7.1 条件概率与全概率公式 教学设计-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

教学设计 课程基本信息 学科 高中数学 年级 高二 学期 春季 课题 条件概率与全概率公式(第一课时)条件概率 教科书 书 名：人教A版（2019）教材 出版社：人民教育出版社 .4月 教学目标 1.通过实例,了解条件概率的概念； 2.掌握求条件概率的两种方法； 3.能利用条件概率公式解决一些简单的实际问题； 4.通过条件概率的形成过程,体会由特殊到一般的思维方法. 教学内容 教学重点： 1. 运用条件概率的公式解决简单的问题 教学难点： 1. 条件概率的概念 教学过程 一、问题导学 在必修“概率” 一章的学习中，我们遇到过求同一实验中两个事件A与B同时发生（积事件AB）的概率的问题，当事件A与B相互独立时,有P(ABP（A）P（B），如果事件A与B不独立，如何表示积事件AB的概率呢？下面我们从具体问题入手. 二、新知探究 问题1 .某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如表所示，在班级里随机选一人做代表， （1）选到男生的概率是多大？ （2）如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多大？ 团员 非团员 合计 男生 16 9 25 女生 14 6 20 合计 30 15 45 随机选择一人作代表，则样本空间𝛀包含45个等可能的样本点.用A表示事件“选到团员”， B表示事件“选到男生” ，根据表中的数据可以得出 （1）根据古典概型知识可知选到男生的概率P(B) （2） “在选择团员的条件下,选到男生”的概率就是“在事件A发生的条件下，事件B发生” 的概率，记为P（B|A）.此时相当以A为样本空间来考虑B发生概率，而在新的样本空间中事件B就是积事件AB，包含了样本点数根据古典概型知识可知： P（B|A） 问题2. 假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭，随机选一个家庭，那么 （1）该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？ （2）如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大？ 观察两个小孩的性别，用b表示男孩，g表示女孩,则样本空间且所有样本点是等可能的.用A表示事件“选择家庭中有女孩” ，B表示事件“选择家庭中两个孩子都是女孩” ，A B. （1） 根据古典概型知识可知，该家庭中两个小孩都是女孩的概率P(B) （2）“在选择的家庭有女孩的条件下，两个小孩都是女孩” 的概率就是在“事件A发生的条件下，事件B发生” 的概率，记为P（B|A） ，此时A成为样本空间，事件B就是积事件AB，根据古典概型知识可知P（B|A） 分析：求P（B|A）的一般思想 因为已经知道事件A 必然发生，所以只需在A 发生的范围内考虑问题，即现在的样本空间为A.因为在事件A发生的情况下事件B 发生，等价于事件A 和事件 B 同时发生， 即AB发生.所以事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率P（B|A） 把这个式子推广到一般情形，记原来的样本空间为W，则有P（B|A） 一般地,当事件B发生的概率大于0时(即P(B)>0),已知事件B发生的条件下事件A发生的概率,称为条件概率,记作P(B|A),而且P(B|A)=. 问题1. 如何判断条件概率? 题目中出现“在已知……前提下(或条件下)”“在A发生的条件下”等关键词,表明这个前提已成立或条件已发生,此时通常涉及条件概率. 问题2. P(B|A)与P(A|B)的区别是什么? P(B|A)表示在事件A发生的条件下,B发生的概率. P(A|B)表示在事件B发生的条件下,A发生的概率. 条件概率与事件独立性的关系 探究1：在问题1和问题2中，都有P（B|A）≠P（B）.一般地， P（B|A）与P（B）不一定相等。如果P（B|A）与P（B）相等，那么事件A与B应满足什么条件？ 直观上看，当事件A与B相互独立时，事件A发生与否不影响事件B发生的概率， 这等价于P（B|A）=P（B）成立.=； 探究2：对于任意两个事件A与B，如果已知P（A）与P（B|A），如何计算P（AB）呢？ 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P（A）>0，则 P（AB）=P（A）P（B|A）. 我们称上式为概率的乘法公式（multiplication formula）. 条件概率的性质 条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质. 设P（A）>0，则 （1）P（Ω|A）=1； （2）如果B和C是两个互斥事件，则P（BUC |A）=P（B | A）+P（C | A）； （3）设B和互为对立事件，则P（ |A）=1 P（B|A）. 三、典例解析 例1.在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.求: (1)第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率； (2)在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率. 分析:如果把“第1次抽到代数题”和“第2次抽到几何题”作为两个事件，那么问题(1)就是积事件的概率，问题(2)就是条件概率.可以先求积事件的概率，再用条件概率公式求条件概率;也可以先求条件概率，再用乘法公式求积事件的概率. 解法1：设A=“第1次抽到代数题”，B=“第2次抽到几何题”。 （1）“第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”就是事件AB.从5道试题中每次不放回地随机抽取2道，试验的样本空间Ω包含20个等可能的样本点，即。因为n(AB)= P（AB） （2）“在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题”的概率就是事件A发生的条件下，事件B发生的概率。显然P（A）=.利用条件概率公式，得P（B|A） 解法2：在缩小的样本空间A上求P（B|A）.已知第1次抽到代数题，这时还余下4道试题，其中代数题和几何题各2道.因此，事件A发生的条件下，事件B发生的概率为P（B|A）=又P（A）= ，利用乘法公式可得P（AB）=P（A） P（B|A）= = 从例1可知，求条件概率有两种方法： 方法一：基于样本空间Ω，先计算P（A）和P（AB），再利用条件概率公式求P（B|A）； 方法二：根据条件概率的直观意义，增加了“A发生”的条件后，样本空间缩小为A，求P（B|A）就是以A为样本空间计算AB的概率。 例2：已知3张奖券中只有1张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张.他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗？ ：用A,B,C分别表示甲、乙、丙中奖的事件，则B=. 因为P(A)= P(B)= P(C),所以中奖的概率与抽奖的次序无关。 例3: 银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了码的最后1位数字.求： （1）任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率； （2）如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率。 解：（1）设Ai=“第i次按对密码”（i=1，2），则事件“不超过2次就按对密码”可表示为A=A1UA2.事件A1与事件A2互斥，由概率的加法公式及乘法公式，得 P(A)=P（A1）+P（ A2 ）= P（A1） +P ） P（ A2 | ） = 因此，任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率为. （2）设B=“最后1位密码为偶数”，则 P（A|B）=P（A1|B）+P（A2|B）== ； 因此，如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率为. 跟踪训练1.一个盒子中有6只好晶体管,4只坏晶体管,任取两次,每次取一只,每一次取后不放回.若已知第一只是好的,求第二只也是好的的概率. 解:方法一(定义法) 设Ai={第i只好的}(i=1,2).由题意知要求出P(A2|A1).因为P(A1)=,P(A1A2)=, 所以P(A2|A1)=. 方法二(直接法) 因为事件A1已发生(已知),故我们只研究事件A2发生便可,在A1发生的条件下,盒中仅剩9只晶体管,其中5只好的,即n(AB)=5,n(A)=9,所以P(A2|A1)=. 四、达标检测 1.已知P(AB)=,P(A)=,则P(B|A)等于(　　) A. B. C. D. 解析:P(B|A)=. 答案:A 2.下列说法正确的是(　　) A.P(A|B)=P(B|A) B.P(B|A)>1 C.P(A∩B)=P(A)·P(B|A) D.P((A∩B)|A)=P(B) 解析:由P(B|A)=知,P(A∩B)=P(A)·P(B|A). 答案:C 3.设A,B为两个事件,若事件A和B同时发生的概率为,在事件A发生的条件下,事件B发生的概率为,则事件A发生的概率为　　　　　.  解析:由题意知,P(A∩B)=,P(B|A)=.由P(B|A)=,得P(A)=. 答案: 4.某气象台统计,该地区下雨的概率为,刮四级以上风的概率为,既刮四级以上的风又下雨的概率为.设A为下雨,B为刮四级以上的风,求P(B|A). 解:由题意知P(A)=,P(A∩B)=, 故P(B|A)=. 五、小结 六、课时练 . 学科网（北京）股份有限公司 $