精品解析：河南许昌市禹州市2025—2026学年下学期期中质量检测 八年级数学

2025—2026学年下学期期中质量检测 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，四个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．） 1. 如果代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组数为长度的线段中，能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. 1，， C. 2，3，6 D. 4，5，7 3. 已知，则化简的结果是（ ） A. 7 B. C. D. 4. 已知最简二次根式与可以合并，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 6 D. 10 5. 从多边形的一个顶点引出的所有对角线将这个多边形分成13个三角形，则这个多边形的边数为（ ） A. 15 B. 14 C. 13 D. 12 6. 根据图中尺规作图的痕迹判断数轴上点C所表示的实数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，小明将两根木条，的中点重合钉起来，然后将木条端点首尾相接即可得到平行四边形，他这样做的数学原理是（ ） A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 C. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 8. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在网格的格点上，连接，．D，E分别为，的中点，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 9. 如图，将菱形放置在平面直角坐标系中，对角线轴，且与对角线相交于点，则菱形的面积为（ ） A. B. 30 C. D. 15 10. 如图，在中，，，是的中线，是的中点，连接，．若，垂足为，则的长为（） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：__________． 12. 如图是一块长方形皮影戏幕布，若它的长为，宽为，则这块幕布的周长为______． 13. 如图是空调外机的支撑架，钢条的长度为，焊点A到B的距离为，若要保证钢条与垂直，则焊点C到A的距离应为_______． 14. 已知一个正多边形的一个内角比与它相邻的外角的3倍多，则这个多边形的内角和为_______． 15. 如图，点E为正方形外一点，且，连接，交于点F，连接，．若，则的度数为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分73分） 16. 计算： 17. 求代数式的值： （1）已知，求的值． （2）已知，求的值． 18. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在右墙上，测得梯子顶端距离地面2米，即米，梯子底端距右墙底端米，即米，梯子底端位置不动，将梯子斜靠在左墙时，顶端距离地面米，即米，则小巷的宽度为多少米？ 19. 如图，校园里有一块四边形的空地，，，，．过点修两条小路和，且，点恰好是的中点． （1）求小路和的长． （2）求这块空地的面积． 20. 如图，已知四边形是平行四边形，分别延长，至点，，使得，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，求的度数． 21. 观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： （1）请写出第个等式： ． （2）请写出你猜想的第个等式（用含的式子表示，为正整数），并加以证明． 22. 实践操作： 第一步：如图1，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，得到折痕，然后把纸片展平． 第二步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，得到折痕，再把纸片展平． 问题解决： （1）如图1，四边形的形状是 ． （2）如图2，若，，求的长． 23. 【问题情境】 在正方形中，，分别是射线，上的点，且，点在射线上（不与点重合），且满足． 【初步探究】 （1）如图1，当点，分别在线段，上时，线段与的数量关系为 ，位置关系为 ． 【深入思考】 （2）如图2，当点，分别在线段，的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）当时，若，请直接写出线段的长． 四、卷面分（2分） 要求：书写规范；卷面整洁；布局合理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年下学期期中质量检测 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，四个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．） 1. 如果代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：代数式在实数范围内有意义， ， 解得， 故选：C． 2. 以下列各组数为长度的线段中，能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. 1，， C. 2，3，6 D. 4，5，7 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，只要验证每组数中两个较小数的平方和等于最大数的平方，即可判断能否构成直角三角形． 【详解】解：A选项： ， ，，不能构成直角三角形； B选项： ， ，，能构成直角三角形； C选项：，，，不能构成直角三角形； D选项：，，，不能构成直角三角形． 3. 已知，则化简的结果是（ ） A. 7 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据二次根式和绝对值的性质化简，然后去括号合并即可． 【详解】解：∵ ∴ ． 4. 已知最简二次根式与可以合并，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 6 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】先化简，再根据同类二次根式性质列方程求解． 【详解】解：，最简二次根式与可以合并， 与是同类二次根式， ∴，解得． 5. 从多边形的一个顶点引出的所有对角线将这个多边形分成13个三角形，则这个多边形的边数为（ ） A. 15 B. 14 C. 13 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查多边形对角线分多边形得到三角形的个数规律，从边形的一个顶点引出所有对角线，分得三角形的个数为，利用该规律列方程即可求解. 【详解】解：设这个多边形的边数为. 从边形的一个顶点引出所有对角线，将多边形分成三角形的个数为 ， 根据题意得 .解得 . 6. 根据图中尺规作图的痕迹判断数轴上点C所表示的实数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理求出，然后求解即可． 【详解】解：根据题意得，，，， ∴， ∵点C在原点左边， ∴点C所表示的实数为． 7. 如图，小明将两根木条，的中点重合钉起来，然后将木条端点首尾相接即可得到平行四边形，他这样做的数学原理是（ ） A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 C. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 【答案】A 【解析】 【分析】已知和是对角线，取各自中点，则对角线互相平分（即，）的四边形是平行四边形． 【详解】解：由已知可得，， ∴四边形是平行四边形，依据是对角线互相平分的四边形是平行四边形． 8. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在网格的格点上，连接，．D，E分别为，的中点，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出的长，再利用三角形中位线定理即可求出的长． 【详解】解：如图，连接 根据勾股定理得：， ∵D，E分别是，的中点， ． 9. 如图，将菱形放置在平面直角坐标系中，对角线轴，且与对角线相交于点，则菱形的面积为（ ） A. B. 30 C. D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质可知对角线互相垂直平分，结合轴及点、分别在轴、轴上的位置，求出对角线和的长度，利用菱形面积公式计算即可． 【详解】解：四边形是菱形 ，， 轴 轴 点的坐标为，点在轴上，点在轴上 点的坐标为，点的坐标为 ， ， 菱形的面积． 10. 如图，在中，，，是的中线，是的中点，连接，．若，垂足为，则的长为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用直角三角形斜边中线性质求出，再结合中点定义求出，最后在中利用勾股定理计算的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的中线， ∴为的中点， ∴在中，， ∵是的中点， ∴， ∵为的中点， ∴， 在中，由勾股定理得． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：__________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据平方差公式“”进行计算即可得． 【详解】解：原式=， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了完全平方差，解题的关键是掌握完全平方差并正确计算． 12. 如图是一块长方形皮影戏幕布，若它的长为，宽为，则这块幕布的周长为______． 【答案】28 【解析】 【分析】根据长方形的周长公式列出算式，利用二次根式的性质化简各二次根式，再合并同类二次根式即可求解． 【详解】由题意得，这块幕布的周长为． 13. 如图是空调外机的支撑架，钢条的长度为，焊点A到B的距离为，若要保证钢条与垂直，则焊点C到A的距离应为_______． 【答案】24 【解析】 【详解】解：由题意得：，，， ∴． 14. 已知一个正多边形的一个内角比与它相邻的外角的3倍多，则这个多边形的内角和为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设这个正多边形的一个外角为，根据内角与相邻外角互补列出方程，求出外角的度数，结合多边形外角和为求出边数，再利用多边形内角和公式计算内角和即可 【详解】解：设这个正多边形的一个外角为，则与它相邻的内角为. ， 解得， 任意多边形的外角和为，正多边形每个外角都相等， 这个正多边形的边数为 ， ∴这个多边形的内角和为． 15. 如图，点E为正方形外一点，且，连接，交于点F，连接，．若，则的度数为_______． 【答案】##70度 【解析】 【分析】根据正方形性质和已知得，求出 ，由三角形外角的性质得，通过证明得到． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ，，， ∴ ∴． 三、解答题（本大题共8个小题，满分73分） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算．按照先乘除后加减的运算顺序，利用二次根式的乘除运算法则和完全平方公式分步计算，再合并即可得到结果． 【详解】解： ． 17. 求代数式的值： （1）已知，求的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）4 （2）2016 【解析】 【分析】（1）根据平方根与平方的非负性求出，代数求值即可； （2）利用因式分解的方法先将式子变形，再代数求值． 【小问1详解】 解：， ，， ， 将代入，原式； 【小问2详解】 解：， 将代入，原式． 18. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在右墙上，测得梯子顶端距离地面2米，即米，梯子底端距右墙底端米，即米，梯子底端位置不动，将梯子斜靠在左墙时，顶端距离地面米，即米，则小巷的宽度为多少米？ 【答案】米 【解析】 【分析】分别在，中求出，，即可． 【详解】解：在中，，米，米， 米， 在中，，米，米， 米， 米， 答：小巷的宽度为米． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 19. 如图，校园里有一块四边形的空地，，，，．过点修两条小路和，且，点恰好是的中点． （1）求小路和的长． （2）求这块空地的面积． 【答案】（1）， （2）这块空地的面积为 【解析】 【分析】（1）根据题意可得垂直平分，推出，，再根据勾股定理求，即可求解； （2）根据勾股定理的逆定理可得，则，即可求解． 【小问1详解】 解：，点恰好是的中点， 垂直平分， ，， ； 【小问2详解】 解：，，， ，， ， ， ， 即这块空地的面积为． 20. 如图，已知四边形是平行四边形，分别延长，至点，，使得，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由四边形是平行四边形，得到，，根据得到，即可得证； （2）由四边形是平行四边形，得到，，推出，，根据得到，即可求解． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，即， ， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， ． 21. 观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： （1）请写出第个等式： ． （2）请写出你猜想的第个等式（用含的式子表示，为正整数），并加以证明． 【答案】（1） （2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题目中所给的四个等式，结合规律即可写出答案； （2）找到等式的规律，写出第个等式，通过化简二次根式，证明等式成立． 【小问1详解】 解：∵第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； ∴第个等式：． 【小问2详解】 解：第个等式应为， 证明如下： 即左边右边， ∴猜想正确． 22. 实践操作： 第一步：如图1，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，得到折痕，然后把纸片展平． 第二步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，得到折痕，再把纸片展平． 问题解决： （1）如图1，四边形的形状是 ． （2）如图2，若，，求的长． 【答案】（1）正方形 （2） 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质得，由折叠的性质得，，即可得证； （2）易证四边形是矩形，则，．由勾股定理得，则，设，则，由勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：四边形的形状是正方形， 证明：四边形是矩形， ． 由折叠得：，． ， ∴四边形是矩形． ， ∴矩形是正方形． 【小问2详解】 解：四边形是正方形， ，． ． 四边形是矩形， ． 四边形是矩形． ，． 由折叠得：，， ． ． 设，则， ， ，解得． ． 23. 【问题情境】 在正方形中，，分别是射线，上的点，且，点在射线上（不与点重合），且满足． 【初步探究】 （1）如图1，当点，分别在线段，上时，线段与的数量关系为 ，位置关系为 ． 【深入思考】 （2）如图2，当点，分别在线段，的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）当时，若，请直接写出线段的长． 【答案】（1）， （2）成立，证明见解析 （3）线段的长为或 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质可得，，，进而得到，证明得到，，结合可推出，，结合可得，推出，即可判定； （2）延长交于点，证明得到，，结合可推出，，由得到，即可判定； （3）过点作于点，证明四边形是矩形，得到，分两种情况讨论：当点，，分别在线段，，上时，当点，，分别在线段，，的延长线上时，根据全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设与交于点， 四边形是正方形， ，，， ， ， ， ，， ， ，， ，， ， ， ， ，即， 线段与的数量关系为，位置关系为； 【小问2详解】 （1）中的结论依然成立，证明如下： 如图所示，延长交于点， 四边形是正方形， ，，， ， ， ， ，， ， ，， ，， ， ， ， ，即， ，； 【小问3详解】 过点作于点， ， 四边形是矩形， ， 当点，，分别在线段，，上时，同（1）可得 ，      ， ，， ， ， ，， ， ； 当点，，分别在线段，，的延长线上时，由（2）可得   ， ， ，， ， ， ，， ， ； 综上所述，线段的长为或． 四、卷面分（2分） 要求：书写规范；卷面整洁；布局合理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $