小升初应用题：工程问题（专项训练）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

**基本信息** 聚焦工程问题全题型，以方程、比例、假设法为核心构建解题体系，覆盖从基础量关系到复杂周期问题的知识逻辑链，培养抽象能力与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础量关系|1-5题|工作量差求时间、方程法设未知量|工作总量=效率×时间的直接应用与变形| |合作与效率变化|6-20题|效率比例转化、假设全量法|单人效率→合作效率→效率变化的递进推导| |复杂情境|21-52题|周期工程计算、工资分配比例|整合轮流工作、多人多仓库等复合场景，强化推理意识与应用能力|

小升初应用题：工程问题 1．师傅和徒弟每人加工相同的零件个数。师傅每分钟加工50个零件，徒弟每分钟加工40个。师傅做完了又去帮助徒弟加工了120个，这样徒弟也完成了工作。那么师傅和徒弟原来每人各要加工零件多少个？ 2．我国是水资源比较贫乏的国家之一，保护水资源，节约用水是每个公民应尽的责任。为确保农田灌溉水渠安全畅通，张家村准备修一条应急水渠，工程队修路原计划用52人可按预定的期限完成任务，后来采用新技术使得工作效率提高50%，因此少派了12人，结果还提前了6天完成任务，那么如果要提前5天完成，需要派多少人？ 3．一件工作，甲单独完成需要30小时，乙单独完成，需要20小时，丙单独完成，需要40小时，现在这件工作甲乙合作3小时后，甲因有事离开了，又过3小时后，丙加入进来，直到工作完成，完成这件工作共用了多少小时？ 4．一些工人做一项工程，如果能调来16人，那么10天可以完成；如果只调来4人，就要20天才能完成，那么调走2人后，完成这项工程需要( )天。 5． 单独完成一件工程，甲需要24天，乙需要32天．若甲先做若干天以后乙接着做，则共用26天时间，问：甲独做了几天？ 6．甲、乙、丙三人同时分别在3个条件和工作量相同的仓库工作，搬完货物甲用10小时，乙用12小时，丙用15小时。第二天三人又到两个大仓库工作，这两个仓库的工作量相同。甲在仓库，乙在仓库，丙先帮甲后帮乙，用了16个小时将两个仓库同时搬完。丙在仓库搬了多长时间？ 7．甲、乙两个工程队修路，最终按工作量分配8400元工资。按两队原计划的工作效率，乙队应获5040元。实际从第5天开始，甲队的工作效率提高了1倍，这样甲队最终可比原计划多获得960元。那么两队原计划完成修路任务要多少天？ 8．一项工程，甲、乙两队合作需30天完成，乙、丙两队合作需40天完成，丙、丁两队合作需120天完成。甲、丁两队合作需多少天完成？ 9．一项工程，甲单独干需要20天，乙单独干需要30天，现在由他们两人合干，又知甲在工作途中先请了3天事假，后因公事出差2天．求他们完成这项工程从开工到结束一共花了多少天？ 10．某库房有一批钢材，原计划每天用 12 吨，由于提高技术，实际每天比原计划多用 3 吨，这样比原计划少用 8 天，这批钢材有多少吨？ 11．有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李单独完成甲工作要 8天，单独完成乙工作要20天.如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需要多少天？ 12．某服装厂编制组有12名工人，他们加工一批毛衣，预定15天完成，工作7天后，又增加了4名工人，请计算，可以提前几天完成任务？（假定工人的工作效率相同） 13．一件工作，甲独做要50天完成，乙独做要60天完成。现在甲、乙两人合作，乙中途休息了若干天，到完成工作时，用了30天，求乙中途休息了几天。 14．一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作，甲工地的工作量是乙工地工作量的倍。上午去甲工地的人数是去乙工地人数的3倍，下午这批工人中有的人去甲工地，其他工人到乙工地，到傍晚时，甲工地的工作已做完，乙工地的工作还需4名工人再做一天。上午和下午的各工作量各占一半，那么这批工人有多少人？ 15．制造一个零件，甲需8分钟，乙需6分钟，丙需5分钟。现在有1180个零件的制造任务分配给他们三人，要求在相同时间内完成，每人应该分配到多少个零件？ 16．甲、乙合作一件工作，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时提高，乙的工作效率比单独做时提高．甲乙两人合作6小时，完成全部工作的，第二天乙又单独做了6小时，还留下这件工作的尚未完成，如果这件工作始终由甲一人单独来做，需要多少小时？ 17．一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作？ 18．一批零件平均分给甲、乙两人去做，经过6小时，甲完成了任务，乙还差96个没有做完．已知乙的工效是甲的，求这批零件共有多少个？ 19．一项工程，乙队先单独做4天，继而甲、丙两队合做6天，剩下的工程甲队又独做9天才全部完成．已知乙队完成的是甲队完成的，丙队完成的是乙队完成的2倍．甲、乙、丙三队独做，各需要多少天完成？ 20．甲乙两人植树，单独植完这批树，甲比乙所需时间多，如果两人一起干，完成任务时乙比甲多植36棵，这批树一共多少棵？ 21．加工一个零件，甲需3分钟，乙需3.5分钟，丙需4分钟，现有1825个零件要加工，为尽早完成任务，甲、乙、丙应各加工多少个？所需时间是多少？ 22．一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成.现在两队合作，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）.问开始到完工共用了多少天时间？ 23．甲、乙二人同时开始加工一批零件，每人加工零件总数的一半，甲完成任务的时乙加工了50个零件，甲完成3/5时乙完成了一半．问：这批零件共多少个？ 24．蓄水池装有甲、乙两根进水管和丙出水管。单开甲进水管，注满空蓄水池需要5小时；单开乙进水管，注满空蓄水池需要6小时。单开丙出水管，排光一池水要4小时。现知池内有池水，如果按甲、乙、丙的顺序轮流各开1小时，多少小时后，第一次有水溢出水池？ 25．加工一批零件，甲、乙合作24天可以完成，现在由甲先做16天，然后乙再做12天，还剩下这批零件的没有完成．已知甲每天比乙多做3个零件．求这批零件共有多少个？ 26．甲、乙两队合作挖一条水渠要天完成，若甲队先挖天后，再由乙队单独挖天，共挖了这条水渠的。如果这条水渠由甲、乙两队单独挖，各需要多少天？ 27．加工一批零件，甲、乙合作24天可以完成。现在由甲先做16天，然后乙再做12天，还剩下这批零件的40%没有完成。已知甲每天比乙多加工5个零件，求这批零件共有多少个？ 28．甲、乙两个工厂都要安装 240 台电脑，乙工厂每小时安装 24台，当甲工厂完成任务时，乙工厂还有48 台没有装好，甲工厂每小时装多少台？ 29．一项工作，如果甲、乙合做，15天可以完成；如果甲先单独做5天，剩下的乙单独做，还需要45天。现在乙先单独做12天，剩下的甲单独做，还需要多少天？ 30．师、徒两人合做 264 个零件，徒弟先做 4 小时后又和师傅合做了 8 小时才完成了任务．已知徒弟每小时比师傅少做 3 个，师傅每小时做多少个？ 31．一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成，如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天，问这项工程由甲独做需要多少天？ 32．生产一批零件，甲每小时做18个，乙单独做要12小时，现在甲、乙两人合做，完成时甲乙生产的零件数量之比为3∶5，甲一共生产零件多少个？ 33．单独完成一项工作，甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成，如果甲、乙二人合作两天后，剩下的由乙独做，那么刚好在规定的时间完成，问甲、乙合作需要多少天完成？ 34．一项工程，甲队独做需要天完成，乙队独做需要天完成，丙单独做需要天完成，现在由甲、乙、丙合作这项工作，在工作过程中，甲休息了天，乙休息了天，丙没有休息，最后把工作完成了．问完成这项工作一共用了多少天？ 35．某蓄水池有大小两个排水管。单独打开大排水管，排完水池中的水需11小时；两个排水管一起打开，排完水池中的水需8小时。已知小排水管每小时排水7.5立方米，那么大排水管每小时排水多少立方米？ 36．一件工作，甲单独做12小时完成，现在甲、乙合作2小时后甲因事外出，剩的工作乙又用了5小时做完，如果这项工作由乙单独做需要几小时？ 37．一项工程，甲、乙两队合做12天完工，如果由甲队先做6天，余下的再由乙队接着做21天，刚好完成，若由乙队单独完成，需要多少天？ 38．王师傅和张师傅共同加工一批零件需30天完成，王师傅先干22天，两人再合作12天，剩下的张师傅单独还要干16天才能全部完成，又知王师傅每天比张师傅少加工14个零件。问：照这样，完成任务时，张师傅共做了多少个零件？ 39．师徒两人合作一件工作，要20天完成，如果让徒弟先做8天，剩下的工作由师傅单独做，还要26天才能完成，师傅单独做这件工作需要多少天完成？ 40．某车间生产甲、乙两种零件，生产的甲种零件比乙种零件多12个，乙种零件全部合格，甲种零件只有合格，两种零件合格的一共是42个，两种零件各生产了多少个？ 41．蓄水池装有甲、乙两根进水管和丙出水管。单开甲进水管，注满空蓄水池需要4小时；单开乙进水管，注满空蓄水池需要5小时。单开丙出水管，排光一池水要3小时。现知池内有池水，如果按甲、乙、丙的顺序轮流各开1小时，多少小时后，第一次有水溢出水池？ 42．一件工作，甲单独完成需要20天，乙单独完成需要15天，若甲先做若干天后乙接着做，共用了18天完成，求甲工作了多少天。 43．甲、乙、丙、丁四个筑路队共筑1200米长的一段公路，甲队筑的路是其他三个队的，乙队筑的路是其他三个队的，丙队筑的路是其他三个队的，丁队筑了多少米？ 44．一件工作，甲、乙两人合作需24天完成，乙、丙两人合作需40天完成，甲、丙两人合作需30天完成，若由甲、乙、丙独做，各需多少天完成？ 45．放满一个水池，如果同时打开1，2，3号阀门，则20分钟可以完成；如果同时打开2，3，4阀门，则21分钟可以完成；如果同时打开1，3，4号阀门，则28分钟可以完成；如果同时打开1，2，4号阀门，则30分钟可以完成。问：如果同时打开1，2，3，4号阀门，那么多少分钟可以完成？ 46．师徒两人一直加工200个零件，师傅加工一个零件要用3分钟，徒弟加工一个零件要用5分钟．试问，当完成任务时，两人各加工多少个零件？ 47．一项工程，甲单独完成要30天，乙单独完成要45天，丙单独完成要90天．现由甲、乙、丙三个合作完成此工程．在工作过程中甲休息了2天，乙休息了3天，丙没有休息，最后把这项工程完成了．问这项工程前后一共用了多少天？ 48．2011年3月27日，甲、乙两队建设某项工程，甲队每施工6天休息1天，乙队每施工5天休息2天，两队每个工作日完成的工程量一样。如果由甲队单独完成这项工程，那么到2011年5月29日才能完工。现在两队同时施工，到几月几日就能完工？ 49．一项工程，45人可以若干天完成。现在45人工作6天后，调走9人干其他工作。这样，完成这项工程就比原来计划多用了4天。原计划完成这项工程用多少天？ 50．一项工程，甲独做需10天，乙独做需15天，如果两人合作，他们的工作效率就要降低，甲只能完成原来的，乙只能完成原来的，现在要8天完成这项工程，两人合作天数尽可能少，那么两人要合作多少天？ 51．一项工程，甲单独完成要10天，丙和乙单独完成各要20天，现三人一起合做，但甲途中因事离开，完成这项工程共用了6天．求甲做了几天？ 52．有160个机器零件，平均分给甲、乙两个车间加工，乙车间比甲车间晚3小时开工，所以比甲车间晚20分钟完成．已知甲车间加工1个零件和乙车间加工3个零件的时间相同，甲、乙两个车间加工1个零件各需要多长时间？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．师傅1080个；徒弟1080个 【分析】根据题意可知，在相同的时间内师傅比徒弟多加工120×2＝240（个）零件，师傅每分钟比徒弟多加工50－40＝10（个）零件，所以完成工作时师傅和徒弟加工了240÷10＝24（分钟），完成时师傅加工了50×24＝1200（个）零件，再减去帮助徒弟加工的120个，即等于师傅原来要加工的零件个数，也是徒弟原来要加工的零件个数，据此即可解答。 【详解】120×2÷（50－10） ＝240÷10 ＝24（分钟） 50×24－120 ＝1200－120 ＝1080（个） 答：师傅徒弟原来要加工零件1080个，徒弟原来要加工零件1080个。 2．39人 【分析】本题可以用方程来解决，设预定完成任务的期限为x天。将每人每天完成的工作量当成1份，根据工作量不会发生变化可以列出方程：。据此即可求出预定完成任务的天数。再用预定完成任务的天数乘52，可以求出总工作量的份数。最后再用总工作量的份数除以提高后的工作效率，再除以如果要提前5天完成任务需要的时间，即可求出需要派多少人。 【详解】解：设预定完成任务的期限为x天。 （人） 答：如果要提前5天完成，需要派39人。 3．14小时 【详解】略 4．40 【分析】设1个人做1天的量为1，设原来的人数是未知数，根据题目的两种情况，表示出总的工程量，根据总工程量相等列方程，求出原来的人数，然后求出工程量是多少，再计算调走2人后所需的时间。 【详解】解：设1个人做1天的量为1，设原来有人在做这项工程； 解得： 如果调走2人，需要 （天） 所以调走2人后，完成这项工程需要40天。 【点睛】本题考查的是工程问题，列方程求解应用题时要合理设未知数，并找准等量关系。 5．18 【详解】如果26天都由乙来做，他能完成的工作量为 可是由于有甲参与其中，所以实际上26天完成了整个工作 甲做一天比乙做一天多做 所以甲做的天数为天． 6．小时 【分析】先整体考虑，求出三个人搬完两个仓库所需要的时间，然后考虑甲在这段时间里完成了多少，剩下的是丙帮甲做的，求出这部分工作量，再除以工作效率即可。 【详解】甲、乙、丙三人同时分别在3个条件和工作量相同的仓库工作，搬完货物甲用10小时，乙用12小时，丙用15小时，设该仓库的工程量都是“1”； （小时） A、B这两个大仓库的工程量都是“2”； （小时） （小时） 答：丙在A仓库搬了6小时。 【点睛】本题考查的是工程问题，工程问题始终是围绕着工作效率、工作时间、工作总量的关系展开的。 7．12天 【分析】开始时甲队拿到8400—5040＝3360元，甲乙的工资比等于甲乙的工效比，即为3360∶5040＝2∶3；甲提高工效后，甲乙的工资及工效比为（3360＋960）∶（5040—960）＝18∶17；设甲开始的工效为“2”，那么乙的工效为“3”，设甲在提高工效后还需a天完成任务。有（2×4＋4a）∶（3×4＋3a）＝18∶17，求出天数，然后求出共有的工程量，进而求出原计划需要的天数。 【详解】原来甲乙的工作效率比为： （8400－5040）∶5040 ＝3360∶5040 ＝2∶3 甲提高工效后，甲乙的工作效率比为： （3360＋960）∶（5040－960） ＝4320∶4080 ＝18∶17 设甲开始的工效为“2”，那么乙的工效为“3”，设甲在提高工效后还需a天完成任务，得：（2×4＋4a）∶（3×4＋3a）＝18∶17， 解得：a＝ 于是共有工程量为： （2×4＋4×）∶（3×4＋3×） ＝（8＋）＋（12＋） ＝20＋40 ＝60 所以原计划修好这条路的天数为： 60÷（2＋3） ＝60÷5 ＝12（天） 答：两队原计划完成修路任务要12天。 【点睛】根据甲、乙前后工效比求出共有工程量是解决本题的关键。 8．60天 【分析】由题意可知，甲乙的合作效率为，乙丙的合作效率为，丙丁的合作效率为，因此可以用甲乙的合作效率加上丙丁的合作效率再减去乙丙的合作效率即可求出甲丁的合作效率，进而即可求出甲、丁两队合作需多少天完成。 【详解】 （天） 答：甲、丁两队合作需60天完成。 9．15天 【详解】×(3+2)= (1-)÷（+） =÷ =10（天） 10+3+2=15（天） 答：他们完成这项工程从开工到结束一共花了15天． 10．480吨 【详解】12×8÷3×（12+3） =12×8÷3×15 =480（吨） 答：这批钢材有480吨． 11．12天 【详解】很明显，李做甲工作的工作效率高，张做乙工作的工作效率高.因此让李先做甲，张先做乙. 设乙的工作量为60份（15与20的最小公倍数），张每天完成4份，李每天完成3份. 8天，李就能完成甲工作.此时张还余下乙工作（60-4×8）份.由张、李合作需要 （60-4×8）÷（4+3）=4（天）. 8+4=12（天）. 答：这两项工作都完成最少需要12天. 12．根据有12名工人，预定15天完成，已经工作了7天三个已知条件，可以求出剩余的工作量；又根据有12名工人，又增加了4名工人，可求出完成剩余工作量的工人总数．求出了剩余工作量和完成剩余工作量的工人总数，实际完成剩余工作量所需的时间久比较容易求出了．利用预定15天完成，已工作7天两个已知条件，可求出计划完成剩余工作量的时间；又知实际完成剩余工作量的时间，实际比计划提前几天完工，就很容易求出了． （15-7）-[12×（15-7）÷（12+4）]=8-12×8÷16=8-96÷16=8-6=2天 【详解】略 13．6天 【分析】甲独做要50天完成，乙独做要60天完成，则甲的工作效率为，乙的工作效率为。现在甲、乙两人合作，乙中途休息了若干天，到完成工作时，用了30天，即可知道甲工作了30天，因此可以求出甲一共的工作量。再用单位“1”减去甲的工作量，即可求出乙的工作量。最后再根据“工作量÷工作效率＝工作时间”即可求出乙工作了几天，从而再求出乙休息了几天。 【详解】 （天） （天） 答：乙中途休息了6天。 14．36人 【分析】题目本身比较复杂，涉及的“量”与“关系”比较多，然而解题的关键在于抓住“甲工地的工作做完，乙工地的工作还需4名工人再做1天”找到乙工地剩余工作量相当于甲工地的几分之几。 【详解】根据上午去甲工地人数是去乙工地人数的3倍，可知上午去甲工地人数是这批工人的，去乙工地人数是这批工人的。又下午去甲工地人数是这批工人，可知去乙工地人数是这批工人的。 由此可知，甲工地上午、下午所完成的工作量之比是，即上午完成甲工地总工作量的，下午完成甲工地总工作量的。这样，上午乙工地完成的工作量相当于甲工地的，下午乙工地完成的工作量相当于甲工地的，这样乙工地剩余的工作量相当于甲工地的。 因为乙工地剩下的工作量还需要4名工人再做1天，所以这批工人数是： （人） 答：这批工人有36人。 15．甲分配到300个零件；乙分配到400个零件；丙分配到480个零件。 【分析】根据工作时间×工作效率＝工作总量，加工同样的零件时，工作总量一定，工作时间和工作效率成反比，根据时间的比，推导出效率的比，再结合工作时间一定，工作效率和工作总量成正比，从而得出三者工作量之比，从而根据工作量比将总1180个零件分配下去即可。 【详解】甲乙丙的时间比＝8∶6∶5 根据工作总量一定，工作效率和工作时间成反比，可得： 甲乙丙的效率比＝15∶20∶24 当时间相同时，工作效率和工作总量成正比 因此，甲乙丙的工作量比＝15∶20∶24 1180÷（15＋20＋24）＝20（个） 甲：20×15＝300（个） 乙：20×20＝400（个） 丙：20×24＝480（个） 答：甲应该分配300个，乙分配400个，丙分配480个。 16．33小时 【详解】乙6小时单独工作完成的工作量是 乙每小时完成的工作量是 两人合作6小时，甲完成的工作量是 甲单独做时每小时完成的工作量 甲单独做这件工作需要的时间是 答：甲单独完成这件工作需要33小时. 17．4天 【详解】解法一：甲做了3天，完成的工作量是 =，乙还需要完成的工作量是1-= 乙每天能完成的工作量（工作效率）是，完成余下工作量所需时间是+=4（天） 解法二：9与6的最小公倍数是18.设全部工作量是18份.甲每天完成2份，乙每天完成3份.乙完成余下工作所需时间是（18- 2 × 3）÷ 3= 4（天）. 解法三：甲与乙的工作效率之比是6∶ 9= 2∶ 3. 甲做了3天，相当于乙做了2天.乙完成余下工作所需时间是6-2=4（天）. 答：乙需要做4天可完成全部工作. 18．960个 【详解】96÷（1-）×2=960（个） 19．甲、乙、丙独做分别需要30、24、18天 【分析】已知乙队完成的是甲队完成的，丙队完成的是乙队完成的2倍，按“甲、乙、丙三队共同完成一项工程”为等量关系列方程分别求出甲、乙、丙各完成全部工程的几分之几．然后用甲、乙、丙完成任务的几分之几：即甲、乙、丙各自的工作量，分别除以各自的工作时间，就可得到他们各自的工作效率，进而求出甲、乙、丙三队独做各需要多少天． 【详解】解：设甲队完成了x，则乙队完成了，丙队完成了． 　　 因此，甲队独做时间为：； 乙队独做时间为：； 丙队独做时间为：． 答：甲、乙、丙独做分别需要30、24、18天． 20．252棵 【详解】时间与工效成反比，甲比乙所需时间多，即甲的时间是乙的倍． 设甲、乙的工作效率为x与y 因为同时合作，所以甲、乙植树的总量比也是3：4，即可以将整个数量分成7份，那么甲植了其中3份的树，而乙植了4份的树． 乙比甲多1份，而又知乙比甲多植36棵 所以总共的棵数（棵） 21．甲、乙、丙分别完成700个、600个、525个零件，需要35小时． 【详解】略 22．11天 【详解】解法一：甲队单独做8天，乙队单独做2天，共完成工作量×8＋×2= 余下的工作量是两队共同合作的，需要的天数是             2+8+1= 11（天）. 答：从开始到完工共用了11天. 解法二：设全部工作量为30份.甲每天完成3份，乙每天完成1份.在甲队单独做8天，乙队单独做2天之后，还需两队合作（30- 3 × 8- 1× 2）÷（3+1）= 1（天）. 2+8+1= 11（天）. 答：从开始到完工共用了11天 解法三：甲队做1天相当于乙队做3天. 在甲队单独做 8天后，还余下（甲队） 10-8= 2（天）工作量.相当于乙队要做2×3=6（天）.乙队单独做2天后，还余下（乙队）6-2=4（天）工作量. 4=3+1 其中3天可由甲队1天完成，因此两队只需再合作1天. 2+8+1= 11（天）. 答：从开始到完工共用了11天 23．360个 【详解】甲完成时乙完成了一半，效率比为6：5．所以乙加工50个零件的时候甲应该加工了60个．占．所以甲的总任务180个．这批零件为360个． 24．10.7小时 【分析】假设水池总量为整数（计算方便），计算出甲、乙进水管的注水效率及丙出水管的排水效率。把按甲、乙、丙的顺序轮流各开1小时看作一个周期，计算一个周期的注水量是多少。假设最后一个周期内甲乙注水后没有溢出，用总水量的减掉甲乙各开1小时注入的水除以一个周期的注水量计算出需要几个这样的周期是否还有剩余的水量。根据周期数计算按照完整周期注水后，剩余的水量，甲乙丙依次工作所需的时间，据此解答。 【详解】设水池总量为60 甲管每小时进水60÷5＝12 乙管每小时进水60÷6＝10 丙管每小时进水60÷4＝15 已经有水60×＝20 甲、乙各开1小时，进水12＋10＝22 甲、乙、丙各开1小时，进水22－15＝7 为保证最后的周期里甲、乙先各开1小时后水是未溢出的，从需要注入的水量里扣除。 （60－20－22）÷7 ＝18÷7 ＝2……4 剩余水量为4，说明是可以注水3个周期的，这时水池还差的水量是 60－20－7×3 ＝60－20－21 ＝19 甲再开1小时后还差19－12＝7 乙还需再开7÷10＝0.7（小时） 一共需要的时间： 3×3＋1＋0.7 ＝9＋1＋0.7 ＝10.7（小时）。 答：10.7小时后，第一次有水溢出水池。 【点睛】本题考查复杂的工程问题，因为甲乙先注入的水量比一个周期内的注水量多很多，所以假设最后一个周期内甲乙先注水后没有溢出，并应用这一条件计算周期数和剩余水量是解题的关键。 25．360个 【详解】解：设甲、乙工作效率分别为x与y， 代入其中一个方程可得，    =360个 答：这批零件有360个． 26．甲队单独做需要天；乙队单独做需要天 【分析】甲、乙两队合作挖一条水渠要30天完成，那么合作的工作效率是，合作完成需要12天，而实际情况是甲比12天少了8天，乙比12天多了4天，也就是甲队做8天相当于乙队做4天，根据这个关系可以求出甲和乙各自的工作效率。 【详解】甲、乙合作完成工程的需要：（天）。甲队先做天，比合作少了（天）；乙队后做天，比合作多了（天），所以甲队做天相当于乙队做天，甲、乙两队工作效率的比是。甲队单独工作需要：（天）；乙队单独工作需要：（天）。 答：甲队单独做需要90天；乙队单独做需要45天。 【点睛】工程问题里面也经常用到比例，是因为工程问题的基本数量关系是乘法关系。 27．600个 【分析】甲、乙合作24天可以完成，则甲乙的合作效率为。现在由甲先做16天，然后乙再做12天，可以看作是甲乙合作12天，然后甲再单独工作4天，因此可以求出甲单独这4天的工作量为：，因此甲的效率为：，乙的工作效率为：。最后再利用量率对应即可求出总的零件个数。 【详解】甲效率： 乙效率： （个） 答：这批零件共有600个。 28．30台 【详解】（240-48）÷24=8（小时） 240÷8=30（台） 答：甲工厂每小时装30台。 29．16天 【分析】甲先单独做5天，剩下的乙单独做，还需要45天，可以理解为甲乙合作5天，乙又单独做（45－5）天。甲、乙合做的效率是，根据“效率＝工作量÷天数”先求出乙的效率。再用合作效率减去乙的效率就是甲的效率。最后用乙先单独做12天后的剩余工作量除以甲的效率解答。 【详解】 （天） 答：剩下的甲单独做，还需要16天。 【点睛】本题考查工程问题的解法，需要灵活应用公式“工作总量＝工作效率×时间”。 30．15个 【详解】3×8=24（个） 264-24=240（个） 徒弟每小时做：240÷（4+8+8）=12（个） 师傅每小时做：12+3=15（个）． 答：师傅每小时做15个． 31．26天 【分析】根据题意，这项工程由甲、乙、丙三人合作需要13天完成，因此三人的工作效率之和为（即每天完成工程的）。如果丙休息2天，乙就要多做4天，丙休息2天，意味着丙在这2天内没有工作，损失的工作量为2×丙的效率 。乙多做4天恰好能补偿这个损失，4×乙的效率＝2×丙的效率，简化得：丙的效率＝2×乙的效率。 或者由甲、乙两人合作1天，这个条件与上一个条件相关，意思是丙休息2天后，损失的工作量也可以由甲和乙合作1天来补偿，1×（甲的效率＋乙的效率）＝2×丙的效率。据此解答。 【详解】解：设乙的效率为b（每天完成工程的几分之几）。 丙的效率是2b 甲的效率＋b＝2×2b＝4b 甲的效率＝4b－b＝3b 三人效率之和为 甲的效率＋乙的效率＋丙的效率＝3b＋b＋2b＝6b＝ b＝ 甲的效率＝ 甲单独做需要的时间：1÷＝26（天） 答：这项工程由甲单独做需要26天。 【点睛】本题主要考查了多人的工程问题，假设出乙的效率是解题的关键，利用乙的效率算出甲、丙的效率。 32．135个 【详解】甲的工作量与乙的工作量之比是3∶5，那么甲的工作效率：乙的工作效率就是3∶5，即甲的工作效率是乙的工作效率的 甲的工作效率： 甲乙合作的工作效率： 甲乙合作的工作时间： 甲生产的零件数是：18×7.5＝135（个） 答：甲一共生产零件135个。 【点睛】此题是简单的工程问题，考查了正比例知识的应用．此题中，工作时间相同，工作量与工作效率成正比例关系． 33．6天 【分析】把工作总量看做单位“1”，设规定时间为t天，由题意“甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成”列出等式，即可算出规定时间；再根据工作效率＝工作总量÷工作时间，算出甲、乙的工作效率；最后根据等量关系：合作时间＝工作总量÷（甲的工作效率＋乙的工作效率），列式解答即可。 【详解】设规定时间为t天，则甲（t－2）天完成，乙（t＋3）天完成。 甲、乙合作2天，剩下乙独作，正好t天完成，在这个过程中，乙做了t天，甲干了2天。即乙三天的工作甲2天完成。 所以，整理得2t＋6＝3t－6，得t＝12（天） 甲的工效为：1÷（12－2）＝ 乙的工效为：1÷（12＋3）＝ 乙合作需要的时间：1÷（＋）＝6（天） 答：甲、乙合作需要6天完成。 【点睛】本题是典型的工程问题，还涉及方程的应用，找出等量关系是解题的关键；牢记工程问题的计算公式：工作总量＝工作效率×工作时间也很关键。 34．完成这项工作一共用了天． 【详解】略 35． 20立方米 【分析】将水池总水量看作单位“1”，大排水管单独排完需11小时，每小时排水效率为；两管一起排完需8小时，总效率为。小排水管效率为总效率减去大排水管效率。根据小排水管实际排水量7.5立方米/小时，求出总水量，再计算大排水管每小时排水量。 【详解】1÷11＝ 1÷8＝ （立方米） （立方米） 答：大排水管每小时排水20立方米。 36．9小时 【详解】解：设甲乙工作效率分别为x，y． 得 1÷=9（小时） 答：乙单独做需要9小时． 37．30天 【分析】把已知条件中“甲队先做6天，余下的再由乙队接着做21天”转化为“甲、乙两队合做了6天，乙队又做了15天”，问题即可解决． 【详解】甲、乙两队合做6天后，还项工程还剩下：1－×6= 乙队每天完成这项工程的：÷（21－6）=÷15= 乙队单独完成这项工程需要：1÷=30（天） 答：若由乙队单独完成，需要30天． 38．784个 【分析】王师傅和张师傅共同加工一批零件需30天完成，则王师傅和张师傅的合作效率为。王师傅先干22天，两人再合作12天，剩下的张师傅单独还要干16天才能全部完成，可以看做王师傅和张师傅合作了：12＋16＝28（天），然后王师傅又单独工作了：22－16＝6（天）。王师傅和张师傅合作28天完成的工作量为：，因此王师傅6天的工作量为：，由此即可求出王师傅的工作效率为：，张师傅的工作效率为：。最后再根据王师傅每天比张师傅少加工14个零件即可求出张师傅一天加工的零件数，进而求出张师傅一共做了多少个零件。 【详解】王师傅效率： 张师傅： （个） 答：张师傅共做了784个零件。 39．30天 【分析】师徒两人合作一件工作要20天完成，因此师徒的合作效率为。如果让徒弟先做8天，剩下的工作由师傅单独做，还要26天才能完成，可以看作师徒合作8天，师傅再单独工作：26－8＝18（天），由此即可求出师傅这18天的工作量为：，再用师傅的工作量除以工作时间即可求出师傅的工作效率，由此即可解决。 【详解】 （天） 答：师傅单独做这件工作需要30天完成。 40．甲种零件30个，乙种零件18个 【分析】我们可以根据“两种零件合格的一共42个”建立等式，可列出方程． 【详解】解：设生产乙种零件为x个，则生产甲种零件为x＋12个． （x+ 12）× +x= 42 x+= 42 x= 18 甲种零件个数为：18+12=30（个） 答:甲种零件生产了30个，乙种零件生产了18个． 41．小时 【分析】假设水池总量为整数（计算方便），计算出甲、乙进水管的注水效率及丙出水管的排水效率。把按甲、乙、丙的顺序轮流各开1小时看作一个周期，计算一个周期的注水量是多少。假设最后一个周期内甲乙注水后没有溢出，用总水量的减掉甲乙各开1小时注入的水除以一个周期的注水量计算出需要几个这样的周期是否还有剩余的水量。根据周期数计算按照完整周期注水后，剩余的水量，甲乙丙依次工作所需的时间，据此解答。 【详解】设水池总量为60 甲管每小时进水60÷4＝15 乙管每小时进水60÷5＝12 丙管每小时进水60÷3＝20 已经有水 甲、乙各开1小时，进水15＋12＝27 甲、乙、丙各开1小时，进水27－20＝7 为保证最后的周期里甲、乙先各开1小时后水是未溢出的，从需要注入的水量里扣除。 （60－10－27）÷7 ＝23÷7 ＝3……2 剩余水量为2，说明是可以注水4个周期的，这时水池还差的水量是 60－10－7×4 ＝50－28 ＝22 甲再开1小时后还差22－15＝7 乙还需再开7÷12＝（小时） 一共需要的时间： 3×4＋1＋ ＝13＋ ＝（小时）。 答：小时后，第一次有水溢出水池。 【点睛】本题考查复杂的工程问题，因为甲乙先注入的水量比一个周期内的注水量多很多，所以假设最后一个周期内甲乙先注水后没有溢出，并应用这一条件计算周期数和剩余水量是解题的关键。 42．12天 【分析】甲单独完成需要20天，乙单独完成需要15天，则甲的工作效率为，乙的工作效率为。若甲先做若干天后乙接着做，共用了18天完成，可以假设这18天都是乙在工作，则工作量为：，即超额完成的工作量为：。最后再用超额完成的工作量除以甲乙的工作效率之差，即可求出甲的工作天数。 【详解】假设这18天都是乙在工作 （天） 答： 甲工作了12天。 43．260米 【分析】由于甲队筑的路是其他三个队的，所以甲队筑的路占总公路长的；同理乙队筑的路是其他三个队的，所以乙队筑的路占总公路长的；丙队筑的路是其他三个队的，所以丙队筑的路占总公路长的，用单位“1”减去甲乙丙的占比和，即是丁队的占比，然后乘总长度1200米即可解答。 【详解】所以丁筑路为：1200×（1－－－） ＝1200×（1－－－） ＝1200× ＝260（米） 答：丁队筑路260米。 【点睛】此题考查学生对比例分配应用题的掌握，需要注意各队占比与总占比之间的关系。 44．甲40天；乙60天；丙120天 【分析】把这件工作看作单位“1”，则甲、乙两人合作的工作效率为，乙、丙两人合作的工作效率为，甲、丙两人合作的工作效率为，所以甲、乙、丙三人的工作效率和为（＋＋）÷2， 三人的工作效率和减去两人的工作效率和分别求出每人的工作效率，再用1除以各自的工作效率即可求出各自独做完成这件工作需要的天数，据此即可解答。 【详解】（＋＋）÷2 ＝（＋＋）÷2 ＝÷2 ＝ 甲：1÷（－） ＝1÷ ＝40（天） 乙：1÷（－） ＝1÷ ＝60（天） 丙：1÷（－） ＝1÷ ＝120（天） 答：甲独做需40天完成，乙独做需60天完成，丙独做需120天完成。 45．分钟 【分析】1、2、3号阀门的效率之和是；2、3、4号阀门的效率之和是；1、3、4号阀门的效率之和是 ；1、2、4号阀门的效率之和是；据此可以求出1、2、3、4号阀门的效率之和，然后再计算时间。 【详解】根据条件，列表如下（画○表示阀门打开，画×表示阀门关闭）： 1号 2号 3号 4号 工作效率 ○ ○ ○ × × ○ ○ ○ ○ × ○ ○ ○ ○ × ○ 从表中可以看出，每个阀门都打开了三次，所以这4个阀门的工作效率之和为： 那么同时打开这4个阀门，需要（分钟） 答：18分钟可以完成。 【点睛】本题考查的是工程问题，四个量任意三个相加的和再相加，得到的和是四个量之和的3倍。 46．师傅：125个   徒弟：75个 【分析】由已知，师傅加工一个零件用3分钟，那么他每分钟可以加工个零件；徒弟加工一个零件要用5分钟，所以他每分钟可以加工个零件．从而师徒二人的工作效率之比为．在本题中，师徒二人的工作时间一样，是题中的不变量，由，所以工作量和工作效率成正比例关系． 【详解】解法一：由于师徒两人工作效率的比是．在本题中，所以他们的工作量之比也是．因此师傅加工的零件个数是，徒弟加工的零件个数是200-125=75（个）． 解法二：设师傅加工x个零件，则徒弟加工（200-x）个零件．当工作时间一定时，工作量与工作效率成正比例的关系，得 解法三：因为师傅每分钟加工个零件，徒弟每分钟加工个零件，所以每分钟师徒二人可加工个零件，因此当完成任务时，师徒二人所用的时间是． 师傅每分钟加工个零件，因此最终师傅加工的零件数是，徒弟加工的零件数是200-125=75（个）． 47．17天 【分析】本题实际上是求丙一共工作了天数，解题的关键在于怎样处理三个人工作时间不一致的问题．我们可进行如下处理：以丙的工作天数为所求，把甲、乙两人看作未休息，在工作总量上加上甲、乙丙人未休息所作的工作量，这样就可以看作三个人的工作时间相同，即丙的工作时间，从而求出这个数． 【详解】把这项工程看作“1”，指甲休息2天，乙休息3天的工作量加在总工作量上，看成三人的工作时间与丙相同． 答：完成这项工程前后一共用了17天． 48．4月29日 【分析】根据题意可知，2011年3月27日到2011年5月29日一共有64天，已知甲队每施工6天休息1天，也就是7天为1个周期，先用64÷7求出里面有几个周期，商为9，余数是1，说明64有9个完整的周期再多1天工作，所以甲实际工作了（9×6＋1）天，也就是55天，把这项工程总量看作单位“1”，根据工作总量÷工作时间＝工作效率，用1÷55即可求出甲每个工作日的工作效率，根据两队每个工作日完成的工程量一样可知，甲每个工作日的工作效率等于乙每个工作日的工作效率，已知乙队每施工5天休息2天，两队合作，根据工作总量＝工作效率×工作时间，每周可以完成工程的×（6＋5），也就是，再根据工作时间＝工作总量÷工作效率，用1除以每周的工作效率和，即可求出完成的周数，求出没有余数，也就是两队合作完成需要5周，前面4周是完整的周期，最后一周甲工作了6天，乙工作了5天，所以一共需要（5×7＋6）天，再根据起始工作日推算出完工日。 【详解】31－27＋1＋30＋29＝64（天） 2011年3月27日到2011年5月29日一共有64天， 64÷（6＋1） ＝64÷7 ＝9……1 9×6＋1 ＝54＋1 ＝55（天） 甲队每个工作日的工作效率：1÷55＝ 两队每周完成：×（6＋5） ＝×11 ＝ 1÷ ＝1×5 ＝5（周） 前面4周是完整的周期，最后一周甲工作了6天，乙工作了5天， 4×7＋6 ＝28＋6 ＝34（天） 34＝31－27＋1＋29 答：到4月29日就能完工。 【点睛】本题考查了较复杂的工程问题，求出甲、乙实际的工作天数是解答本题的关键。 49．22天 【详解】前6天的工作可看作是按原计划进行，设原计划还需要天完成。剩余的工作按照45人进行和实际的人进行相差4天，表明36人最后4天的量相当于调走的那9个人天的工作量。则为36×4÷9＝16天。原计划用16＋6＝22天。 原计划用22天完成。 50．5天 【详解】设这项工程的工作量为30份，甲每天完成3份，乙每天完成2份. 两人合作，共完成3×0.8+2×0.9=4.2（份）. 因为两人合作天数要尽可能少，独做的应是工作效率较高的甲.因为要在8天内完成，所以两人合作的天数是（30-3×8）÷（4.2-3）=5（天）. 51．4天 【详解】1 ÷（++）=5（天） 6-5=1（天） （+）÷=1（天） 5-1=4（天） 答：甲做了4天． 52．甲：3分钟   乙：1分钟 【详解】解：设乙车间加工一个零件的时间为X分钟，则甲车间为3X分钟 3小时=180分 160÷2=80（个） 80×3X-80X=180-20 160X=160 X=1 3×1=3 答：甲车间加工1个零件需3分钟,乙车间需1分钟. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $