精品解析：河南省许昌市禹州市2024-2025学年八年级下学期期中数学考试试卷

2024-2025学年下学期八年级数学期中阶段性质量检测试卷 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分，下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 要使式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 不是直角三角形 3. 下列各式中计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. 0 B. C. D. 5. 在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（ ） A. 统计思想 B. 分类思想 C. 数形结合思想 D. 函数思想 6. 已知一个直角三角形的两边长分别为2和，则第三边长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 1或 7. 根据图中所给的条件，能判定四边形是平行四边形的依据是（ ） A. 对角线互相平分 B. 两组对边分别相等 C. 一组对边平行且相等 D. 两组对边分别平行 8. 如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个，跷跷板中间的支撑杆垂直于地面（分别为的中点）．若支撑杆，则点距离地面的最大高度为（ ） A B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴的正半轴上，已知，，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，将矩形先进行对折，折痕为，展开后沿再次折叠，使点落在折痕上的点处，交于点．若的长为6，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知二次根式与是可以合并二次根式，则的值可以是_____．（只需写出一个） 12. 《千里江山图》是中国十大传世名画之一，如图所示是其局部．若该画纸长为，宽为．现要装裱该画，装裱后的画的长增加，宽增加，则装裱后整个画卷的面积为_____． 13. 命题“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”的逆命题是______命题．（填“真”或“假”） 14. 在中，于点，若，则_____． 15. 如图，在正方形中，点是中点，点在上运动，以为边向外作正方形，连接，，若，则的最小值为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： 17. （1）已知与互为相反数，求的值． （2）已知，求的值． 18. 我国古代数学家赵爽利用弦图证明了勾股定理，小明也仿照赵爽的方法借助图形的拼接，证明勾股定理．他发现只需将两张全等的直角三角形纸片与一张满足一定要求的长方形纸片，如图（1）所示，拼成如图（2）所示的图形，利用面积的不变性也可证明勾股定理．下面是小明证明勾股定理的部分过程，请你帮助小明续写证明过程． 证明：如图，连接，由题意，得，， …… 19. 某工厂计划生产一批自行车，如图①为自行车的实物图，图②为其车架部分示意图，经测量，上管，下管，，后下叉，后上叉．根据设计要求需保证，请判断该车架是否符合设计要求，并说明理由． 20. 观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： （1）请写出第8个等式：___________； （2）请写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 21. 如图，在中，，是边上一点，且，连接，，分别为的中点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求四边形的周长． 22. 如图，在矩形中，为矩形的对角线． （1）作线段的垂直平分线，分别交，于点，，垂足为（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接，直接写出四边形的形状为________； （3）求的长． 23. 【问题情境】 如图，已知四边形是正方形，是射线上一点，连接，在右侧以为边作正方形，连接，探究之间数量关系． 【问题发现】 （1）如图1，当点在线段上时，之间的数量关系为___________； 【问题探究】 （2）如图2，当点在线段延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确的结论，再给予证明； 【拓展应用】 （3）如图3，当点在线段的延长线上时，设与交于点，过点作，垂足为．若，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年下学期八年级数学期中阶段性质量检测试卷 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分，下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 要使式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义，根据被开方数为非负数进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得， 故选：C． 2. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 不是直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据得，根据勾股逆定理，是斜边，即可作答． 【详解】解：因为， ∴， ∴是直角三角形，且是斜边， 那么， 因此A、C、D选项是错误的， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股逆定理以及对三角形的认识，难度较小． 3. 下列各式中计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要查了二次根式的四则运算．根据运算法则逐一验证各选项的正确性，即可． 【详解】解：A选项：，而，故A错误． B选项：，符合二次根式乘法法则，故B正确． C选项：，结果为而非5，故C错误． D选项：，而，故D错误． 故选：B 4. 若，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要查了二次根式的化简．根据二次根式的性质，，再结合与的大小关系，判断的符号，进而化简绝对值． 【详解】解：由二次根式的性质，得：． 因为，而， 所以，即为负数． 根据绝对值的定义，得：． 因此， 故选：D． 5. 在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（ ） A. 统计思想 B. 分类思想 C. 数形结合思想 D. 函数思想 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，据此回答即可． 【详解】解：根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法， 如勾股定理的推导是根据图形面积转换得以证明的， 由图形到数学规律的转化体现的数学的思想为：数形结合思想， 故选：C． 【点睛】本题是对数学思想的考查，理解各种数学思想的本质特点是解决本题的关键． 6. 已知一个直角三角形的两边长分别为2和，则第三边长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 1或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据勾股定理，分两种情况讨论已知两边为直角边或其中一边为斜边，分别计算第三边的长度，即可作答． 【详解】解：已知直角三角形两边长分别为2和，需分两种情况求解第三边： 当2和均为直角边，则第三边为斜边， 由勾股定理得：斜边， 当2为斜边，则第三边为另一条直角边， 由勾股定理得：直角边， 综上，第三边长为1或， 故选D． 7. 根据图中所给的条件，能判定四边形是平行四边形的依据是（ ） A. 对角线互相平分 B. 两组对边分别相等 C. 一组对边平行且相等 D. 两组对边分别平行 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 根据题意得到，因为，可证明四边形是平行四边形，其依据是一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 四边形是平行四边形； 判定依据是一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 故答案为：C． 8. 如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个，跷跷板中间的支撑杆垂直于地面（分别为的中点）．若支撑杆，则点距离地面的最大高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半． 根据三角形中位线定理即可解决问题． 【详解】解：∵分别为的中点， ∴， 故选：B． 9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴的正半轴上，已知，，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，菱形的性质和勾股定理等知识内容，正确掌握菱形的性质是解题的关键．因为四边形是菱形，所以，，再根据勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵菱形的顶点D在y轴上， ∴， ∴， 故选：A． 10. 如图，将矩形先进行对折，折痕为，展开后沿再次折叠，使点落在折痕上的点处，交于点．若的长为6，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查折叠的性质、矩形的性质、等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 根据矩形的性质和折叠的性质求出是等边三角形，得到，，得到都是含30度角的直角三角形，从而求出，即可得到答案． 【详解】解：连接， 由第一次折叠可知： 垂直平分， ∴，， 矩形， ，， 由第二次折叠的性质得， ，， ，是等边三角形， ∴，， ∴，， ， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知二次根式与是可以合并的二次根式，则的值可以是_____．（只需写出一个） 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，熟悉掌握同类二次根式的特点是解题的关键． 根据同类二次根式的概念解答即可． 【详解】解：∵， ∴当时，与是可以合并的二次根式， ∴， 故答案为：． 12. 《千里江山图》是中国十大传世名画之一，如图所示是其局部．若该画纸长为，宽为．现要装裱该画，装裱后的画的长增加，宽增加，则装裱后整个画卷的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算及长方形面积公式的应用，熟练掌握二次根式的化简与乘法运算法则是解题的关键． 先分别求出装裱后画卷的长和宽，再根据长方形面积公式（面积 = 长×宽）计算装裱后的面积，需要先化简二次根式，再进行乘法运算． 【详解】解：原来长为，长增加， 装裱后长为 原来宽为，宽增加， 装裱后宽为 ∴面积 故答案为：． 13. 命题“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”的逆命题是______命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【解析】 【分析】把命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．然后判断真假即可． 【详解】解：命题“直角三角形斜边上的中线是斜边的一半”的逆命题是“一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形”，为真命题， 理由如下： ∵AD=CD， ∴∠A=∠DCA， 同理∠DCB=∠B． ∵∠DCB+∠B+∠A+∠DCA=180°， 即2（∠DCA+∠DCB）=180°， ∴∠DCA+∠DCB=90°，即∠ACB=90°， ∴△ABC是直角三角形． 故答案为：真． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，三角形内角和，等腰三角形的性质．解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，并熟练掌握直角三角形的判定方法． 14. 在中，于点，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质及直角三角形的两锐角互余，先由平行四边形的性质求出，再利用直角三角形两锐角互锐求出即可．解题关键是理清题中的条件． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在正方形中，点是的中点，点在上运动，以为边向外作正方形，连接，，若，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，勾股定理，熟悉掌握轴对称的性质，找到最短路径是解题的关键． 根据轴对称的性质作出最短路径，结合勾股定理运算求解即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴点关于线段的对称点为点，连接，则与的交点为，如图所示： 此时，可取最小值，， ∵，为中点， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴在中，， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，先化简二次根式，再计算二次根式乘除法，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 17. （1）已知与互为相反数，求的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）12 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，算术平方根的非负性，因式分解，代数式求值等知识点，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先根据相反数的定义得到，然后根据算术平方根和平方式的非负性求出，即可代入求值； （2）先计算，再对因式分解为，再代入求值即可． 【详解】解：（1）与互为相反数， ， ． ， ． ； （2），， ，， ． 18. 我国古代数学家赵爽利用弦图证明了勾股定理，小明也仿照赵爽的方法借助图形的拼接，证明勾股定理．他发现只需将两张全等的直角三角形纸片与一张满足一定要求的长方形纸片，如图（1）所示，拼成如图（2）所示的图形，利用面积的不变性也可证明勾股定理．下面是小明证明勾股定理的部分过程，请你帮助小明续写证明过程． 证明：如图，连接，由题意，得，， …… 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理证明，用两种方法表示出四边形的面积是解本题的关键．利用两种不同的方法表示出四边形的面积，化简整理即可得到勾股定理表达式． 【详解】证明：如图，连接，由题意，得，， ， ， 化简得． 19. 某工厂计划生产一批自行车，如图①为自行车的实物图，图②为其车架部分示意图，经测量，上管，下管，，后下叉，后上叉．根据设计要求需保证，请判断该车架是否符合设计要求，并说明理由． 【答案】符合设计要求，见解析 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，平行线的判定，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．由勾股定理求出的长，由勾股定理的逆定理得是直角三角形，可得，根据平行线的判定即可求出． 【详解】解：符合设计要求． 理由如下：在中，， ， ， ． 在中，， ，， 是直角三角形，且． 又， ， 故该车架符合设计要求． 20. 观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： （1）请写出第8个等式：___________； （2）请写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】（1） （2），见解析 【解析】 【分析】本题考查了规律探索，完全平方公式，二次根式的性质，理解题意从中获取相关信息是解题的关键． （1）观察规律得出结果即可； （2）观察规律得出，利用完全平方公式推理即可． 【小问1详解】 解：由题意可得第8个：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：第个等式为：， 证明：． 21. 如图，在中，，是边上一点，且，连接，，分别为中点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求四边形的周长． 【答案】（1）见解析 （2）12 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据三角形中位线定理得到，由得到，推出，即可得到结论； （2）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，根据平行四边形的性质得到，根据求出，即可得到答案． 【小问1详解】 证明：，分别为，的中点， 是的中位线， ， 即， ， ， 四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：在中，点是的中点 ． 由（1）知，四边形是平行四边形， ． ， ． 四边形的周长为. 22. 如图，在矩形中，为矩形的对角线． （1）作线段的垂直平分线，分别交，于点，，垂足为（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接，直接写出四边形的形状为________； （3）求的长． 【答案】（1）见解析 （2）菱形 （3） 【解析】 【分析】（1）按照垂直平分线的作图方法作图即可； （2）由垂直平分线证明，，，证明．则，即可得到．结论成立； （3）设，，利用勾股定理进行解答即可． 【小问1详解】 解：所求作图形如图， 【小问2详解】 菱形，理由如下： 证明：∵垂直平分． ∴，，， ∵四边形是矩形， ∴． ∴，． ∴． ∴ ∴． ∴四边形是菱形． 故答案为：菱形 【小问3详解】 是线段的垂直平分线， ，设，， 四边形是矩形， ， ． 在中， 解得． 在中， 【点睛】此题考查了菱形判定和性质、矩形的性质、垂直平分线的作图和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质和菱形的判定是关键． 23. 【问题情境】 如图，已知四边形是正方形，是射线上一点，连接，在右侧以为边作正方形，连接，探究之间的数量关系． 【问题发现】 （1）如图1，当点在线段上时，之间的数量关系为___________； 【问题探究】 （2）如图2，当点在线段的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确的结论，再给予证明； 【拓展应用】 （3）如图3，当点在线段的延长线上时，设与交于点，过点作，垂足为．若，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）结论不成立，，证明见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质由可证，得到，从而可得； （2）同（1）可证，得到，故； （3）由可知，由（2）的结论可得，根据勾股定理求正方形边长为，从而可得，延长交于，再由平行线分线段成比例定理求的长，从而可知的长，在中，根据勾股定理求的长，再由，即可求得的长． 详解】（1）解：， 四边形是正方形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：不成立， 正确结论是， 四边形是正方形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：由（2）可得：，， ， ， ， 在上， 在同一条直线上， 四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 延长交于， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形判定与性质、正方形的性质、三角形的中位线定理、平行线分线段成比例定理、勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质、正方形的性质、三角形的中位线定理、平行线分线段成比例定理，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$