精品解析：上海市七宝中学2025-2026学年高一第二学期期中数学试卷

七宝中学2025学年第二学期 数学 试卷结构： 填空12题+选择4题+解答5题 考试时间：120分钟 满分：150分 整理2026年4月23日 一､填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，共54分） 1. 已知角为第一象限角，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据同角的三角函数关系式求解即可. 【详解】因为角为第一象限角，且， 所以. 2. 函数的最小正周期__________． 【答案】4 【解析】 【分析】直接用正弦函数的周期公式求解即可． 【详解】函数的最小正周期． 3. 已知为单位向量，与的夹角是. 若，则在上的数量投影为__________. 【答案】2 【解析】 【详解】因为与的夹角是，所以在上的数量投影为. 4. 在平面直角坐标系中，，若，则点坐标是__________. 【答案】## 【解析】 【详解】若，则点是线段的中点， 所以点坐标是. 5. 已知为第二象限角，，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为为第二象限角，由可得， 所以，则. 6. 函数的定义域为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦函数的图像与性质即可求解． 【详解】由题知，， 所以， 所以定义域为． 7. 在中，，则__________. 【答案】36 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的定义即可求解． 【详解】在中,， 所以． 8. 在中，已知，当时，的面积为__________． 【答案】##1.5 【解析】 【分析】由平面向量数量积的定义及三角形面积公式即可求解． 【详解】由已知得， 当时, ， 所以． 9. 已知三点共线，不共线且在线段上（不含端点），若，则的最小值为__________. 【答案】16 【解析】 【分析】先根据向量共线确定，然后根据基本不等式的性质求出最小值即可. 【详解】因为点共线，且在之间，所以存在实数使得， 则，整理得. 因为，所以. 所以根据基本不等式的性质可得. 当且仅当，即时等号成立，此时取最小值为16. 10. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】可知即，移项得， 利用辅助角公式可得，所以，又因为， 所以，得即，则. 11. 已知函数在闭区间I上的最大值记为，若实数k满足，则______. 【答案】或 【解析】 【分析】可以根据区间的定义，，得到，然后根据余弦函数单调性和特殊角的余弦值得到或. 【详解】根据区间的定义，左端点小于右端点，，得到，即根据余弦函数的性质，，由题意：，根据函数的周期为，而且其在单调递减，在单调递增，，，即，所以，即， 当时，，在单调递减，则，可得； 当时，，在单调递减，且在单调递增，，. 故答案为：或. 12. 设，为平面上5个不同的单位向量，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先对向量的夹角进行分类，并判断出锐角的个数限制，从而得到所求表达式的范围，最后构造出最值. 【详解】设的10种组合中两向量夹角为锐角（即数量积大于0）的有个， 夹角为直角（即数量积等于0）的有个，同时因为它们是个不同的单位向量， 所以不存在夹角为的组合，故夹角为钝角（即数量积小于0）的有个， 所求表达式可化为， 使的起点重合，考虑相邻两个向量的夹角，共有个，其和为，其中直角、钝角的个数最多只有个， 假若有个直角或钝角，则它们的夹角和不小于，于是剩余的个角只能小于或等于，显然不成立， 又假若有个直角或钝角，则它们的夹角和不小于，显然不成立， 综上可知至少有两个锐角，所以，将放在一个单位圆内（起点均是原点）， 从正半轴开始，分别放在的位置， 可知， ，即有2个锐角，8个钝角，此时， 故所求表达式的最小值为. 二､选择题（第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，共18分） 13. 与向量平行的单位向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的单位向量计算公式即可求解． 【详解】与向量平行的单位向量是， 结合选项可知，只有选项B符合题意． 14. 设，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由解出，的两种关系，再用充分、必要条件的定义进行判断. 【详解】由，，，可得，或，.则可知“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 15. 折扇平面图为扇形，动点在弧上（含端点），连接交扇形的弧于，且，则下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 【答案】C 【解析】 【分析】作，分别以，为轴，轴建系，写出各点的坐标，设，由可得，， 根据可判断A；利用向量数量积的坐标公式，辅助角公式，三角函数的性质即可判断BCD． 【详解】如图，作，分别以，为轴，轴建立平面直角坐标系， 则，，，， 设，，则， 由可得，， 对于A，若，则，解得（负值舍去），故，故A正确； 对于B，， 则 ， 因为，所以，则， 所以，所以，故B正确； 对于C，若，则，， 所以， 因为，故C错误； 对于D，由于，， ， 而，所以，所以，故D正确． 16. 已知，令，若，则称有序向量对为向量对，则下列说法不正确的为（ ） A. 向量对的个数为2 B. 向量对的个数为8 C. 向量对的个数为4 D. 向量对的个数为0 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的坐标公式，二倍角公式，三角函数的性质分别判断即可． 【详解】， 对于A，，即，则， 当时，可取，共4种取值， 此时，共有四种取值， 所以向量对的个数为4，故A错误； 对于B，，即，则， 当时，可取，共8种可能取值， 所以向量对的个数为8，故B正确； 对于C，，即，则， 当时，可取，共4种取值， 所以向量对的个数为4，故C正确； 对于D，，即无解，所以向量对的个数为0，故D正确． 三､解答题（共78分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 17. 已知的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量，，. （1）若，试判断的形状并证明； （2）若，边长，角，求的面积. 【答案】（1） 为等腰三角形，理由如下： ，，， ， 由正弦定理得：即，其中是外接圆半径， 为等腰三角形. （2） 【解析】 【分析】（1）由可得，再利用正弦定理即可证明结论； （2）由可得，再利用余弦定理可得到，解此方程即可求得的值，从而可求得的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，由题意可知， ， 由余弦定理可知， 即， 或（舍） ． 18. 四边形ABCD为平行四边形，，点M，N满足，. （1）若，求的值； （2）若，且，点P是边AD上的动点，求的取值范围. 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】（1）用基向量分别表示向量，结合数量积的运算可得答案； （2）用基向量分别表示向量，得出的表达式，结合可求答案. 【小问1详解】 由题意，，， ， 因为，所以. 【小问2详解】 因为，，所以； 设，，则，， 所以 . 因为，所以. 19. 为迎接校园感恩季主题文化活动，学校计划在中心广场打造一处“感恩之心”半圆主题景观带，如图所示，它的边界是由圆的半个圆弧（为此圆弧的中点）和直径构成.已知圆的半径为1千米.现拟在该景观带中打造两个特色功能区：其中“感恩寄语展示区”的形状为矩形（用于陈列学生感恩手作､暖心留言）；“感恩花艺打卡区”的形状为（用于布置感恩主题鲜花盆植，供师生拍照打卡）.要求端点均在直径上，端点均在圆弧上.设与直径所成的角为. （1）试用分别表示矩形（感恩寄语展示区）和（感恩花艺打卡区）的面积，并写出的范围； （2）若在矩形两侧线段的位置搭建两座感恩主题装饰栏（悬挂感恩挂饰），已知：打造感恩寄语展示区的总费用为5万元；搭建感恩主题装饰栏的费用为每千米8万元（包含挂饰､安装等全部费用）；打造感恩花艺打卡区的费用为每平方千米16万元.问：当为多少时，打造该“感恩之心”主题景观带的总费用最低，并求出其最低费用值. 【答案】（1）矩形的面积为，的面积为 （2） 【解析】 【分析】（1）由题图知，根据矩形、三角形面积公式写出矩形和的面积； （2）由已知可得 ，利用关系，换元法及正弦型函数、二次函数性质求的最小值及其对应的值. 【小问1详解】 由题意，易得：． 所以矩形的面积为. 的面积为． 【小问2详解】 设建造观景区所需总费用为， 由题意， 即， 令， 设，则， 由， 因为，所以，所以，所以， 从而． 当，即时，有． 所以最小值为 （万元）． 故当时，建造该观景区总费用最低，且最低费用为万元． 20. 设为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为：，向量称为函数的“相伴向量”． （1）设函数，求的“相伴向量”； （2）记的“相伴函数”为，若函数与直线有且仅有4个不同的交点，求实数的取值范围； （3）记的“相伴函数”为，若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题得，再结合“相伴向量”的定义求解即可； （2）根据题意，求得的解析式，研究函数的单调性，作出的图象，再根据交点个数，利用数形结合的方法求解即可； （3）根据题意，将问题转化为对任意恒成立，再根据恒成立问题求解最值即可． 【小问1详解】 ， 所以函数的“相伴向量”． 【小问2详解】 由题知：， ， 因为时，；时，， 所以在单调递增，单调递减，单调递增，单调递减， 又， 所以的函数图象大致如图： 所以，当图象与有且仅有四个不同的交点时，， 所以，实数的取值范围为． 【小问3详解】 由题得， 所以， 由题得， 所以， 因为，， 所以对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 设，当时，取到最大值， 所以，即的取值范围为． 21. 定义平面向量的向量积：对于两个起点相同的平面向量，记，其中是由逆时针旋转到的最小角（）． （1）已知，求； （2）证明：对任意，有； （3）已知为不共线的单位向量，，且为锐角，为平面向量且，求的取值范围． 【答案】（1），， （2） 若中有，不妨取，则，， 而，所以成立； 若都不是，则， 所以 ， 所以， 设，则， 则， 当在的逆时针方向，即，，此时，且， 当在的顺时针方向，即，，此时，且， 所以． （3） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的向量积定义分别求解即得； （2）由平面向量夹角的坐标公式及同角三角函数的平方关系即可证明； （3）建立平面直角坐标系，由平面向量的坐标运算，辅助角公式及三角函数的性质即可求解． 【小问1详解】 ， 因为，则， 易得，，， 所以，，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题可知，， 如图建立平面直角坐标系，则的起点为原点，终点落在以原点为圆心，半径为2的圆上， 设的终点为，的终点为，， 则， 因为，， 所以， 所以， ， 所以 ， 因为，所以，则， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七宝中学2025学年第二学期 数学 试卷结构： 填空12题+选择4题+解答5题 考试时间：120分钟 满分：150分 整理2026年4月23日 一､填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，共54分） 1. 已知角为第一象限角，且，则__________. 2. 函数的最小正周期__________． 3. 已知为单位向量，与的夹角是. 若，则在上的数量投影为__________. 4. 在平面直角坐标系中，，若，则点坐标是__________. 5. 已知为第二象限角，，则__________. 6. 函数的定义域为__________． 7. 在中，，则__________. 8. 在中，已知，当时，的面积为__________． 9. 已知三点共线，不共线且在线段上（不含端点），若，则的最小值为__________. 10. 已知，则__________. 11. 已知函数在闭区间I上的最大值记为，若实数k满足，则______. 12. 设，为平面上5个不同的单位向量，则的最小值为__________. 二､选择题（第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，共18分） 13. 与向量平行的单位向量是（ ） A. B. C. D. 14. 设，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 折扇平面图为扇形，动点在弧上（含端点），连接交扇形的弧于，且，则下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 16. 已知，令，若，则称有序向量对为向量对，则下列说法不正确的为（ ） A. 向量对的个数为2 B. 向量对的个数为8 C. 向量对的个数为4 D. 向量对的个数为0 三､解答题（共78分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 17. 已知的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量，，. （1）若，试判断的形状并证明； （2）若，边长，角，求的面积. 18. 四边形ABCD为平行四边形，，点M，N满足，. （1）若，求的值； （2）若，且，点P是边AD上的动点，求的取值范围. 19. 为迎接校园感恩季主题文化活动，学校计划在中心广场打造一处“感恩之心”半圆主题景观带，如图所示，它的边界是由圆的半个圆弧（为此圆弧的中点）和直径构成.已知圆的半径为1千米.现拟在该景观带中打造两个特色功能区：其中“感恩寄语展示区”的形状为矩形（用于陈列学生感恩手作､暖心留言）；“感恩花艺打卡区”的形状为（用于布置感恩主题鲜花盆植，供师生拍照打卡）.要求端点均在直径上，端点均在圆弧上.设与直径所成的角为. （1）试用分别表示矩形（感恩寄语展示区）和（感恩花艺打卡区）的面积，并写出的范围； （2）若在矩形两侧线段的位置搭建两座感恩主题装饰栏（悬挂感恩挂饰），已知：打造感恩寄语展示区的总费用为5万元；搭建感恩主题装饰栏的费用为每千米8万元（包含挂饰､安装等全部费用）；打造感恩花艺打卡区的费用为每平方千米16万元.问：当为多少时，打造该“感恩之心”主题景观带的总费用最低，并求出其最低费用值. 20. 设为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为：，向量称为函数的“相伴向量”． （1）设函数，求的“相伴向量”； （2）记的“相伴函数”为，若函数与直线有且仅有4个不同的交点，求实数的取值范围； （3）记的“相伴函数”为，若对任意恒成立，求实数的取值范围． 21. 定义平面向量的向量积：对于两个起点相同的平面向量，记，其中是由逆时针旋转到的最小角（）． （1）已知，求； （2）证明：对任意，有； （3）已知为不共线的单位向量，，且为锐角，为平面向量且，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $