第二章 相交线与平行线 提优测评卷 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

**基本信息** 本卷为初中数学相交线与平行线单元提优测评卷，融合中考真题与跨学科情境，通过基础巩固、能力提升、创新应用梯度设计，培养几何直观、推理能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|对顶角、补角、平行线性质|结合《淮南万毕术》光的反射（第3题），体现文化传承| |填空题|8/24|垂线、折叠问题、角度计算|长方形折叠动态问题（第15题），培养空间观念| |解答题|8/66|平行线判定、综合证明、项目学习|自行车尾灯工作原理探究（第26题），强化应用意识与推理能力|

第二章 相交线与平行线 提优测评卷 用时:120分钟 总分:120分 得分: 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.(2025·辽宁本溪期中)下列说法正确的个数有( ). ①等角的补角相等； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③相等的角是对顶角； ④过直线外一点作已知直线的垂线段，则这条垂线段叫作这个点到这条直线的距离. A. 1 个 B. 2个 C. 3个 D. 4 个 2.(2025·长沙中考)如图,AB∥CD,直线 EF 与直线AB,CD 分别交于点E,F,直线 EG 与直线CD 交于点G.若∠1=70°,∠2=50°,则∠GEF 的度数为( ). A. 50° B. 60° C. 65° D. 70° 3.如图(1)，汉代的《淮南万毕术》中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法.为了探清一口深井的底部情况，如图(2)，在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线AB 与地面CD 所成的夹角∠ABC=50°时，已知∠ABE=∠FBM，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜EF 与地面的夹角∠EBC 的度数为( ). A. 60° B. 70° C. 80° D. 85° 4.(2024·兰州中考)已知∠A=80°,则∠A 的补角是( ). A. 100° B. 80° C. 40° D. 10° 5.(2024·北京中考)如图,直线AB 和CD 相交于点O,OE⊥OC,若∠AOC=58°,则∠EOB 的大小为( ). A. 29° B. 32° C. 45° D. 58° 6.(2025·临夏州中考)如图(1),三根木条a,b,c相交成∠1=80°,∠2=110°,固定木条b,c,将木条a绕点A 顺时针转动至如图(2)所示，使木条a 与木条b平行，则可将木条a 旋转( ). A. 30° B. 40° C. 60° D. 80° 7.(2025·辽宁本溪期中)近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图(台灯底座高度忽略不计)如图所示，其中BC⊥AB，DE∥AB，经使用发现，当∠EDC=126°时，台灯光线最佳.则此时∠DCB 的度数为( ). A. 126° B. 136° C. 144° D. 154° 8.跨学科光的折射 (2025·鞍山二模)当光线从水中射向空气时要发生折射，由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，一组平行光线从水中射向空气，且∠1=45°，∠2=115°，则∠3的度数是( ). A. 45° B. 65° C. 115° D. 135° 9.(2025·重庆江津区期中)已知直线AB 与CD 相交于点O,OE 平分∠AOC,射线OF⊥CD 于点O,且∠BOF=32°,则∠COE 的度数为( ). A. 29° B. 61° C. 61°或 29° D. 30°或 60° 10.(2025·广东惠州惠城区期中)如图,AB∥CD,F为AB 上一点,FD∥EH,且FE 平分∠AFG,过点 F 作FG⊥EH 于点G,且∠AFG=2∠D,则下列结论:①∠D=40°;②2∠D+∠EHC=90°;③FD 平分∠HFB;④FH 平分∠GFD.其中正确结论的个数是( ). A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分) 11.(2025·四川成都武侯区期末)如图，将一个含有30°角的三角尺和直尺按如图所示方式摆放在课桌面上，三角尺的30°角的顶点落在直尺的一边上，若∠1=10°，则∠2的度数为 . 12.如图,AB∥ED,∠CAB=125°,∠ACD=75°,则∠CDE= °. 13.如图,直线AB,CD 相交于点O,OE⊥AB,O为垂足.若∠EOD=39°,则∠COB= ° 14.(2025·广东惠州惠城区期中)如图,已知直线AB∥DE,则∠B,∠C,∠D 之间的关系是 . 15.(2025·浙江杭州西湖区期末)如图，将长方形纸片ABCD 沿MN 折叠得到图(1)，再沿 PM 折叠得到图(2),已知AB∥CD,AM>DN. ①如图(1),若∠EPN=50°,则∠AMN 的度数为 °; ②如图(2),若∠AMG=k∠CNM,则∠CPM 的度数为 °(用含k的代数式表示). 16.如图，直线AB∥CD，直线l与直线AB，CD 相交于点E，F，点 P 是射线EA 上的一个动点(不包括端点 E),将△EPF 沿PF 折叠,使顶点 E 落在点Q处.若∠PEF=52°,点Q 恰好落在其中一条平行线上，则∠EFP 的度数为 . 17.如图,在三角形ABC中, 点P 为直线AB 上的一动点，连接PC，则线段 PC的最小值是 . 18.小明将一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B，D重合，若固定三角形AOB，改变三角板 ACD 的位置(其中点 A 位置始终不变)，则下列条件： ③∠BAD=150°;④∠BAD=165°中,能得到CD∥AB 的有 .(填序号) 三、解答题(本大题共8小题，共66分) 19.(6分)如图,直线a∥b,AB与a,b分别相交于点A,B,且AC 交直线b 于点 C. (1)若∠1=60°,求∠2的度数; (2)若AC=5,AB=12,BC=13,求点A 到直线b的距离. 20.(6分)(2025·浙江温州龙湾区期中)如图,直线AB,EF 交于点P,直线CD,EF 交于点O,OA,OB 分别平分 和 且 (1)试说明: (2)若 求 的度数. 21.(8分)如图,已知点A 在EF上,点 P,Q在BC上,∠E=∠EMA,∠BQM=∠BMQ. (1)试说明:EF∥BC; (2)若FP⊥AC,∠2+∠C=90°,试说明:∠1=∠B; (3)若∠3+∠4=180°,∠BAF=3∠F-20°,求∠B 的度数. 22.(8分)已知AB∥CD,EF 分别与AB,CD 交于点E,F,M是EF上的定点,N是直线CD 上一动点(点 N 不与点 F 重合). (1)如图,若∠AEF=120°,∠FMN=50°,求∠FNM 的度数; (2)点 N 在运动的过程中,试探究∠AEF,∠FMN 和∠FNM 的数量关系,并说明理由. 23.(8分)如图(1),点 E 在射线BA,DC 之间,且AB∥DC. (1)试说明:; (2)如图(2),若F 是射线BA 上的一点,且∠BEF=∠BFE,EG平分∠DEB,交射线 BA 于点G,∠D=30°,求∠FEG 的度数. 24.(8分)(2025·广东中山期中)如图(1),已知CD∥EF,A,B 分别是CD 和EF 上一点,BC 平分∠ABE,BD 平分∠ABF. (1)试说明:BD⊥BC; (2)如图(2),若G 是BF 上一点,且∠BAG=50°,作∠DAG 的平分线,交 BD 于点 P,求∠APD 的度数； (3)如图(3),过点 A 作AN⊥EF 于点N,作AQ∥BC交EF 于点Q,作 AM 平分∠BAN 交EF 于点M,求∠MAQ 的度数. 25.(10分)已知直线AB∥DC,P 为平面上一点,连接AP 与CP. (1)如图(1),点 P 在直线AB,CD 之间,当∠BAP=60°,∠DCP=20°时,求∠APC 的度数; (2)如图(2),点 P 在直线AB,CD 之间,∠BAP 与∠DCP 的平分线相交于点K,写出∠AKC 与∠APC 之间的数量关系，并说明理由； (3)如图(3),点 P 落在CD外,∠BAP 与∠DCP 的平分线相交于点K,写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由. 26.(12分)(2025·福建漳州漳浦期中)[项目学习]自行车尾灯工作原理的研究. [预备知识]三角形三个内角的和等于180°，可直接运用此结论进行解题. [探究发现](1)如图(1)，已知CD 为平面镜，AO 为入射光线，OB 为反射光线，从入射点O引出一条垂直于镜面CD 的射线OE.经过探究发现：可得 与 的数量关系为 [数学思考](2)如图(2)，已知AB，BC为两个平面镜，DE 为入射光线，FG 为反射光线.若 则光线 DE 与FG 一定平行吗?为什么? [知识应用](3)自行车尾灯是由红色塑料罩片包裹的若干个小平面镜组成，利用平面镜反射光线，以提醒后方车辆注意车距.如图(3)，数学小组模拟了当后面汽车的灯光照射在前面自行车尾灯上的光线图，由于驾驶员的视点G会高于反射点F，所以反射光线 FG 会与水平视线GH 成一定角度，若 GH，请探索∠G 与∠B 满足的数量关系. 1. A [解析]①等角的补角相等，正确，符合题意； ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原说法错误，不符合题意； ③相等的角不一定是对顶角，故原说法错误，不符合题意； ④过直线外一点作这条直线的垂线段，则这条垂线段的长度叫作这个点到这条直线的距离，故原说法错误，不符合题意.故正确的有1个.故选 A. 2. B [解析]∵AB∥CD,∴∠AEG=∠2=50°. ∵∠1=70°, ∴∠GEF=180°-∠1-∠AEG=180°-70°-50°=60°.故选 B. 3. B [解析]由题意,得 BM⊥CD,∴∠CBM=90°. ∵∠ABC=50°, ∴∠ABE+∠FBM=180°-90°-50°=40°. ∠ABE=∠FBM, ∴∠EBC=20°+50°=70°.故选 B. 4. A 5. B [解析]∵OE⊥OC,∴∠COE=90°. ∵∠AOC+∠COE+∠BOE=180°,∠AOC=58°, ∴∠EOB=180°-90°-58°=32°.故选 B. 6. A [解析]∵a∥b,∴旋转后的∠2=∠1=80°. ∴要使木条a与b平行，木条a绕点A 顺时针旋转的度数可以是110°-80°=30°.故选 A. 7. C [解析]如图,过C作CK∥AB, ∵DE∥AB,∴CK∥DE. ∵BC⊥AB,∴BC⊥CK, ∴∠BCK=90°, ∵∠EDC=126°, ∴∠DCK=180°-∠CDE=54°, ∴∠DCB=∠DCK+∠BCK=144°.故选 C. 8. B [解析]如图,根据题意,得a∥b,∴∠2+∠4=180°. 又∠2=115°,∴∠4=65°. 又c∥d, 故∠3=∠4=65°.故选 B. 9. C [解析]如图(1). ∵OF⊥CD, ∴∠COF=∠DOF=90°. ∵∠BOF=32°,∴∠BOD=58°, ∴∠AOC=∠BOD=58°. ∵OE平分 如图(2).∵OF⊥CD,∴∠COF=∠DOF=90°. ∵∠BOF=32°, ∴∠BOD=∠DOF+∠BOF=122°, ∴∠AOC=∠BOD=122°. ∵OE 平分∠AOC, 故∠COE 的度数为 61°或 29°.故选 C. 10. A [解析]如图,延长 FG,交CH 于点I. ∵AB∥CD,∴∠BFD=∠D,∠AFI=∠FIH. ∵FD∥EH,∴∠EHC=∠D. ∵FE平分∠AFG,∠AFG=2∠D, ∴∠FIH=2∠AFE=2∠EHC, ∴3∠EHC=90°,∴∠EHC=30°,∴∠D=30°, ∴2∠D+∠EHC=2×30°+30°=90°, ∴①错误,②正确. ∵FE平分∠AFG,∴∠AFI=30°×2=60°. ∵∠BFD=∠D=30°,∴∠GFD=90°, ∴∠GFH+∠HFD=90°, ∴∠HFD 未必为30°,∠GFH 未必为45°,只要和为 90°即可，∴③，④不一定正确.故选 A. 11.50°[解析]如图,过点 B 作BH∥FG,则BH∥FG∥DE, ∴∠CBH=∠1=10°, 由题意,得∠ABC=60°, ∴∠ABH=∠ABC-∠CBH=50°. ∵BH∥DE,∴∠2=∠ABH=50°. 12.20 [解析]如图,过点C作CF∥AB,则CF∥AB∥ED. ∵CF∥AB, ∴∠CAB+∠ACF=180°. 又∠CAB=125°, ∴∠ACF=55°, 又∠ACD=75°, ∴∠FCD=∠ACD-∠ACF=20°, ∴∠CDE=∠FCD=20°. 13.129 [解析]∵OE⊥AB,∴∠AOE=90°. ∵∠EOD=39°,∴∠AOD=∠AOE+∠EOD=129°, ∴∠COB=∠AOD=129°. 14.∠C-∠B+∠D=180° [解析]如图,过点 C 作CF∥AB, ∵AB∥DE,∴AB∥DE∥CF, ∴∠1=∠2,∠3+∠4=180°, ∴∠3=∠BCD-∠2=∠BCD-∠1, ∴∠BCD-∠1+∠4=180°, 即∠C-∠B+∠D=180°. 15.①25 ② [解析]①∵AB∥CD, ∴∠AMP=∠EPN=50°. 由折叠的性质可知 ②∵AB∥CD,∴∠CNM=∠AMN. ∵∠AMG=k∠CNM,∴∠AMG=k∠AMN. 设∠AMN=x,则∠PMN=x,∠AMG= kx,∠BMP=180°-2x. 由折叠的性质可知∠GMP=∠BMP, ∴2x+ kx=180°-2x,解得 16.38°或64° [解析]当点 Q 落在直线AB 上时,如图(1)所示： 由折叠,得∠QPF=∠EPF. ∵∠QPF+∠EPF=180°, ∴∠QPF=∠EPF=90°. ∵∠PEF=52°,∴∠EFP=90°-∠PEF=38°;当点 Q 落在CD 上时，如图(2)所示： ∵AB∥CD,∴∠EFD=∠PEF=52°, ∴∠EFQ=180°-∠EFD=128°. 由折叠，得 综上所述,∠EFP 的度数为38°或64°. 17.12 [解析]如图,过点 C作CP⊥AB 于点 P,由垂线段最短可知，此时 PC 最小. 即 解得 PC=12. 故线段 PC 的最小值为12. 18.①③ 19.(1)∵直线a∥b,∴∠3=∠1=60°. 又AC⊥AB,∴∠2=90°-∠3=30°. (2)如图,过A 作AD⊥BC 于点D,则AD 的长即为点A到直线b的距离. ∴点 A 到直线b的距离为 20.(1)∵OA 平分∠COE,∴∠3=∠2. ∵∠1=∠3,∴∠2=∠1,∴AB∥CD. 内错角相等，两直线平行 (2)∵AB∥CD,∴∠6=∠DOF. ∵OB 平分∠DOE, ∵∠5:∠6=2:5,∴∠DOE:∠DOF=4:5, ∵∠DOE+∠DOF=180°, ∴∠COE=∠DOF=100°. ∵OA 平分∠COE, ∴∠AOF=180°-∠AOE=130°, ∴∠AOF 的度数为130°. 21.(1)∵∠E=∠EMA,∠BQM=∠BMQ,∠EMA=∠BMQ, ∴∠E=∠BQM,∴EF∥BC. (2)∵FP⊥AC,∴∠PGC=90°. ∵EF∥BC,∴∠EAC+∠C=180°. ∵∠2+∠C=90°, ∴∠EAC-∠2=∠BAC=90°, ∴∠BAC=∠PGC=90°, ∴AB∥FP,∴∠1=∠B. (3)∵∠3+∠4=180°,∠4=∠MNF, ∴∠3+∠MNF=180°, ∴AB∥FP,∴∠F+∠BAF=180°. ∵∠BAF=3∠F-20°, ∴∠F+3∠F-20°=180°,∴∠F=50°. ∵AB∥FP,EF∥BC, ∴∠B=∠1,∠1=∠F, ∴∠B=∠F=50°. 22.(1)如图(1),过点 M 作MP∥AB. ∵AB∥CD,∴AB∥MP∥CD, ∴∠PMF=∠AEF=120°=∠PMN+∠NMF, ∴∠PMN=∠PMF-∠NMF=120°-50°=70°, ∴∠FNM=∠PMN=70°, ∴∠FNM 的度数为70°. (2)①如图(2),当点 N 在点 F 的左边时, 过点M作MP∥AB,得AB∥MP∥CD,由(1)可知∠AEF=∠PMF,且∠FNM=∠PMN,∠PMF=∠PMN+∠FMN,∴∠AEF=∠FNM+∠FMN. ②如图(3),当点 N 在点 F 的右边时,过点 M 作 PQ∥AB,得AB∥PQ∥CD, ∴∠AEF+∠PME=180°. ∵∠PME=∠FMQ,∴∠AEF+∠FMQ=180°. ∵∠FMQ=∠FMN+∠NMQ,∠NMQ=∠FNM, ∴∠AEF+∠FMN+∠FNM=180°. 综上所述,当点 N 在点 F 的左边时,∠AEF=∠FNM+∠FMN;当点 N 在点 F 的右边时,∠AEF+∠FMN+∠FNM=180°. 23.(1)如图(1),过点 E 作EF∥DC. ∵EF∥DC,∴∠CDE=∠DEF. ∵AB∥DC,EF∥DC,∴EF∥AB, ∴∠FEB+∠ABE=180°. ∵∠FEB=∠DEB-∠DEF=∠DEB-∠CDE, ∴∠DEB+∠ABE-∠CDE=180°, 即∠DEB+∠ABE=180°+∠CDE. (2)如图(2),过点 E 作EH∥DC. ∵EH∥DC,∴∠DEH=∠D=30°. ∵EH∥DC,AB∥DC,∴AB∥EH, ∴∠HEB+∠ABE=180°,∠HEF=∠BFE. ∵∠BEF=∠BFE,∴∠BEF=∠HEF, 由(1)知,∠DEB+∠ABE-∠CDE=180°, ∵∠D=30°,∴∠DEB+∠ABE =180°+∠CDE= ∵EG 平分 24.(1)∵BC平分∠ABE,BD 平分∠ABF, (2)如图(1),过点 P 作PQ∥CD. ∵CD∥EF,∴PQ∥EF,∴∠DAP=∠APQ,∠QPB=∠PBG. ∵BD平分∠ABG,AP 平分∠DAG, ∵∠DAG+∠BAG+∠ABG=180°,∠BAG=50°, ∴2∠DAP+2∠PBG+50°=180°, ∴∠DAP+∠PBG=65°, ∴∠APQ+∠QPB=65°,即∠APB=65°, (3)如图(2). ∵AQ∥BC, ∴∠1=∠4,∠2+∠3+∠4=180°. ∵BC平分∠ABE, ∴∠1=∠2,∴∠2=∠4, ∴∠2+∠3+∠4=2∠4+∠3=180°,即 又AN⊥EF,∴∠ANB=∠ANQ=90°, ∴∠BAN=90°-∠3,∠NAQ=90°-∠4. ∵AM平分∠BAN,∴∠MAN= (90°-∠3), 即∠MAQ=45°. 25.(1)如图(1),过点 P 作PF∥AB. ∵AB∥CD,∴PF∥AB∥CD, ∴∠APF=∠BAP,∠CPF=∠DCP, ∴∠APC=∠APF+∠CPF=∠BAP+∠DCP=60°+ 理由如下： 如图(2),过点 K 作KE∥AB. ∵AB∥CD,∴KE∥AB∥CD, ∴∠AKE=∠BAK,∠CKE=∠DCK, ∴∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK. 由(1)知,∠APC=∠BAP+∠DCP. ∵∠BAP 与∠DCP 的平分线相交于点 K, 理由如下： 如图(3),过点 K 作KE∥AB,过点 P 作PF∥AB. ∵AB∥CD,∴KE∥AB∥CD, ∴∠BAK=∠AKE,∠DCK=∠CKE, ∴∠AKC=∠AKE-∠CKE=∠BAK-∠DCK.同理,得∠APC=∠BAP-∠DCP. ∵∠BAP 与∠DCP 的平分线相交于点K, 26.(1)∠AOC=∠BOD [解析]∵OE⊥CD,∴∠COE=∠DOE=90°, ∴∠AOE+∠AOC=∠BOE+∠BOD=90°. ∵∠AOE=∠BOE,∴∠AOC=∠BOD. (2)DE∥FG,理由如下:过点 E 作EM⊥AB,过点 F 作FN⊥BC,如图(1)所示: 根据(1)可知,∠AED =∠BEF,∠BFE =∠CFG,∠DEM=∠FEM,∠EFN=∠GFN. ∵AB⊥BC,∴∠B=90°, ∴∠DEM+∠FEM+∠EFN+∠GFN=90°+90°=180°,即∠DEF+∠EFG=180°,∴DE∥FG. (3)延长EF交GH于点M,如图(2)所示: 根据(1)可知， ∵DE∥GH,∴∠EMG+∠DEF=180°, 即 学科网（北京）股份有限公司 $