同角三角函数的基本关系式与诱导公式 课件-2027届高三数学一轮复习

第23讲 同角三角函数的基本关系式 与诱导公式 1 1.理解同角三角函数的基本关系式:, . 2.借助单位圆的对称性,利用定义推导出诱导公式（ 的正 弦、余弦、正切） 课 标 要 求 2 ◆ 知识聚焦 ◆ 1.同角三角函数的基本关系 （1）平方关系:_________________. （2）商数关系:_ ____________________________. , 课 前 基 础 巩 固 3 2.诱导公式 公式一 公式二 公式三 公式四 公式五 公式六 角 与角 终边的 关系 相同 关于原 点对称 关于 轴对称 关于 轴对称 关于直线 对称 正弦 课 前 基 础 巩 固 4 公式一 公式二 公式三 公式四 公式五 公式六 余弦 ______ 正切 ______ 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号 看象限 记忆规律 奇变偶不变，符号看象限 续表 课 前 基 础 巩 固 5 常用结论 1.同角三角函数的基本关系的常用变形 （1） ; ; . （2） ； .#3.1.2 课 前 基 础 巩 固 6 （3） ; ； . 其中 ， . 2. ; .#3.2 课 前 基 础 巩 固 7 ◆ 对点演练 ◆ 题组一 常识题 1.［教材改编］已知,且 为第二象限角,则 __, ____. [解析] ,且 为第二象限角, , . 课 前 基 础 巩 固 8 2.［教材改编］已知，则 __. [解析] 原式 . 3.［教材改编］已知，则 ____. [解析] ， ， . 课 前 基 础 巩 固 9 题组二 常错题 ◆ 索引：运用平方关系时不考虑角为第几象限角致误；运用诱导公 式时不注意符号致误；利用同角三角函数的基本关系求值时,不能根 据角的取值范围判断出所求三角函数值的符号致误. 课 前 基 础 巩 固 10 4.若，则 ____. [解析] ， 为第一象限角或第二象限角. 当 为第一象限角时,, ； 当为第二象限角时, ， .综上， . 课 前 基 础 巩 固 11 5.化简 的结果为______． [解析] 原式 . 6.已知， ，则 的值为_ ____． [解析] ， ，， ， ， . 课 前 基 础 巩 固 12 探究点一 同角三角函数的基本关系 角度1 切弦互化 例1（1）[2023·全国乙卷] 若,,则 _ ____. ［思路点拨］思路一：根据条件设出角 终边上一点 的坐标为 ，进而利用三角函数的定义求出 ， 即可得结果; 思路二：根据商数关系与平方关系求 与 ，进而可得结果； 思路三：根据条件得到的值，缩小角 的取值范围， 进而得到 与 的大小关系，即可求解. 课 堂 考 点 探 究 13 [解析] 方法一：因为，，所以可设 终边上一点 的坐标为，则为坐标原点 ，所以 ，，故 ． 方法二：因为，，所以 可得 所以 ． 课 堂 考 点 探 究 14 方法三： ,因为,,所以, 所以 ,所以 . 课 堂 考 点 探 究 15 （2）[2025·辽宁重点中学协作体二模] 已知 ，则 ___. 2 ［思路点拨］根据题意结合同角三角函数的基本关系可得 ，即可得结果. [解析] 因为 ，所以 . 课 堂 考 点 探 究 16 [总结反思] （1）知一求二问题，注意判断角的取值范围，另外熟记以下常见勾 股数，可以提高解题速度：， ， ，，， . （2）利用可以实现角 的正弦、余弦的互化，利 用 可实现角 的弦切互化，注意公式的逆用及变形应用. 课 堂 考 点 探 究 17 变式题 已知，则 ___. 0 [解析] 且， 是第二或第三象限角． ①若 是第二象限角，则 ， ， 此时 . 课 堂 考 点 探 究 18 ②若 是第三象限角， 则 ， ， 此时 . 综上， . 课 堂 考 点 探 究 19 角度2 齐次式 例2（1）[2025·四川成都二诊] 已知角 的终边过点 ，则 ____. 10 ［思路点拨］思路一：利用三角函数的定义求出 与 的值，再代入计算即可； 思路二：利用正切函数的定义及齐次式法计算即可. 课 堂 考 点 探 究 20 [解析] 方法一：因为角 的终边过点，到原点的距离 ， 所以,,故 . 方法二：由角 的终边过点，得 ，所以 . 课 堂 考 点 探 究 21 （2）若，则__， ___. ［思路点拨］利用同角三角函数的基本关系将第一个式子化弦为切， 进而求解，将第二个式子看作分母为1的分数，利用平方关系化为齐 次式后再化弦为切，进而求解. [解析] 因为，所以 ， . 课 堂 考 点 探 究 22 [总结反思] 若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次式的值，则可以通过 分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的 分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，这是同角三角函数关 系中的一类基本题型，形如 ， 等类型可进行弦化切. 课 堂 考 点 探 究 23 变式题 已知，则 ____， ___. [解析] 由得 ，所以 ， . 课 堂 考 点 探 究 24 角度3 和积转换 例3 （多选题）已知，且 ，则下列结论正 确的是( ) A. B. C. D. ［思路点拨］将 两边同时平方，结合平方关系得到 ,结合 的符号及 的取值范围判断即可. √ √ √ 课 堂 考 点 探 究 25 [解析] ， ， 解得 ，故B正确； ，， ，，故A正确，C错误； 由 可知， ， 又 ， ，故D正确．故选 . 课 堂 考 点 探 究 26 [总结反思] 对于已知 的求值问题，一般应用三角恒等式，利用整 体代入的方法来解，涉及的三角恒等式有 ， ， 等. 课 堂 考 点 探 究 27 变式题 若 ,，则 ___． [解析] ,,, , ， . 课 堂 考 点 探 究 28 探究点二 诱导公式 例4（1）计算： ____. ［思路点拨］由已知利用诱导公式对分子、分母进行化简，进而求 目标式的值; [解析] 原式 . 课 堂 考 点 探 究 29 （2）已知，则 ____. ［思路点拨］由已知利用诱导公式分别求出 ， 的值，进而求出目标式的值. [解析] ， ，所以原式 . 课 堂 考 点 探 究 30 [总结反思] 1.诱导公式的应用步骤 任意负角的三角函数 任意正角的三角函数 内的角的三角函数 锐角的 三角函数. 课 堂 考 点 探 究 31 2.诱导公式的两个应用 （1）求值：负化正，大化小，化到锐角为终了； （2）化简：统一角，统一名，同角名少为终了. 3.常见的互余的角： 与 , 与 , 与 等. 常见的互补的角: 与 , 与 , 与 等. 课 堂 考 点 探 究 32 变式题（1）（多选题）已知， ，则下列 说法正确的是( ) A. B. C. D. √ √ 课 堂 考 点 探 究 33 [解析] 因为,所以,又 , 所以,所以 , 故A正确； ,故B错误； ，故C正确； ，故D错误.故选 . 课 堂 考 点 探 究 34 （2）［人教A版必修第一册P194习题5.3第3（2）题改编］求值: ___. 1 [解析] 原式 . 课 堂 考 点 探 究 35 探究点三 基本关系式与诱导公式的综合应用 例5 已知 . （1）化简 ； ［思路点拨］利用诱导公式和 化简即可； 解：由题意知. 课 堂 考 点 探 究 36 （2）若，求 的值； ［思路点拨］由（1）得到 的值，结合 ，将 化为关于 的式子代入求 解即可； 解：由（1）得 ，所以 . 课 堂 考 点 探 究 37 （3）若，求 的值. ［思路点拨］由（1）得到的值，令 ，则 ，则 ，由诱导公式可得 ，再利用同角三角函数的基本关系求出 ，进而得解. 课 堂 考 点 探 究 38 解：由（1）得，令 ， 则 ，则 ，所以. 因为,所以 ,代入， 得，故的值为 或 . 课 堂 考 点 探 究 39 [总结反思] （1）利用同角三角函数的基本关系和诱导公式求值或化简时，关键 是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形. （2）注意角的取值范围对三角函数值符号的影响. 课 堂 考 点 探 究 40 变式题（1）已知,那么 ( ) A. B. C. D. [解析] 因为 ,所以 ,则 , 所以 . √ 课 堂 考 点 探 究 41 （2）[2025·湖南常德模拟]化简 的结果 为( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 42 [解析] ，因为，所以, ，可得 ， 所以 故选B. 课 堂 考 点 探 究 43 【备选理由】例1考查利用平方关系式、切弦互化化简求值, 考查了化归转化及运算求解能力; 例1 ［配例1使用］设，若，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 由已知得，故 ，因为 ，所以，故，解得 ，故 ，故选C. √ 教 师 备 用 习 题 44 例2 ［配例2使用］若，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 方法一：由已知得 ，则 .故选C. 方法二： .故选C. √ 【备选理由】例2考查平方关系、商数关系的灵活运用, 考查了利用切弦互化、齐次式求值; 教 师 备 用 习 题 45 例3 ［配例3使用］已知 , 是方程 的两 根，则 ___. 0 [解析] 由题意得，故 ， ，由 ， 得，即 ，所以 . 【备选理由】例3考查了利用和积互化、切弦互化求值； 教 师 备 用 习 题 46 例4 ［配例4使用］已知 是第四象限角，且角 的终边在直线 上. （1）求 ， 和 的值； 解：因为点在直线 上，且位于第四象限， 所以点在角 的终边上，所以 ， ， . 【备选理由】例4考查三角函数的定义、诱导公式与同角三角函数 的基本关系的综合应用; 教 师 备 用 习 题 47 （2）求 的值. 解：原式 . 教 师 备 用 习 题 48 例5 ［配例5使用］在， 两个条件 中任选一个补充到下面的问题中，并解答. 已知角 ，且____. 【备选理由】例5考查同角三角函数的基本关系、切弦互化、诱 导公式的综合应用. 教 师 备 用 习 题 49 （1）求 的值； 解：若选①，因为，所以 ，则 ，解得或，因为角 ， 所以 . 若选②，因为， ，所以 ，所以 . 教 师 备 用 习 题 50 （2）求 的值. 解：由（1）可知，所以 . 教 师 备 用 习 题 51 作业手册 52 ◆ 基础热身 ◆ 1. ( ) A. B. C. D. [解析] .故选B. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 53 2.已知，，则 ( ) A.3 B. C. D. [解析] 因为，，所以 ， 所以 ，故选B. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 54 3.[2025·福建莆田二检]已知，则 ( ) A. B. C. D. [解析] .故选C. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 55 4.已知，则 ( ) A. B. C. D.3 [解析] 由得 故选A. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 56 5.已知，，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 由题意知 ，故 ，故 . 且,， ， ，故 .故选A. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 57 6.（多选题）在 中，下列结论正确的是( ) A. B. C. D. √ √ √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 58 [解析] 在中， ， 则 ，A正确； ，B正确； ，C正确； ，D错误.故选 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 7. 的值为____. [解析] 原式 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 60 8.已知，且，则 的 值为_ ___. [解析] ,， ， , . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 61 9.已知 ， . （1）求 的值； 解：由，得 ，解得 或 . 因为 ，所以，所以 . （2）求 的值； 解： . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 62 （3）求 的值. 解： . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 63 ◆ 综合提升 ◆ 10.[2025·北京西城区一模]在长方形中，为 的中点， ，则 ( ) A. B. C. D. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 64 [解析] 设 ，则 ，如图所示. 因为，， ， 所以，所以 ， 故 ，所以 .故选B. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 65 11.已知锐角 满足，则 ( ) A. B.13 C. D. [解析] 因为角 为锐角，所以.由 ， 解得或（舍去），故 .故选D. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 66 12.（多选题）[2025·陕西汉中模拟]已知 ， ，则下列等式正确的是( ) A. B. C. D. √ √ √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 67 [解析] 对于A，因为 ，所以，因为 ， 所以，，则 ，故A正确； 对于B，由,，得 ， 因为 ， 所以 ，故B正确； 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 68 对于C，由， ，解得，故C错误； 对于D， ，故D正确.故选 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 69 13.在平面直角坐标系中，角 与角 均以 轴的非负半轴为始 边，它们的终边关于直线对称，若，则 _ ___. [解析] 因为角 , 的终边关于直线 对称， 所以，即 ， 所以 ，所以 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 70 14.[2025·黑龙江哈尔滨三中一模] 已知 是第一象限角，且 ，则 _____. [解析] 由题意可得 ，故. 因为 是第一象限角,所以,,故 ,,所以 ,所以 ，所以 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 71 15.已知 . （1）化简 ； 解：由题意得 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 72 （2）若 是第三象限角，且，求 . 解：因为， 所以 .又 为第三象限角， 所以 ，所以 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 73 ◆ 能力拓展 ◆ 16.（多选题）[2025·长沙一中月考] 如图，点 是以,,, 为顶点的正方 形的边上的动点，角 以为始边， 为终边， 定义, ，则( ) A. B. C., D., √ √ √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 74 [解析] 对于A，当 时，易知 ， ，依题意可知 ，故A错误； 对于B，因为角 以为始边， 为终边，， 所以， ,故 , ，故角以 为始边，为终边， 其中 ，所以 ，故B正确； 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 75 对于C，由 可得 ， 当时,可得 ,则不等式等价于 ， 可得 ，显然该不等式恒成立，故C正确； 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 对于D，当时，角 的终边与正方形在第一象限内的边 交于，角 的终边与正方形在第一象限内的边交于 ， 如图所示，设，易知平分 ， 由角平分线定理可得，可得 ， 又, ， 所以，故D正确.故选 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 17.设 ，且 ，则实数 的取值范围是_ ___________. [解析] 由题意得 ， 令 ，则，， 因为 ，所以,故 ， 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 78 所以， 令 ，则在上单调递减， 所以，即 的取值范围是 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 【知识聚焦】 1.（1）<m></m> （2）<m></m>,<m></m> 2.<m></m> <m></m> 【对点演练】 1.<m></m> <m></m> 2.<m></m> 3.<m></m> 4.<m></m> 5.<m></m> 6.<m></m> 课堂考点探究 例1（1）<m></m> （2）2 变式题0 例2（1）10 （2）<m></m> <m></m> 变式题<m></m> <m></m> 例3ABD 变式题<m></m> 例4（1）<m></m> （2）<m></m> 变式题（1）AC （2）1 例5（1）</m> （2）</m>（3）<m></m>或<m></m> 变式题（1）B （2）B 答 案 核 查 80 基础热身 1.B 2.B 3.C 4.A 5.A 6.ABC 7.<m></m> 8.<m></m> 9.（1）</m>（2）<m></m> 综合提升 10.B 11.D 12.ABD 13.<m></m> 14.<m></m> 15.（1）</m>（2）</m> 能力拓展 16.BCD 17.<m></m> 答 案 核 查 81 $