精品解析：山西太谷中学校2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

2025-2026学年度第二学期高二期中考试 数学试题 本试卷满分：150 考试时间；120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若随机变量，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 1或3 3. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 4. 如图，一套俄罗斯套娃由8个大小各不相同套娃组成，将这8个套娃放置在一个上下两层的展示架上，上层放置3个，下层放置5个，且要求每层的套娃左边都比右边的大，则不同的放置方法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 5. 有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为（ ） A. 40 B. 48 C. 52 D. 60 6. 的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中常数项为（ ） A. 2520 B. 1440 C. D. 7. 某校运动会排球决赛采用5局3胜制，每局必须分出胜负，各局之间互不影响，只要有一队获胜3局就结束比赛.已知甲球队每局获胜的概率均为，设为决出冠军时比赛的场数，则（ ） A. B. C. D. 8. 某疾病在人群中的患病率为，该疾病患者被检测出（结果为阳性）的概率为，阴性人群被检测为阳性的概率为，则一个人检测结果为阳性的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 若，则下列说法正确的是（ ） A. 的展开式中奇数项的二项式系数之和为 B. C. D. 除以10的余数为9 10. 某学校为迎接校园艺术节的到来，决定举行文艺晚会，节目单中有，，，，，，共7个节目，则下列结论正确的是（ ） A. 若节目与节目相邻，则共有1440种不同的安排方法 B. 若节目与节目不相邻，则共有3000种不同的安排方法 C. 若节目在节目之前表演（可以不相邻），则共有2420种不同的安排方法 D. 若决定在已经排好的节目单中临时添加3个节目，现有节目次序不变，则共有720种不同的安排方法 11. 甲、乙两个盒子中各装有1个单色球和5个双色球，现从甲、乙两个盒子中各取1个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作，记甲盒子中单色球的个数为，恰有1个单色球的概率为，则（ ） A. B. 是等比数列 C. D. 的数学期望为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如果随机变量，且，则_______. 13. 某校高三学生共人，其身高近似服从正态分布（单位：cm），身高大于称为“高个子”，则全校高三学生中“高个子”的学生人数约为______人.（参考数据：，结果保留整数） 14. 有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 将一枚骰子连续抛掷三次，掷出的数字顺次排成一个三位数． （1）可以排出多少个不同的三位数？ （2）各位数字互不相同的三位数有多少个？ （3）恰好有两个数字相同的三位数共有多少个？ 16. 已知的二项展开式中，前三项的二项式系数和等于46. （1）求展开式中所有项的系数和； （2）求展开式中含的项. 17. 在一个不透明的箱子里有8个大小相同的小球，其中5个黑球，3个红球.从中不放回地依次摸出3个小球. （1）求前两次摸出的球均为黑球的概率； （2）记表示摸出的小球中红球的数量，求的分布列及其数学期望. 18. 某网红景点为促进本地旅游，在五一期间举行购票抽奖活动，根据网上购票与景点购票，设置两种不同的抽奖方案． 方案1：通过网上购票的游客，可进入景点网页中设置的小程序抽奖，每个顾客可抽奖2次，每次抽奖可随机获得0元、10元、20元的奖金． 方案2：通过景点购票的游客，可从装有3个红球和7个白球的抽奖箱中，不放回地取球3次，每次取1个球，第次取到红球，可得10i元奖金，取到白球没有奖金． （1）游客甲通过网上购票，记甲抽奖获得的奖金总金额为元，求； （2）游客乙通过景点购票，记乙抽奖获得的奖金为元，求的分布列； （3）试从游客所得奖金金额的期望值分析，游客选择哪种购票方式更划算． 19. 学校举行数学知识竞赛，每班派出一个由两名同学组成的参赛队参加比赛，比赛分为初赛和决赛，规则如下：初赛由参赛队中一名同学答题3次，若3次都未答对，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少答对一次，则该队进入决赛.决赛由该队的另一名同学答题3次，每次答对得3分，未答对得0分，该队的比赛成绩为决赛的得分总和. 某班参赛队由甲、乙两名同学组成，设甲每次答题答对的概率为，乙每次答题答对的概率为，且每次答题相互独立. （1）若，甲同学参加初赛，求该班进入决赛的概率； （2）若，，乙同学参加初赛，记该班的比赛成绩为，求的分布列和数学期望； （3）设，，为使得该班的比赛成绩为9分的概率最大，应如何安排甲、乙出场比赛的顺序？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期高二期中考试 数学试题 本试卷满分：150 考试时间；120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若随机变量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用二项分布的概率求法求概率. 【详解】由题设． 故选：A 2. 已知，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 1或3 【答案】C 【解析】 【分析】根据排列组合公式列方程求参数. 【详解】由题意知，且，解得． 故选：C 3. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性计算得解. 【详解】依题意，由正态分布的对称性得． 故选：C 4. 如图，一套俄罗斯套娃由8个大小各不相同套娃组成，将这8个套娃放置在一个上下两层的展示架上，上层放置3个，下层放置5个，且要求每层的套娃左边都比右边的大，则不同的放置方法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，只需从8个套娃中任选3枚放在上层，或者任选5枚放在下层都可以达到要求，故得方法数. 【详解】依题意，只需从8枚套娃中任选3枚放上层，有种，因为每层套娃左边都比右边的大， 则上下排法均只有1种，所以不同的摆放方法有种. 故选：A. 5. 有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为（ ） A. 40 B. 48 C. 52 D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，根据分步乘法原理，可得答案. 【详解】先从四对双胞胎中选出一对，有种选择； 然后从剩下的六个人中选出两个人，且不能是同一对双胞胎， 这相当于从三对双胞胎中选出两对，再从每对中选出一个人，共有种选择. 根据乘法原理，总共有种选法. 故选：B. 6. 的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中常数项为（ ） A. 2520 B. 1440 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，赋值法求出a的值，再由二项式通项公式求解即可. 【详解】由题意，的展开式中各项系数的和为3，令，得，即， 故原式， 因为， 的通项， 所以的展开式中的常数项， 所以的展开式中的常数项， 故该展开式中常数项为. 7. 某校运动会排球决赛采用5局3胜制，每局必须分出胜负，各局之间互不影响，只要有一队获胜3局就结束比赛.已知甲球队每局获胜的概率均为，设为决出冠军时比赛的场数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知说明的含义，然后根据独立事件乘法公式求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，表示“前3局甲一胜两负，第四局甲负”或“前3局甲两胜一负，第四局甲胜” 前3局甲一胜两负，第四局甲负的概率； 前3局甲两胜一负，第四局甲胜的概率. 所以，. 故选：A. 8. 某疾病在人群中的患病率为，该疾病患者被检测出（结果为阳性）的概率为，阴性人群被检测为阳性的概率为，则一个人检测结果为阳性的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由全概率公式即可求解. 【详解】用事件表示一个人患此种疾病，用事件表示检测结果为阳性， 则，， 所以 ． 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 若，则下列说法正确的是（ ） A. 的展开式中奇数项的二项式系数之和为 B. C. D. 除以10的余数为9 【答案】BC 【解析】 【分析】由二项展开式二项式系数之和的性质判断A；利用赋值法判断B；利用展开式通项公式判断C；利用构造二项式的展开式来解决整除和余数问题判断D. 【详解】的展开式中奇数项的二项式系数之和为，故A错误； 令，可得，令，， 则，故B正确； ，故C正确； ，故除以10的余数为1，故D错误. 故选：BC. 10. 某学校为迎接校园艺术节的到来，决定举行文艺晚会，节目单中有，，，，，，共7个节目，则下列结论正确的是（ ） A. 若节目与节目相邻，则共有1440种不同的安排方法 B. 若节目与节目不相邻，则共有3000种不同的安排方法 C. 若节目在节目之前表演（可以不相邻），则共有2420种不同的安排方法 D. 若决定在已经排好的节目单中临时添加3个节目，现有节目次序不变，则共有720种不同的安排方法 【答案】AD 【解析】 【分析】利用捆绑法，插空法等求得每个选项的排列数可判断其正确性. 【详解】若节目与节目相邻，共有种不同的安排方法，故正确； 若节目与节目不相邻，共有种不同的安排方法，故B错误； 因为节目在节目之前表演与节目在节目之前表演的情况是一样的， 所以共有种不同的安排方法，故C错误； 添加第一个节目有8种情况，添加第二个节目有9种情况，添加第三个节目有10种情况， 共有种不同的安排方法，故D正确. 故选：AD. 11. 甲、乙两个盒子中各装有1个单色球和5个双色球，现从甲、乙两个盒子中各取1个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作，记甲盒子中单色球的个数为，恰有1个单色球的概率为，则（ ） A. B. 是等比数列 C. D. 的数学期望为1 【答案】ABD 【解析】 【分析】设重复进行次这样的操作，甲盒中恰有2个单色球的概率为，则甲盒中恰有0个单色球的概率为，对于A根据题意有计算即可判断，对于B，化简得，即即可判断，对于C由得，即可判断，对于D计算即可判断. 【详解】设重复进行次这样的操作，甲盒中恰有2个单色球的概率为，则甲盒中恰有0个单色球的概率为．由题意知，故A正确． ，， 则．因为，所以是以为首项，为公比的等比数列，故B正确． 由，，故C错误． 因为①， ②． 由①-②得．又因为， 所以，所以，所以，故D正确． 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如果随机变量，且，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据随机变量符合二项分布和二项分布的期望和方差公式，得到关于和的方程组，求解即可. 【详解】因为，，所以，所以①， 又，所以②， ①代入②，得，解得. 故答案为：. 13. 某校高三学生共人，其身高近似服从正态分布（单位：cm），身高大于称为“高个子”，则全校高三学生中“高个子”的学生人数约为______人.（参考数据：，结果保留整数） 【答案】 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性，结合概率公式，可得答案. 【详解】由身高近似服从正态分布，则， 所以， 可得全校高三学生中“高个子”的学生人数约为（人）. 故答案为：. 14. 有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则，就的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率. 【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有种， 设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则， 故，故， 故， 若，则，则为：，故有2种， 若，则，则为：， ，故有10种， 当，则，则为： ， ， 故有16种， 当，则，同理有16种， 当，则，同理有10种， 当，则，同理有2种， 共与的差的绝对值不超过时不同的抽取方法总数为， 故所求概率为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 将一枚骰子连续抛掷三次，掷出的数字顺次排成一个三位数． （1）可以排出多少个不同的三位数？ （2）各位数字互不相同的三位数有多少个？ （3）恰好有两个数字相同的三位数共有多少个？ 【答案】（1）216 （2）120 （3）90 【解析】 【分析】（1）可先排百位，再排十位，最后排个位，结合分步乘法计数原理，即可求解； （2）根据题意，先排百位，再排十位，最后排个位，结合分步乘法计数原理，即可求解； （3）根据题意，可分为百位、十位相同，十位、个位相同，百位、个位相同，且每种都有个，进而得到答案. 【小问1详解】 解：根据题意，可分三步进行：先排百位，再排十位，最后排个位， 根据分步乘法计数原理知，可以排出（个）不同的三位数． 【小问2详解】 解：根据题意，可分三步进行：先排百位，再排十位，最后排个位， 百位上数字的排法有6种，十位上数字的排法有5种，个位上数字的排法有4种， 根据分步乘法计数原理知，各位数字互不相同的三位数有（个）． 【小问3详解】 解：两个数字相同有三种可能，即百位、十位相同，十位、个位相同，百位、个位相同， 且每种都有（个），故满足条件的三位数共有（个）． 16. 已知的二项展开式中，前三项的二项式系数和等于46. （1）求展开式中所有项的系数和； （2）求展开式中含的项. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用前三项的二项式系数和求出参数，再利用赋值法求出所有项的系数和即可. （2）利用二项式定理求出指定项的系数，再写出指定项即可. 【小问1详解】 因为前三项的二项式系数和等于46，所以， 即，即，所以（舍）或. 令，得， 所以展开式中所有项的系数和为. 【小问2详解】 由（1）知二项式为， 其二项展开式的通项公式为， 令，得， 所以展开式中含的项为. 17. 在一个不透明的箱子里有8个大小相同的小球，其中5个黑球，3个红球.从中不放回地依次摸出3个小球. （1）求前两次摸出的球均为黑球的概率； （2）记表示摸出的小球中红球的数量，求的分布列及其数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）求出每次为黑球的概率，在相乘即可； （2）写出随机变量的所有取值，再求出对应概率，即可求出分布列，再根据期望公式求期望即可. 【小问1详解】 由题意，前两次摸出的球均为黑球的概率； 【小问2详解】 由题意，可取， 则， ， ， ， 所以的分布列为 . 18. 某网红景点为促进本地旅游，在五一期间举行购票抽奖活动，根据网上购票与景点购票，设置两种不同的抽奖方案． 方案1：通过网上购票的游客，可进入景点网页中设置的小程序抽奖，每个顾客可抽奖2次，每次抽奖可随机获得0元、10元、20元的奖金． 方案2：通过景点购票的游客，可从装有3个红球和7个白球的抽奖箱中，不放回地取球3次，每次取1个球，第次取到红球，可得10i元奖金，取到白球没有奖金． （1）游客甲通过网上购票，记甲抽奖获得的奖金总金额为元，求； （2）游客乙通过景点购票，记乙抽奖获得的奖金为元，求的分布列； （3）试从游客所得奖金金额的期望值分析，游客选择哪种购票方式更划算． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）游客选择网上购票更划算 【解析】 【分析】（1）利用独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式计算即可； （2）利用排列组合和古典概型的概率公式求分布列； （3）先求出的分布列，再计算两个随机变量的期望，比大小即可. 【小问1详解】 ，即两次都抽到20元的红包，或1次抽到10元的红包，1次抽到20元的红包，每次抽到任意红包的概率均为， 所以． 【小问2详解】 由题意得的可能取值为0，10，20，30，40，50，60， ， ， ，， 所以的分布列为： 0 10 20 30 40 50 60 【小问3详解】通过景点购票，由（2）得， 的可能取值为0，10，20，30，40， ， ， ， 所以， 故， 所以游客选择网上购票更划算. 19. 学校举行数学知识竞赛，每班派出一个由两名同学组成的参赛队参加比赛，比赛分为初赛和决赛，规则如下：初赛由参赛队中一名同学答题3次，若3次都未答对，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少答对一次，则该队进入决赛.决赛由该队的另一名同学答题3次，每次答对得3分，未答对得0分，该队的比赛成绩为决赛的得分总和. 某班参赛队由甲、乙两名同学组成，设甲每次答题答对的概率为，乙每次答题答对的概率为，且每次答题相互独立. （1）若，甲同学参加初赛，求该班进入决赛的概率； （2）若，，乙同学参加初赛，记该班的比赛成绩为，求的分布列和数学期望； （3）设，，为使得该班的比赛成绩为9分的概率最大，应如何安排甲、乙出场比赛的顺序？ 【答案】（1） （2）的分布列见解析，数学期望为 （3）为使得该班的比赛成绩为9分的概率最大，当时，应安排乙初赛，甲决赛；当时，应安排甲初赛，乙决赛. 【解析】 【分析】（1）结合对立事件的概率公式及独立重复试验的概率计算即可. （2）确定随机变量的可能取值，分类计算概率，列出分布列，计算数学期望即可. （3）分别求出“甲初赛，乙决赛”和“乙初赛，甲决赛”的概率，比较大小即可. 【小问1详解】 已知甲每次答题答对的概率为，则甲每次答题答错的概率为. 因为甲答题3次是相互独立事件，所以甲3次都未答对的概率为. 该班进入决赛的对立事件是甲3次都未答对， 所以该班进入决赛的概率为. 【小问2详解】 已知乙同学参加初赛，若乙3次都未答对，则该班被淘汰，比赛成绩为0分；若乙至少答对一次，则进入决赛，决赛由另一名同学答题3次，每次都答对得3分，未答对得0分， 乙初赛答对概率，甲决赛答对概率. 的可能取值为0，3，6，9. ①乙初赛全错或乙初赛至少答对1次但甲决赛全错. . ②乙初赛至少答对1次，甲决赛答对1次. . ③乙初赛至少答对1次，甲决赛答对2次. . ④乙初赛至少答对1次，甲决赛答对3次. . 所以该班的比赛成绩的分布列为 0 3 6 9 数学期望为. 【小问3详解】 成绩为9分的条件：初赛选手至少答对1次，决赛选手3次全答对. 甲初赛，乙决赛：. 乙初赛，甲决赛：. . 因为，所以. 又，，所以，所以. 当时，，此时，即，故乙初赛，甲决赛时，成绩为9分的概率更大； 当时，，此时，即，故甲初赛，乙决赛时，成绩为9分的概率更大； 综上，为使得该班的比赛成绩为9分的概率最大，当时，应安排乙初赛，甲决赛；当时，应安排甲初赛，乙决赛. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $