18.1.1 第2课时 矩形性质的应用 课件 2025-2026学年华东师大版数学八年级下册

18.1.1 第2课时 矩形性质的应用 22251 1 1.能进一步运用矩形的性质解决有关的问题. 2.了解相关折叠知识，进一步渗透方程思想，解决相关问题. 学习目标 22251 1．矩形的性质有哪些？ 2．当矩形的对角线夹角为多少度时，可以得到两个等边三角形？ 矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等． 60°或120°. 复习导入 22251 例 1 如图，在矩形 ABCD 中，AB = 3，BC = 4， BE ⊥ AC，垂足为点 E . 求 BE 的长. A B D C E 说一说你的解题思路 △ABC 为直角三角形 它的面积既可以用底和高来求. 也可以用两条直角边来求. 列出等式，从而求出 BE 的长. 解：在矩形 ABCD 中，∠ABC = 90°， AC = = 5. 又∵S△ABC = AB·BC = AC·BE ， ∴BE = = = 2.4. 典例精析 22251 例 2 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AE 垂直且平分线段 BO，垂足为点 E，BD = 15 cm. 求 AC、AB 的长. 解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AC = BD = 15 (矩形的对角线相等）. ∴AO = AC = 7.5. ∵AE 垂直平分 BO， ∴AB = AO = 7.5 . 即 AC 的长为 15 cm，AB 的长为 7.5 cm . A B C D O E 典例精析 22251 1. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，DE ⊥ AC 于点 E，且 ∠ADE ∶ ∠EDC ＝ 3 ∶ 2，求 ∠BDE 的度数． 解: ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ADC ＝ 90°，OA ＝ OD． ∵∠ADE ∶ ∠EDC ＝ 3 ∶ 2， ∴∠ADE ＝ ∠ADC＝54°． ∵DE ⊥ AC，∴∠DEA＝ 90° ∴∠DAE＝90°－∠ADE＝36° ∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD＝36°． ∴∠BDE＝∠ADE－∠ODA＝54°－36°＝18°． 巩固练习 22251 1.折叠：将某个图形沿某条直线翻折一定的度数得到的新的图形(若翻180°即为轴对称)．折叠前后的两个图形全等； 2.解决折叠常用的方法：勾股定理与面积法； 3.解决折叠常用的思想：方程思想． 新知讲解 22251 例 3 如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处． (1)求证：四边形AECF是平行四边形； (2)若AB＝6，AC＝10，求四边形AECF的面积． 解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD∥BC，∠B＝∠D＝90°， 由折叠知：AM＝AB，CN＝CD，∠FNC＝∠D＝90°，∠AME＝∠B＝90°， ∴AM＝CN， 在△ANF和△CME中， ∵∠FAN＝∠ECM，AN＝CM，∠ANF＝∠CME，∴△ANF≌△CME，∴AF＝CE. 又∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形； ∴AM－MN＝CN－MN，即AN＝CM. 典例精析 22251 例 3 如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处． (1)求证：四边形AECF是平行四边形； (2)若AB＝6，AC＝10，求四边形AECF的面积． (2)∵AB＝6，AC＝10. ∴BC＝＝＝8， 设CE＝x，则EM＝8－x，CM＝10－6＝4， 在Rt△CEM中，EM2＋CM2＝CE2， ∴(8－x)2＋42＝x2，解得x＝5， ∴S四边形AECF＝EC·AB＝5×6＝30. 矩形的折叠问题常与勾股定理结合考查 典例精析 22251 2.如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，若∠2＝40°，则图中∠1的度数为 (　　) A．115°　　　B．120°　　　 C．130°　　　D．140° A 由折叠知：∠B′＝∠B＝90°，∠1＝∠EFB′， 又∵∠2的对顶角的度数为40°， ∴根据“直角三角形两锐角互余”得到∠CFB′＝50°， 设∠1＝x，则∠CFE＝180°－x， ∴可列方程：x＝180°－x＋50°，求解得x=115°． 巩固练习 22251 矩形性质的应用 利用矩形的性质进行计算 矩形中的翻折问题 课堂小结 22251 1. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，若 AB ＝ 3，AC＝ 6，则 ∠AOD 的度数为( ) A. 90° B. 100° C. 110° D. 120° 3 3 3 3 D 2. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，CD ＝ 1．若 AE 垂直且平分 OB，垂足为点 E，则 BD的长是 ( ) A. 3 B. C. 2 D. 4 1 1 1 1 C 随堂小练 22251 3.如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积． 解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝90°，∴∠2＝∠3. 又由折叠知∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴BE＝DE. 设BE＝DE＝x，则AE＝8－x. ∵在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2， ∴42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5，即DE＝5. ∴S△BED＝DE·AB＝×5×4＝10. 随堂小练 22251 如图，在矩形 ABCD 中，E 是边 AD 上的一点. 试说明△BCE 的面积与矩形 ABCD 的面积之间的关系. A B C D E 解: ∵ 四边形 ABCD 为矩形，∴ AD∥BC，AB ⊥ BC， ∴ △BCE 的边 BC 上的高长等于 AB 的长， ∴ S△BCE ＝ BC·AB. ∵ S矩形ABCD ＝AB·BC，∴ S△BCE ＝ S矩形ABCD ， 即△BCE 的面积等于矩形 ABCD 面积的一半. 【选自教材练习 第1题】 课后练习 22251 2. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，∠AOB=60°， ，AB = 3.6. 求 AC、AD 的长.（精确到 0.1） 解: ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC＝BD，OA＝OC＝ AC，OB ＝OD＝ BD，∠BAD = 90°. ∴ OA ＝OB. ∵ ∠AOB ＝60°， ∴ △AOB为等边三角形. ∴ OA ＝AB = 3.6. ∴ AC ＝ BD = 2OA＝7.2. 在 Rt△ABD 中，由勾股定理，得 AB2 + AD2 = BD2， 即 3.62 + AD2 = 7.22，∴ AD ≈ 6.2. A B D C O 【选自教材练习 第2题】 课后练习 22251 3. 如图，点P是矩形ABCD 的边AD上的一个动点，矩形的两条边长AB、BC分别为 8 和 15. 求点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和.（提示：记对角线AC与BD的交点为点O，连结OP） 解: 如图，过点 P作PE⊥AC 于点 E，PF⊥BD于点 F，连结 OP . ∵ 在矩形 ABCD 中，∠ABC ＝ 90°，AB ＝8，BC ＝15， ∴ BD ＝AC ＝ ＝ ＝17. A B C D O P E F 【选自教材练习 第3题】 ∴ OA ＝OD ＝ AC ＝ . 又∵ S△AOD ＝ S△AOP + S△POD ， S△AOD ＝ S△ABD ，∴ S△ABD ＝ S△AOP + S△POD . ∴ ××15×8 ＝ ×·PE + ×·PF， ∴ PE + PF ＝ ，即点 P 到矩形的两条对角线 AC 和 BD 的距离之和为 . 课后练习 22251 $