椭圆 课件-2027届高三数学一轮复习

椭圆 课 前 基 础 巩 固 1.椭圆的定义 平面内与两个定点,的距离的和等于常数大于 的点的轨迹 叫作______.这两个定点叫作椭圆的______,两焦点间的距离叫作椭圆 的______. 集合，，其中， ， 且， 为常数： 椭圆 焦点 焦距 （1）若______，则集合 为椭圆； （2）若______，则集合 为线段； （3）若______，则集合 为空集. 课 前 基 础 巩 固 2 2.椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 图形 性 质 范围 ____________，_________ _____________ ____________，_________ _____________ 对称性 对称轴：________ 对称中心：______ 坐标轴 课 前 基 础 巩 固 3 标准方程 性 质 顶点 ________， ______， ________， ______ ________， ______， ________， ______ 轴 长轴的长为____ 短轴 的长为____ 焦点 , , 焦距 ____ 离心率 ， ______ ， ， 的关系 ________ 续表 课 前 基 础 巩 固 4 常用结论 椭圆中几个常用的结论： （1）焦半径：椭圆上的点与左（下）焦点 或右（上）焦 点的连线叫作椭圆的焦半径，分别记作， . ①，， ； ②，， ； ③焦半径中长轴端点的焦半径最大和最小. 课 前 基 础 巩 固 5 （2）焦点三角形：以椭圆上的点与两焦点, 为顶点的 叫作焦点三角形.，， ， 的面积为，则在椭圆 中： ①当，即点的位置为短轴端点时， 最大； ②，当，即点的位置为短轴端点时， 取到最大值，最大值为 ； ③焦点三角形的周长为 . 课 前 基 础 巩 固 6 （3）若，为椭圆的两个焦点，弦过焦点，则 的周 长为 . （4）点在椭圆上，则椭圆在点 处 的切线方程为 . 课 前 基 础 巩 固 7 ◆ 对点演练 ◆ 题组一 常识题 1.［教材改编］如果椭圆上一点到焦点 的距离等于6, 那么点到另一个焦点的距离是____， 的周长为____. 14 36 [解析] 根据椭圆的定义得, 由,得 ,所以,故. 由 ,得，所以 的周长为 . 课 前 基 础 巩 固 8 2.［教材改编］比较椭圆与椭圆 的形状， 椭圆_ __________更接近于圆. [解析] 因为椭圆的离心率，所以越大， 越小， 椭圆越扁；越小，越大，椭圆越圆. 椭圆 即椭圆，其离心率， 椭圆 的离心率， 因为，所以椭圆 更接近于圆. 课 前 基 础 巩 固 9 3.［教材改编］动点到定点的距离和到定直线 的距离的比值是常数，则动点 的轨迹方程为___________. [解析] 设是点到直线的距离， 则由题意知 ，即，整理得， 故动点 的轨迹方程为 . 课 前 基 础 巩 固 10 题组二 常错题 ◆ 索引：椭圆的定义中忽视 这一条件;忽视焦点的位置； 忽视椭圆方程中未知数的取值范围. 4.平面内一点到两定点,的距离之和等于12,则点 的轨迹是______. 线段 [解析] 由题意知, , 即,所以点 的轨迹是线段. 课 前 基 础 巩 固 11 5.已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆 的长轴长为4，焦距为2， 则 的方程为_ ______________________. 或 [解析] 椭圆的中心在原点，其长轴长为4，焦距为2， ，，. 当椭圆的焦点在轴上时， 的方程为； 当椭圆的焦点在轴上时，的方程为 . 课 前 基 础 巩 固 12 6.若,分别是椭圆的左、右焦点,点 在椭圆上运动,则 的最小值是___. 1 [解析] 设,依题意得, , 则 , 因为,所以,所以 的最小值是1. 课 前 基 础 巩 固 13 探究点一 椭圆的定义及其应用 例1（1）[2025·山西临汾三模]已知动点 满足 ，则动点 的轨迹方程是 ( ) A. B. C. D. ［思路点拨］由椭圆的定义，结合题意，可得焦点坐标，从而可得 ,, 的值，可得答案. √ 课 堂 考 点 探 究 14 [解析] 由题意可得动点到与 两点的距离之和为10， 因为，所以动点的轨迹为焦点在 轴上的椭圆， 易知，，， 故动点 的轨迹方程为 .故选C. 课 堂 考 点 探 究 15 （2）[2023·全国甲卷]设,为椭圆的两个焦点，点 在上，若，则 ( ) A.1 B.2 C.4 D.5 ［思路点拨］思路一：根据题意，分析可得 ，可得 ，由椭圆的定义可得 ,将两 式联立即可得到 的值； 思路二：根据题意，分析可得 ，根据常用结论 ，即可求出 的值. √ 课 堂 考 点 探 究 16 [解析] 方法一:因为,所以 . 因为,所以 , 又 ,所以 ,所以 .故选B. 方法二:因为,所以 , 则, 所以 .故选B. 课 堂 考 点 探 究 17 [总结反思] 椭圆定义的应用主要有两个方面:一是明确平面内与两定点有关的轨 迹是否为椭圆;二是利用定义解与焦点三角形有关的问题.涉及焦点三 角形的常见问题有求焦点三角形的周长、面积等，难度不是很大. 课 堂 考 点 探 究 18 变式题（1）已知,是椭圆的两个焦点，点在 上， 则 的最大值为( ) A.13 B.12 C.9 D.6 √ [解析] 方法一：根据椭圆的定义可知， ， 所以，当且仅当 时等号成立，故 的最大值为9. 课 堂 考 点 探 究 19 方法二：不妨设,分别为椭圆 的左、右焦点， 则,， 设 ，则 . 因为，所以 ，所以， 又 ，所以 ， 则， ， 所以当时， 取得最大值9.故选C. 课 堂 考 点 探 究 20 （2）[2026·山西吕梁一中月考] 已知是椭圆 上的一点， ,是椭圆的两个焦点，且 ，则 的面积是 _ ___. 课 堂 考 点 探 究 21 [解析] 在椭圆中，，， ， 由椭圆的定义可得，. 在 中， ， 由余弦定理得 ， 解得 ， 故 . 课 堂 考 点 探 究 22 [解析] 由题意可得， 记椭圆的右焦点为 ，如图， 则 的周长为 ，当且仅当直线经过右焦点不经过左焦点时 取得等号,故 的周长的最大值是 . （3）[2025·上海交通大学附中月考] 直线与椭圆 交于 ，两点，为椭圆的左焦点，则 的周长的最大值是_____. 课 堂 考 点 探 究 23 探究点二 椭圆的标准方程 例2 求满足下列条件的椭圆的标准方程. （1）两个焦点的坐标分别为,，并且椭圆经过点 ； ［思路点拨］根据焦点坐标可得 ，根据椭圆的定义可知椭圆上一点 到两焦点的距离之和为，可求出，再由求出 ，进 而得到椭圆的标准方程； 课 堂 考 点 探 究 24 解：根据题意，两个焦点的坐标分别为,，即 ， 又椭圆经过点 ， 所以，故 ， 则 ， 故所求椭圆的标准方程为 . 课 堂 考 点 探 究 25 （2）中心在原点，焦点在轴上，且经过四点， ， ， 中的三点； ［思路点拨］设出椭圆方程，由椭圆的对称性可判断椭圆过， 两点，又，不同时在椭圆上，可确定点 在椭圆上，将点的坐 标代入椭圆方程计算，可求出, 的值，从而写出椭圆的标准方程； 课 堂 考 点 探 究 26 解：设椭圆的方程为. 因为，两点关于 轴对称，所以椭圆经过， 两点， 由，知，椭圆不经过点，所以点 在椭圆上， 故解得 所以所求椭圆的标准方程为 . 课 堂 考 点 探 究 27 （3）中心在原点，离心率为 ，长轴长为6； ［思路点拨］根据长轴长求出，再结合离心率求出 ，结合 求出，分焦点在轴、 轴上即可写出椭圆的标准方程； 解：因为椭圆的长轴长为6，所以 . 因为椭圆的离心率为，所以，解得 ， 所以 ， 所以所求椭圆的标准方程为或 . 课 堂 考 点 探 究 28 （4）中心在原点，焦点在轴上，且过两点， . ［思路点拨］设出椭圆方程，根据椭圆过的点列方程组求解即可. 解：设椭圆的方程为 ， 因为椭圆过两点， ， 所以解得 所以所求椭圆的标准方程为 . 课 堂 考 点 探 究 29 [总结反思] 根据条件求椭圆方程的主要方法： （1）定义法:根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义. （2）待定系数法:根据题目所给的条件确定椭圆方程中的, .当不知 焦点在哪一个坐标轴上时,一般可设所求椭圆的方程为 ,不必考虑焦点位置,用待定系数 法求出, 的值即可. 课 堂 考 点 探 究 30 变式题（1）已知点在椭圆上，点， 分别为椭圆的左、右焦点，满足， 的面积为12， 椭圆的焦距为8，则椭圆 的标准方程为( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 31 [解析] 椭圆的焦距为8，则，故 . 由，的面积为12，得 ， 即， 又 ， 所以 ， 即，所以， 又，则 ， 则椭圆的标准方程为 .故选D. 课 堂 考 点 探 究 （2）[2022·全国甲卷]已知椭圆 的离心率 为,,分别为的左、右顶点，为的上顶点.若 , 则 的方程为( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 33 [解析] 由离心率，得，即 . 由题意知,，， 所以, ， 因为,所以， 将 代入，得,， 故椭圆的方程为 .故选B. 课 堂 考 点 探 究 34 探究点三 椭圆的简单几何性质 微点1 求椭圆的离心率的值或范围 例3（1）[2025·河南洛阳质检]已知椭圆 的 左、右焦点分别为，，为椭圆上一点， ， ，则椭圆 的离心率为( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 35 ［思路点拨］设,根据题意及椭圆的定义确定， 的关系， 用表示出，，在中，根据勾股定理得到关于 , 的齐次式，即可求解离心率； [解析] 设,因为，所以. 因为 为椭圆上一点，所以,即, 故 ，. 因为，所以由勾股定理得 ， 得，即，所以 .故选A. 课 堂 考 点 探 究 36 （2）已知，是椭圆的两个焦点，满足的点 总在 椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( ) A. B. C. D. ［思路点拨］由得到点的轨迹为以原点为圆心， 为 半径的圆，再由点总在椭圆的内部，可得，结合,, 的关系 即可求离心率的取值范围. √ 课 堂 考 点 探 究 37 [解析] 设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为,, . 因为，所以点的轨迹为以原点为圆心， 为半径的圆. 因为点总在椭圆的内部，所以，所以 ， 所以，故， 又，所以 ，故选C. 课 堂 考 点 探 究 38 [总结反思] 求椭圆离心率的值或取值范围的方法： （1）直接求出，，利用离心率公式 求解. （2）由与的关系求离心率，利用变形公式 求解. （3）构造，的齐次式，可以不求出，的具体值得出与 的关系， 从而求得 . 课 堂 考 点 探 究 39 微点2 与椭圆有关的范围（最值）问题 例4（1）已知椭圆的方程为 ，过椭圆中心的直线交椭圆 于,两点，是椭圆的右焦点，则 的周长的最小值为( ) A.7 B.8 C.9 D.10 ［思路点拨］利用椭圆的对称性以及椭圆的定义，即可求出周长的 最小值. √ 课 堂 考 点 探 究 40 [解析] 由椭圆的方程为，得 ， ，. 设 为椭圆的左焦点，连接， ，如图， 则由椭圆的中心对称性可得四边形为 平行四边形，故 的周长 ， 当， 为短轴的端点时，取得最小值，最小值为 ， 则 .故选D. 课 堂 考 点 探 究 41 （2）设是椭圆的上顶点，点在上，则 的最 大值为( ) A. B. C. D.2 ［思路点拨］思路一：设,根据点在椭圆上确定, 的关 系，结合点的坐标用表示，结合 的取值范围及二次函数 的性质即可求出的最大值； 思路二：设 ，求出 的坐标，利用两点间的距离公式， 结合三角函数的有界性可求出 的最大值. √ 课 堂 考 点 探 究 42 [解析] 方法一：设,则,即, , 易知 ,所以 ,当时，取得最大值, . 方法二：设,易知 ， 所以, 当 时，取得最大值, . 课 堂 考 点 探 究 43 [总结反思] 利用椭圆的几何性质求取值范围（最值）问题的思路： （1）将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标的取值范围构造 函数或不等关系. （2）将所求取值范围用，，表示，利用，， 自身的取值范 围、关系求取值范围. 课 堂 考 点 探 究 44 应用演练 1.[2025·河北秦皇岛三模]若点在椭圆 的内部，则 实数 的取值范围为( ) A. B. C. D. [解析] 由点在椭圆的内部，可得 ， 且，，解得或， 所以实数 的取值范围为 .故选B. √ 课 堂 考 点 探 究 45 2.（多选题）[2025·湖南长沙雅礼中学二模]已知椭圆 的左、右焦点分别为，，点是椭圆 上的一个动点，则 下列说法正确的是( ) A.椭圆 的长轴长为5 B.椭圆的离心率为 C. D.恰好存在2个点使得 √ √ 课 堂 考 点 探 究 46 [解析] 由椭圆，可得， ，所以 ，即，， . 对于A，椭圆的长轴长为，所以A不正确； 对于B，椭圆 的离心率，所以B正确； 对于C， ，所以C正确； 对于D，因为，所以以为直径的圆与椭圆 有4个交点， 即存在4个点使得，所以D不正确.故选 . 课 堂 考 点 探 究 47 3.[2025·四川攀枝花三模]已知椭圆 的上顶 点为，左、右焦点分别为,，连接并延长交椭圆 于另一点 ，若，则椭圆 的离心率为( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 48 [解析] 如图，由题意可知 ，. 根据 ，可设, ， 则 ，则， 所以 , ，. 在 中，由余弦定理得 . 又 ，所以 ，即，所以，则 .故选B. 课 堂 考 点 探 究 49 4.[2025·安徽合肥二模]已知点，， 分别是 与轴的交点.若点满足以为直径的圆与 相切，则 面积的最大值为( ) A. B.8 C.12 D.16 √ 课 堂 考 点 探 究 50 [解析] 如图，设以为直径的圆的圆心为 ，， 连接，，因为点在 内，所以两圆内切， 所以， 又 为的中位线，所以 ， 所以，则， 所以点 的轨迹是以，为焦点的椭圆，且，得， 又 ，所以， 显然当为椭圆短轴的端点时， 的面积最大， 最大值为 .故选B. 课 堂 考 点 探 究 51 5.设是椭圆的上顶点，若 上的任意一 点都满足，则 的离心率的取值范围是( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 52 [解析] 易知,设,则,得 , 则 , . 由题知，当时， 取得最大值， 所以由二次函数图象的对称性知,故,即, 可得,故椭圆 的离心率的取值范围为 ,故选C. 课 堂 考 点 探 究 53 【备选理由】例1考查椭圆的定义及其应用； 例1 ［配例1使用］[2025·山西晋城二模]已知， 分别为椭圆 的左、右焦点，点为上一点，若 ， 则( ) A. B. C. D. √ 教 师 备 用 习 题 54 [解析] 由题意可知，，，所以 . 由椭圆的定义可知，， 又 ，所以，， 所以 .故选D. 教 师 备 用 习 题 55 例2 ［配例2使用］[2025·湖北武汉模拟]已知椭圆 的上、下焦点分别为，，离心率为 ，过点作直线（与 轴不重合）交椭圆于，两点， 的周长为12，则椭圆 的标准方程是( ) A. B. C. D. √ 【备选理由】 例2考查椭圆的标准方程； 教 师 备 用 习 题 56 [解析] 如图，的周长为 ，解得 . 设椭圆的半焦距为， 因为椭圆的离心率为 ，所以，解得， 所以 ， 故椭圆的标准方程为 .故选D. 教 师 备 用 习 题 57 例3 ［配例3使用］[2025·河北秦皇岛一模]已知椭圆 的左、右焦点分别为，， 为右顶 点，为上一点，若，且 ，则 的离心 率为( ) A. B. C. D. √ 【备选理由】 例3考查椭圆离心率的求法； 教 师 备 用 习 题 58 [解析] 如图，由为 上一点，得， 又 ，. 设 ，则 . 在 中，. 在 中，由余弦定理得 . 由 得， ，即 ，化简得，故 .故选B. 教 师 备 用 习 题 59 例4 ［配例3使用］[2026·湖北武汉调研]设椭圆 的左、右焦点分别为，，椭圆 上点 满足，直线和直线分别和椭圆交于异于点 的点 和点，若，则椭圆 的离心率为( ) A. B. C. D. √ 【备选理由】 例4考查椭圆离心率的求法； 教 师 备 用 习 题 60 [解析] 设 ，则 ， ， 所以， 故 . 连接，，由，可设， ， 则，. 由 ， 得 ， 所以，整理得 . 教 师 备 用 习 题 由 ， 得 ， 所以，整理得 ， 所以， 整理得 . 由①②解得，，故，即 ， ，所以 .故选D. 教 师 备 用 习 题 例5 ［补充使用］[2023·全国甲卷]设为坐标原点，， 为椭圆 的两个焦点，点在上，，则 ( ) A. B. C. D. √ 【备选理由】 例5考查从三种不同角度研究椭圆的几何性质，作为补充使用. 教 师 备 用 习 题 63 [解析] 方法一：设 ， ， 则 . 由，可得 . 由椭圆方程可知，，， ， 所以， 所以 ，则， 故 .故选B. 教 师 备 用 习 题 方法二：由题可知， ①， ， 即 ， 联立①②，可得，， 又 ，所以 ， 即 .故选B. 教 师 备 用 习 题 方法三：由题可知， ①， ， 即 ， 联立①②，可得 ， 由三角形中线定理可知， ， 易知 ，可得 .故选B. 教 师 备 用 习 题 $