18.1.2 第1课时 矩形的判定 课件 2025-2026学年华东师大版数学八年级下册

18.1.2 第1课时 矩形的判定 22251 1 1.理解并掌握矩形的判定定理，能初步应用其解决证明和计算问题. 学习目标 22251 矩形的定义是什么？有哪些性质？它与平行四边形有什么关系？ 矩形是特殊的平行四边形，所以矩形具有平行四边形的一切性质，但平行四边形不具备矩形的一些特殊性质． 除了用定义判定矩形外，类比平行四边形的判定方法，矩形的性质的逆命题是否成立? 矩形的特殊性质 角 四个角都是直角 对角线 对角线相等 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 复习导入 22251 我们知道矩形的四个角都是直角，它的逆命题是什么？成立吗？ 逆命题：四个角是直角的四边形是矩形. 成立 有一个角是直角的四边形是矩形吗？有两个角是直角的四边形是矩形吗？ A B D C (有一个角是直角) A B D C (有二个角是直角) × × 新知探究 22251 那有三个角是直角的四边形是矩形吗？ 试一试：作一个三个角都是直角的四边形. 1. 任意作两条互相垂直的线段 AB、AD； 2. 过点 B 作垂直于 AB 的直线 l； 3. 过点 D 作垂直于AD 的直线 m， 与直线l相交于点C. 四边形 ABCD 即为所要求作的四边形. A B D C l m 观察你所作的图形，它是一个矩形吗？ 猜测：有三个角是直角的四边形是矩形. 怎么证明？ 22251 已知：如图，在四边形 ABCD 中，∠A = ∠B = ∠C = 90°. 求证：四边形 ABCD 是矩形. 证明：∵ ∠A =∠B =∠C = 90°， ∴∠A +∠B = 180°，∠B +∠C = 180°. ∴ AD∥BC，AB∥CD. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. ∴ 四边形 ABCD 是矩形. A B C D 22251 几何语言： 矩形的判定定理 1： 有三个角是直角的四边形是矩形. ∵在四边形 ABCD 中，∠A = ∠B = ∠C = 90°， ∴四边形ABCD 是矩形. 归纳 22251 思考：一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形踏板．为什么？ 有三个角是直角的四边形是矩形. 22251 1.如图，∠AOB 是一个直角，任意一点 P 到这个角的两边的距离之和为 6，则图中四边形的周长为______． 12 巩固练习 22251 思 考：对角线相等的四边形是矩形吗？ 不一定，等腰梯形的对角线也相等. 需要添加什么条件才能使对角线相等的四边形是矩形吗？ 猜想：对角线相等的平行四边形是矩形. 新知探究 22251 试一试：作一个对角线相等的平行四边形. 作法： 1.任意作两条相交的直线，交点记为 O； O A B C D 2.以点 O 为圆心、适当长为半径画弧， 在两条直线上分别截取相等的四条线段 OA、OB、OC、OD； 3.顺次连结所得的四点. 四边形 ABCD 的两条对角线相等且互相平分，即为所要求作的四边形. 如何证明呢？ 22251 已知: 四边形 ABCD 是平行四边形，AC = DB. 求证: 四边形 ABCD 是矩形. D A B C 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB = DC. 又∵AC = DB，BC = CB， ∴△ABC ≌△DCB， ∴∠ABC = ∠DCB. ∵AB∥CD，∴∠ABC + ∠DCB = 180°. ∴∠ABC =∠DCB = 90°. ∴四边形 ABCD 是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形). 22251 几何语言： 矩形的判定定理 2： 对角线相等的平行四边形是矩形. ∵四边形 ABCD 是平行四边形，AC = BD， ∴四边形ABCD 是矩形. 实际应用：木工师傅在制作门框或其他矩形形状的物体时，常用测量对角线的方法，来检验产品是否符合要求. 归纳 22251 2. 依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（ ） D A B C D 巩固练习 22251 例题：如图，点 O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 的交点，E、F、G、H 分别是 AO、BO、CO、DO 上的一点，且 AE = BF = CG = DH. 求证：四边形 EFGH 是矩形. A B C D O E F H G 思路：根据已知条件，我们可以先证明四边形 EFGH 是平行四边形，再证明对角线 EG 和 FH相等，即可得证. 证明: ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC = BD； AO = CO = AC，BO = DO = BD. ∴ AO = BO = CO = DO. ∵ AE = BF = CG = DH， ∴ OE = OF = OG = OH. ∴ 四边形 EFGH 是平行四边形. ∵ EO + OG = FO + OH， ∴ EG = FH. ∴ 四边形 EFGH 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）. 典例精析 22251 3.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长OA到N，使ON＝OB，再延长OC至M，使CM＝AN.求证：四边形NDMB为矩形． 证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AO＝OC，OD＝OB. ∵AN＝CM，ON＝OB， ∴ON＝OM＝OD＝OB， ∴四边形NDMB为平行四边形，MN＝BD， ∴平行四边形NDMB为矩形． 巩固练习 22251 矩形的判定 矩形的判定定理 1： 有三个角是直角的四边形是矩形. 矩形的判定定理 2： 对角线相等的平行四边形是矩形. 定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形. 课堂小结 22251 1.在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动课上，一个合作学习小组的4位同学分别拟定了如下的方案，其中正确的是（　　） A．测量对角线是否相等 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量一组对角是否都为直角 D．测量其中三个角是否都为直角 D 随堂小练 22251 2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠A ＝ 90°，AB＝3，AC ＝4，D 是斜边 BC 上的一个动点，过点 D 分别作 DM ⊥ AB 于点 M，DN ⊥ AC 于点 N，连结 MN，则线段 MN 的长的最小值为_______. A B D C M N 2.4 随堂小练 22251 3.如图，在 □ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，且OA = OD，∠OAD = 50°．求∠OAB 的度数． 　 A　 B　 C　 D　 O 解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA = OC = AC， OB = OD = BD. 又∵ OA = OD， ∴ AC = BD. ∴ 平行四边形 ABCD 是矩形. ∴∠BAD = 90°. 又∵∠OAD = 50°， ∴∠OAB = 40°. 随堂小练 22251 如图，AB、CD 是 ⊙O 的两条直径，四边形 ACBD 是矩形吗？证明你的结论， 解: 四边形 ABCD 是矩形. 证明如下: ∵ AB、CD 是☉O 的两条直径， ∴ OA ＝OB，OC ＝OD， ∴ 四边形 ACBD 是平行四边形. 又∵ AB ＝CD， ∴ 四边形 ACBD 是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形). A D B C O 【选自教材练习 第1题】 课后练习 22251 2.如图，在 □ ABCD 中，∠1 = ∠2. 此时，四边形 ABCD 是矩形吗？为什么？ 解: 四边形 ABCD 是矩形. 理由如下： ∴ OA ＝OC ＝ AC，OB ＝OD ＝ BD. 又∵ ∠1 ＝∠2，∴ OA ＝OB. ∴ AC ＝BD. ∴ 四边形 ABCD 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， A B D C O 2 1 【选自教材练习 第2题】 课后练习 22251 解: ∵ AC 与 EF 互相平分， ∴ OA ＝OC，OE ＝OF. 又∵ ∠AOF ＝∠COE，∴ △AOF≌△COE. ∴AF ＝CE，∠OAF ＝∠OCE. ∴ CD∥AB. ∵ BF ＝DE，∴ BF +AF ＝DE + CE，即AB ＝CD. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 又∵ ∠B ＝90°，∴ 四边形 ABCD 是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形). 3.如图，在四边形 ABCD 中，BF = DE，AC 与 EF 互相平分并相交于点 O，∠B = 90°.求证：四边形 ABCD 是矩形. D A B C F E O 【选自教材练习 第3题】 课后练习 22251 $