精品解析：山西怀仁大地高中学校等校2025-2026学年高二下学期4月期中质量检测数学试题

高二数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量X服从两点分布，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 3. 某化学学习小组有10名同学，其中有4名女生，6名男生，现从中随机抽取3名同学完成一个实验，设抽到的女生人数为X，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 有5名护士到某医院实习，该医院将这5名护士分到心内科、心外科、骨科这三个科室，每个科室至少分1人，且每人只去一个科室，则不同的分配方案种数为（ ） A. 40 B. 90 C. 120 D. 150 6. 已知点，，在直线上存在点，满足，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆：的右焦点为，左顶点为，上顶点为.设为坐标原点，点在上，若，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 含甲、乙、丙的5人站成一排，其中甲不能站最左端，乙、丙必须相邻且丙不能站最右端，则满足要求的不同站法种数为（ ） A. 12 B. 16 C. 32 D. 34 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设双曲线，则（ ） A. C的虚轴长为4 B. C的焦距为 C. C的离心率为 D. C的渐近线方程为 10. 已知的展开式的二项式系数之和为128，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的系数为560 C. 展开式中各项系数和为1 D. 展开式中二项式系数最大的项只有第4项 11. 某智能系统在进行数据分类时，其准确性受前一次分类结果的影响．记表示事件“第n次分类正确”，表示第n次分类正确的概率．已知，且满足以下条件：若第n次分类正确，则第次分类正确的概率为；若第n次分类错误，则第次分类正确的概率为．记，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若第n次分类正确，则第次分类正确的概率为 C. 数列是等比数列 D. 数列的前n项和为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则的单调递减区间为______. 13. 甲、乙两人计划周末各自从5个备选景点中选择2个进行游览，则他们选的景点至少有1个相同的选法有______种. 14. 某商场在清明节假期期间举办有奖消费活动，抽奖方法如下：，袋中各有5张奖券，其中袋中有2张一等奖和3张二等奖，袋中有3张一等奖和2张二等奖，先从装着标有数字1，2，3，4，5，6的号签筒中任抽1签，若是1，2，3，4 号签，则从袋中随机抽取1张奖券，若是5，6号签，则从袋中随机抽取1张奖券．已知某顾客抽到了一等奖奖券，则该一等奖奖券来自袋的概率 ______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：； （2）证明：. 16. 已知数列满足，且. （1）求的通项公式； （2）求的前n项和. 17. 甲、乙两人参加某职业资格考试的面试，面试官准备了5个题目，每位面试者从中随机抽取2个回答，2个全回答正确，则面试合格.甲这5题中有3题会2题不会，乙有4题会1题不会. （1）求甲、乙面试都合格的概率； （2）记在这次面试中甲、乙答对题目的个数之和为X，求X的分布列. 18. 某工厂有甲、乙两个车间加工同一种零件，已知加工该零件需要两道工序，每道工序的加工结果相互独立，且只有每道加工工序都合格，该产品才能出厂进行销售.已知甲车间每道加工工序合格的概率均为0.9；乙车间第一、二道加工工序合格的概率分别为0.95，0.8. （1）对6个来自甲车间，4个来自乙车间的零件进行质检. （ⅰ）若从这10个零件中随机抽取2个零件，设其中来自甲车间的零件数为X，求X的分布列； （ⅱ）若从这10个零件中随机抽取1个，求该零件可以出厂销售的概率. （2）甲车间加工的每个零件，销售后可以盈利100元，若不能销售则亏损30元，乙车间加工的每个零件，销售后可以盈利100元，若不能销售则亏损20元.由于市场对这种零件需求旺盛，该工厂计划扩建其中一个车间以增加产量，若以两个车间各加工100个零件的平均获利为决策依据，请判断该工厂应扩建哪个车间. 19. 已知函数，，. （1）讨论的单调性； （2）若在上恰有三个零点，求实数a的取值范围； （3）若，是在上不为1的两个零点，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得，所以准线方程为. 2. 已知随机变量X服从两点分布，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 【答案】B 【解析】 【详解】因为X服从两点分布，所以，结合条件得，． 3. 某化学学习小组有10名同学，其中有4名女生，6名男生，现从中随机抽取3名同学完成一个实验，设抽到的女生人数为X，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】表示抽到的3名同学中女生2人，男生1人，利用组合知识即可求解， 【详解】由于表示抽到的3名同学中女生2人，男生1人，所以 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用赋值法，令、和，再列式求解即可． 【详解】解：令，得①， 令，得②， ①＋②，得， 即， 令，得， ∴． 5. 有5名护士到某医院实习，该医院将这5名护士分到心内科、心外科、骨科这三个科室，每个科室至少分1人，且每人只去一个科室，则不同的分配方案种数为（ ） A. 40 B. 90 C. 120 D. 150 【答案】D 【解析】 【分析】先将5名护士分成3组，再将这3组分配到心内科、心外科、骨科，每个科室1组，即可求解. 【详解】先将5名护士分成3组，每组至少1人， 不同的分组方法种数为 ， 再将这3组分配到心内科、心外科、骨科，每个科室1组，有种方法， 根据分步乘法计数原理知，不同的分配方案种数为. 6. 已知点，，在直线上存在点，满足，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，由，可得点的轨迹方程，结合题意，由弦心距小于等于半径，列不等式计算即可求解. 【详解】设．∵， ∴，化简整理，得， ∴点在以为圆心，为半径的圆上， 由题意可知，直线与圆有公共点， ∴，解得． 7. 已知椭圆：的右焦点为，左顶点为，上顶点为.设为坐标原点，点在上，若，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用得出相似关系，求出，即可求出离心率. 【详解】由题意易得， 因为，所以，即，化简得， 故，所以. 故选：A 8. 含甲、乙、丙的5人站成一排，其中甲不能站最左端，乙、丙必须相邻且丙不能站最右端，则满足要求的不同站法种数为（ ） A. 12 B. 16 C. 32 D. 34 【答案】C 【解析】 【分析】将问题转化为求以下三种情况：第1类，甲在最右端；第2类，乙站最右端；第3类，甲、乙、丙都不在最右端；根据分类加法计数原理求解即可. 【详解】第1类，甲在最右端，先将乙、丙看成1人与其余2人即3个元素排在甲的左边，有种不同站法， 再排乙、丙，乙、丙有种不同站法，根据分步乘法计数原理，此类共有种不同站法； 第2类，乙站最右端，则丙站乙左边与乙相邻，乙丙有1种站法， 再从除甲外其余2人中选1人站最左端，有种不同站法， 再安排甲和剩余1人有种站法，根据分步乘法计数原理，此类有种不同站法； 第3类，甲、乙、丙都不在最右端，先安排最右端，从除甲、乙、丙外的2人中选1人站最右端，有种不同站法， 再安排左端，先将乙、丙看成1人与剩下的另一人（非甲、乙、丙者）共2个人中选1个安排在最左端， 有种不同安排方法，再安排甲和剩下的另一个人，有种不同方法， 最后安排乙、丙有种不同方法，此类根据分步乘法计数原理有种不同站法. 最后，根据分类加法计数原理，共有种不同站法. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设双曲线，则（ ） A. C的虚轴长为4 B. C的焦距为 C. C的离心率为 D. C的渐近线方程为 【答案】BCD 【解析】 【详解】由双曲线，即，则. 对于A，虚轴长为，故A错误； 对于B，焦距为，故B正确； 对于C，离心率为，故C正确； 对于D，渐近线方程为，即，故D正确. 10. 已知的展开式的二项式系数之和为128，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的系数为560 C. 展开式中各项系数和为1 D. 展开式中二项式系数最大的项只有第4项 【答案】AC 【解析】 【分析】根据二项式系数之和为运算求解，进而判断A；结合二项式系数的通项分析判断B；令，求各项系数之和，进而判断C；对于D：根据二项式系数的性质分析判断. 【详解】对于A，由题知，，得，故A正确； 对于B，∵， 令，得，∴的系数为 ，故B错误； 对于C，令，得，故C正确； 对于D，∵，∴展开式中共有8项，根据二项式系数的性质知，展开式中二项式系数最大的项为第4项和第5项，故D错误. 11. 某智能系统在进行数据分类时，其准确性受前一次分类结果的影响．记表示事件“第n次分类正确”，表示第n次分类正确的概率．已知，且满足以下条件：若第n次分类正确，则第次分类正确的概率为；若第n次分类错误，则第次分类正确的概率为．记，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若第n次分类正确，则第次分类正确的概率为 C. 数列是等比数列 D. 数列的前n项和为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意可得，直接求出即可判断A；利用条件概率求出即可判断B；对于C，利用构造法即可判断C；对于D，结合C的结论即可得到，再利用等比数列前项和公式求解即可． 【详解】由已知得第次分类正确的概率为 对于A，，A正确； 对于B， ，B正确； 对于C，由，得， 又，所以是首项为，公比为的等比数列， 则不是等比数列，C错误； 对于D，由C项知，，， 所以数列的前n项和为，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则的单调递减区间为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数与函数单调性关系求解即可. 【详解】函数定义域为，且，令，解得. 所以的单调递减区间为 13. 甲、乙两人计划周末各自从5个备选景点中选择2个进行游览，则他们选的景点至少有1个相同的选法有______种. 【答案】70 【解析】 【分析】求出他们选的景点完全相同和恰有1个景点相同的情况数即可. 【详解】根据题意，他们选的景点完全相同的选法有种，恰有1个景点相同的选法有种，故总的选法有70种. 14. 某商场在清明节假期期间举办有奖消费活动，抽奖方法如下：，袋中各有5张奖券，其中袋中有2张一等奖和3张二等奖，袋中有3张一等奖和2张二等奖，先从装着标有数字1，2，3，4，5，6的号签筒中任抽1签，若是1，2，3，4 号签，则从袋中随机抽取1张奖券，若是5，6号签，则从袋中随机抽取1张奖券．已知某顾客抽到了一等奖奖券，则该一等奖奖券来自袋的概率 ______． 【答案】 【解析】 【分析】根据全概率公式及贝叶斯公式计算． 【详解】解：设事件：抽到1，2，3，4号签，事件：抽到5，6号签，事件B：抽到一等奖奖券， 则，，，， ∴， ∴． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：； （2）证明：. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【解析】 【详解】(1) ； (2). 16. 已知数列满足，且. （1）求的通项公式； （2）求的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题设可得，进而得到数列是首项为1，公差为2的等差数列，进而求解即可； （2）根据错位相减法求和即可. 【小问1详解】 ∵，∴， ∴数列是首项为，公差为2的等差数列， ∴，∴. 【小问2详解】 由（1）知， 则，① ∴，② ①②，得 ， ∴. 17. 甲、乙两人参加某职业资格考试的面试，面试官准备了5个题目，每位面试者从中随机抽取2个回答，2个全回答正确，则面试合格.甲这5题中有3题会2题不会，乙有4题会1题不会. （1）求甲、乙面试都合格的概率； （2）记在这次面试中甲、乙答对题目的个数之和为X，求X的分布列. 【答案】（1） （2）的分布列为 【解析】 【小问1详解】 设事件A：甲面试合格，事件B：乙面试合格，事件C：甲、乙面试都合格， 由题知，相互独立，， 因为，， 所以， 所以甲、乙面试都合格的概率为． 【小问2详解】 由题知，随机变量X的所有可能取值为， ，， ，， 所以的分布列为 18. 某工厂有甲、乙两个车间加工同一种零件，已知加工该零件需要两道工序，每道工序的加工结果相互独立，且只有每道加工工序都合格，该产品才能出厂进行销售.已知甲车间每道加工工序合格的概率均为0.9；乙车间第一、二道加工工序合格的概率分别为0.95，0.8. （1）对6个来自甲车间，4个来自乙车间的零件进行质检. （ⅰ）若从这10个零件中随机抽取2个零件，设其中来自甲车间的零件数为X，求X的分布列； （ⅱ）若从这10个零件中随机抽取1个，求该零件可以出厂销售的概率. （2）甲车间加工的每个零件，销售后可以盈利100元，若不能销售则亏损30元，乙车间加工的每个零件，销售后可以盈利100元，若不能销售则亏损20元.由于市场对这种零件需求旺盛，该工厂计划扩建其中一个车间以增加产量，若以两个车间各加工100个零件的平均获利为决策依据，请判断该工厂应扩建哪个车间. 【答案】（1）（i）分布列见解析；（ii） （2）应扩建甲车间 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）写出X的所有可能的取值，分别求出其概率，列出分布列即可. （ⅱ）根据全概率公式及条件，分析求解，即可得答案. （2）分别求出甲、乙车间的平均获利，比较即可得答案. 【小问1详解】 （ⅰ）X的所有可能取值为0，1，2. ，，， 故X的分布列为 X 0 1 2 P （ⅱ）用事件A表示“抽取的零件来自甲车间”，用事件B表示“抽取的零件来自乙车间”， 用事件C表示“抽取的零件可以出厂销售”， 则，， ， . . 【小问2详解】 估计甲车间加工100个零件可以出厂销售的有81个， 甲车间加工100个零件的平均获利为（元）， 估计乙车间加工100个零件可以出厂销售的有76个， 乙车间加工100个零件的平均获利为（元）， 因为，所以应扩建甲车间. 19. 已知函数，，. （1）讨论的单调性； （2）若在上恰有三个零点，求实数a的取值范围； （3）若，是在上不为1的两个零点，求证：. 【答案】（1）当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增； 当时在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在上单调递增. （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数工具分，，以及四种情况研究函数的导数正负情况即可得函数单调性； （2）将问题转化成研究函数有两个不为1的零点，再利用导数工具研究即可； （3），是不为1的两个零点等价为不为1的零点，利用分析法将问题转化为证 ，令，再利用导数研究函数单调性即可求证. 【小问1详解】 由题知，的定义域为， ， 若，当时，，当时，， ∴在区间上单调递减，在区间上单调递增； 若，则， 当或时，，当时，， ∴在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增； 若，则，∴在区间上单调递增； 若，则，当或时，，当时，， ∴在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 综上所述，当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增； 当时在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由（1）知， 显然是的一个零点. 设，则. 若，则， ∴在区间上单调递增， ∴最多有1个零点，即最多有2个零点，不满足题意. 若，当时，，当时，， ∴在区间上单调递减，在区间上单调递增， ∵，当时，， ∴要使在上恰有3个零点，则需有2个不为1的零点， 则，解得. ∵，， 设，则， 设，则， ∴在区间上单调递增， ∴，∴在区间上单调递增， ∴， ∴存在，，使得，即， ∴实数a的取值范围为. 【小问3详解】 由（2）知，，是的不为1的零点，也是的零点， 要证，只需证， 而且 ，又在上单调递增， 故只需证， 又，∴只需证， 即证 . 令， 即， 则（当且仅当时取等号）， ∴在R上单调递增. 由 ，可得 ，即 ， ∴， 且在上单调递增，∴，即，得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $