精品解析：上海市闵行中学2024-2025学年高一下学期期中数学试卷

闵行中学2024-2025学年第二学期高一年级数学期中 2025.4 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 函数的最小正周期是_____． 2. 已知角的始边为轴的非负半轴，终边上有一点，则________． 3. 若，，则的值为________． 4 已知，则________． 5. 若函数是R上的偶函数，则______. 6. 在中，，，，则角A的大小为_____. 7. 已知，，则________． 8. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，=__________． 9. 函数的值域是___________. 10. 已知函数的图象都在轴下方，则实数的取值范围是________． 11. 已知实数、满足方程，则取值范围是________． 12. 设函数，若关于的方程在上有奇数个不同的实数解，则实数的取值范围是________． 二、选择题（本大题满分18分）本大题共4小题，13-14每题4分，15-16每题得5分． 13. 设角的始边为轴的非负半轴，则“角的终边在第二象限”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 函数是（ ） A. 周期为的奇函数 B. 周期为的偶函数 C. 周期为的奇函数 D. 周期为的偶函数 15. 智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波抵消噪音（如图）．已知某机器工作时噪音的声波曲线（其中）的振幅为2，周期为，初相为，则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线为（ ） A. B. C. D. 16. 在中，角、、的对边分别是、、，，若表示的面积，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）． 17. 已知函数． （1）求函数的最小正周期及单调递减区间； （2）求在区间上的最大值和最小值． 18. 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点． （1）求与值； （2）若角满足，且，求的值． 19. 为了测量隧道口、间的距离，开车从点出发，沿正西方向行驶米到达点，然后从点出发，沿正北方向行驶一段路程后到达点，再从点出发，沿东南方向行驶400米到达隧道口点处，测得间的距离为1000米. （1）若隧道口在点北偏东度的方向上，求的值； （2）求隧道口间距离. 20. 已知函数． （1）求的振幅与频率； （2）已知在的值域为，求的取值范围； （3）在等腰三角形中，当时，取得最小值，点与点在直线的两侧，且，，求面积的最大值． 21. 若对于实数m，n， 关于x的方程在函数 的定义域D上有实数解． 则称为函数的“可消点”.若存在实数m，n，对任意实数 x均为函数的“可消点”，则称函数为“可消函数”，此时，有序数对称为函数的“可消数对” （1）若是“可消函数”，求函数的“可消数对”； （2）若为函数的“可消数对”，求m的值： （3）若函数的定义域为R，存在实数同时为的“可消点”与 “ 可消点”，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 闵行中学2024-2025学年第二学期高一年级数学期中 2025.4 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 函数的最小正周期是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据周期公式即可求出函数周期． 【详解】解：， ， ，即函数的最小正周期是． 故答案为：． 2. 已知角的始边为轴的非负半轴，终边上有一点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由三角函数定义即可求解. 【详解】由三角函数定义可知，. 故答案为：. 3. 若，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系即可得到答案. 【详解】因为，，则. 故答案为：. 4. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由二倍角余弦公式直接代入求解即可. 【详解】， 故答案为：. 5. 若函数是R上的偶函数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知，为函数的对称轴，根据正弦函数的图像性质表示出，结合的取值范围，即可求解. 【详解】由函数是R上的偶函数， 可知，，即，， 又因，所以. 故答案为：. 6. 在中，，，，则角A的大小为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦定理， ，代入即可求解. 【详解】由题意，， 根据余弦定理 故答案为： 【点睛】已知三边求夹角余弦值，本题考查余弦定理，属于基础题. 7. 已知，，则________． 【答案】; 【解析】 【分析】由反三角函数的定义表示即可. 【详解】因，，所以,又， 所以. 故答案为：. 8. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，=__________． 【答案】 【解析】 【分析】通过三角形的角的比，求出三个角的大小，利用正弦定理求出即可. 【详解】∵A+B+C=π，A：B：C=1：1：4， ∴A=30°，B=30°，C=120°， 由正弦定理可知： =sinA：sinB：sinC=． 故答案为：． 9. 函数的值域是___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二倍角公式将函数表示成关于二次函数，再利用二次函数的性质即可解出． 【详解】. 当时，；当时，. 故答案为： 10. 已知函数的图象都在轴下方，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知，对任意的，，参变分离得，利用正弦函数的基本性质求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围. 【详解】由题意可知，对任意的，恒成立， 即， 当时，，所以，则， 故，即实数的取值范围是. 故答案为：. 11. 已知实数、满足方程，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数和三角函数的性质可得，从而得解. 详解】由得， 因为，所以， 所以，故， 所以，故. 故答案为：. 12. 设函数，若关于的方程在上有奇数个不同的实数解，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数对称性定义得出函数关于直线对称，再结合方程在上有奇数个不同的实数解得出即可求参. 【详解】， 得关于直线对称， 而原方程有奇数个实数解，由对称性必为原方程的一个实数解， 从而， 故答案为: 二、选择题（本大题满分18分）本大题共4小题，13-14每题4分，15-16每题得5分． 13. 设角的始边为轴的非负半轴，则“角的终边在第二象限”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】角的始边为轴非负半轴，通过“角的终边在第二象限”判断的正负；再通过判断角的终边的位置，从而可得出结论． 【详解】解：已知角的始边为轴非负半轴， 若角的终边在第二象限，则； 若，则角的终边在第二、三象限或者在轴负半轴上， 故“角的终边在第二象限”是“”的充分不必要条件， 故选：． 14. 函数是（ ） A. 周期为的奇函数 B. 周期为的偶函数 C. 周期为的奇函数 D. 周期为的偶函数 【答案】A 【解析】 【分析】化简可得，根据奇偶性的定义，可判断的奇偶性，根据周期公式，即可求得答案. 【详解】由题意得， 所以，故为奇函数， 周期， 故选：A 15. 智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波抵消噪音（如图）．已知某机器工作时噪音的声波曲线（其中）的振幅为2，周期为，初相为，则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出噪音的声波曲线函数表达式，则其相反数即为听感主动降噪芯片生成的反向波曲线. 【详解】已知噪音的声波曲线（其中）的振幅为2， 周期为，初相为，可得，， 所以噪音的声被曲线为， 所以通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线为： ； 故选：C． 16. 在中，角、、的对边分别是、、，，若表示的面积，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理得，余弦定理得，进一步可将目标式子转换为的二次函数即可求解. 【详解】因为，由正弦定理得，所以， 由余弦定理得， 所以 令，则，当且仅当，即时取等号， 所以，则的最大值为． 故选：B． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）． 17. 已知函数． （1）求函数的最小正周期及单调递减区间； （2）求在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1），， （2）最大值为2，最小值为 【解析】 【分析】（1）代入公式即可求得最小正周期及单调递减区间； （2）由已知条件给的区间，可以求得的区间，即可求得函数的最大值与最小值. 【小问1详解】 函数的最小正周期． 由，， 得，． ∴的单调递减区间为，． 【小问2详解】 ∵，∴， ∴， ∴． ∴函数在区间上的最大值为2，最小值为 18. 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点． （1）求与的值； （2）若角满足，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由三角函数的定义直接求得的值，再利用二倍角公式求出； （2）将表示为展开求解即可. 【小问1详解】 由题：， . 【小问2详解】 因为且，所以， 又， 所以 ， 即. 19. 为了测量隧道口、间的距离，开车从点出发，沿正西方向行驶米到达点，然后从点出发，沿正北方向行驶一段路程后到达点，再从点出发，沿东南方向行驶400米到达隧道口点处，测得间的距离为1000米. （1）若隧道口在点的北偏东度的方向上，求的值； （2）求隧道口间的距离. 【答案】（1） （2）1000米. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及同角三角函数的关系可求解； （2）由余弦定理可求解. 【小问1详解】 在中，由正弦定理得， 即， 所以， 由题可知，， 所以，即. 【小问2详解】 由（1）可知，， 在中，由余弦定理得 ， 所以， 故两隧道口间的距离为1000米. 20. 已知函数． （1）求的振幅与频率； （2）已知在的值域为，求的取值范围； （3）在等腰三角形中，当时，取得最小值，点与点在直线的两侧，且，，求面积的最大值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为，即可求出函数的振幅以及频率的值； （2）由可得出的取值范围，结合函数的值域可得出关于的不等式，即可解得的取值范围； （3）根据函数为的最小值，结合角的取值范围可得出角的值，设，，所以．利用余弦定理、正弦定理结合三角恒等变换可得出，即可得出面积的最大值. 【小问1详解】 ， 所以函数的振幅，频率. 【小问2详解】 设，则，，则， 所以，解得，即的取值范围是. 【小问3详解】 由（1）知当时，即， 则，则． 因为，所以， 又为等腰三角形，所以，， 由正弦定理可得，可得， 设，，所以． 由余弦定理得， ， 由正弦定理得，所以． 又，， 所以 ， 即的面积取得最大值为． 21. 若对于实数m，n， 关于x的方程在函数 的定义域D上有实数解． 则称为函数的“可消点”.若存在实数m，n，对任意实数 x均为函数的“可消点”，则称函数为“可消函数”，此时，有序数对称为函数的“可消数对” （1）若是“可消函数”，求函数“可消数对”； （2）若为函数的“可消数对”，求m的值： （3）若函数的定义域为R，存在实数同时为的“可消点”与 “ 可消点”，求的最小值． 【答案】（1），m可取任意实数； （2） （3）8 【解析】 【分析】（1）结合题目给的新的定义，求出的“可消数对”即可. （2）利用题目给的定义，根据为函数的“可消数对”，得到相应方程，求解，从而求出答案； （3）结合题意得到的表达式，利用进一步转化结合二次函数的单调性知识，求出结果. 【小问1详解】 由于是“可消函数”， 则任意，都有，即， 即，则，m可取任意实数， 因此函数的“可消数对”为，m可取任意实数； 【小问2详解】 由题意知， 则为函数的“可消数对”， 故任意，都有， 即，由于，不恒等于0， 故， 则； 【小问3详解】 因为存在实数同时为的“可消点”与 “ 可消点”， 所以，， 整理得， 因为，故， 则， 则，当时，随着的增大而增大， 故， 即的最小值为8. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$