精品解析：广东省揭阳市惠来县第一中学2024-2025学年下学期八年级数学第二次检测试题

惠来一中2024-2025学年度第二学期练习2 八年级数学试卷 （满分120分，考试时间120分钟，请考生把答案填在答题卷上） 一、选择题（本题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果，那么下列各式中正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标依次为，，，把沿轴向右平移4个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度，得到，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. B. C. 或 D. 6. 如图，直线，以直线上的点为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线，于，两点，连接，．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，连接，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 8. 关于x的不等式组有且只有2个整数解，则符合要求的所有整数a的和为（ ） A. B. C. 0 D. 7 9. 若关于的分式方程无解，则的值是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 10. 如图，在长方形中，，在上存在一点，沿直线把折叠，使点恰好落在边上的点处，若的面积为，那么折叠的的面积为（ ） A. 30 B. 20 C. D. 二、填空题（本题5小题，每小题3分，共15分） 11. 若一个等腰三角形的两边长分别为2和3，则该三角形的周长是______． 12. 如图，直线与相交于点P，已知点P的坐标为，则关于x的不等式的解集是______． 13. 如图，在中，，分别以点A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接，与、分别交于点D、E，连接AE．如果，，那么的周长为_______ ． 14. 如果是一个完全平方式，则______． 15. 如图，已知等边的边长为8，是中线上一点，以为一边在下方作等边，连接并延长至点为上一点，且，则的长为_________． 三、解答题（一）（本大题3小题，共24分） 16. （1）解不等式组 （2）因式分解：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 已知，如图，是平分线上的一点，，，垂足分别为，．求证： （1）； （2）是的垂直平分线． 四、解答题（二）（本大题3小题，共25分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的； （2）请画出绕点A逆时针旋转90°后的； （3）在（2）中，线段扫过的面积为______． 20. 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式． 解：， ，可化为． 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”， 得①，②． 解不等式组①，得，解不等式组②，得， 的解集为或，即一元二次不等式的解集为或． （1）一元二次不等式的解集为_____； （2）解一元二次不等式； （3）类比一元二次不等式的解法，直接写出分式不等式的解集为_____． 21. 如图，在中，点在内部，连接、、，，，点在外部，连接、、，，． （1）求的度数； （2）求证：是等边三角形． 五、解答题（三）（本大题2小题，共26分） 22. 根据以下素材，探索完成任务． 如何确定木板分配方案？ 素材1 我校开展爱心义卖活动，小艺和同学们打算推销自己的手工制品．他们以每块15元的价格买了100张长方形木板，每块木板长和宽分别为80cm，40cm. 素材2 现将部分木板按图1虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为3:1，其余木板按图2虚线裁剪出两块木板（阴影是余料），给部分盒子配上盖子． 素材3 义卖时的售价如标签所示： 问题解决 任务1 计算盒子高度 求出长方体收纳盒的高度． 任务2 确定分配方案1 若制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒，但不到无盖收纳盒个数的2倍，木板该如何分配？请给出分配方案． 任务3 确定分配方案2 为了提高利润，小艺打算把图2裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张矩形余料可以制成一把小木剑，并以5元/个的价格销售．请确定木板分配方案，使销售后获得最大利润． 23. （1）模型建立，如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于，过作于．求证：； （2）模型应用： ①已知直线与轴交于点，与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转90度，得到线段，过点，作直线．求直线的解析式； ②如图3，矩形，为坐标原点，的坐标为，，分别在坐标轴上，是线段上动点，已知点在第一象限，且是直线上的一点，若是不以为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠来一中2024-2025学年度第二学期练习2 八年级数学试卷 （满分120分，考试时间120分钟，请考生把答案填在答题卷上） 一、选择题（本题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是中心对称图形的定义，解题关键是熟练掌握中心对称图形的判断方法． 中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据该定义对选项进行逐一判断即可求解． 【详解】解：根据中心对称图形的定义判断： 选项，该图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； 选项，该图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； 选项，该图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； 选项，该图形是中心对称图形，符合题意，选项正确． 故选：． 2. 下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的定义对选项逐一分析即可． 【详解】把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做因式分解． A、右边不是整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意； B、形式上符合因式分解，但等号左右不是恒等变形，等号不成立，不符合题意； C、符合因式分解的形式，符合题意； D、从左到右是整式的乘法，从右到左是因式分解，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查因式分解，解决本题的关键是充分理解并应用因式分解的定义． 3. 如果，那么下列各式中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质：两边都加一个或者减一个整式，不等号的方向不变；不等式两边乘以或者除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘以或者除以同一个负数，不等号的方向改变，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，，， 故选：D． 4. 如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标依次为，，，把沿轴向右平移4个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度，得到，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平移的性质即可求解． 【详解】解：∵，沿轴向右平移4个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度， ∴点的坐标是，即． 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标与图形的变化－平移，掌握平移的性质是解题的关键． 5. 若，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查绝对值，解分式方程，解题的关键是不能忽略分式有意义的条件． 由分式的值为零，可得分子为零且分母不为零，即可解得的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 6. 如图，直线，以直线上的点为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线，于，两点，连接，．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出∠BAC的度数，再由题意可知AC=AB，从而有∠ACB=∠ABC，根据三角形的内角和即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴∠1=∠BAC， ∵点为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线，于，两点， ∴AB=AC， ∴， ∴ ∴∠1=∠BAC． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是要根据题意得到AC=AB ． 7. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，连接，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理求得，根据旋转的性质可得，，在中，勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 由旋转得：，， ∴． 故选：C 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键． 8. 关于x的不等式组有且只有2个整数解，则符合要求的所有整数a的和为（ ） A. B. C. 0 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】分别表示出不等式组两不等式的解集，找出两解集的公共部分表示出不等式组的解集，由不等式组有且只有2个整数解确定出a的范围，进而求出整数a的值，求出和即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集为：， ∵关于x的不等式组有且只有2个整数解， ∴， 解得， ∵a为整数， ∴a为3，4， ∴和为， 故选：D． 【点睛】本题考查了根据不等式组的解集求参数，根据不等式的解集得出参数的取值范围是解本题的关键． 9. 若关于的分式方程无解，则的值是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程无解的问题，把分式方程去分母整理得，再分和两种情况解答即可，理解分式方程无解的意义并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以，得， 整理得，， 当，即时，，此时方程无解； 当时，解得， ∵分式方程无解， ∴， 即， 解得； 综上，的值是或， 故选：． 10. 如图，在长方形中，，在上存在一点，沿直线把折叠，使点恰好落在边上的点处，若的面积为，那么折叠的的面积为（ ） A. 30 B. 20 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由三角形面积公式可求BF的长，由勾股定理可求AF的长，即可求CF的长，由勾股定理可求DE的长，即可求△ADE的面积． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形 ∴AB=CD=6cm，BC=AD， ∵， 即： ∴BF=8（cm） 在Rt△ABF中，（cm） ∵折叠后与重合， ∴AD=AF=10cm，DE=EF， ∴BC=10cm， ∴FC=BC-BF=10-8=2（cm）， 在Rt△EFC中，， ∴，解之得：， ∴（cm2）， 故选：D． 【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，熟练运用折叠的性质是本题的关键． 二、填空题（本题5小题，每小题3分，共15分） 11. 若一个等腰三角形的两边长分别为2和3，则该三角形的周长是______． 【答案】7或8． 【解析】 【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为2和3，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：（1）若2为腰长，3为底边长， 由于2+2＞3，符合三角形的两边之和大于第三边． 所以这个三角形的周长为2+2+3=7； （2）若3为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边． 所以这个三角形的周长为3+3+2=8． 故答案为7或8． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去． 12. 如图，直线与相交于点P，已知点P的坐标为，则关于x的不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，解决这类题目的关键是找出两个函数图象的交点坐标，再根据图象的位置确定的取值范围． 观察图象，得出在的图象下方的自变量的取值范围，即可解答． 【详解】∵直线与相交于点，已知点的坐标为， ∴关于的不等式的解集是． 故答案为：． 13. 如图，在中，，分别以点A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接，与、分别交于点D、E，连接AE．如果，，那么的周长为_______ ． 【答案】7 【解析】 【分析】先根据勾股定理得出的长，再根据垂直平分线的性质得出结论即可． 【详解】在中，，，， ， 是线段的垂直平分线， ， ， 故答案为：7． 【点睛】本题考查垂直分线的基本作图和性质以及勾股定理，熟知垂直平分线上的一点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 14. 如果是一个完全平方式，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方式的特点列出关于的等式，即可求出的值． 【详解】解：， ， 解得． 15. 如图，已知等边的边长为8，是中线上一点，以为一边在下方作等边，连接并延长至点为上一点，且，则的长为_________． 【答案】6 【解析】 【分析】作CG⊥MN于G，证△ACE≌△BCF，求出∠CBF=∠CAE=30°，则可以得出，在Rt△CMG中，由勾股定理求出MG，即可得到的长． 【详解】解：如图示：作CG⊥MN于G，      ∵△ABC和△CEF是等边三角形， ∴AC=BC，CE=CF，∠ACB=∠ECF=60°， ∴∠ACB-∠BCE=∠ECF-∠BCE， 即∠ACE=∠BCF， 在△ACE与△BCF中 ∴△ACE≌△BCF（SAS）， 又∵AD是三角形△ABC的中线 ∴∠CBF=∠CAE=30°， ∴， 在Rt△CMG中，， ∴MN=2MG=6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出△ACF≌△BCF． 三、解答题（一）（本大题3小题，共24分） 16. （1）解不等式组 （2）因式分解：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法以及因式分解，解不等式组关键是分别解出不等式再找公共解集，因式分解关键是提取公因式后用公式法继续分解． （1）分别求解不等式①和②，再确定两个解集的公共部分； （2）先提取公因式，再对括号内的式子利用完全平方公式继续分解． 【详解】（1）解：解不等式①得， 解不等式②得， 将不等式①②解集在同一数轴上表示如下： ∴原不等式组的解集为； （2）解：原式 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后将代入计算即可得． 【详解】解：原式 ， 将代入得：原式． 18. 已知，如图，是平分线上的一点，，，垂足分别为，．求证： （1）； （2）是的垂直平分线． 【答案】（1） 证明：∵是平分线上的一点，，， ∴，，又， ∴， ∴； （2） 证明：∵，， ∴点O、P在线段的垂直平分线上， 即是的垂直平分线； 【解析】 【分析】本题考查全等三角形判定与性质、线段垂直平分线的判定、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质和线段垂直平分线的判定是解答的关键． （1）先根据角平分线的性质得到，再证明，利用全等三角形的对应边相等即可证得结论； （2）利用线段垂直平分线的判定可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题（二）（本大题3小题，共25分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的； （2）请画出绕点A逆时针旋转90°后的； （3）在（2）中，线段扫过的面积为______． 【答案】（1） 即为所画： （2） 即为所画 （3） 【解析】 【分析】本题考查了原点对称和旋转变换，扇形面积公式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）通过找点、、关于原点对称的点、、，连线画出即可； （2）通过绕点A逆时针旋转，找出对应点、，连线画出即可； （3）根据题意求出，然后用扇形面积公式即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意得：， ∴线段扫过的图形为扇形，面积为， 故答案为：． 20. 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式． 解：， ，可化为． 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”， 得①，②． 解不等式组①，得，解不等式组②，得， 的解集为或，即一元二次不等式的解集为或． （1）一元二次不等式的解集为_____； （2）解一元二次不等式； （3）类比一元二次不等式的解法，直接写出分式不等式的解集为_____． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次不等式，理解题干例题求解方法并灵活运算，利用“降次”思想求解是解答的关键． （1）根据题干求解方法，结合因式分解求解即可； （2）根据题干求解方法，结合因式分解求解即可； （3）根据除法符号问题，将分式不等式化为一元一次不等式组求解即可 【小问1详解】 解：， ∴，可化为． 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”， 得①，②． 解不等式组①，得，解不等式组②，得， 的解集为或， 即一元二次不等式的解集为或． 【小问2详解】 解：， ∴，可化为． 由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”， 得①，②． 解不等式组①，得，解不等式组②，得x无解， ∴的解集为， 即一元二次不等式的解集为． 【小问3详解】 解：由有理数的除法符号法则“两数相除，异号得负”， 得①，②． 解不等式组①，得，解不等式组②，得x无解， ∴不等式的解集为． 21. 如图，在中，点在内部，连接、、，，，点在外部，连接、、，，． （1）求的度数； （2）求证：是等边三角形． 【答案】（1） （2） 证明：， ，即， ，且由（1）得， ， ， 在和中， ， ， ， ， 是等边三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等边三角形的判定定理． （1）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形判定出是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解； （2）根据给出的条件判定出，得到，进而可得结论． 【小问1详解】 解：，， 是等边三角形， ； 【小问2详解】 略 五、解答题（三）（本大题2小题，共26分） 22. 根据以下素材，探索完成任务． 如何确定木板分配方案？ 素材1 我校开展爱心义卖活动，小艺和同学们打算推销自己的手工制品．他们以每块15元的价格买了100张长方形木板，每块木板长和宽分别为80cm，40cm. 素材2 现将部分木板按图1虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为3:1，其余木板按图2虚线裁剪出两块木板（阴影是余料），给部分盒子配上盖子． 素材3 义卖时的售价如标签所示： 问题解决 任务1 计算盒子高度 求出长方体收纳盒的高度． 任务2 确定分配方案1 若制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒，但不到无盖收纳盒个数的2倍，木板该如何分配？请给出分配方案． 任务3 确定分配方案2 为了提高利润，小艺打算把图2裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张矩形余料可以制成一把小木剑，并以5元/个的价格销售．请确定木板分配方案，使销售后获得最大利润． 【答案】任务1 10cm 任务2 有四种分配方案：76张木板制作无盖的收纳盒，24张制作盒盖，77张木板制作无盖的收纳盒，23张制作盒盖，78张木板制作无盖的收纳盒，22张制作盒盖，79张木板制作无盖的收纳盒，21张制作盒盖 任务3 76张木板制作无盖的收纳盒，24张制作盒盖，利润最大，最大值为1004元 【解析】 【分析】本题考查了方程组及不等式组的应用，找出相等关系或不等关系是解题的关键． 任务1：根据“底面长与宽之比为”列方程求解； 任务2：根据“制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒，但不到无盖收纳盒个数的2倍”列不等式组求解； 任务3：根据题意理出函数表达式，再根据函数的性质求解． 【详解】解：任务1：设长方体的高度为， 则：， 解得：， 答：长方体的高度为； 任务2：设张木板制作无盖的收纳盒， 则：， 解得：， 的整数解有：76，77，78，79， 共有4种方案：①76张木板制作无盖的收纳盒，24张制作盒盖； ②77张木板制作无盖的收纳盒，23张制作盒盖； ③78张木板制作无盖的收纳盒，22张制作盒盖； ④79张木板制作无盖的收纳盒，21张制作盒盖； 任务3：设：张木板制作无盖的收纳盒，则张制作盒盖，利润为元， 由题意得： 即：， 的整数解有：76，77，78，79， 当时，有最大值，为：， 答：76张木板制作无盖的收纳盒，23张制作盒盖，利润最大，最大值为1004元． 23. （1）模型建立，如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于，过作于．求证：； （2）模型应用： ①已知直线与轴交于点，与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转90度，得到线段，过点，作直线．求直线的解析式； ②如图3，矩形，为坐标原点，的坐标为，，分别在坐标轴上，是线段上动点，已知点在第一象限，且是直线上的一点，若是不以为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】 （1）证明：， ∴， ， ， ， 在和中， ； （2）①；②或或 【解析】 【分析】（1）由条件可求得，利用可证明； （2）①过作轴于点，由直线解析式可求得、的坐标，利用模型结论可得，，从而可求得点坐标，利用待定系数法可求得直线的解析式； ②设，点为直角顶点，分两种情况：如图2-1所示，当点在矩形的内部时，过作轴的平行线，交直线于，交直线于，则，利用三角形全等得到关于x的方程，得D点坐标；如图2-2所示，当点在矩形的外部时，利用三角形全等得到关于x的方程，得D点坐标；点为直角顶点如图2-3所示，此时点位于矩形的外部，则，利用三角形全等得到关于x的方程，得D点坐标，即可． 【详解】解：（1）略． （2）①∵如图，过作轴于点， ∵直线与轴交于点，与轴交于点， 令可求得，令可求得， ，, 由旋转的性质可得， 同可证得， ，， ， ， 设直线解析式为， 把点坐标代入可得， 解得 直线解析式为， ②设， 如图2-1所示，当点D为直角顶点且点在矩形的内部时，过作轴的平行线，交直线于，交直线于，则， ∵在矩形中，， ∴， ∴，； 由（1）得：， ∴，即， 解得：； ∴； 如图2-2所示，当点D为直角顶点且点在矩形的外部时， 则， ∴，； 由（1）得：， ∴， 即， 解得：； ∴； 如图2-3所示，点为直角顶点时，此时点位于矩形的外部，则， ∴； 同（1）得，， ∴，； ∴； ∴， 解得：； ∴； 综合上面情况可得：点的坐标为或或． 【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了点的坐标、矩形的性质、待定系数法、等腰直角三角形的性质以及全等三角形等相关知识的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行计算，需要考虑的多种情况，解题时注意分类思想的运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $