18.1.1 第1课时 矩形的性质（课件） 2025-2026学年华东师大版（新教材）初中数学八年级下册

18.1.1 第1课时 矩形的性质 22251 1 1.理解矩形的概念和性质，会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题 学习目标 22251 2 如图，用四根木条做一个平行四边形的活动木框，并轻轻推动，你会发现什么？ A B C D 角的大小改变了，但仍然保持平行四边形的形状. 新课导入 22251 观察平行四边形的角度变化，你发现了什么？ 长方形 新知探究 22251 当平行四边形的一个角为直角时，这时的平行四边形是一个特殊的平行四边形. 平行四边形 矩形 一个角是直角 矩形的定义：有一个角为直角的平行四边形是矩形（长方形）. 归纳 22251 矩形在生活中无处不在. ★矩形是特殊的平行四边形. ★平行四边形不一定是矩形. 22251 作为特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的一般性质，但由于它有一个角为直角，它是否具有平行四边形不具有的一些特殊性质呢？ 活动1：准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、铅笔盒等. (1)小组合作，测量身边矩形(如书本,铅笔盒等)四条边的长度、四个角的度数和对角线的长度及夹角度数,并将结果记录下表. AC BD ∠BAD ∠ADC ∠BCD ∠ABC 橡皮擦 课本 桌子 物体 测量 （实物） (2)根据测量的结果,猜想结论.当矩形的大小不断变化时，发现的结论是否仍然成立？ A B C D O （形象图） 结论：角： ；对角线： . 四个角为90° 相等 22251 证明：(1)∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=∠CDA,∠BCD=∠DAB(矩形的对角相等) AB∥DC(矩形的对边平行). ∴∠ABC+∠BCD=180°. 已知：如右图,四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°,对角线AC与DB相交于点O. 求证：(1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°；(2)AC=DB. 证一证 ∴∠BCD = 90°. ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°. 又∵∠ABC = 90°, A B C D O (2)∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC(矩形的对边相等). 在△ABC和△DCB中， ∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC= CB，∴△ABC≌△DCB. ∴AC=DB. 22251 矩形除了具有平行四边形的所有性质，还具有性质： 几何语言： 矩形的性质定理 1：矩形的四个角都是直角. 矩形的性质定理 2：矩形的对角线相等. ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°，AC = DB. 归纳 22251 活动2 请同学们准备一张矩形纸片，折一折，观察并思考：矩形是不是轴对称图形？如果是，那么对称轴有几条？ A B C D l1 l2 2 条对称轴 矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴为通过对边中点的直线. 新知探究 22251 例题：如图，矩形 ABCD 被两条对角线分成四个小三角形，如果这四个小三角形周长的和是 86 cm，矩形的对角线长是 13 cm，那么该矩形的周长是多少？ 解：∵△AOB、△BOC、△COD 和△AOD 这四个小三角形周长的和为 86 cm， ∴AB + BC + CD + DA + 2(OA + OB + OC + OD) = AB + BC + CD + DA + 2(AC + BD) = 86. 又∵AC = BD = 13 (矩形的对角线相等)， ∴AB + BC + CD + DA = 86－2(AC + BD) = 86－4×13 = 34 (cm). 即该矩形的周长是 34 cm. A B C D O 典例精析 22251 1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O， 下列说法错误的是（　　） A．AB∥DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．OA=OB A B C D O C 巩固练习 22251 2.如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠DAE：∠BAE＝3：1，求∠BAE和∠EAO的度数． 解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°， AO＝AC，BO＝BD，AC＝BD， ∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO. 又∵∠DAE：∠BAE＝3：1，∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°. ∵AE⊥BD，∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°， ∴∠OAB＝∠ABE＝67.5° ∴∠EAO＝67.5°－22.5°＝45°. 巩固练习 22251 矩形的相关概念及性质 定义：有一个角为直角的平行四边形是矩形 矩形具有平行四边形的一般性质 矩形的性质定理 1：矩形的四个角都是直角 矩形的性质定理 2：矩形的对角线相等 轴对称图形 对称轴为通过对边中点的直线 课堂小结 22251 1. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC 与 BD 相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ） A.AB＝AD B.AC⊥BD C.AC＝BD D.∠ACB＝∠ACD C 2. 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O， ∠AOD ＝ 70°，则 ∠BAC 的度数为 ( ) A. 25° B. 35° C. 45° D. 55° B 随堂小练 22251 3. 如图，四边形 ABCD 是一个矩形，其中AD＝5， AB＝12，则 AC 的长为_____. A B D C 5 5 12 13 4.如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的_____. 随堂小练 22251 5. 如图，矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，∠AOD = 120°. 求证：AC = 2AB. 证明: ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC ＝BD，OA ＝OC ＝ AC＝OB ＝OD ＝ BD. ∴ OA ＝OB. ∵ ∠AOD ＝120°，∴ ∠AOB ＝180°－∠AOD ＝60°. ∴ △AOB 是等边三角形. ∴ AB ＝OA. ∴ AC ＝2OA＝2AB. A B D C O 随堂小练 22251 $