变式22-3】如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于，两点，将直线绕点逆时针方向旋转，则旋转后的直线与轴的交点坐标为 ． 压轴突破·素养提升 【压轴一】 一次函数规律探究问题 【例23】若正方形，，，按如图所示的方式放置．点，，，…在直线上，且直线与轴的夹角为，点，，，…在轴上，已知点，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式23-1】若存在一非零常数T，对于定义域内的任意x，使恒成立，则叫作周期函数，T叫作这个函数的一个周期．现在已知一个周期为2的周期函数在时的解析式为，则（   ） A．2024 B．4048 C． D． 【变式23-2】如下图，直线交轴于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；…记面积为，面积为，面积为，…则等于（   ） A． B． C． D． 【变式23-3】在平面直角坐标系中，解析式为的直线a，解析式为的直线b如图所示，直线a交y轴于点A，以为边作第一个等边三角形，过点B作y轴的平行线交直线a于点，以为边作第二个等边三角形顺次这样作下去，第2020个等边三角形的边长为（　　） A． B． C．4038 D．4040 【压轴二】 一次函数背景下的新定义问题 【例24】【定义】对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当时，它们对应的函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数．我们称这样的两个函数互为“相关函数”． 例如：一次函数，它的“相关函数”为． 已知一次函数，请回答下列问题： (1)该一次函数的“相关函数”为________； (2)已知点在该一次函数的“相关函数”的图象上，求a的值； (3)当时，求该一次函数的“相关函数”的最大值和最小值； (4)已知直线与该一次函数的“相关函数”的图象只有一个交点时，直接写出b的取值范围． 【变式24-1】定义运算“”为：． (1)计算：； (2)画出函数的图象． 【变式24-2】对于平面直角坐标系中任意两点，，称为M，N两点的直角距离，记作：．如：，，则．若是一定点，是直线上的一动点，称的最小值为P到直线的直角距离，则到直线的直角距离为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 E．5 【变式24-3】阅读与思考：阅读下列材料，完成相应的任务． 探索函数图象与性质之间的关系图象与性质是函数研究的主要内容，从函数的数量特征和图象的几何特征两个角度分析函数的性质，是研究函数的基本思路和方法．例如，在研究正比例函数的图象与性质时，可以用函数的数量特征解释相应的图象几何特征，分析如下： 图象 图象的几何特征 函数的数量特征      图象经过①_______ 由表达式可知，当时，； 图象经过第②_______象限 因为，且，所以当时，，当时，y___③，即当时，x，y同号； 从左往右图象是上升趋势 设点，是该函数图象上的点（其中），所以，， 因为，所以， 所以， 即，所以， 所以，y的值随x值的增大而④_______． …… 类似地，我们可以用这种思路与方法研究其他函数的图象与性质． 任务： (1)上述材料中横线上空缺的内容依次为：①_______；②_______；③_______；④_______ (2)如下表所示，小华模仿上述材料画出函数的图象．请你完成填空并证明． 图象 图象的几何特征 证明过程      图象关于_______对称 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《23.1--23.2一次函数的概念图象和性质》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 正比例函数的定义 模块13根据一次函数的解析式判断象限 模块2 画正比例函数的图象 模块14根据一次函数经过的象限求k.b的范围 模块3 正比例函数图象上点的坐标特征 模块15根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 模块4 正比例函数的增减性 模块16根据一次函数的增减性比较函数值大小 模块5 根据正比例函数的性质比较大小 模块17待定系数法求一次函数解析式 模块6正比例函数经过的象限 模块18求已知直线与坐标轴围成的三角形的面积 模块7求正比例函数的解析式 模块19由已知直线与三角形的面积求点的坐标 模块8 一次函数的定义 微专题1一次函数的平移 模块9画一次函数的图象 微专题2一次函数图象的对称问题 模块10 由kb的正负确定函数的大致图象 微专题3一次函数图象的旋转问题 模块11 由函数的大致图象确定kb的正负 压轴1 一次函数规律探究问题 模块12一次函数与坐标轴的交点 压轴2 一次函数背景下的新定义问题 模块通关·举一反三 【模块一】正比例函数的定义 【例1】下列函数关系式中，是的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【来源】贵州省贵阳市第十九中学2025-2026学年上学期期中考试八年级数学试卷 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题考查正比例函数的定义，牢记正比例函数的定义形式是解题的关键．根据正比例函数的定义（，其中为常数且）判断各选项． 【详解】解：正比例函数的形式为（为常数，且）， A、，符合，且， 是正比例函数，选项符合题意； B、，不符合， 不是正比例函数，选项不符合题意； C、，的指数为，不是， 不是正比例函数，选项不符合题意； D、，有常数项， 不是正比例函数，选项不符合题意； 故选：A． 【变式1-1】若是正比例函数，则的值是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【来源】安徽省宿州市第九中学2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题考查了正比例函数的定义，掌握“正比例函数的表达式常数项为” 是解题的关键． 正比例函数的形式为，无常数项，故需使常数项为零即可． 【详解】解：是正比例函数， 常数项， ． 故选：C． 【变式1-2】若为正比例函数，则a的值为（   ） A．3 B． C． D．9 【答案】B 【难度】0.65 【来源】17.3（1）一次函数&一次函数的图象（8大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（华东师大版） 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，难度不大，注意基础概念的掌握． 根据正比例函数的定义条件：k为常数且，自变量次数为1，即可列出有关a的方程，求出a值． 【详解】解：根据正比例函数的定义：， 解得：， 又， 故． 故选：B． 【变式1-3】在中，若是的正比例函数，则值为 ． 【答案】 【难度】0.85 【来源】江苏省江阴市南菁高级中学实验学校2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试卷 【知识点】根据一次函数的定义求参数、正比例函数的定义 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，根据正比例函数的定义，函数表达式中的常数项必须为零，且比例系数不为零即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：因为是的正比例函数， 所以， 由得或， 又因为， 所以， 因此， 故答案为：． 【模块二】画正比例函数的图象 【例2】用你认为最简单的方法画出下列函数的图象． (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【难度】0.94 【来源】17.3（1）一次函数&一次函数的图象（8大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（华东师大版） 【知识点】正比例函数的图象 【分析】本题考查了正比例函数的图象． （1）根据函数的图象经过和，画出图象即可； （2）根据函数的图象经过和，画出图象即可． 【详解】（1）解：的图象经过和，其图象为： （2）解：正比例函数的图象经过和，其图象为： 【变式2-1】在平面直角坐标系中，当时，四个函数的图象与轴正半轴的夹角分别为，则在这四个角中，最小的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【来源】安徽省滁州市部分学校2025-2026学年上海学期期中测试卷八年级数学试卷 【知识点】正比例函数的图象 【分析】本题考查了正比例函数的图象，画出正比例函数图象即可判断求解，正确画出正比例函数图象是解题的关键． 【详解】解：画函数图象如下： 由函数的图象可知，直线与轴正半轴的夹角最小，即最小， 故选：． 【变式2-2】（1）在同一坐标系内画出正比例函数与的图象； （2）请你用量角器度量一下这两条直线的交角，你会发现什么？写出你的猜想． 【答案】（1）画图见解析；（2）见解析． 【难度】0.85 【来源】第5章 一次函数 课时5 一次函数的图象与性质（1） 【知识点】正比例函数的图象、正比例函数的性质、垂线的定义理解 【分析】本题考查正比例函数的图象绘制和两直线垂直的判定（斜率之积为），运用图象法和归纳猜想思想．解题关键是掌握正比例函数图象过原点的性质，准确绘制图象；易错点是绘制图象时找点错误，或忽略斜率之积与垂直的关系． （1）绘制正比例函数图象：对于，取点，过原点和画直线．对于，取点，过原点和画直线． （2）测量交角并猜想：用量角器测量两直线交角为，结合两函数斜率和之积为，猜想：当两个一次函数的斜率之积为时，两条直线互相垂直（交角为）． 【详解】（1）如图： （2）两条直线的交角为；当两个一次函数两系数之积为时，两条直线的交角为，即垂直． 【变式2-3】在由边长为1的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，函数（其中）的图象经过点． (1)给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象． (2)若图象上有两点，，且，直接写出与的大小关系． 【答案】(1)见详解 (2) 【难度】0.85 【来源】安徽省蚌埠市蚌山区2025-2026学年上学期11月期中考试八年级数学试题 【知识点】正比例函数的图象、正比例函数的性质 【分析】本题考查了正比例函数的图象和性质，画出图象是解题的关键． （1）描出两点，连线即可求解； （2）根据正比例函数的性质判断即可． 【详解】（1）解：∵函数解析式为， ∴与之间成正比例关系， ∴该函数的图象经过和原点， 该函数的图象如图所示． （2）解：根据（1）中图象可得随的增大而减小， ， ． 【模块三】正比例函数图象上点的坐标特征 【例3】下列各点中，不在正比例函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【来源】第1课时 正比例函数的图象与性质 八年级数学上册（北师大2024）【江西铭文�支点】2025-2026学年八年级上学期同步练 【知识点】正比例函数的性质 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键． 利用一次函数图象上点的坐标特征来验证四个选项中的点是否在正比例函数图象上，此题得解． 【详解】解：A、当时，， ∴点在正比例函数的图象上，不符合题意； B、当时，， ∴点在正比例函数的图象上，不符合题意； C、当时，， ∴点在正比例函数的图象上，不符合题意； D、当时，， ∴点不在正比例函数的图象上，符合题意； 故选：D． 【变式3-1】若点在正比例函数的图象上，则m的值是（　　） A． B． C．1 D． 【答案】C 【难度】0.94 【来源】广西壮族自治区崇左市 扶绥县昌平乡初级中学2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题 【知识点】正比例函数的性质 【分析】本题考查的是正比例函数的性质，把代入，从而可得答案． 【详解】解：把代入， 得， 故选：C． 【变式3-2】一个正比例函数的图象经过，两点，则m的值为（   ） A．2 B．8 C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【来源】江苏省南京师范大学附属中学新城初级中学2025-2026学年上学期八年级数学11月月考试卷 【知识点】正比例函数的性质 【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键． 设正比例函数的解析式为，由点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出值，进而可得出正比例的解析式，再结合点的纵坐标，即可求出的值． 【详解】解：设正比例函数的解析式为：， ∵图象过， ∴， 解得， ∴正比例函数的解析式为：， 又∵函数图象过， ∴， 解得． 故选：A． 【变式3-3】在平面直角坐标系中，正比例函数的图象经过点和．若，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【来源】2025年陕西省西安市新城区西光中学教育集团多校协作模拟预测数学试题 【知识点】正比例函数的性质 【分析】本题考查了正比例函数的性质，由题意可得，，代入计算即可得解，熟练掌握正比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：正比例函数的图象经过点和， ，， ， ， ， 的值为， 故选：D． 【模块四】正比例函数的增减性 【例4】若正比例函数中，值随着值的增大而减小，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【来源】应用技巧专题 一次函数的系数k，b的作用 八年级数学上册（北师大2024）【江西宇恒�学海风暴】2025-2026学年八年级上学期同步练 【知识点】正比例函数的性质、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查了正比例函数的性质，值随着值的增大而减小，据此判断正比例函数的斜率小于0，求出的范围，解题的关键是根据增减性判断斜率的正负. 【详解】解：值随着值的增大而减小， ， ， 故选：A ． 【变式4-1】已知关于的正比例函数．若值随值的增大而增大，则的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.85 【来源】第12讲 正比例函数-【寒假自学课】2023年八年级数学寒假精品课（人教版） 【知识点】根据一次函数增减性求参数、正比例函数的性质 【分析】本题考查了正比例函数的性质，掌握正比例函数中，当时随的增大而增大是解题的关键． 根据正比例函数的性质，当比例系数大于时，随的增大而增大． 【详解】解：∵正比例函数中，随的增大而增大， ∴，解得． 故答案为：． 【变式4-2】正比例函数的函数值随的增大而减小，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【来源】河南省信阳市浉河中学2024-2025学年八年级下学期5月月考数学试卷 【知识点】正比例函数的性质、判断一次函数的图象 【分析】本题考查了一次函数的性质，正确判断k的大小是解决本题的关键． 根据正比例函数的函数值随的增大而减小，可以判断；再根据判断出的图象的大致位置即可． 【详解】解：正比例函数的函数值随的增大而减小， ， 一次函数的图象经过一、三、四象限． 故选：B． 【变式4-3】关于函数，下列判断正确的是（   ） A．图像经过第一、三象限 B．无论为何值，总有 C．图像经过点 D．随的增大而减小 【答案】D 【难度】0.85 【来源】陕西省西安市经开第二学校　2025-2026学年八年级上学期第二次月考试数学试卷（北师大版） 【知识点】正比例函数的性质 【分析】本题考查了正比例函数的图像与性质，由函数是正比例函数，，根据性质，图像经过第二、四象限，随增大而减小，逐一判断选项即可，掌握正比例函数的图像与性质是解题的关键． 【详解】解：、∵函数中， ∴图像经过第二、四象限，该选项错误，不符合题意； 、当时，，该选项错误，不符合题意； 、当时，，图像不经过，该选项错误，不符合题意； 、∵函数中， ∴随的增大而减小，该选项正确，符合题意； 故选：． 【模块五】根据正比例函数的性质比较大小 【例5】点，都在直线上，则与之间的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【难度】0.94 【来源】2025-2026学年沪科版（2024）数学八年级上册期中练习（基础卷） 【知识点】正比例函数的性质 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质，对于，当时，y随x的增大而增大是解题的关键． 直接根据正比例函数的性质求解即可． 【详解】解：∵点，都在直线上，， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴． 故选C． 【变式5-1】点，，在正比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【来源】江苏省苏州市西安交通大学苏州附属初级中学2025-2026学年上学期八年级数学第15周周测练习 【知识点】正比例函数的性质、实数的大小比较 【分析】本题考查正比例函数的性质，实数的比较大小，掌握相关知识是解决问题的关键．点在正比例函数图象上，直接代入函数表达式计算各点纵坐标，然后比较大小． 【详解】解：∵ 点A、B、C在函数 图象上， ∴ ， ， ． ∵ ， ∴ ． 故选：A． 【变式5-2】如图：三个正比例函数的图像分别对应的解析式是①，②，③，则、、的大小关系是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【来源】江苏省宿迁市部分学校2025-2026学年上学期八年级月考试卷 【知识点】正比例函数的性质、正比例函数的图象 【分析】本题考查正比例函数的图像．熟悉正比例函数的图像和性质是解题的关键．正比例函数的图像和性质：对于，当时，函数图像经过第二、四象限，随的增大而减小；当时，函数图像经过第一、三象限，随的增大而增大；并且越大，函数图像越陡． 【详解】解：∵正比例函数①、②的图像经过一、三象限，正比例函数③的图像经过二、四象限， ∴，，， ∵越大，正比例函数图像越陡， ∴． 故选：C． 【变式5-3】已知点在正比例函数的图象上，若点也在这个正比例函数的图象上，且，则和的大小关系是 ． 【答案】 【难度】0.85 【来源】山西省运城市闻喜县2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题 【知识点】正比例函数的性质、比较一次函数值的大小 【分析】解题思路是先利用已知点求出正比例函数的比例系数，再根据的符号判断函数的增减性，最后结合、的大小关系，得出和的大小关系．本题考查正比例函数的性质，涉及的知识点是正比例函数的解析式求解、增减性判断．解题中用到的方法是 “先求系数，再判增减” 的步骤法．解题关键是准确求出的值，并牢记的符号与函数增减性的关系．易错点是混淆的符号对应的增减性，导致大小关系判断错误． 【详解】，将点代入： 因此，正比例函数的解析式为． ，所以随的增大而减小． 已知，且y随x的增大而减小，因此． 故答案为． 【模块六】正比例函数经过的象限 【例6】已知函数的图象过第一、三象限，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【来源】第1课时 正比例函数的图象与性质 八年级数学上册（北师大2024）【江西宇恒�学海风暴】2025-2026学年八年级上学期同步练 【知识点】正比例函数的性质 【分析】本题考查了正比例函数增减性与系数的关系，掌握正比例函数的性质是解题的关键． 根据正比例函数的性质求解． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过第一、三象限， ∴， ∴， 故选：A． 【变式6-1】正比例函数的图象是（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【来源】辽宁省盘锦市双台子区第一中学2024-2025学年八年级下学期阶段测试数学试卷 【知识点】正比例函数的定义、正比例函数的图象、正比例函数的性质 【分析】本题目主要考查了正比例函数的图象和性质，关键理解正比例函数的定义，正比例函数的一般形式．斜率的正负对函数图象的影响；当时，函数图象是一条经过原点且从左下到右上的直线；当时，函数图象是一条经过原点且从左上到右下的直线；函数图象经过的点的确定，即可解答． 【详解】解：∵函数，即， ∵， ∴函数图象是一条从左上到右下的直线， ∵函数经过原点， ∴当时，， 即：点也在函数图象上， ∴函数的图象是一条从左上到右下的直线，经过原点和点， 观察选项，选项D符合这个描述． 故选：D． 【变式6-2】关于正比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象经过点 B．图象经过第二、四象限 C．不论x取何值，总有 D．y随x的增大而增大 【答案】D 【难度】0.85 【来源】上海第一中学 2025-2026学年沪科版八年级数学 上册 周测三 【知识点】正比例函数的图象、正比例函数的性质、根据一次函数解析式判断其经过的象限、判断一次函数的增减性 【分析】本题考查正比例函数的性质，包括图象经过的点、象限分布、函数值符号和增减性，解题的关键是掌握数形结合的思想． 根据正比例函数的图象和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A. 当时，，故图象不经过点 ，该选项错误； B. ∵ 正比例函数，比例系数， ∴ 图象经过第一、三象限，不经过第二、四象限，故该选项错误； C. 当时，；当时，，故不一定大于0，该选项错误； D. ∵ ， ∴ 随的增大而增大，故该选项正确； 故选：D． 【变式6-3】已知，则其在平面直角坐标系中的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【来源】安徽省淮北市五校联考2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题 【知识点】正比例函数的图象、正比例函数的性质 【分析】本题考查正比例函数的图象，掌握正比例函数的图象是解题的关键；当时，在第三象限；当时，在第四象限；由此即可判断． 【详解】解：当时，在第三象限；当时，在第四象限； 故函数的图象在第三、四象限， 故选：D． 【模块七】求正比例函数的解析式 【例7】已知与成正比，当时，，那么当时，的值为（   ） A．4 B． C．6 D． 【答案】D 【难度】0.65 【来源】辽宁省沈阳市南昌中学2025-2026学年上学期11月月考八年级数学试题 【知识点】正比例函数的性质 【分析】本题考查正比例函数，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键，根据与成正比，设，利用已知条件求，再代入求解． 【详解】解：∵与成正比， ∴ 设， 当时，， ∴ 解得：， ∴， ∴当时，即， 解得：． 故选：D． 【变式7-1】已知函数是正比例函数，点在其函数图象上．当时，，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【来源】第1课时 正比例函数的图象与性质 八年级数学上册（沪科2024）【江西宇恒�学海风暴】2025-2026学年八年级上学期同步练 【知识点】正比例函数的定义、正比例函数的性质 【分析】本题考查正比例函数的定义和性质，根据正比例函数定义得到，再根据当时，得到，最后确定的值即可． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴， 解得， ∵点在其函数图象上．当时，， ∴随的增大而减小， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【变式7-2】平面直角坐标系第三象限内有一点P，它到x轴的距离为2，到y轴的距离为6，则直线的表达式为 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【来源】山西省运城市稷山县2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、正比例函数的性质 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征及正比例函数表达式的求解，解题的关键是根据点所在象限与点到坐标轴的距离确定点P的坐标，再用待定系数法求直线的表达式． 由第三象限点的横、纵坐标均为负，结合点到x轴、y轴的距离确定点P的坐标；设直线的表达式为，将点P坐标代入求出的值，进而得到表达式． 【详解】解：∵点P在第三象限，到x轴的距离为2，到y轴的距离为6， ∴点P的坐标为． 设直线的表达式为， 将代入得：， 解得， ∴直线的表达式为． 故答案为：． 【变式7-3】如图，已知在平面直角坐标系中的点，，，，，，，，若已知直线经过点且平分多边形的面积，则直线的解析式为 ．    【答案】/ 【难度】0.4 【来源】新疆墨玉县双玉实验学校2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试卷 【知识点】正比例函数的性质、坐标与图形综合 【分析】本题考查了正比例函数的应用、点坐标与图形，熟练掌握待定系数法是解题关键．延长交轴于点，延长交轴于点，连接，连接，并延长交于点，先判断出直线一定是与相交，交点位于线段上，再设直线与交于点，根据面积关系求出点的坐标，然后利用待定系数法求解即可得． 【详解】解：如图，延长交轴于点，延长交轴于点，连接，连接，并延长交于点，    ∵，，， ∴轴，轴， ∴， ∴， ∵，，，，， ∴四边形和四边形都是长方形，且， ∴多边形的面积为， 多边形的面积为， 设直线的解析式为， 将点代入得：， ∴直线的解析式为， 将代入函数得：，解得， ∴， ∴的面积为， ∴如图，直线一定是与相交，交点位于线段上， 设直线与交于点， ∴直线平分多边形的面积， ∴的面积为， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， ∴直线的解析式为． 故答案为：． 【模块八】 一次函数的定义 ．【例8】函数①；②；③；④；⑤，其中是一次函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【难度】0.85 【来源】江苏省江阴市云亭中学2025-2026学年八年级上学期第二次月考数学试题 【知识点】识别一次函数 【分析】本题考查了一次函数的定义，根据一次函数的定义，形如（、为常数，）的函数是一次函数，逐一判断各函数即可，熟练掌握一次函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：①中，未指定，故不一定是一次函数； ②，符合形式，，是一次函数； ③中分母含有，不是整式，故不是一次函数； ④，符合形式，，是一次函数； ⑤，是二次函数，不是一次函数； ∴是一次函数的有②和④，共2个， 故选：B． 【变式8-1】已知函数是一次函数，则的值为（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【难度】0.94 【来源】安徽省淮北市2025-2026学年八年级上学期第一次月考数学练习卷 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．根据一次函数的定义得出且，即可求解． 【详解】解：函数是一次函数， 且， 解得． 故选：A． 【变式8-2】下列用表格表示的变量关系中，是的一次函数的是（    ） A． … 1 2 3 4 … … 8 6 6 8 … B． … 1 2 3 4 … … 12 10 7 3 … C． … 1 2 3 4 … … 3 6 11 12 … D． … 1 2 3 4 … … 12 9 6 3 … 【答案】D 【难度】0.85 【来源】山西省大同市部分校 2025-2026学年八年级数学上学期12月联考试题 【知识点】识别一次函数 【分析】本题考查了一次函数，熟练掌握一次函数的定义是解题关键．一次函数需满足随的变化量的比值恒定，即每增加1，的变化量相同，据此逐项判断即可得． 【详解】解：A、由表格可知，随的增大先减小、再不变、然后增大，变化不均匀，不满足一次函数的定义，则此项不是的一次函数，不符合题意； B、由表格可知，随的增大而减小，但变化不均匀，则此项不是的一次函数，不符合题意； C、由表格可知，随的增大而增大，但变化不均匀，则此项不是的一次函数，不符合题意； D、由表格可知，随的增大而减小，且自变量每增加1，函数值减小3，变化均匀，则此项是的一次函数，符合题意； 故选：D． 【变式8-3】下列语句中，与是一次函数关系的有（　　）个 （1）汽车以千米/时的速度匀速行驶，行驶路程（千米）与行驶时间（时）之间的关系 （2）圆的面积（厘米2）与它的半径（厘米）之间的关系； （3）一棵树现在高厘米，每个月长高厘米，月后这棵树的高度为厘米，与的关系； （4）某种大米的单价是元/千克，当购买千克大米时，花费元，与的关系． A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【来源】广西壮族自治区崇左市龙州县霞秀乡中学2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题 【知识点】识别一次函数 【分析】本题考查一次函数的定义，需熟悉其一般形式并正确应用．根据一次函数的定义判断每个语句是否满足． 【详解】解：（1）行驶路程与时间的关系为，符合形式，是一次函数； （2）圆的面积与半径的关系为，是二次函数，不是一次函数； （3）树高与月数的关系为，符合形式，是一次函数； （4）花费与购买量的关系为，符合形式，是一次函数； 满足一次函数关系的有（1）、（3）、（4），共个． 故选：C． 【模块九】画一次函数的图象 ．【例9】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为．请仅用无刻度的直尺，分别在图，图中画出满足条件的直线（保留画图痕迹）． (1)在图中，画直线； (2)在图中，画直线． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【难度】0.4 【来源】2025年下半年期末检测 八年级数学试卷 【知识点】画一次函数图象 【分析】本题考查了画一次函数图象，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． （）连接交轴于点，可得，根据直线经过和，过点画直线，则直线即为所求： （）设直线与轴交于点，则，根据直线经过和，过点画直线，则直线即为所求： 【详解】（1）解：连接交轴于点， ∵， ∴， ∵直线经过和， ∴过点画直线，直线即为所求： （2）解：设直线与轴交于点，则， ∵直线经过和， ∴过点画直线，直线即为所求： 【变式9-1】已知函数． (1)填表，并在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； x … _____ … … ___ … (2)当时，求y的取值范围． 【答案】(1)4，5；见解析 (2) 【难度】0.85 【来源】河北省张家口市张北县第三中学等校2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 【知识点】画一次函数图象、根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【分析】本题考查了画函数图象，并利用图象求函数值取值范围；会利用图象求解是解题的关键． （1）分别将，代入解析式求解，描点、连线，画出图象即可； （2）当时，；当时，，根据图象求解即可． 【详解】（1）解：表格中第一行横线处为4，第二行横线处为5； 故答案为：4，5； 如图； （2）解：当时，． 当时，． 综合图象可得y的取值范围是． 【变式9-2】已知一次函数． (1)将下面的表格补充完整，并在所给的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； x 0 1 (2)点 (填“在”或“不在”)函数图象上． 【答案】(1)见解析；见解析 (2)不在 【难度】0.85 【来源】安徽省马鞍山市雨山实验学校2025-2026学年八年级上学期12月期中数学试题 【知识点】求一次函数自变量或函数值、画一次函数图象 【分析】本题考查一次函数的图象，找到函数图象上的两个点，连接即可得到函数图象． （1）直接将点横（纵）坐标代入，计算即可补充表格，找到函数图象上的两个点，连接即可得到函数图象； （2）求出当时的函数值，即可求解． 【详解】（1）解：时，， 解得：， 时，， 时，， 补充表格如下： x … 0 1 … … 0 4 6 … 画出函数图象如下． （2）解：当时，， ∴点 不在函数图象上． 故答案为：不在 【变式9-3】已知一次函数． (1)画出函数图象，观察图象，当时，的取值范围是__________； (2)平移上述函数的图象后经过点，求平移后的函数表达式； (3)一次函数与、轴分别交于、两点，若一次函数的图象与线段有交点，则的取值范围是__________． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【难度】0.65 【来源】江苏省南京市南外仙林外国语2025-2026学年上学期12月月考八年级数学试题 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、画一次函数图象、一次函数图象平移问题 【分析】（1）分别求出直线与x轴和轴的交点，画出函数图象，根据函数图象直接得出结论； （2）设平移后的函数表达式为，把代入求出的值即可得出结论； （3）先求出、两点坐标，把点和点坐标分别代入计算出对应的的值，然后利用一次函数图象与系数的关系确定的范围． 【详解】（1）解： 函数图象如图所示： ， ∴观察图象，当时，的取值范围为． （2）∵设平移后的函数表达式为， 将代入得：， ∴． ∴平移后的直线函数表达式为． （3）∵一次函数与、轴分别交于、两点， ∴当时，，即, 当时，，即． ∵把代入，即， 把代入，不成立， 又∵的图象恒过，在上方， ∴的图象与线段AB有交点时，的取值范围为． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的平移，解题的关键是运用数形结合的思想进行转化解题． 【模块十】 由kb的正负确定函数的大致图象 ．【例10】若，，则函数的图象大致是（　　） A．B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【来源】山东省济南市历城区2022-2023学年八年级上学期期中数学试题 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】直接根据一次函数图象与系数的关系判断即可． 【详解】解：∵，， ∴的图象在一、三、四象限， 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于（k为常数，），当，，的图象在一、二、三象限；当，，的图象在一、三、四象限；当，，的图象在一、二、四象限；当，，的图象在二、三、四象限． 【变式10-1】已知点在第二象限，则直线的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】已知点所在的象限求参数、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题象限中点的符号，一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 根据点在第二象限，可知，，然后根据一次函数的性质，即可得到直线的图象经过哪几个象限． 【详解】解：点在第二象限， ，， 直线的图象经过第一、二、四象限， 故选：C． 【变式10-2】已知正比例函数的图象经过二、四象限，则一次函数的图象大致是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】正比例函数的图象、正比例函数的性质、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查正比例函数与一次函数的图象和性质．熟悉正比例函数的图象所在象限与系数的关系，一次函数中系数、常数项的符号对图象经过象限的影响，是解题的关键． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过二、四象限， ∴， ∵对于一次函数，， ∴图象从左到右呈下降趋势， ∵， ∴与轴交点在正半轴， 故选：． 【变式10-3】在同一平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的图象可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【来源】2025-2026学年八年级上学期期末检测数学试题 【知识点】正比例函数的图象、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查了正比例函数的图象以及一次函数图象与系数的关系．熟练掌握该知识点是关键． 根据正比例函数图象所在的象限判定的符号，根据的符号来判定一次函数图象所经过的象限． 【详解】解：若，那么正比例函数过一、三象限，一次函数过一、二、三象限； 若，那么正比例函数过二、四象限，一次函数过一、三、四象限； 选项A，正比例函数过一、三象限，一次函数过一、三、四象限，不符合题意； 选项B，正比例函数过一、三象限，一次函数过一、二、三象限，符合题意； 选项C，正比例函数过二、四象限，一次函数过二、三、四象限，不符合题意； 选项D，正比例函数过二、四象限，一次函数过一、二、四象限，不符合题意； 故选：B． 【模块十一】 由函数的大致图象确定kb的正负 ．【例11】已知一次函数的图像如图所示，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【来源】2023年辽宁省沈阳市中考数学真题 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，由一次函数的图象经过第二、三、四象限，利用一次函数图象与系数的关系，可得出，熟练运用象限判断一次函数的的取值范围是解题的关键． 【详解】解：一次函数、为常数，且的图象经过第二、三、四象限， ． 故选：A． 【变式11-1】已知一次函数的图象如图所示，则k，b的取值范围是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【难度】0.94 【来源】重庆市第八中学校2024－2025学年八年级上学期期中考试数学试题 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，根据一次函数的图象经过的象限的求解即可． 【详解】解：根据题意，该一次函数的图象经过第一、二、三象限， ∴，， ∴，， 故选：B． 【变式11-2】若一次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C．随的增大而减小 D．当时， 【答案】B 【难度】0.85 【来源】黑龙江省哈尔滨市松北区2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试卷 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象与坐标轴的交点问题、判断一次函数的增减性 【分析】本题考查一次函数的图象与性质．根据一次函数的图象与性质判断即可． 【详解】解：由图象知，，且随的增大而增大，故A、C选项错误； 图象与y轴负半轴的交点坐标为，所以，B选项正确； 当时，图象位于x轴的下方，则有，D选项错误， 故选：B． 【变式11-3】一次函数的图象如图所示，下列结论正确的是（   ） A．图象经过第一、二、三象限 B．图象经过原点 C． D．的值随值的增大而增大 【答案】D 【难度】0.85 【来源】辽宁省锦州市2025--2026学年上学期八年级1月期末数学试卷 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、已知函数经过的象限求参数范围、判断一次函数的增减性 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据图象及解析式逐项判断选项即可，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：由图象可得，直线经过第一、三、四象限，随的增大而增大，，故错误，正确； ∵， ∴当时，，直线不经过原点， 故错误； 故选：． 【模块十二】 一次函数与坐标轴的交点 ．【例12】方程的解就是函数的图象与（    ） A．轴交点的横坐标 B．轴交点的横坐标 C．轴交点的纵坐标 D．轴交点的纵坐标 【答案】A 【难度】0.85 【来源】广西贺州市昭平县2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了一次函数与轴交点问题，由方程的解对应函数图象与轴交点的横坐标，因为当时，的值即为方程的解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵函数的图象与轴交点时，， ∴令，得，解得， ∴方程的解是函数图象与轴交点的横坐标， 故选：． 【变式12-1】一次函数与y轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【来源】新疆维吾尔自治区阿克苏地区2026年数学学科中考模拟试卷 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点坐标，掌握求函数图象与y轴交点的方法（令）是解题关键， 求一次函数与y轴的交点坐标，需令，求出对应的y值 【详解】解：∵函数与y轴交点的横坐标， ∴令，代入，得， ∴交点坐标为， 故选C 【变式12-2】直线与轴、轴的交点坐标分别为 ， ，图象不经过第 象限． 【答案】 三 【难度】0.85 【来源】【智】32 第1课时 一次函数的图象和性质（支点2026春八年级数学下册人教版-课时检测） 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象与系数的关系，熟知以上知识是解题的关键． 求直线与坐标轴的交点，分别令和 解方程；根据一次函数的和判断图象所经过的象限即可． 【详解】解：与 轴交点：令 ，得 ，解得 ，坐标为 ； 与轴交点：令 ，得 ，坐标为； 由于一次函数中 ，，图象经过第一、第二和第四象限，不经过第三象限． 故答案为： ，，三． 【变式12-3】函数的图象为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【来源】2025年四川省甘孜州中考数学试卷 【知识点】判断一次函数的图象、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了一次函数的图象性质（含一次函数与坐标轴交点的求解），解题的关键是通过计算一次函数与x轴、y轴的交点坐标，与选项中图象的交点进行匹配，确定正确答案． 先明确函数是一次函数（图象为直线）；分别令求其与x轴的交点，令求其与y轴的交点；再将计算出的交点坐标与各选项图象的交点对比，筛选出匹配的选项． 【详解】解：函数为一次函数，其图象是一条直线，可通过求与坐标轴的交点判断选项．   令，则，解得，即函数与x轴的交点为；   令，则，即函数与y轴的交点为； 观察图像，只有A选项与计算结果匹配． 故选：A． 【模块十三】 根据一次函数的解析式判断象限 ．【例13】在平面直角坐标系中，直线经过的象限有（   ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 【答案】B 【难度】0.85 【来源】2025-2026学年第一学期义务教育阶段学业质量监测 八年级数学试卷 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数（k为常数，），当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．当，图象与y轴的正半轴相交，当，图象与y轴的负半轴相交，当，图象经过原点． 根据一次函数的性质判断即可． 【详解】解：∵， ∴图象与y轴的正半轴相交， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴图象经过第一、二、四象限． 故选B． 【变式13-1】一次函数的函数值y随x的增大而增大，它的图象不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【难度】0.65 【来源】新疆生产建设兵团第二师华山中学2022-2023学年八年级下学期第二次月考数学试卷 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，y随x的增大而增大时，，由常数项，可得它的图象经过第一、二、三象限，由此可解． 【详解】解：一次函数的函数值y随x的增大而增大， ， 函数图象与轴的交点坐标为， 图象经过第一、二、三象限， 它的图象不经过的象限是第四象限， 故选：D． 【变式13-2】初二（1）班在学习了一次函数的知识后，对于一次函数的图象经过的象限，大家议论纷纷：小红说：它经过第一、二、三象限；小龙说：它经过第二、三、四象限；小彬说：它经过第一、二、四象限；小航说：它经过第一、三、四象限．其中说法是正确的是（   ） A．小红 B．小龙 C．小彬 D．小航 【答案】C 【难度】0.94 【来源】 2024年广东省茂名市高州市九年级中考数学科命题大赛 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题主要考查了一次函数的图象的性质，解题的关键是根据一次函数的系数找出函数图象经过的象限． 【详解】在中，，， 直线经过第一、二、四象限． 故选：C． 【变式13-3】下列图象可能是一次函数的图象是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【来源】2025-2026学年八年级上学期1月质量检测数学试卷 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于一次函数（k为常数，），当的图象在一、二、三象限；当的图象在一、三、四象限；当的图象在一、二、四象限；当的图象在二、三、四象限． 据此即可求解． 【详解】解：∵一次函数中， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限， 故选：B． 【模块十四】 根据一次函数经过的象限求k.b的范围 ．【例14】若直线经过第二、三、四象限，则函数的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【来源】江苏省南京市沿江中学2025-2026学年上学期八年级数学月考试卷 【知识点】判断一次函数的图象、根据一次函数解析式判断其经过的象限、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查的是一次函数图象与性质，熟记直线，当，时，图象经过第一、二、三象限；当，时，图象经过第一、三、四象限；当，时，图象经过第一、二、四象限；当，时，图象经过第二、三、四象限．由直线经过第二、三、四象限，可得，，可得，从而可得答案． 【详解】解：∵直线经过第二、三、四象限， ∴，， ∴， ∴函数经过第一、二、四象限， ∴函数的大致图象是A选项中的图象， 故选：A． 【变式14-1】已知一次函数的图像如图所示，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【来源】2023年辽宁省沈阳市中考数学真题 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，由一次函数的图象经过第二、三、四象限，利用一次函数图象与系数的关系，可得出，熟练运用象限判断一次函数的的取值范围是解题的关键． 【详解】解：一次函数、为常数，且的图象经过第二、三、四象限， ． 故选：A． 【变式14-2】若直线（k是常数，）经过第一、二、三象限，则k的值可能为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【难度】0.94 【来源】2024年安徽省合肥市新站区中考二模数学试题 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质．根据题意得，即可得出答案． 【详解】解：∵直线经过第一、二、三象限， ∴， 观察四个选项，可知符合题意； 故选：D． 【变式14-3】已知一次函数的图象经过一、二、四象限，则下列判断中正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【难度】0.94 【来源】吉林省通化市东昌区金厂镇2022-2023学年八年级上学期期末数学试题 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，根据图象在坐标平面内的位置确定k，b的取值范围即可解题． 【详解】解：∵一次函数的图象经过一、二、四象限， ∴，， 故选B． 【模块十五】 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 ．【例15】若点都在一次函数的图象上，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法比较大小 【答案】C 【难度】0.85 【来源】安徽省合肥市第庐阳中学2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷 【知识点】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质．根据一次函数的性质可得y随x的增大而减小，即可求解． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵点都在一次函数的图象上，且， ∴， 故选C． 【变式15-1】已知点，在直线上，则a与b的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【来源】江苏省连云港市赣榆区2025-2026学年八年级上学期1月月考数学试题 【知识点】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【分析】本题考查了一次函数的性质．根据，随的增大而减小，得出与的大小关系． 【详解】解：∵， ∴随的增大而减小， ∵， ∴． 故选：A． 【变式15-2】已知，为直线上的两个点，且，则以下判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【难度】0.65 【来源】浙江省金华市东阳市 2025-2026学年上学期12月月考八年级数学试卷 【知识点】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【分析】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，掌握知识点的应用是解题的关键． 由直线的，则随的增大而增大，当时，，然后根据时，，即，所以，从而求解． 【详解】解：∵直线的， ∴随的增大而增大， ∵， ∴． ∵当时，，即， ∴，A选项正确，B选项错误； ∵当时，，即， ∴与 1 的大小关系不确定，C选项错误，D选项错误； 故选：． 【变式15-3】已知，，为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【难度】0.65 【来源】安徽省合肥市第四十二中学2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷 【知识点】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查一次函数的性质，由且，可得 ，再结合一次函数性质与有理数乘法法则分析，即可解题． 【详解】解：∵，， ∴随增大而减小， ∵， ∴， 若，，此时满足成立，但，则；故A选项不符合题意； 对于C选项，取，此时满足，但，则，故C选项不符合题意； 若，则且， 计算， ∵， ∴， ∴ ∴可取正数，0，负数， 可取正数，0，负数，即推不出，故B选项不符合题意； 若，则且（因). ∵， ∴， ∴， 计算，∵， ∴， ∴， ∴，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 【模块十六】 根据一次函数的增减性比较函数值大小 ．【例16】已知点和点都在直线上，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【难度】0.94 【来源】宁夏银川市第十二中学（银川一中光华校区）2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】本题主要考查了比较一次函数值的大小，根据解析式可得增减性，再由增减性即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数解析式为，， ∴y随x增大而减小， ∵点和点都在直线上，且， ∴， 故选：A． 【变式16-1】已知点、是函数图象上的两个点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【来源】江苏省南京市鼓楼实验中学2025-2026学年八年级上册数学周测（16） 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】本题考查了一次函数的性质．由，利用一次函数的性质可得y随x的增大而减小，再结合，即可得出． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， 又∵， ∴， ∴． 故选：A． 【变式16-2】已知点都在直线上，则的大小关系 (    ) A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【难度】0.85 【来源】河南省郑州市中原区2024-2025学年八年级上学期期末试卷数学试题 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】本题考查了一次函数的图象的增减性，关键是熟练应用； 根据，随的增大而减小即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴随的增大而减小 ∵ 点 ， ， 在直线 上， ∴ ∴ ． 故选：A． 【变式16-3】若点、，都在一次函数的图象上，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【来源】辽宁省 沈阳市2025-2026学年八年级上学期数学期末模拟测试卷 【知识点】不等式的性质、比较一次函数值的大小 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征．解答此题的关键是利用一次函数图象的增减性进行分析．根据一次函数的系数知，y随x的增大而增大，据此来判断a，b，c的大小关系并作出选择． 【详解】解：∵， ∴， ∴y随x的增大而增大． 又点、，在图象上，且， ∴， 故选：A． 【模块十七】 待定系数法求一次函数解析式 ．【例17】《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间.某学校小组仿制了一套浮箭漏，通过观察，每小时记录一次箭尺读数，得到表格如下，那么箭尺读数和供水时间最可能满足的函数关系是（   ） 供水时间（小时） 箭尺读数（厘米） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【来源】宁夏回族自治区银川市第三中学2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题 【知识点】求一次函数解析式 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，设，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设，将点，代入得 ， 解得， ， 故选：C． 【变式17-1】若一次函数的图象与直线平行，且经过直线与轴的交点，则该一次函数的解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【来源】【智】40 第2课时 用待定系数法求一次函数的解析式（学海风暴26春八年级数学下册人教版-课时检测） 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了两直线平行的问题，熟记平行直线的解析式的值相等设一次函数解析式是解题的关键． 由平行得斜率相同，为；求已知直线与轴交点，代入点求出，即可得到该一次函数的解析式． 【详解】解：∵ 一次函数与 平行， ∴ 斜率 ， 设解析式为 ． ∵ 它经过 与轴的交点， 令 ，得 ，解得 ， ∴ 交点为 ． 代入 ，得 ， ∴ ． ∴ 解析式为 ． 故选：C． 【变式17-2】已知与成正比例，当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.94 【来源】2025一2026学年度第一学期素养评估 八年级数学试题卷 【知识点】求一次函数自变量或函数值、求一次函数解析式 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质． （1）根据正比例的定义得到，进而根据“当时，”计算即可； （2）将代入函数解析式计算即可． 【详解】（1）解：设，则， 当时，，代入得：， 解得：， ∴与之间的函数关系式为：； （2）解：将点代入得：， 解得：． 【变式17-3】已知一次函数．当时，对应的函数值的取值范围是，求此函数的解析式． 【答案】或． 【难度】0.4 【来源】【智】40 第2课时 用待定系数法求一次函数的解析式（学海风暴26春八年级数学下册人教版-课时检测） 【知识点】求一次函数解析式、根据一次函数增减性求参数 【分析】分及两种情况考虑：当时，值随的增大而增大，由、的取值范围可得出点的坐标，由点的坐标利用待定系数法即可求出一次函数解析式；当时，值随的增大而减小，由、的取值范围可得出点的坐标，由点的坐标利用待定系数法即可求出一次函数解析式．综上即可得出结论． 【详解】解：①当时，随的增大而增大， 则由，，得 当时，；当时，， 即解得 此函数的解析式为； ②当时，随的增大而减小， 则由，，得 当时，；当时，， 即解得 此函数的解析式为． 综上，此函数的解析式为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数的性质，分及两种情况利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 【模块十八】求已知直线与坐标轴围成的三角形的面积 【例18】若直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为6，则的值为（   ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【来源】第一部分 重点题型专练 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴围成的三角形面积运算，熟练掌握一次函数的图象性质是解题的关键． 先求直线与坐标轴的交点坐标，再根据三角形面积公式列出方程求解即可． 【详解】解：把代入可得：， ∴直线与轴交点为， 把代入可得：， 解得：， ∴直线与轴交点为， ∴三角形的面积， ∵， ∴ ， 故选：C． 【变式18-1】已知一次函数． (1)在直角坐标系中画该一次函数的图象； (2)求该函数的图象与两坐标轴围成的三角形面积． 【答案】(1)图见解析 (2)1 【难度】0.85 【来源】甘肃省张掖市甘州区甘州区思源实验学校2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、画一次函数图象 【分析】本题考查的是作一次函数图象及求一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形面积， （1）先求出直线与坐标轴交点，进而作图即可； （2）根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：一次函数，当时，， 当时，， 解得：， ∴一次函数图象过点， 作出一次函数图象如下： （2）解：由（1）知，一次函数图象与y轴、x轴交点分别为， ∴该函数的图象与两坐标轴围成的三角形面积． 【变式18-2】已知直线（k、b为常数，且）经过点和，将直线向左平移3个单位长度后得到的直线与x轴、y轴围成的三角形的面积是（   ） A．3 B． C．2 D．1 【答案】B 【难度】0.65 【来源】2025-2026学年上学期期末八年级数学试卷 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数图象平移问题、求一次函数解析式 【分析】本题考查求一次函数的解析式，一次函数图象的平移，一次函数图象与坐标轴的交点问题，先根据两点求直线方程，再向左平移得到新直线，求新直线与坐标轴的交点，计算直角三角形面积． 【详解】解：把和代入，得： ，解得， ∴， 将向左平移3个单位长度，得到， ∴当时，；当时，， ∴直线与坐标轴的交点为和， ∴； 故选B． 【变式18-3】已知直线，若点满足，且，则称点A，B关于直线对称． (1)点关于直线对称点的坐标为 ． (2)若点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为，直线l经过点，则直线l与坐标轴围成的三角形面积为 ． 【答案】 【难度】0.65 【来源】安徽省合肥市第四十五中分校2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、求一次函数解析式 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握新定义，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）根据新定义，进行求解即可； （2）根据新定义，求出点的坐标，进而求出一次函数的解析式，再求出函数与坐标轴的交点，利用面积公式进行计算即可． 【详解】解：（1）设 由题意，，即， 整理得 又，整理得 ∴，解得 代入得， 故． 故答案为：； （2）同（1）法可得， ∵点在直线上， ∴对称点与C重合，坐标为． 设直线的解析式为，则：， 解得， ∴， 当时，，当时，， ∴直线与两个坐标轴的交点为， ∴三角形面积 故答案为：． 【模块十九】 由已知直线与三角形的面积求点的坐标 【例19】如图，已知直线经过点，，与直线相交于点B，且直线交x轴于点C，直线交x轴于点D． (1)求直线的函数表达式； (2)若在x轴上有一点P，且的面积等于的面积的，求点P的坐标． 【答案】(1)直线的函数表达式为 (2)点坐标为或 【难度】0.65 【来源】江苏省扬州市梅岭中学2024-2025学年上学期八年级 数学第三次月考试卷 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了一次函数的解析式，直线与坐标轴的交点，坐标与图形，绝对值方程．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． （1）将代入得，，即，待定系数法求直线的函数表达式即可； （2）将代入，求得，即，将代入，求得，即，根据，设，则，由的面积等于的面积的，可得，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：将代入得，， ∴， 将，代入得，，解得，， ∴直线的函数表达式为； （2）解：将代入得，，解得，，即， 将代入得，，解得，，即， ∴， 设， ∴， ∵的面积等于的面积的， ∴， 解得，或， ∴点坐标为或． 【变式19-1】设一次函数，为常数，的图象过，两点． (1)求该函数表达式； (2)若点在该函数图象上，求的值； (3)设点在轴上，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【难度】0.65 【来源】广东省深圳市深圳实验学校初中部2024-2025学年上学期八年级期中考试数学试卷 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答． （1）根据一次函数，是常数，的图象过，两点，可以求得该函数的表达式； （2）将点坐标代入（1）中的解析式可以求得的值； （3）由题意可求直线与轴的交点坐标，根据三角形的面积公式可求点坐标． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， 函数表达式为； （2）解：点在该函数图象上， ， ； （3）解：设点， 直线与轴交于点， 当时， 交点的坐标为， ， ， 或， 点坐标或． 【变式19-2】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)点是轴上一点，连接，若的面积为，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，将沿折叠，点的对应点为点，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)或； (3)点的坐标为 【难度】0.65 【来源】2025-2026学年苏科版八年级数学上册期末综合测试卷 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、求一次函数解析式 【分析】本题考查运用待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象和性质等，解题的关键是注意分情况讨论，避免漏解． （1）利用待定系数法求解； （2）设点的坐标为，则，根据三角形面积公式可列式求解即可； （3）根据折叠的性质可得结论． 【详解】（1）解：设直线的表达式为， 将，代入， 得， 解得， 所以直线的函数表达式为； （2）解：设点的坐标为， 则， 因为的面积为， 所以， 即， 解得或， 所以点的坐标为或； （3）解：当点的坐标为时，点的坐标为； 当点的坐标为时，点的坐标为 【变式19-3】如图，直线与x轴交于点A、与y轴交于点B，与经过原点的直线相交于点； (1)直接写出点B的坐标为___________； (2)求出的面积； (3)在直线上是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在或 【难度】0.85 【来源】广东省梅州市五华县2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】（1）根据直线的解析式即可求得B的坐标； （2）根据题意得出C的横坐标，从而求得三角形的面积． （3）设，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论． 本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，直线与坐标轴的交点以及三角形的面积等，关键是熟练地运用性质进行推理和计算，用了分类讨论思想和方程思想． 【详解】（1）解：在中，令，则， ， 故答案为：； （2）解：点， 的面积； （3）解：存在； 设， ， ， ， 或 专题攻坚·多题归一 【微专题一】一次函数的平移 【例20】若一次函数的图象向左平移2个单位后经过原点，则的值为（    ） A．2 B． C．0 D． 【答案】A 【难度】0.94 【来源】浙江省台州市白云中学 2024—2025学年下学期九年级适应性检测 数 学 试题 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，掌握解析式“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．先根据平移的规律求出的图象向左平移2个单位后的解析式，再将原点的坐标代入即可求解． 【详解】解：将一次函数的图象向左平移2个单位后得到， 由题意，得， 解得． 故选：A． 【变式20-1】在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向下平移2个单位后，得到一个正比例函数图象，则该一次函数图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【难度】0.65 【来源】2025年陕西省西安市雁塔区中考数学四模试卷 【知识点】求一次函数解析式、正比例函数的性质、一次函数图象平移问题 【分析】本题考查了一次函数的性质及图像、正比例函数的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．将一次函数向下平移2个单位后得到正比例函数，可知平移后的常数项为0，从而求出的值，将再代入原函数解析式，分析其经过的象限即可． 【详解】将一次函数的图象向下平移2个单位后，得到的函数为：， ∵得到的函数为正比例函数， ∴， 解得：， ∴一次函数为， ∴该一次函数图象不经过第三象限， 故选：C． 【变式20-2】将正比例函数的图象向下平移5个单位后，得到一个一次函数的图象，则关于这个一次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．与轴的交点坐标点是 B．经过第一、二、四象限 C．与两坐标轴围成的三角形的面积为 D．若一次函数的图象经过两点，且， 【答案】A 【难度】0.85 【来源】2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数图象平移问题、根据一次函数解析式判断其经过的象限、判断一次函数的增减性 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，一次函数经过的象限，一次函数与坐标轴围成的图形面积，一次函数的增减性，一次函数与坐标轴的交点问题．根据“上加下减”的平移规律可得一次函数解析式为，则可判断B、D；求出时，y的值，时，x的值，可得一次函数与x轴，y轴的交点坐标，进而求出一次函数与坐标轴围成的图形面积，据此可判断A、C． 【详解】解：将正比例函数的图象向下平移5个单位后得到的函数解析式为， 在中，当时，， ∴一次函数与y轴的交点是，故A说法正确，符合题意； ∵， ∴一次函数经过第一、三、四象限，故B说法错误，不符合题意； 在中，当时，， ∴一次函数与x轴的交点坐标点是， ∴一次函数与两坐标轴围成的三角形的面积为，故C说法错误，不符合题意； ∵， ∴在中，y的值随着x值的增大而增大，当时，，故D说法错误，不符合题意； 故选：A． 【变式20-3】如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边落在x轴的正半轴上，且点，，直线以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，经过（    ）秒该直线可将平行四边形分成面积相等的两部分． A．3秒 B．秒 C．5秒 D．6秒 【答案】D 【难度】0.65 【来源】黑龙江省绥化市明水县2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题 【知识点】利用平行四边形的性质求解、一次函数图象平移问题 【分析】连接，交于点，当经过点时，该直线可将平行四边形的面积平分，然后计算出过点且平行于直线的直线解析式即可； 本题考查了平行四边形的性质，一次函数的平移，掌握经过平行四边形对角线交点的直线平分平行四边形的面积是解题的关键． 【详解】解：连接，交于点，当经过点时，该直线可将平行四边形的面积平分， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∵直线平行于， ∴， ∴， 将点代入， 解得， ∴直线的解析式为， ∴直线要向下平移个单位， ∴时间为秒， 故选：D． 【微专题二】 一次函数图象的对称问题 【例21】若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为“对偶值”．下列结论： ①函数与函数不具有“对偶关系”； ②函数与函数的“对偶值”为； ③若1是函数与函数的“对偶值”，则： ④若函数与函数具有“对偶关系”，则． 其中正确个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【难度】0.4 【来源】江苏省无锡市宜兴市常青外国语学校2025-2026学年上学期八年级数学12月月考试卷 【知识点】一次函数图象与对称问题 【分析】本题考查新定义展开，围绕“对偶关系”和“对偶值”的定义逐一求解即可；根据关于轴对称，称函数和具有“对偶关系”，则横坐标是相反数关系，纵坐标相等，逐一分析即可. 【详解】解：①设函数上点坐标为 ， ∵关于轴对称 ∴点坐标为 点在函数的图象上， ∴，解得：， 则存在这样的点，使得他们关于轴对称， ∴函数与函数具有“对偶关系” 所以①错误；故不符合题意； ②当时，则，解得； ，解得；横坐标是相反数，所以②正确，故符合题意； ③对偶值为，则点Q在上，纵坐标为， ∴，点， 点P与Q关于y轴对称， ∴点在上， ∴ ，解得， 所以③正确，故符合题意； ④设点P在上，坐标为，其中， ∵点Q与P关于y轴对称， ∴，在上， ∴，即， ∵， ∴，而不是，所以④错误，故不符合题意； 综上，正确结论为②③，共2个， 故选：B. 【变式21-1】在平面直角坐标系中，若直线与直线关于轴对称，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【难度】0.85 【来源】陕西省西安高新唐南中学2024—2025学年九年级下学期数学七模试卷 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象与对称问题 【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，根据轴对称的性质得出k，b的值，然后进行解答即可． 【详解】解：∵直线与直线关于轴对称， ∴ ∴一次函数即，的图象不经过第二象限， 故选：B． 【变式21-2】如图，在平面直角坐标系中，已知点，点．若点A与点A′关于直线l成轴对称，则直线l的解析式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【来源】2023年福建省福州市中考二模数学试卷 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、一次函数图象与对称问题 【分析】本题考查中点坐标公式、轴对称的性质、一次函数的图象与性质，连接，利用中点坐标公式求得线段的中点，再根据轴对称的性质得，直线l垂直平分，进而得直线l经过一、三象限，且经过点B，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵点，点， ∴线段的中点， ∵点A与点A′关于直线l成轴对称， ∴直线l垂直平分， ∴直线l经过一、三象限，且经过点B， ∴直线l的解析式是， 故选：C． 【变式21-3】对于函数的图象我们可以这么理解：如果点在的图象上，那么点一定也在的图象上．我们发现：点和点是关于y轴对称的．若在函数上，存在两个点，给出下面四个结论： ①若，当时，x有唯一的对应值5； ②当点A在点B上方时，则无论a为何值，都有； ③若，，则无论a为何值，都有；   ④若对于，，都有，则a满足条件的最大整数值为． 上述结论中，正确结论的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【难度】0.65 【来源】北京大学附中2024-2025学年下学期八年级期中数学试卷 【知识点】求不等式组的解集、比较一次函数值的大小、一次函数图象与对称问题 【分析】结论①：当时，方程的解为或，存在两个解，故①错误． 结论②：点A在点B上方仅表示，不保证，故②错误． 结论③：代入和求解即可判断③错误． 结论④：根据得到，则，然后得到，，代入求出，进而求解即可． 【详解】①当时， 当时，得 解得得或，结论错误； ②点A在点B上方仅说明，但无法确定与的大小关系，结论错误； ③将和代入， 得，， ∴，结论错误； ④若对于，，都有， 则， ， 整理得：， ，， ，， ， ，即， 满足条件的最大整数值为0．故④错误． 综上，正确结论的个数是0． 故选A． 【点睛】此题考查了一次函数的图象和性质，解不等式组等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【微专题三】 一次函数图象的旋转问题 【例22】把函数的图象分别沿轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数或的图象． 【阅读理解】 小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数表达式？ 老师给了以下提示：如图1，在函数的图象上任意取两个点，分别向右平移3个单位长度，得到，直线就是函数的图象沿轴向右平移3个单位长度后得到的图象． 请你帮助小尧解决他的困难． （1）将函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为___________． 【解决问题】 （2）已知某一次函数的图象与直线关于轴对称，求此一次函数的表达式． 【拓展探究】 （3）一次函数的图象绕点逆时针方向旋转后得到的图象对应的函数表达式为___________．（直接写结果） 【答案】（1）；（2）；（3） 【难度】0.65 【来源】第5章 一次函数 专题拓展 一次函数图象与几何变换 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象平移问题、一次函数图象与旋转问题 【分析】（1）平移时k的值不变，只有b发生变化．可以先确定平移后与x轴的交点坐标，然后利用待定系数法即可求得； （2）直接根据平面直角坐标系中，点关于x轴对称的特点得出答案； （3）在直线取两点，，根据旋转性质求得旋转后对应点，，然后利用待定系数法求出直线的解析式即可． 【详解】解：（1）将函数的图象沿x轴向右平移3个单位长度， 平移后与x轴的交点为，将代入中，得 ， 解得， 所以平移后的函数表达式为， 故答案为：； （2）解：在函数的图象上取两个点、， 关于x轴对称的点的坐标、， 设直线的解析式为， 把代入，得 ， ∴一次函数的表达式为； （3）解：如图，在直线上取两点，， 一次函数的图象绕点逆时针方向旋转， 点、绕点逆时针方向旋转后对应点为点、， 过点作轴于，过点作轴于，过点作于， ， ，， 由旋转可得，， ， ，， ， ， ， ， ，， 轴， 四边形是矩形， ，， ， ， 同理可求得点， 设直线解析式为， 把、代入，得 ， 解得：， ∴旋转后得到函数解析式为：． 故答案为：． 【变式22-1】对于函数，在如图所示的平面直角坐标系中． (1)画出函数的图象； (2)填空：写出图象与x轴的交点A的坐标（____，____），与y轴交点B的坐标（____）； (3)在（2）的条件下，求出的面积． (4)直接写出该函数图象绕原点旋转后图象的函数表达式． 【答案】(1)见解析 (2)1，0； (3) (4) 【难度】0.65 【来源】江苏省盐城市鹿鸣路中学2025-2026学年上学期八年级11月月考数学试题 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、画一次函数图象、一次函数图象与旋转问题 【分析】本题考查了怎样在坐标轴上画函数，函数与坐标轴相交点的坐标，三角形面积的计算． （1）分别令，，可求出与x轴、y轴的交点坐标，过两交点作直线即可． （2）直接由（1）即可求解； （3）根据三角形的面积公式解答即可； （4）根据旋转的性质可得旋转后点A的对应点的坐标为，点B的对应点的坐标为，再利用待定系数法解答，即可求解． 【详解】（1）解：（1）当时，；当时，，画出图形如下： （2）解：由（1）得：图象与x轴的交点A的坐标为，与y轴交点B的坐标为； 故答案为：1，0； （3）解： （4）解：∵该函数图象绕原点旋转， ∴旋转后点A的对应点的坐标为，点B的对应点的坐标为， 设旋转后的图象的解析式为， ∴，解得：， ∴该函数图象绕原点旋转后图象的函数表达式为． 【变式22-2】如图，一次函数的图象经过点，且与轴、轴分别交于，两点． （1） ． （2）将该直线绕点顺时针旋转得直线，过点作交直线于点，则直线的函数解析式为 ． 【答案】 1 【难度】0.4 【来源】【智】08周测八 求一次函数解析式的方法（学海风暴26春八年级数学下册人教版-周测） 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、一次函数图象与旋转问题 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过证得三角形全等求得点的坐标． （1）根据待定系数法即可求得； （2）过点作轴于点，通过证得，即可求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线的解析式． 【详解】解：（1）一次函数的图象经过点， ， 解得． 故答案为：1． （2）一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点， 令，则；令，即，则， ，， ，． 如图，过点作轴于点． ，， ， ． ， ． 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标为． 设直线的解析式为． 将，代入， 得， 解得， 直线的函数解析式为． 故答案为：． 【变式22-3】如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于，两点，将直线绕点逆时针方向旋转，则旋转后的直线与轴的交点坐标为 ． 【答案】/ 【难度】0.4 【来源】江苏省无锡市滨湖区2024-2025学年下学期期中质量检测卷九年级数学 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、一次函数图象与旋转问题 【分析】设直线绕点逆时针方向旋转为直线：，过点作交于点，过点作轴，先求得点和点坐标，然后证明，得到，，从而得出点的坐标，然后利用待定系数法，求得和，最后算得旋转后的直线与轴的交点坐标． 【详解】解：设直线绕点逆时针方向旋转为直线：，过点作交于点，过点作轴，如图所示： 直线与坐标轴分别交于，两点， 时，；时，； ，， ，， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 将，代入，得， ， ， 时，， 旋转后的直线与轴的交点坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形内角和，全等三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握以上知识点并构造出等腰直角三角形是解题的关键． 压轴突破·素养提升 【压轴一】 一次函数规律探究问题 【例23】若正方形，，，按如图所示的方式放置．点，，，…在直线上，且直线与轴的夹角为，点，，，…在轴上，已知点，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.15 【来源】山西省运城市绛县 2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题 【知识点】点坐标规律探索、一次函数的规律探究问题 【分析】本题考查了点的坐标规律问题，正方形的性质，一次函数图象上点的坐标特征等知识点，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键． 求出直线解析式为，然后求出，，的坐标，探究规律后即可解决问题． 【详解】解：∵直线与轴的夹角为，， ∴直线与轴交点坐标为， 设直线解析式为， 代入点，， 得， 解得， ∴直线解析式为， 四边形是正方形， ∴，把代入，得， ∴的坐标为， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 同理可得的坐标为， ∴的坐标为， ∴的坐标为， 故选：A． 【变式23-1】若存在一非零常数T，对于定义域内的任意x，使恒成立，则叫作周期函数，T叫作这个函数的一个周期．现在已知一个周期为2的周期函数在时的解析式为，则（   ） A．2024 B．4048 C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【来源】2025年山东省临沂市郯城县博雅学校初中学生学业考试模拟试题数学卷 【知识点】一次函数的规律探究问题 【分析】本题主要考查一次函数，解题的关键是理解题意；由题意易得当时，则，当时，则，当时，则，然后根据周期函数的性质可知恒成立，进而根据周期函数可进行求解． 【详解】解：∵在时，函数的解析式为， ∴当时，则，当时，则，当时，则， ∵该函数的周期为2， ∴对于任意整数x，恒成立， ∴，， ， ， ∵到2024一共有4049个数， ∴； 故选A． 【变式23-2】如下图，直线交轴于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；…记面积为，面积为，面积为，…则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【来源】福建省福州市晋安区2024-2025学年八年级下学期期末适应性练习数学试题 【知识点】负整数指数幂、一次函数的规律探究问题、坐标与图形综合 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，平面直角坐标系中点坐标的规律计算，理解图示，找出点坐标的规律，面积的计算方法是解题的关键． 根据题意，分别算出，，……的值，找出规律即可求解． 【详解】解：将代入得，， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴，且点在直线的图象上， ∴， ∴， ∴， 依此类推，，，， ∴（为正整数）， 当时，， 故选：B ． 【变式23-3】在平面直角坐标系中，解析式为的直线a，解析式为的直线b如图所示，直线a交y轴于点A，以为边作第一个等边三角形，过点B作y轴的平行线交直线a于点，以为边作第二个等边三角形顺次这样作下去，第2020个等边三角形的边长为（　　） A． B． C．4038 D．4040 【答案】A 【难度】0.65 【来源】2024-2025学年苏科版数学八年级上册期末测试卷 （2） 【知识点】一次函数的规律探究问题、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查一次函数的图象中的规律探索，等边三角形性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识并运用数形结合思维分析是解题的关键．依题意，分别求出前面几个等边三角形的边长，得出规律，即可求解． 【详解】解：如图，延长交轴于点， 当时，， ∴， 即第1个等边三角形的边长为； ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， 即第2个等边三角形的边长为2； 延长交轴于点，同理可得，即第3个等边三角形的边长为； 同理得，即第4个等边三角形的边长为； 可得第2020个等边三角形的边长为， 故选：A． 【压轴二】 一次函数背景下的新定义问题 【例24】【定义】对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当时，它们对应的函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数．我们称这样的两个函数互为“相关函数”． 例如：一次函数，它的“相关函数”为． 已知一次函数，请回答下列问题： (1)该一次函数的“相关函数”为________； (2)已知点在该一次函数的“相关函数”的图象上，求a的值； (3)当时，求该一次函数的“相关函数”的最大值和最小值； (4)已知直线与该一次函数的“相关函数”的图象只有一个交点时，直接写出b的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)当时，该一次函数的“相关函数”的最大值为，最小值为； (4) 【难度】0.4 【来源】江苏省扬州市仪征市实验中学2025-2026学年八年级上学期1月月考数学试题 【知识点】根据一次函数增减性求参数、求一次函数自变量或函数值、求一次函数解析式 【分析】本题考查了一次函数的图象及性质，准确理解题意求出相关函数及作出图象是解题关键． （1）根据相关函数的定义，即可得一次函数的“相关函数”； （2）将点代入一次函数的相关函数求解即可； （3）根据相关函数的图象和性质，结合的范围，即可得最值； （4）结合函数图象判断求解． 【详解】（1）解：根据相关函数的定义得： 一次函数的“相关函数”为， 故答案为：． （2）解：∵点在一次函数的相关函数上， ∴，或， ∴． （3）解：当时，一次函数的“相关函数”为， 图象如下： 当时，一次函数的“相关函数”取最大值，最大值为， 当时，一次函数的“相关函数”取最小值，最小值为， ∴当时，该一次函数的“相关函数”的最大值为，最小值为． （4）解：一次函数的“相关函数”为， 图象如下： 点的纵坐标为，点的纵坐标为， 当直线经过点时，， 当直线经过点时，， 随着增大，直线向上平移， ∵直线与该一次函数的“相关函数”的图象只有一个交点， ∴． 【变式24-1】定义运算“”为：． (1)计算：； (2)画出函数的图象． 【答案】(1)12； (2)见解析 【难度】0.65 【来源】2018年5月13日 每周一测——《每日一题》2017-2018学年八年级数学人教（下） 【知识点】正比例函数的图象、正比例函数的性质 【分析】本题考查了新定义运算、画正比例函数图象，理解新定义是解此题的关键． （1）根据题干所给定义计算即可得解； （2）由题意可得：当时，与的关系式为；当时，与的关系式为；再画出函数图象即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：由题意可得：当时，与的关系式为； 当时，与的关系式为； 列表如下： … 0 1 2 … … 4 2 0 2 4 … 描点、连线，如图所示． ． 【变式24-2】对于平面直角坐标系中任意两点，，称为M，N两点的直角距离，记作：．如：，，则．若是一定点，是直线上的一动点，称的最小值为P到直线的直角距离，则到直线的直角距离为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 E．5 【答案】B 【难度】0.65 【来源】2022年广东省深圳市第九届“鹏程杯”八年级邀请赛数学试卷 【知识点】识别一次函数、坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】本题考查了一次函数，新定义，理解直角距离的含义是解题的关键．根据直角距离的定义，点P到直线的直角距离即为P到该直线上所有点的直角距离的最小值．设直线上的点Q坐标为，计算，可知当时，取到最小值0，此时最小，即可得解． 【详解】解：设直线上的点Q坐标为， 则， 当时，取得最小值0，此时直角距离最小为2， 到直线的直角距离为2， 故选：． 【变式24-3】阅读与思考：阅读下列材料，完成相应的任务． 探索函数图象与性质之间的关系图象与性质是函数研究的主要内容，从函数的数量特征和图象的几何特征两个角度分析函数的性质，是研究函数的基本思路和方法．例如，在研究正比例函数的图象与性质时，可以用函数的数量特征解释相应的图象几何特征，分析如下： 图象 图象的几何特征 函数的数量特征      图象经过①_______ 由表达式可知，当时，； 图象经过第②_______象限 因为，且，所以当时，，当时，y___③，即当时，x，y同号； 从左往右图象是上升趋势 设点，是该函数图象上的点（其中），所以，， 因为，所以， 所以， 即，所以， 所以，y的值随x值的增大而④_______． …… 类似地，我们可以用这种思路与方法研究其他函数的图象与性质． 任务： (1)上述材料中横线上空缺的内容依次为：①_______；②_______；③_______；④_______ (2)如下表所示，小华模仿上述材料画出函数的图象．请你完成填空并证明． 图象 图象的几何特征 证明过程      图象关于_______对称 【答案】(1)原点（或）；一、三；；增大 (2)y轴；证明见解析 【难度】0.65 【来源】 广东省深圳市龙岗区华附集团校联考2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题 【知识点】正比例函数的性质 【分析】本题主要考查正比例函数的图像和性质，利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键． （1）根据函数的图像即可确定函数的性质，填空即可； （2）利用数形结合思想，得出函数的性质即可． 【详解】（1）解：如表所示： 图象 图象的几何特征 函数的数量特征    图象经过原点 由表达式可知，当时，； 图象经过第一、三象限 因为，且，所以当时，，当时，，即当时，x，y同号； 从左往右图象是上升趋势 设点，是该函数图象上的点（其中），所以，， 因为，所以， 所以， 即，所以， 所以，y的值随x值的增大而增大． …… 故答案为：原点（或）；一、三；；增大； （2）解：如表所示： 图象 图象的几何特征 证明过程    图象关于y轴对称 设点，是该函数图像上的两点，其中， 所以，， 因为，所以， 则， 所以，即． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $