精品解析：广东省揭阳市惠来县溪西中学2025-2026 学年度第二学期第一阶段质量检测 八年级数学试卷

2025-2026学年度第二学期第一阶段质量检测八年级数学试卷 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图，的大小为( ) A. 120° B. 110° C. 100° D. 90° 2. 在△ABC中，∠A=60°，∠B=50°，则∠C的度数为（ ） A. 60° B. 30° C. 70° D. 50° 3. 将不等式组的解集表示在数轴上，下列正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 在中，，于点D，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 等腰三角形的一个角是，则它顶角的度数是（　　） A. B. 或 C. 或 D. 6. 若，则下列式子中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知代数式比代数式大，则下列满足条件的值（ ） A. －1 B. 0 C. 3 D. 不存在 8. 用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①，这与三角形内角和为相矛盾，不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角（、、）中有两个直角，不妨设．正确顺序的序号为（ ） A. ③②① B. ①③② C. ②③① D. ③①② 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合 B. 一个三角形被截成两个三角形，每个三角形的内角和是90度 C. 有两个角是60°的三角形是等边三角形 D. 在ABC中，，则ABC为直角三角形 10. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点从M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于D；则下列说法：①AD平分∠BAC；②∠ADC＝60°；③点D在线段AB的垂直平分线上；④连接DM，DN，则DM＝DN，其中正确的是（　　） A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ①②③④ 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在中，锐角，则另一个锐角_______． 12. 不等式的所有正整数解的和是________． 13. 如图，在中，，于H，如果,那么_______度． 14. 如图，直线与直线交于点，由图象可知，不等式的解为______． 15. 如图，已知和都是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，交于M，交于N，、交于点O；下列说法：①；②为等边三角形；③；④平分．其中一定正确的是________（只需填写序号）． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分） 16. 解不等式、不等式组 （1）解不等式：，并把解集在数轴上表示． （2）解不等式组 17. 如图，在中，． （1）用尺规完成以下基本作图：作的边的垂直平分线，交于点，交于点，连接；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图形中，若，求的度数． 18. 如图，点D为的边上一点，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 已知直线与x轴交于点与y轴交于点， （1）求直线的解析式； （2）若直线AB上的点C在第一象限，且，求点C的坐标． （3）根据图像直接写出：当x取何值时，． 20. 如图，是等边三角形，D是外一点，连接，，，过点D作交于点F，交于点E，已知． （1）求证：垂直平分； （2）若，，求的长． 21. 【问题】已知，且，试确定的取值范围． 【方法】由可知．由可知即，从而可以得到． 因为，所以由可得． 即． 根据以上信息，解决下列问题： （1）已知，且，求的取值范围． （2）一家家具生产厂生产学生就餐使用的桌椅，1张桌子的售价比2把椅子贵40元，若一张桌子的售价不低于120元，一把椅子的售价不超过50元，求出售一套桌椅（1张桌子+4把椅子）定价的范围． 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分） 22. 北京冬奥会期间，某商店为专注冬奥的商机决定购进A、B两款“冰墩墩、雪容融”纪念品，若购进A款纪念品4件，B款纪念品6件，需要960元；若购进A款纪念品2件，B款纪念品5件，需要640元．已知销售每件A种纪念品每件可获利润30元，B种纪念品每件可获利润20元． （1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？ （2）若该商店决定购进两种纪念品共100件，考虑到资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不能超过9920元，最多购进A种纪念品多少件？ （3）商店该如何进货使得获利最大？最大利润是多少元？ 23. 如图，在中，，，．点P从点A出发，在线段AB上以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，连接CP．设点P运动的时间为t秒． （1）填空：AB＝______；（此数据在下面解题过程中可直接使用） （2）当t为何值时，为等腰三角形； （3）当t为何值时，CP平分．（提示：过点P作于M，于N） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期第一阶段质量检测八年级数学试卷 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图，的大小为( ) A. 120° B. 110° C. 100° D. 90° 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，计算即可得出答案． 【详解】解：， 故选：A． 【点睛】本题考查三角形的外角，掌握三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 2. 在△ABC中，∠A=60°，∠B=50°，则∠C的度数为（ ） A. 60° B. 30° C. 70° D. 50° 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键． 3. 将不等式组的解集表示在数轴上，下列正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接在数轴上表示两个不等式的解集即可． 【详解】解：不等式组的解集为无解， 在数轴上表示为：． 故选：B． 【点睛】本题考查了不等式组的解集在数轴上表示的方法，解题的关键是把每个不等式的解集在数轴上表示出来（，向右画；，向左画），“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示． 4. 在中，，于点D，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】利用等腰三角形三线合一的性质得到与的关系，即可计算出结果． 【详解】解：∵在中，，， ∴是的中线， ∴， 又∵， ∴． 5. 等腰三角形的一个角是，则它顶角的度数是（　　） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的内角和为，进行分类讨论即可 【详解】解：①当底角为时，顶角， ②当顶角为时，顶角度数， 综上：顶角度数为或； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和为，等腰三角形两底角相等，解题的关键是书熟练掌握相关内容． 6. 若，则下列式子中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依据不等式的基本性质解答即可． 【详解】解：A、不等式a＜b的两边同时加上3，不等号方向不变，即3+a＜3+b，故本选项不合题意； B、不等式a＜b的两边同时除以3，不等号方向不变，即，故本选项不合题意； C、不等式a＜b的两边同时乘3，不等号方向不变，即3a＜3b，故本选项不合题意； D、不等式a＜b的两边同时减去3，不等号方向不变，即a-3＜b-3，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解题的关键． 7. 已知代数式比代数式大，则下列满足条件的值（ ） A. －1 B. 0 C. 3 D. 不存在 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得不等式，解不等式即可； 【详解】解：根据题意得，， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式的应用，根据题意列出不等式并正确求解是解题的关键． 8. 用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①，这与三角形内角和为相矛盾，不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角（、、）中有两个直角，不妨设．正确顺序的序号为（ ） A. ③②① B. ①③② C. ②③① D. ③①② 【答案】D 【解析】 【分析】反证法的步骤是先假设结论不成立，然后推出矛盾，最后推出假设不成立，结论成立，据此可得答案． 【详解】解：反证法中第一步先假设结论不成立，即第一步为假设三角形的三个内角（、、）中有两个直角，不妨设， 第二步是推出矛盾，即推出假设不成立，即第二步为，这与三角形内角和为相矛盾，不成立， 第三步为所以一个三角形中不能有两个直角 故正确的顺序为③①②． 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合 B. 一个三角形被截成两个三角形，每个三角形的内角和是90度 C. 有两个角是60°的三角形是等边三角形 D. 在ABC中，，则ABC为直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的判定，直角三角形的判定即可判断． 【详解】A.等腰三角形中顶角角平分线、底边上的中线和底边上的高线互相重合，即三线合一，故此选项错误； B.三角形的内角和为180°，故此选项错误； C.有两个角是60°，则第三个角为，所以三角形是等边三角形，故此选项正确； D.设，则，故，解得，所以，，此三角形不是直角三角形，故此选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形的定义以及三角形内角和，掌握相关概念是解题的关键． 10. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点从M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于D；则下列说法：①AD平分∠BAC；②∠ADC＝60°；③点D在线段AB的垂直平分线上；④连接DM，DN，则DM＝DN，其中正确的是（　　） A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】利用作图方法可以判断① ；利用角平分线的定义可以求出∠BAD=∠CAD=30°，从而可以求出∠ADC=60°，即可判断②；根据∠B=∠BAD，得到AD=BD，即可判断③；证明△AMD≌△AND，即可判断④． 【详解】 由作图方法可知AD是∠BAC的角平分线，故①正确； ∴∠BAD=∠CAD， ∵∠C=90°，∠B=30°， ∴∠BAC=60°， ∴∠BAD=∠CAD=30°， ∴∠ADC=60°，故②正确； ∵∠B=∠BAD=30°， ∴AD=BD， ∴点D在AB的垂直平分线上，故③正确； 连接DM，DN， 在△AMD和△AND中 ， ∴△AMD≌△AND， ∴DM=DN，故④正确， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义和作图，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在中，锐角，则另一个锐角_______． 【答案】##40度 【解析】 【分析】根据直角三角形两锐角互余，即可求解． 【详解】解：在 中， ∵锐角， ∴另一个锐角 ． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形两锐角互余是解题的关键． 12. 不等式的所有正整数解的和是________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据一元一次不等式的解法即可求出答案． 【详解】解：， 移项得：， 解得：， ∴所有正整数解为1，2，3， 则所有正整数解的和为1+2+3=6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质． 13. 如图，在中，，于H，如果,那么_______度． 【答案】60 【解析】 【分析】根据含30度角的直角三角形的性质可得，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为60． 【点睛】本题主要考查含30度角的直角三角形，熟练掌握含30度直角三角形的性质是解题的关键． 14. 如图，直线与直线交于点，由图象可知，不等式的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】观察图象知，直线的图象位于直线的图象上方或两直线相交时，函数的函数值大于或等于函数的函数值，从而可求得的解． 【详解】由图象知：不等式的解为 故答案为： 【点睛】本题考查了两直线相交与一元一次不等式的关系，数形结合是关键． 15. 如图，已知和都是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，交于M，交于N，、交于点O；下列说法：①；②为等边三角形；③；④平分．其中一定正确的是________（只需填写序号）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】①根据等边三角形的性质得，，，，则，利用“”可判断，则；②由得到，然后根据“”判断，则可得到，加上，则根据等边三角形的判定即可得到为等边三角形；③根据三角形内角和定理可得，而，则，然后再利用三角形内角和定理即可得到；④作于，于，由得到，于是根据角平分线的判定定理即可得到平分． 【详解】解：①和都是等边三角形， ，，，， ， ， 在和中， ， ， ；①正确； ②， ， 在和中， ， ， ， ， 为等边三角形；②正确； ③， 而， ， ；③错误； ④如图：作于，于； ， ， 平分；④正确． 综上所述，正确的为①②④． 【点睛】本题核心是以等边三角形为背景构造全等三角形，通过证明三角形全等，再利用全等的对应边、角相等，结合等边三角形判定、角平分线判定定理推导结论，全等是贯穿全题的关键桥梁． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分） 16. 解不等式、不等式组 （1）解不等式：，并把解集在数轴上表示． （2）解不等式组 【答案】（1）， 解集在数轴上表示如下： （2） 【解析】 【分析】（1）按照一元一次不等式的求解步骤得到解集，再将解集标注在数轴上； （2）先分别求出不等式组中两个不等式的解集，再根据解集确定原则得到不等式组的最终解集． 【小问1详解】 解： 解得， 【小问2详解】 解： 解得， 解得， ∴原不等式组的解集为． 17. 如图，在中，． （1）用尺规完成以下基本作图：作的边的垂直平分线，交于点，交于点，连接；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图形中，若，求的度数． 【答案】（1） 解：如图，直线即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）根据作已知线段的垂直平分线的作法，即可求解； （2）根据等腰三角形的性质可得，再根据线段垂直平分线的性质可得，从而得到，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， 垂直平分， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了尺规作图——作已知线段的垂直平分线，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握作已知线段的垂直平分线的作法，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质是解题的关键． 18. 如图，点D为的边上一点，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：在和中， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用证明即可； （2）根据三角形全等的性质得出，从而得到，根据三角形内角和得出，根据即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和，解题的关键是证得． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 已知直线与x轴交于点与y轴交于点， （1）求直线的解析式； （2）若直线AB上的点C在第一象限，且，求点C的坐标． （3）根据图像直接写出：当x取何值时，． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解：设直线直线的解析式为， 把点，点代入得： ， 解得：， ∴直线直线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵点， ∴， 设点， ∵， ∴， 解得：， ∴点C的坐标为； 【小问3详解】 解：观察图像得：当时，． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数的应用，熟练掌握利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键． 20. 如图，是等边三角形，D是外一点，连接，，，过点D作交于点F，交于点E，已知． （1）求证：垂直平分； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：是等边三角形， ． ， 点、点在的垂直平分线上， 垂直平分； （2）的长为4 【解析】 【分析】（1）运用垂直平分线的判定定理证明即可； （2）证明是等边三角形得，再证明可得到解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是等边三角形， ． ， ， ， 是等边三角形， ． 由（1）可知垂直平分， ， ， ， ， ， ． 21. 【问题】已知，且，试确定的取值范围． 【方法】由可知．由可知即，从而可以得到． 因为，所以由可得． 即． 根据以上信息，解决下列问题： （1）已知，且，求的取值范围． （2）一家家具生产厂生产学生就餐使用的桌椅，1张桌子的售价比2把椅子贵40元，若一张桌子的售价不低于120元，一把椅子的售价不超过50元，求出售一套桌椅（1张桌子+4把椅子）定价的范围． 【答案】（1） （2）一套桌椅定价应在不少于280元，不超过340元范围内 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，二元一次方程的解，解题的关键是理解并掌握题干中给定的解题方法． （1）根据题干中给定的方法进行求解即可． （2）设一张桌子的售价为x元，一把椅子的售价为y元，仿照例题，可得出，，，进一步得到，即可求出的取值范围． 【小问1详解】 解：由，得：， ， ，解得， ， ， 而， ； 【小问2详解】 解：设一张桌子售价为x元，一把椅子售价为y元， 由题意得：①，， 由①得，解得， ， 而， ， 答：一套桌椅定价应在不少于280元，不超过340元范围内． 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分） 22. 北京冬奥会期间，某商店为专注冬奥的商机决定购进A、B两款“冰墩墩、雪容融”纪念品，若购进A款纪念品4件，B款纪念品6件，需要960元；若购进A款纪念品2件，B款纪念品5件，需要640元．已知销售每件A种纪念品每件可获利润30元，B种纪念品每件可获利润20元． （1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？ （2）若该商店决定购进两种纪念品共100件，考虑到资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不能超过9920元，最多购进A种纪念品多少件？ （3）商店该如何进货使得获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）每件A种纪念品120元，每件B种纪念品80元 （2）最多购进A种纪念品48件 （3）商店购进48件A纪念品，52件B纪念品时，利润最大为2480元 【解析】 【分析】（1）设每件A种纪念品x元，每件B种纪念品y元，根据题意找出等量关系，列出方程求解即可； （2）设购进A种纪念品a件，则够进B中纪念品件，根据购买这100件纪念品的资金不能超过9920元，列出不等式，求解即可； （3）根据利润种纪念品的数量种纪念品的数量，可得一次函数，综合解不等式及一次函数的性质即可得到答案． 【小问1详解】 解：设每件A种纪念品x元，每件B种纪念品y元， ， 解得：， 答：每件A种纪念品120元，每件B种纪念品80元． 【小问2详解】 解：设购进A种纪念品a件，则够进B中纪念品件， ， 解得：， ∴最多购进A种纪念品48件． 【小问3详解】 解：设利润为W， ， ∵， ∴W随a的增大而增大， ∴当时，W有最大值，最大值为， ∴（件）， 答：商店购进48件A纪念品，52件B纪念品时，利润最大为2480元． 【点睛】本题考查了一元一次不等式，二元一次方程组及一次函数的应用，熟练根据题意找出等量或不等关系列出方程或不等式是解题的关键． 23. 如图，在中，，，．点P从点A出发，在线段AB上以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，连接CP．设点P运动的时间为t秒． （1）填空：AB＝______；（此数据在下面解题过程中可直接使用） （2）当t为何值时，为等腰三角形； （3）当t为何值时，CP平分．（提示：过点P作于M，于N） 【答案】（1）5 （2）t＝1或 （3） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理可求解； （2）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解． （3）过点P作于M，于N，由角平分线的性质可得PM=PN，由面积法可求PM的长，由勾股定理可求AP，即可求解； 【小问1详解】 解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB＝， 故答案为5； 【小问2详解】 ①当BP＝BC时， ∴AP＝AB﹣BP＝5﹣4＝1， ∴t＝1． ②当BP＝CP时，即∠B＝∠BCP， ∵∠ACB＝90°， ∴∠B+∠A＝ACP+∠BCP＝90°， ∴∠A＝∠ACP， ∴AP＝CP， ∴， ∴， ③P在线段AB上移动，所以BC＞CP，所以CP，BC不相等， 综上所述，t＝1或． 【小问3详解】 如图，过点P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N， ∵CP平分∠ACB，PM⊥AC，PN⊥BC， ∴PM＝PN， ∴S△ABC＝S△APC+S△BPC＝， 而 设PM＝PN＝x， ∴， 解得：， ∵∠ACB＝90°，CP平分∠ACB，PM⊥AC， ∴， ∴， 在 Rt△APM中，由勾股定理得， ， ∴ 【点睛】本题是三角形综合题，考查了勾股定理，等腰三角形的性质，角平分线的性质定理的应用，面积法，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $