广东广州市第八十六中学2025-2026学年高二下学期数学期中模拟试题（2026.4.24）

广东广州市第八十六中学2025-2026学年高二下学期数学期中模拟试题(2026.4.24) 一、单项选择题： f(2+△x)f(2) 1.若函数)满足f2)=2,则 2△x () A-1 B.4 C.1 D.2 2.A,B,C,D,E,F六人站成一排，如果B,C必须相邻，那么排法种数为() A.240 B.120 C.96 D.60 多若3x-】N的展开式中各项系数和为16，则展开式中的常数项为〈 ) A.54 B.-54 C.108 D.-108 4.用1,2,3,4四个数字组成无重复数字的四位数，其中比2000大的偶数共有() A.16个 B.12个 C.9个 D.8个 5.有2男2女共4名大学毕业生被分配到A,B,C三个工厂实习，每人必须去一个工厂且每 个工厂至少去1人，且A工厂只接收女生，则不同的分配方法种数为() A.12 B.14 C.22 D.24 6.在某市2019年1月份的高三质量检测考试中，理科生的数学成绩服从正态分布W98,100)】 已知参加本次考试的全市理科生约有9450人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分， 那么他的数学成绩大约排在全市第()（参考数值：P(-σ<X≤4+σ）=0.683： P(u-2o<X≤u+2c)=0.954,P(u-3o<X≤u+3σ)=0.997) A.1498名 B.1700名 C.4500名 D.8000名 7.如图，一个质点从原点0出发，每隔一秒随机等可能地向左或向右移动一个单位，共移 动4次，在质点第一秒位于1的位置的条件下，该质点共经过两次2的位置的概率为() 43-201234文 A. 1 3 B. D. 8 c.8 6 &.己知a=e 6=e3,8262:则有（) A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.b<c<a 二、多项选择题： 9.己知A,B分别为随机事件A,B的对立事件，P(A)>0,P(B)>0,则下列结论正确的是() A.P(A)+P(A)=1 B.P(A B)+P(A B=1 C.若A,B互斥，则P(AB)=P(A)P(B)D.若A,B独立，则P(AB)=P(A) 1/4 10.甲罐中有5个红球，3个白球，乙罐中有4个红球，2个白球.整个取球过程分两步： 先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用A、A,表示由甲罐取出的球是红球、白球的事 件：再从乙罐中随机取出两球，分别用B、C表示第二步由乙罐取出的球是“两球都为红球”、 “两球为一红一白的事件.则下列结论中正确的是() A2a14)= B.PC4,)= 号c招 Dno)盘 11、定义：设f(x)是f()的导函数，f(x)是函数f(x)的导数，若方程f(x)=0有实数解x 则称点(xo,f(x)为函数y=f(x)的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”， 且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的 对称中心为(1,2)，则() A.f(x)存在拐点 B.若c=d=2,则a=1,b=-3 C.当a<0,且f(x)有极值时，d<2-a D.当a>0,c=0,且函数f(x)有三个零点时，d>4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.如图，用5种不同的颜色给图中A,B,C,D四块区域涂色，若相 邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有」 种 13若任意两个不等正实数X,与∈（似+网，满足血二血5<2，则m的最小值为 x,-x 14、甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，比赛一直 进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛已知每局比赛中，甲获胜的概 率为，乙获胜的概率为P,(@+B=1,a>0,B>0),且每局比赛结果相互独立.若比赛最多 进行5局，则比赛结束时比赛局数X的期望E(X)的最大值为 四、解答题： 15已知(1+2x)=a。+4x+a2x2+…+anx"(n∈N),其中4，a1,42,…,an∈R.且(1+2x)9 展开式中仅有第5项的二项式系数最大. (1)求n值及二项式系数最大项：(2)求4+a,+a,+a。+a的值（用数值作答）. 2/4 16.己知函数f(x)=xhx-ax (1)当a=0时，求函数(x)的单调区间：(2)若对任意x∈(0，+w),f(x)≤x2+2恒成立，求 实数a的取值范围， 17.树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心， 现已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环，据此，某网站开展了关于生态文明建设进 展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者 中关注此问题的约占80%.现从参与关注生态文明建设的调查者中 频率 个组距 随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15,25)，第2 0.030 组[25,35)，第3组[35,45)，第4组[45,55)，第5组[55,65).由调 0.015 查数据得到的频率分布直方图如图所示。 0.010 (1)求这200人年龄的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代 0152535455565年龄/岁 表)和中位数（精确到小数点后一位）； (2)现在要从年龄较小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3 人进行问卷调查，求第2组恰好抽取2人的概率： (3)若从所有参与调查的人（人数很多）中任意选出3人，设其中关注环境治理和保护问题 的人数为X,求X的分布列. 3/4 18.甲、乙两个不透明的箱子中各装有9个大小和质地完全相同的球.其中甲箱中有4个白 球，5个黑球乙箱中有7个白球，2个黑球. (1)若采用不放回抽取的方式，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分.现 从甲箱中任取2个球.设取出的2个球的得分的和为X.求随机变量X的分布列： (2)现从甲箱中任取2个球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个球，求从乙箱中取出的 这个球是黑球的概率. 19.己知函数f(x)=m2+(a-2)x-lnx. (1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，f'(x)为f(x)的导函数.(i)求实数a的 取值范围：(ii)记f(x)较小的一个零点为x。,证明：xf'(x)>-2. 4/4广东广州市第八十六中学2025-2026学年高二下学期数学期中模拟试题 答案 -、选择题：1【答案】c【详解】世eO-+Or@-1 2△x △x 2.【答案】A【详解】将B,C捆绑在一起，然后进行全排列，故共有A×A=240种排法 3.【答案】A【详解】令x=1,可得6-少=6，所以n=4,则3-展开式的通项为 =c(3)(=(旷3c学，令4-2x=0,得x=2,所以展开式中的常数项为(×3C=54 4.【答案】D【详解】比2000大，故千位为2,3,4，若千位为2，则个位为4，有2×1=2（个）符合题意的四位数； 若千位为3，则个位为2或4，有2×2×1=4（个）符合题意的四位数；若千位为4，则个位为2，有2x1=2(个)符合 题意的四位数.根据分类加法计数原理得，一共有2+4+2=8（个）符合题意的四位数. 5.【答案】B【解】按A工厂接收的女生人数分类，第一类：A工厂仅接收1名女生，从2名女生中选1人，有C种 选择，再把剩余的3人分为两组，和B,C两工厂进行全排列，有CA种选择，故有CCA;=12种分配方法；第二类：A工 厂接收2名女生，则剩余的两个男生和两个工厂进行全排列，有CA:=2种分配方法，综上，不同的分配方法有12+2=14种， 6.【答案】A【详解】解：因为理科生的数学成绩X服从正态分布W(98,100),4=98,o=10, 所以P(X≥108)=2-P88<X≤108】=2-PL-o<X≤u+o=2×1-06s)=01585,所以0.1585×9450≈1498， 故该学生的数学成绩大约排在全市第1498名. 7.【答案】A【详解】质点移动4次，共有2×2×2×2=16种情况，设质点第一秒位于1的位置为事件为 A,则P(4)=,记质点两次经过质点2为事件B,若第一步位于1，则还有3步，想要经过质点2两次， 则有1→2→3→2,1→2→1→2两种情况，所以总，则-得是-. P(4)ī4· In3,b= 8【答案】C【详解】把a,b,c变形得a=, 所以构造函数01，则 a=f0,6=foef0.rg-a-之6目 ，”令g=血x子则)-草>0在L四)上恒 成立，所以g(x)在区间(L,+∞)上单调递增，因为e)=he10,所以(x)>0在[e,+∞)上恒成立，所以函 数fe)-在[e+o)上单调递增，所以o<<f@,即b<a<c. 9.【答案】ABD【详解】选项A中：由对立事件定义可知P(A)+P(A)=1,选项A正确；选项B中： P4P国--得1，选项B正确：选项C中：A,B互斥，P4B)=0,4)>0Pe)>0,4B)PaP(8, P(B) 故选项C错误；选项D中：A,B独立，则Pa)=P4Pe),则P(4)=,故选项D正确 (B) 10.【答案】BCD【详解】对A:在事件A发生的条件下，乙罐中有5红2白7个球，则P(4)器-”， 故A错误：对B:在事件4发生的条件下，乙罐中有4红3白7个球，则4，)答导，故B正确： 对c:因4)-8，)-ge是-品，4A)小是-，则Pe=4)P(4+4)2e4)广-0 故C正确：对D:因g4)=,PGA)答-，则0=44)4)e4)”导故D正确 11、【答案】BCD【详解】由题意有f(x)=3ax2+2bx+c,f(x)=6ax+2b,所以 {r604g+a2→+a-za Uf(1)=a+b+c+d=2 令g(x)=f(x),所以g(x)=6ax+2b,g(x)=6a≠0，所以f(x)不存在拐点，故A错误： 当c=d=2时，由c+d=2+2a,解得a=1,b=-3,故B正确； 由f(x)=3ax2-6ax+c,令f(x)=0有：3ax2-6ax+c=0, 由A=36a2-4×3a×c=12a(3a-c)>0, 当a<0时，3a-c<0→c>3a,所以d=2+2a-c<2+2a-3a=2-a,故C正确： 当c=0时，f(x)=ax3-3ax2+d,所以f(x)=3ax2-6ax=3ax(x-2), 当a>0时，由f(x)>0有x>2或x<0,f(x)<0有0<x<2,所以f(x)的单调减区间为(0,2)，单 两区间为(-m0以.2+四.国为e++2n→d=2+2a要使西数T0有三个零点，只需 f(0)=d>0 ∫d>0 f(2)=8a-12a+d<0户{d<2(d-2),又a>0,所以0<d<4,故D正确 12.【答案】180【详解】能够涂相同颜色的只有A,D.若A,D同色，则只需要选择3种颜色即可，此 时有4=60种；若A,D不同色，则只需要选择4种颜色即可，此时有A=120种共有60+120=180种， 13.【答案】【详解】不妨令0<x<2,则，>，所以不等式5血血5<2可转化为5血-血%<2，-2x, x2-x1 a+2）)<:(ax+2,即，+2<血+2，令)=血x+2,则f)<f),即f)在m,+)上单调递减， 由r)-4，当0<x<时，f0,当e时，f'()<0,所以f()在03上单调递增，在眼+ 上单调递减，m≥，即m的最小值为上 14.【答案】【详解】设“甲获胜为事件A,“乙获胜"为事件8， 每局比赛结果仅有“甲获胜和“乙获胜”，即α+B=1,由题意得X的所有可能取值为2,4,5，则 P(X=2)=P(AA+RBB)=a+B2, P(X=4)=P(ABAA)+P(BAAA)+P(ABBB)+P(BABB)=(aB+Ba)a+(aB+Ba)B=2aB(a+B), P(X=5)=P(ABAB)+P(ABBA)+P(BABA)+P(BAAB)=a2B2+aCB+aB+a2B=4a2B2,所以X的分布列为 X 2 4 J a:+B* 2a0(a2+B） 4aB' 所以X的期望E(X)=2(d+p2)+8ap(c2+B2)+20arP=20-2ap)+8ap0-2p)+20dB=4aB+4ap+2, 因为a+B=12廊，所以≤分，当且仅当a=B-时等号成立，所以a0(o,, 所以a(到=4ega+2a6+1(1-号故0)的授大值为号 4J 15.【答案】【详解】(1)因为(1+2x)展开式中仅有第5项的二项式系数最大，即仅有C4最大，所以n=8, 故I,=C。(2x)°=70×16x4=1120x4.即n=8,二项式系数最大项为第5项：1120x4: 2)令x=1,得a。+a+a2+.+a=38,令=-1，得a-4+a2-.+=(1=1两式相加可得 a+a+a+a+a=(34y3281 16.【详解】(1)当a=0时，函数f(x)=xlnx的定义域是(0，+o),f"(x)=lnx+1, 令f(x)<0,得nx+1<0,解得0<x<,故f)的单调递减区间是o,,令f"(国)>0，得血x+1>0, 解得x>,故f(x)的单调递增区间是，综上，f(x)的单调递减区间是(0，，单调递增区间是 e (2)由任意x∈(0，+o),f(x)x+2知xnx≤x2+ax+2恒成立 因x>0,故a≥血=子，在x@+)上恒成立设)=血x-x名≥0，则)=1+2-《-2+，令 x2 N(x)=0,得x-2,x2=-1(舍去)，当x∈(0,2)时，(x)>0,h(x)单调递增，当x∈(2，+o)时，1(x)<0, h(x)单调递减，故当x=2时，h(x)取得极大值，也是最大值，且h(x)s=h(2)=血2-3， 所以若a≥h(x)在x∈(0，+∞)上恒成立，则a≥h(c)=h2-3,故实数a的取值范围是[血2-3，+∞)： 17.【解答过程】(1)由10×(0.010+0.015+a+0.030+0.010)=1,解得a=0.035, 则平均数为20×0.1+30×0.15+40×0.35+50×0.3+60×0.1=41.5岁 因为10×0.010+10×0.015=0.25<0.5,10×0.010+10×0.015+10×0.035=0.6>0.5，所以 中位数在第3组， 设中位数为x,则10×0.010+10×0.015+(x-35)×0.035=0.5,解得x≈42.1岁. (2)血题意得从第12组抽取的人数分别为23.设第2组中恰好抽取2人的事件为A,则P(=警-号 (3)从所有参与调查的人中任意选出1人，关注环境治理和保护问题的概率为P=专 X的所有可能取值为0、1、2、3，可得P=0)=C(1-)°=云PK=1)=C)(1-)=品 PX=2)=c(自)(-)=铝P=3)=C自=密所以X的分布列为： 1 3 1 12 48 64 125 125 125 125 18【小问1详解】解：由题意， 随机变量X的可能取值为2,3,4， 可得P小是0言P食)器04)是名&，所以x的分布列为 X 2 3 P 5 9 6 【小问2详解】解：设事件A为“从乙箱中取出的这个球是黑球”， 事件B为从甲箱中取出的2个球都是白球”，事件B2为“从甲箱中取出1个白球1个黑球”，事件B,为从 甲箱中取出2个球都是黑球”，则B,B2,B彼此互斥，且BUB,UB=2, 可得a)=P0x==名P)==)-P)=Px=2列-点，且4)-=后)品4)-益 4 所以0=08P8=raa+au1+7a)4-若名+培音器 19.【详解】(1)函数f(x)的定义域为(0，+o),fs)=2ax+a-2)上-a-2x+1 x ①当a≤0时，()k0,函数f)在0+回)单调递减：②当a>0时，令f()=0,解得x=是，当xe（日时， f()<0,函数f(x)单调递减：当xe+时，∫'(x)>0,函数f)单调递增.综上所述，当a≤0时，函数f(x) 在(0，+∞)单调递减：当a>0时，函数r)在(0)上单调递减，在日+单调递增。 (2)(i)若a≤0，由(1)知，fx)至多有一个零点： 若a>0,由(1)知，当x=启时，f(x)取得最小值，最小值为侣)1日如 因为当e时，f启+，+：当（o时，ee日+ha, 所以函数1)有两个零点当且仅当侣)0，设g(回)=a-+1,函数g(@)在(0，+0)单调递增。 因为g(I)=0,g(a)<0的解集为ae(0,1).综上所述，a的取值范围是(0,1) (ii)因为f(x)=(x2+x)a-2x-血x,由f1)=2a-2<0,结合(i)知0<x。<1,要证xf(x)>-2,即证 (2,+1(a-1)>-2,即a,(2x。+1)>2x。-1,当0<x,≤时，因为ax,2x,+1)>0,2x。-1≤0，不等式恒成立： 当2<。<1时，由f(,)=0得a,(,+=血，+2x.即i证(2，+1，+2，)>(2。-+1. 即证色g=装女即证++2有0 2x。+1 2x+1 >0 设++由2可产 所以p()在单调递增.所以)>P分-血2+1>0，故原不等式成立.所以x()>-2