上海市七宝中学2025-2026学年高一第二学期期中数学试卷

七宝中学2025学年第二学期 数学 试卷结构： 填空12题+选择4题+解答5题 考试时间：120分钟 满分：150分 整理2026年4月23日 一､填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，共54分） 1. 已知角为第一象限角，且，则__________. 2. 函数的最小正周期__________． 3. 已知为单位向量，与的夹角是. 若，则在上的数量投影为__________. 4. 在平面直角坐标系中，，若，则点坐标是__________. 5. 已知为第二象限角，，则__________. 6. 函数的定义域为__________． 7. 在中，，则__________. 8. 在中，已知，当时，的面积为__________． 9. 已知三点共线，不共线且在线段上（不含端点），若，则的最小值为__________. 10. 已知，则__________. 11. 已知函数在闭区间I上的最大值记为，若实数k满足，则______. 12. 设，为平面上5个不同的单位向量，则的最小值为__________. 二､选择题（第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，共18分） 13. 与向量平行的单位向量是（ ） A. B. C. D. 14. 设，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 折扇平面图为扇形，动点在弧上（含端点），连接交扇形的弧于，且，则下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 16. 已知，令，若，则称有序向量对为向量对，则下列说法不正确的为（ ） A. 向量对的个数为2 B. 向量对的个数为8 C. 向量对的个数为4 D. 向量对的个数为0 三､解答题（共78分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 17. 已知的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量，，. （1）若，试判断的形状并证明； （2）若，边长，角，求的面积. 18. 四边形ABCD为平行四边形，，点M，N满足，. （1）若，求的值； （2）若，且，点P是边AD上的动点，求的取值范围. 19. 为迎接校园感恩季主题文化活动，学校计划在中心广场打造一处“感恩之心”半圆主题景观带，如图所示，它的边界是由圆的半个圆弧（为此圆弧的中点）和直径构成.已知圆的半径为1千米.现拟在该景观带中打造两个特色功能区：其中“感恩寄语展示区”的形状为矩形（用于陈列学生感恩手作､暖心留言）；“感恩花艺打卡区”的形状为（用于布置感恩主题鲜花盆植，供师生拍照打卡）.要求端点均在直径上，端点均在圆弧上.设与直径所成的角为. （1）试用分别表示矩形（感恩寄语展示区）和（感恩花艺打卡区）的面积，并写出的范围； （2）若在矩形两侧线段的位置搭建两座感恩主题装饰栏（悬挂感恩挂饰），已知：打造感恩寄语展示区的总费用为5万元；搭建感恩主题装饰栏的费用为每千米8万元（包含挂饰､安装等全部费用）；打造感恩花艺打卡区的费用为每平方千米16万元.问：当为多少时，打造该“感恩之心”主题景观带的总费用最低，并求出其最低费用值. 20. 设为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为：，向量称为函数的“相伴向量”． （1）设函数，求的“相伴向量”； （2）记的“相伴函数”为，若函数与直线有且仅有4个不同的交点，求实数的取值范围； （3）记的“相伴函数”为，若对任意恒成立，求实数的取值范围． 21. 定义平面向量的向量积：对于两个起点相同的平面向量，记，其中是由逆时针旋转到的最小角（）． （1）已知，求； （2）证明：对任意，有； （3）已知为不共线的单位向量，，且为锐角，为平面向量且，求的取值范围． 七宝中学2025学年第二学期 数学 试卷结构： 填空12题+选择4题+解答5题 考试时间：120分钟 满分：150分 整理2026年4月23日 一､填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，共54分） 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】4 【3题答案】 【答案】2 【4题答案】 【答案】## 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】36 【8题答案】 【答案】##1.5 【9题答案】 【答案】16 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】或 【12题答案】 【答案】 二､选择题（第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，共18分） 【13题答案】 【答案】B 【14题答案】 【答案】B 【15题答案】 【答案】C 【16题答案】 【答案】A 三､解答题（共78分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 【17题答案】 【答案】（1） 为等腰三角形，理由如下： ，，， ， 由正弦定理得：即，其中是外接圆半径， 为等腰三角形. （2） 【18题答案】 【答案】（1）6 （2） 【19题答案】 【答案】（1）矩形的面积为，的面积为 （2） 【20题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【21题答案】 【答案】（1），， （2） 若中有，不妨取，则，， 而，所以成立； 若都不是，则， 所以 ， 所以， 设，则， 则， 当在的逆时针方向，即，，此时，且， 当在的顺时针方向，即，，此时，且， 所以． （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $