第18章等腰三角形 单元训练2025-2026学年沪教版五四制七年级数学下册

第18章等腰三角形综合专练 1、 单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．等腰三角形的两边长分别是3和7，则这个等腰三角形的周长为（    ） A．17或13 B．13或21 C．17 D．13 2．如图，在中，和的平分线交于点E，过点E作分别交于M、N，则的周长为（　　）    A．4 B．6 C．7 D．8 3．如图，在中，点D在上，，将沿着翻折得到，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，的平分线相交于点D，过点D作直线，交于E，交于F，图中等腰三角形的个数共有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 5．在中，点D在边的垂直平分线上，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．求证：若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则这个三角形是等腰三角形已知：如图，是的外角，，．求证． 以下是排乱的证明过程： ①又∵，②∴，③∵④∴，，⑤∴．证明步骤正确的顺序是（    ） A． B． C． D． 7．如图，等边中，，与相交于点P，下列结论：（1）；（2）；（3）；其中正确的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．如图，在等边中，点D，E分别是边的中点，点F是边上一动点，连接．当取得最小值时，的度数为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在等边三角形中，D是三角形外一点，且，，点E、F分别在、上，，则下列结论错误的是（   ） A．垂直平分 B．点D在的平分线上 C． D．的周长为 10．如图，分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且有下列结论：①；②；③；④其中，正确的结论是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 二、填空题(本大题共5小题.每小题3分.共计15分) 11．如图，工匠们用这个工具检测屋梁是否水平．当重垂线经过等腰三角尺底边的中点时，可以确定三角形的底边与梁是水平的，否则梁就不是水平的，这样测量利用的几何性质是_______． 12．如图，在中，，分别以点A，B为圆心，5为半径画弧，两弧分别交于点M，N，直线交于点D，连接，则的周长为_______． 13．如图，已知中，，分别是的角平分线．经过点，且，分别交于于，则的周长为______． 14．如图，在等边三角形中，，将线段沿翻折，得到线段，连接交于点N，连接以下说法：①，②，③．④中，正确的是_________． 15．如图，等腰三角形的底边长为6，面积是36，腰的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为______． 16．如图，在中，，过点B作交于点D，点E在的延长线上，F是上一点，连接，若，，，，则______，点B到的距离为______． 三、解答题(本大题共8小题.每题9分.共计72分) 17．如图，在中，，为中点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 18．尺规作图： (1)作边的垂直平分线交于点，连接； (2)作边的垂直平分线交于点，连接（要求：保留作图痕迹，不写作法） 19．如图，平分，点E在上，且；找出图形中的等腰三角形，并加以证明． 20．如图，中，垂直平分，交于点，交于点，，垂足为，且，连接． (1)求证：点为的中点； (2)若，的周长为，求的长； (3)若，，（其中）求的周长．（用含有、的代数式表示） 21．如图，草地边缘与小河河岸在点处形成的夹角．已知，牧民赶着羊从地出发，先让羊到草地吃草，然后再去河边饮水，最后回到地． （1）能否求出整个过程所走的最短路程？___________．（用“能”或“否”填空）； （2）如果能，请你直接写出整个过程所走的最短路程；如果不能，请说明理由_________ 22．在中，D是边上的一点，，，． (1)求的度数； (2)若，，试用a、b表示的周长． 23．如图1，已知是边长为6的等边三角形，以为底边作一个顶角为的等腰三角形．点M，N分别是边与边上的点，并且满足． 要想证明为的平分线，刘同学做了如下思考，如图2，延长至点F，使，连接，通过证明① ，得到，进而证得② ，得证为的平分线； (1)请你将刘同学的思考过程补充完整．①______，②______． (2)在刘同学的思路下求的周长； (3)当点D在内部时，其他条件不变，直接写出的周长． 24．中，． (1)如图，过点作直线，当直线与不相交时，过点作于点，过点作于点，请直接写出线段之间的数量关系为______； (2)如图，当直线与相交时，过点作于点，过点作于点，请写出线段之间的数量关系，并说明理由； (3)如图，点为斜边上一点且不与重合，现将沿翻折得到，直线与直线相交于点．当为等腰三角形时，请直接写出的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18章等腰三角形综合专练 1、 单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．等腰三角形的两边长分别是3和7，则这个等腰三角形的周长为（    ） A．17或13 B．13或21 C．17 D．13 【答案】C 【分析】根据题意，分两种情况讨论腰长，再根据三边关系判断能否构成三角形，进而计算周长． 【详解】解：分两种情况讨论： 情况1：当为腰长时，三角形三边长为， ∵，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形， ∴此情况舍去； 情况2：当为腰长时，三角形三边长为， ∵，，满足三角形三边关系，可以构成三角形. ∴三角形的周长为． 2．如图，在中，和的平分线交于点E，过点E作分别交于M、N，则的周长为（　　）    A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据是角平分线和可以得出，继而可以得出的周长，从而可以得出答案． 【详解】解：∵分别是与的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的周长． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质和等腰三角形的判定，是一道综合题，能够推出是解题的关键． 3．如图，在中，点D在上，，将沿着翻折得到，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由等腰三角形的性质得，再由三角形的外角性质得，则，然后由折叠的性质得，即可求解． 【详解】， ， ， ， 由折叠的性质得：， ． 4．如图，在中，，的平分线相交于点D，过点D作直线，交于E，交于F，图中等腰三角形的个数共有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质进行推导是解决问题的关键．根据，可得是等腰三角形，根据角平分线的定义可得，得到是等腰三角形，再利用平行线的性质可得，得到是等腰三角形，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∵的平分线相交于点D， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴是等腰三角形． ∴共有5个等腰三角形：． 故选：C． 5．在中，点D在边的垂直平分线上，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂直平分线的性质和外角的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先根据垂直平分线得到，然后根据等边对等角和外角的知识，即可求解； 【详解】解：∵在中，点D在边的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， 故选：D； 6．求证：若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则这个三角形是等腰三角形已知：如图，是的外角，，．求证． 以下是排乱的证明过程： ①又∵，②∴，③∵④∴，，⑤∴．证明步骤正确的顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、平行线的性质以及外角的性质等知识；先由平行线的性质得，等量代换得到，然后由等角对等边即可得出结论． 【详解】解：∵③， ∴④， ∵①， ∴②， ∴⑤， 故证明步骤正确的顺序是， 故选：A． 7．如图，等边中，，与相交于点P，下列结论：（1）；（2）；（3）；其中正确的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】先根据定理得出，结合全等三角形的性质进行判断． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴． 在与中， ， ∴； ∴，故（1）错误； （2）由（1）知， ∴， ∴，故（2）正确； （3）由（1）知． ∴， ∴． ∵是的外角， ∴．故（3）正确． 综上所述，正确的结论有2个． 8．如图，在等边中，点D，E分别是边的中点，点F是边上一动点，连接．当取得最小值时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点H，连接，过点D作于点I，交的延长线于点G，连接，证明点G是点D关于的对称点，当F与H重合时，取得最小值，此时，解答即可． 本题考查了等边三角形的判定和性质，将军饮马河原理的应用，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，取的中点H，连接，过点D作于点I，交的延长线于点G，连接， ∵等边， ∴， 点D，E分别是边的中点，的中点H， ∴， ∴都是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴点G是点D关于的对称点， ∴当F与H重合时，取得最小值，此时， 故选：C． 9．如图，在等边三角形中，D是三角形外一点，且，，点E、F分别在、上，，则下列结论错误的是（   ） A．垂直平分 B．点D在的平分线上 C． D．的周长为 【答案】C 【分析】根据垂直平分线的判定可得A正确；延长到使，证明，可得，再证明，可得，可判断B，D正确． 【详解】解：如图，连接， 在等边三角形中，，， ， 垂直平分，故A正确； 如图，延长到使， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 即点D在的平分线上，故B正确； 的周长为，故D正确， 根据题意，无法判断，故C错误． 10．如图，分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且有下列结论：①；②；③；④其中，正确的结论是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】由，，，得，则，所以，可判断①正确；延长交于点Q，由于点M，得，可证明，进而证明≌，则，，，可判断②正确；再证明≌，得，则，所以，由，得，则，可判断③错误；再证明≌，得，则，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：、分别是的高和角平分线，平分交于E， ，，， ， ， ， ， 故①正确； 延长交于点Q， 于点M， ， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ，，， 故②正确； 在和中， ， ≌， ， ， ， ， 是钝角， ， ， ， 故③错误； ， ， 在和中， ， ≌， ， ， ， 故④正确 二、填空题(本大题共5小题.每小题3分.共计15分) 11．如图，工匠们用这个工具检测屋梁是否水平．当重垂线经过等腰三角尺底边的中点时，可以确定三角形的底边与梁是水平的，否则梁就不是水平的，这样测量利用的几何性质是_______． 【答案】等腰三角形“三线合一” 【分析】此题主要考查学生对等腰三角形“三线合一”的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解答本题的关键． 因为等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，座椅如果重物的线恰好经过三角板底边的中点，则房梁就与竖直的线垂直，因而可以判断此房梁是水平的． 【详解】解：因为重垂线过底边的中点，则根据等腰三角形“三线合一”的性质得此线也为底边上的高，由于垂线是垂直的，所以底边即房梁就是水平的， 故答案为：等腰三角形“三线合一”． 12．如图，在中，，分别以点A，B为圆心，5为半径画弧，两弧分别交于点M，N，直线交于点D，连接，则的周长为_______． 【答案】14 【分析】本题考查基本作图-作线段垂直平分线，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是读懂图象信息．利用线段的垂直平分线的性质证明，可得结论． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段， ∴， ∴的周长． 故答案为：14． 13．如图，已知中，，分别是的角平分线．经过点，且，分别交于于，则的周长为______． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线，平行线的性质，等角对等边．熟练掌握角平分线，平行线的性质，等角对等边是解题的关键． 由角平分线，平行线的性质，可得，，则，然后求周长即可． 【详解】∵分别是的角平分线， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴的周长为， 故答案为：． 14．如图，在等边三角形中，，将线段沿翻折，得到线段，连接交于点N，连接以下说法：①，②，③．④中，正确的是_________． 【答案】①②③④ 【分析】只要证明，是等边三角形，垂直平分线段即可一一判断． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵线段沿翻折，得到线段， ∴，故②正确， ∴，故①正确， ∴垂直平分线段， ∵， ∴， ∴，故③正确， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，故④正确， 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查翻折变换、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形就解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 15．如图，等腰三角形的底边长为6，面积是36，腰的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为______． 【答案】15 【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题，连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论．熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 【详解】解：连接， 是等腰三角形，点是边的中点， ， ，解得， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值， 的周长最短． 故答案为：15． 16．如图，在中，，过点B作交于点D，点E在的延长线上，F是上一点，连接，若，，，，则______，点B到的距离为______． 【答案】 2 【分析】过作交于，可证得到，过作交于，根据，得到，即，据此求点B到的距离． 【详解】解：过作交于， 在中，， （等腰三角形腰上的高相等）， ，， ， 在和中， ， ， ，； 过作交于， ， ，即， ，又， ， 即点B到的距离为 三、解答题(本大题共8小题.每题9分.共计72分) 17．如图，在中，，为中点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等腰三角形性质，三角形的面积； （1）由等腰三角形的性质“三线合一”，即可得证； （2）由三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）证明：，为中点， ． （2）解：的面积 （）． 18．尺规作图： (1)作边的垂直平分线交于点，连接； (2)作边的垂直平分线交于点，连接（要求：保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质作出图形即可； （2）根据线段垂直平分线的性质作出图形即可． 【详解】（1）解：如图，点，即为所求； （2）解：如图，点，即为所求． 19．如图，平分，点E在上，且；找出图形中的等腰三角形，并加以证明． 【答案】是等腰三角形，证明见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定等知识点，根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，求出，根据等腰三角形的判定得出即可 【详解】解：是等腰三角形， 证明：平分， ， ， ， ， ， 即是等腰三角形 20．如图，中，垂直平分，交于点，交于点，，垂足为，且，连接． (1)求证：点为的中点； (2)若，的周长为，求的长； (3)若，，（其中）求的周长．（用含有、的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）由垂直平分得到，再证明，最后利用等腰三角形“三线合一”的性质即可得结论； （2）由题意得，从而得出，即，由线段垂直平分线的性质可得．可得，再由，，可得，再求解即可； （3）先求得，再由垂直平分线的性质得出，从而得出，再由，，可得，即可得答案． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴点为的中点． （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， ∵垂直平分， ∴． ∴， ∴，， ∴， ∴的周长． 21．如图，草地边缘与小河河岸在点处形成的夹角．已知，牧民赶着羊从地出发，先让羊到草地吃草，然后再去河边饮水，最后回到地． （1）能否求出整个过程所走的最短路程？___________．（用“能”或“否”填空）； （2）如果能，请你直接写出整个过程所走的最短路程；如果不能，请说明理由_________ 【答案】 能 【分析】本题考查了轴对称的性质，两点之间线段最短，等边三角形的判定和性质． （1）根据“两点之间，线段最短”即轴对称的性质可知能求出整个过程所走的最短路程； （2）作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，分别交直线，于点B，C，连接，即为放牧所走的最短路线．连接，根据轴对称的性质可知，，，，，即，，进而根据等边三角形的判定和性质作答即可． 【详解】解：（1）根据“两点之间，线段最短”即轴对称的性质可知能求出整个过程所走的最短路程； 故答案为：能； （2）如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，分别交直线，于点B，C，连接，即为放牧所走的最短路线． 连接， ∵作点关于的对称点，作点关于的对称点， ∴，，，，， 即，， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：． 22．在中，D是边上的一点，，，． (1)求的度数； (2)若，，试用a、b表示的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，等角对等边，掌握三角形内角和定理是解题的关键． （1）利用外角性质用表示出，由三角形内角和定理得出的度数，由此得出结论． （2）先求出，利用等角对等边求出，即可求出的周长． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴； （2）∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的周长为：． 23．如图1，已知是边长为6的等边三角形，以为底边作一个顶角为的等腰三角形．点M，N分别是边与边上的点，并且满足． 要想证明为的平分线，刘同学做了如下思考，如图2，延长至点F，使，连接，通过证明① ，得到，进而证得② ，得证为的平分线； (1)请你将刘同学的思考过程补充完整．①______，②______． (2)在刘同学的思路下求的周长； (3)当点D在内部时，其他条件不变，直接写出的周长． 【答案】(1)，， (2)12 (3)6 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识，合理作出辅助线是关键． （1）根据等边三角形的性质，等腰三角形的性质得到，如图所示，延长至点F，使，连接，可证明，得到，，再证明，即可求解； （2）根据（1）中三角形全等得到，结合三角形周长的计算即可求解； （3）如图所示，延长交于P，延长交于Q，令，连接，证明，得，，再证明，得到，，最后证明，得，结合三角形周长的计算即可求解． 【详解】（1）解：∵是边长为6的等边三角形， ∴， ∵以为底边作一个顶角为的等腰三角形， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 如图所示，延长至点F，使，连接， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的平分线； 故答案为：①，②； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴的周长为：． （3）解：如图所示，延长交于P，延长交于Q，令，连接， ∵是等腰三角形，且， ∴，，， ∵等边三角形， ∴， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的周长为． 24．中，． (1)如图，过点作直线，当直线与不相交时，过点作于点，过点作于点，请直接写出线段之间的数量关系为______； (2)如图，当直线与相交时，过点作于点，过点作于点，请写出线段之间的数量关系，并说明理由； (3)如图，点为斜边上一点且不与重合，现将沿翻折得到，直线与直线相交于点．当为等腰三角形时，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或或 【分析】（）由“”证明，可得，，进而即可求解； （）由“”证明，可得，，进而即可求解； （）分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况，根据等腰三角形的性质解答即可求解； 【详解】（1）解：∵于点，于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：，理由如下： 同理（）可证， ∴，， ∴， 即； （3）解：当点在线段上时，如图， ∵，， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴， ∴， 又∵， ∴， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 当时，， ∵， ∴该种情况不存在； 当点在线段的延长线上时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴; 综上所述，的度数为或或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $