山东济南市历城第二中学2025-2026学年高三第二次适应性检测数学试题

绝密★启用前 2026年历城二中高三第二次适应性检测 数学试题 2026.4 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷 上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知集合M={xW<4,N={x-1≥0}，则M∩N= A.{x0≤x<2} B.{xl≤x<2} C.{x0≤x<16} D.{xl≤x<16} 2.已知{a}为等比数列，4=2,4=32，则a= A.8 B.12 C.16 D.17 3.已知平面Q,B为两个不同的平面，直线m为0内一条直线，则m//B”是“a/1B”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2-4x,则f(-3)= A.-2 B.2 C.-3 D.3 5.若复数z满足=-1-，则的最小值为 A.√2 B.1 c. 2 D.月 6.随着对某项新技术学习效率的提升，生产力不断提高.该技术下生产第一件产品的工时为k, 生产x件产品的平均工时y=c“,其中a=-log25(s为产品工时递减速率).现有一条工时递减 速率为80%的生产线，则生产前四件产品与生产前两件产品的平均工时之比为 A.0.6 B.0.8 C.1.25 D.1.6 数学试题第1页共4页 7.若△ABC的中线AD=2,且AB=4,BC=m,AC=n,在平面直角坐标系xOy中，点(m,n)在 双曲线2上，则2的离心率为 A.√2 B.V6 C.5 D.2 8.已知西数f因3如2x+写》若0s3<名<受， ,且f)=f,)=-2,则sm(k-x) B.3 c.-5 D.-22 3 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.若a,b是两个不相等的正实数，则双曲线G:,一=1 1与双曲线C,。 “b2a京1的 A.实轴长相等 B.焦距相等 C.离心率相同 D.渐近线相同 10.设(x2+3x+2°=4+4x+ax2+4x3+ax4+ax+ax,a(k∈0,1,2，，6})为常数，则 A.4=8 B.44=33 C.4+4+a,=108 D.a1+a+a=108 11.半径为1的圆M沿圆O:x2+y2=4外侧无滑动滚动一周，设圆M上的点A的运动轨迹为曲线 C.已知点A的初始位置为(2,0)，则 A.点(0,4)在曲线C上 B.曲线C围成的区域面积等于16 C.曲线C与直线x+y-2=0有三个交点 D.曲线C上点的横坐标的最大值为2、2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数f(x)=x+2ax2+a2x在x=1处取得极小值，则a= 02026 13.已知数列a}的前项4ia-a=cos写，则a- 1= 14.记△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,C, co84+20cosB-3,则 acosC bcosC 1+2的最小 'tan tanB 值为 第2页共18页 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知三棱柱ABC-AB,C的棱长均为2，AB=V6,平面ACC,A⊥平面ABC (1)求该棱柱的体积； (2)求平面ABBA与平面AB,C夹角的余弦值. 16.(15分) 设函数f(x)=(x-a)-bx. (1)求∫(x)的单调区间； (2)若f(x)存在极值点。，且存在t∈R(t≠x),使得f(t)=f(x),证明：t+2.x,=3a.附 m2-t2=(m-n)(2+n+n2) 17.(15分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b(cosA+V3sin4)=a+c (1)求B; (2)若a=2,c=5,AC,AB边上的中线BE,CF相交于点M. (i)求BE; (ii)求cos∠EMF. 18.(17分) 设O为坐标原点，抛物线C:y2=2x与C2:y2=2px(p>0)的焦点分别为F,F,耳为线段OF的中 点.点A,B在C上(A在第一象限)，点A,B2在C上，AB2=2AB、 (1)求曲线C,的方程； (2)设直线AB1的方程为y=2x-2,求直线AA的斜率； (3)若直线AA,与BB2的斜率之积为-2，求四边形AA,B2B,面积的最小值. 数学试题第3页共4页 19.(17分) 有一个不断分裂的细胞，每秒钟分裂1次，每次分裂生成1个细胞的概率为，生成2个细胞的概率 为写，生成3个细胞的概率为写，原来的细胞分裂后消失，分裂出的新细胞下一秒继续分裂且各个 细胞间相互独立.假设多个细胞每次个数的变化只进行整体考虑，不分开考虑每个细胞记1个细胞分 裂n(n∈N)次后共有m(meN)个细胞的概率为P.(m) (1)求P(2)、(2)； (2)求P(2); (3)已知：若X和Y均为离散型随机变量，则E(X+Y)=E(X)+E).证明： 迟@+迟@+空2@）++空2@s2-n-3. 第4页共18页 绝密★启用前 2026年历城二中高三第二次适应性检测 数学试题参芳答案与解析（教师版） 题导 1 4 5 6 个 8 9 10 響案 D A B D C B B C BD ABD 题号 11 答案 ACD 1.D 【分析】化简集合M,N,再根据交集的定义求结论 【详解】不等式√<4，可化为0≤x<16, 故M={x0≤x<16, 不等式x-1≥0，可化为x≥1， 所以N={xx≥号， 所以MnN={xl≤x<16 2.A 【详解】由等比中项的性质知4=4,4，=2×32=64→4，=±8， 若该数列的公比为9，则a4q=4,=32>0,显然g>0, 所以4=8. 3.B 【分析】由面面平行的性质、线面、面面平行的判定结合充分条件、必要条件的概念即可判 断 【详解】因为mc,若&/1B,则由线面平行的性质可知m/1B,故m/1B是“a1IB”的 必要条件， 设a∩B=n,mCa,m/ln,显然ncB,从而有m/IB成立，但此时a,B不平行， 所以故m/1B”是“&11B的不充分条件， 即“m/1B是“a/1B”的必要不充分条件 故选：B 4.D 【分析】根据奇函数的性质，求出函数值即可 【详解】因为f(x)是定义在R上的奇函数，则f(-3)=-f(3), 第1页共18页 当x>0时，f(x)=x2-4x,则f(3)=-3,所以f(-3)=-f(3)=3 故选：D 5.C 【分析】设复数=a+bi(a,beR),根据日=-1-i可得a+b=1,再结合模长公式，利用二 次函数性质可解 【详解】设复数=a+i(a,beR),=-1-,V2+b=Va-1)+(b-1), 整理得a+b=1，,即b=1-a, 嘴以后6-+l网-aa-号 当6=口时取字，即H的最小值为兰， 故选：C. 6.B ,5y4k.4a 【分析】由题可得a=:,片2，代值化简即可求解/ 【详解】已知工时递减速率s=80%=0.8,且a=-log25, 4og4' 所以a=-log,0.8=-lo8 5 由于生产前4件产品的平均工时：y4=k.4“, 生产前2件产品的平均工时：y,=k.2“, 所以受 将m=g，代入：2“=2_4 5 0.8, 则生产前四件产品与生产前两件产品的平均工时之比为0.8 7.B 【分析】根据给定条件，利用余弦定理建立方程并求得双曲线2，进而求出离心率 【详解】在△ADB,△ADC中，coS∠ADB+coS∠ADC=0,BD=CD=, 2, 由余弦定理得1D+BD-1B4D十CD-4C0,则416+4i0 2AD.BD 2AD.CD 4 整理得心_2 168 1,由点m川在双曲线Q上，得双曲线Q的方程为￡-广 =1, 168 所以双曲线2的离心率e=1+ 8V6 162 第2页共18页 8.C 【分标们根报随应可得o个2+引c心个2+引子，内余弦面发的对林住， 2+骨+(2孕-2江，化简得到5+5行，代入n6-)即可求解 【详解1由于o)=a2x+到引-2，所以o2+号 12 = 3 3 因为0<x<乃 ,所以2x）， 因为0e<<受且)-f()=-2,则@2+写到}-o2,+)-号 由余装面数的对称性，2年+骨+2+骨-2江，且2%+骨智），】 所以+=，则-=-2， 则m经小血2+引+， 因为x写到子，且2+昏〔智） 扇以红升 9.BD 【分析】根据双曲线标准方程，分别求出C,C,的实轴长、焦距、离心率、渐近线逐一比较 即可 【详解1C若1，C茶三-山 不妨设a+b2=c2(c>0,a≠b), .C,C2的实轴长分别为24,2b,不相等，故A错误； C1,C2的焦距分别为2Wa+b2=2c,2√b2+a2=2c,相等，故B正确； GC的离心率分别为后分不相同，改C辑误： b b C,C2的渐近线分别为y=±二x,y=±二x,相同，故D正确. 10.ABD 【分析】由(x2+3x+2=(x+1)(x+2)°，利用两个二项式乘积及其展开式通项求对应项系 数判断A、B,应用赋值法求奇偶数项的和判断C、D, 【详獬】由(x2+3x+2)=(x+1)(x+2), 第3页共18页 对于(x+1),展开式通项为T1=Cx3,r=0,1,2,3, 对于(x+2),展开式通项为T1=2Cx3*,k=0,1,2,3, 所以a=C×2C=8,A对， 44=C9×2C+C×2C+C×2°C9=12+18+3=33,B对， 令x=-1,则4-4+4，-4+a4-a+4,=(1-3+2)=0, 令x=1,则4+4+42+4+4+a4+a=(1+3+2)=216, 所以2a+a+a,+a)=216→4，+a,+a,+a。=108,则a+a,+a,=100,C错， 2(a+4+a)=216→4+a4+4=108,D对 11.ACD 【分析】选项A根据题意可知点A到原点的距离，从而确定点(0,4)在曲线C上；选项B曲 线C围成的区域面积大于半径为2的圆面积；选项C由曲线方程与直线方程可判断；选项D 由参数方程得出点A的横坐标，求最大值 【详解】圆M沿圆O:x2+y2=4外侧无滑动滚动， 所以圆心M的轨迹是以原点为圆心、半径为3的圆， 点A到原点的距离d满足2≤d≤4， 点(0,4)到原点的距离为4， 当圆M滚动到圆O正上方时，点A恰好位于(0,4)， 故选项A正确； 曲线C围成的区域面积介于半径为2的圆面积和半径为4的圆面积之间， 即4π<S<16π，不可能等于16， 选项B错误； 由参数方程设圆M的圆心为(3cos8,3sin8), x=(R+r)cost-rcos(R+) 外摆线参数方程标准形式 y=(R+）simf-rsin+y) x=3 cost-cos3f 代入R=2,r=1可得曲线C的参数方程为 y=3sint-sin 3t (t为参数)， 解方程6cos0-4cos20+4sim26-2=0,x∈[0,2)， 整理得1-cos0)(cos26+sin26+2sin6+2cos) =20-m0n9引+20-g 作出y=20+与=-2sm0+香)在[0,2)的图象，有2个交点， 第4页共18页 y=-2sin(0+平) 7 2x x y=sin(20+交) 令1-c0s0=0→日=0，所以曲线C与直线x+y-2=0有三个交点，C正确； x=3cost-cos3t=3cost-(4cos t-3cost)=6cost-4cos i, 令u=cost,u∈[-1,1]， (0)=6u-43,f'(四=6-122， f0w=6-120>0,-5<4 2 号，w在(5上道#. 2’2 fW=6-12<0,1<4<2或 -<u<1, 2 f四在(-1- 上递减， 所以四在4-Y5处取得极大值，即最大值 点A坐标为(3cos0-cos30,3sin0-sin3), 当0寻时，候坐标3@证25为级大恒。 选项D正确， 12.-1 【分析】由题意可得∫')=0，求出a的值，再检验x=1是否为极小值点即可 【详解】由∫'(x)=3x+4ax+d,又函数f(x)=x3+22+ax在x=1处取得极小值， 则f")=3+4a+d=0,解得a=-1,或a=-3, 当a=-1时，f"(x)=3x2-4x+1=(3x-1)(x-1), 令f-0,则x有，或x=1, 当x∈（G时，e<0,当xe+四)时，f(>0,则=1处取得极小值， 故a=-1时符合题意； 第5页共18页 当a=-3时，f(x)=3.x2-12x+9=3(x-3)(x-1), 令f'(x)=0,则x=3,或x=1, 当x∈(1,3)时，f'(x)<0,当x∈(-o,1)时，f(x)>0,则x=1处取得极大值， 故a=-3时不符合题意 故答案为：-1. 5.n5 2026 【分析】根据累加法结合余弦函数的周期性可来空Q. (n-1)π 【详解】由题设有a-a-1=cos 3 元2元 由票加法可得a,-4=cos3co 3+cosm-π 3—，n22, 即a= s3++cosn-l) 5+cos+cos2π ,n≥2， 3 11 1111 111 故a,=22 二+÷=1,43= 2222,4=+ 222 -1=2 a片，片 =+111-11=-1, 2 222, =+11-1+ 0=5+222223， co四的周期为空6，故a是周期为6的藏列 3 且4+a+4+4+4+4)+1+--1-=0, 2212 故a=a+a+8+a+37a+a+4+a+a+%)- 2026 故答案为：2 14.34/2a 7 12 【分析】先应用正弦定理及两角和正弦公式计算得出tanC =3,再换元应用判 tana tanB 别式法结合一元二次不等式计算求解最小值即可。 【详解】因为Cc0s4+2 ccosB bccosA +2accosB 而ccosd 2ccosB =3, acosC bcosC abcosC acosC bcosC sinC (sinBcosA+2sinAcosB) 由正弦定理得 =3, sinAsinBcosC 第6页共18页 F所以sinC(6 sincoA+2 2sin cosB)】 2 tanc 3 cosCsinAsinB tand tanB tanA+tanB 又因为tanC= 1-tanAtanB’ 1+1 设、1 设an4M,an5=2n,所以taC=-业单=+ 2 1-11-m 又1+2.3 ta4tam8anC,所以L+ 23 tanA tanB tanc' 所以m+21=31-) ,即m2+6n+2n2=3, n+n 设m+2n=t,所以(t-2n)2+6(t-2m)n+2=3,即-6n2+2m+t2-3=0有解， 所以4=-4x(-0×(-到=2-7220，解得产1S 若tanC<0,则taA与tanB中至少有一个为负数，这与三角形中最多只有一个钝角矛盾， 故tanC>0. 义an的最小值为3i 即有t>0,所以t≥7一，故11 7 15.(1)3 a肾 【分析】(1)设AC的中点为O,利用面面垂直的性质可得BO⊥平面ACCA,得到BO⊥AO, 利用勾股定理得到AO,进而得到AO⊥AC,AO⊥平面ABC,接着用体积公式求解即可； (2)以O为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法求面面夹角即可， 【详解】(1)解：设AC的中点为O,连接AO,BO, :△ABC为等边三角形，边长为2， B BO⊥AC,BO=V3,AO=1, 平面ACCA⊥平面ABC,平面ACCAn平面ABC=AC, .BO⊥平面ACCA,又AOC平面ACCA, B0⊥A0,AO=VAB-B0=V3, A42=A02+AO2,则AO1AC, 第7页共18页 又：平面ACCA⊥平面ABC,平面ACCAn平面ABC=AC, .AO⊥平面ABC, e4g=Sao40=5×2×5=3; 4 (2)解：由(1)知AO1平面ABC,BO⊥AC, 如图，以O为原点建立空间直角坐标系， ZA A(0,-1,0),B(5,0,0)4,0,0,5), 设平面ABBA的一个法向量m=(化，y,), AB.i=√3x+y=0 不妨取x=1,则m=(1-5,1), AA=y+3=0 易知平面ABC的一个法向量i=(0,0,1), w成店点 则平面1BB,A与平面48，G夹角的余弦值为5 16.(1)b≤0时，f(x)的增区间为(-o,+o),无减区间；b>0时，增区间为 -∞，aV3b √3b ,+00 减区间为a- V3bV36 -,a+ 3 3 (2)证明见解析 【分析】(1)求出函数的导数，就b≤0、b>0分类讨论导数的符号后可得函数的单调性； (2)根据极值点可得b=3(x。-a),再根据∫(t)=∫(x)结合代数变形可正t+2x。=3a. 【详解】(1)解：'(x)=3(x-a)2-b, 当b≤0时，f"(x)≥0（不恒为零），f(x)的增区间为(-∞，+∞)，无减区间； 若b>0,则当xen,aUa+6n） 3 3+o时，f"(x)>0, +3时，f(x)<0, 第8页共18页 故f(x)的增区间为 减区间为 3 综上：b≤0时，f(x)的增区间为(-∞，+o),无减区间； √3b .√3b b>0时，f()的增区间为 -o0,a 3 (2)证明：因为是f(x)的极值点，故f'(x)=0,故3(。-a)-b=0, 所以b=3(x。-a2, 因为存在t∈R(t≠x),使得f(t)=∫(x), 所以(t-a-bt=(x--bx,即(t-a-(x,-a'-b(t-x)=0, 因为(-a°-(5-=(t-6)(t-(-g{t-(6-4, 所以t-x)t-a)'+(。-a'+-a)。-ab=0, 因为≠x, 所以(t-ad'+(x。-a+t-a)。-a）b=0, 因为b=3(x。-a) 所以(t-a'+(t-a(x。-a=2(x。-a',即(t-a'+(t-a(x。-a)-2(x。-a)2=0, 所以[(t-a)+2(x-a)][(t-a)-(x-a]=0,即(t-x)t-3a+2xo)）=0, 因为t≠x。, 所以t-3a+2x。=0,即t+2x。=3a 1.0B-骨 (②)，(m)4 2 91 【分析】(1)通过正弦定理将边化为角，结合两角和的正弦公式以及辅助角公式得到关于B 的方程进而得解； (②)()通过E-1+BC)求向量的校长即可得结果；（通过余弦定理术出8，（法 一）根据重心的性质求出CM和BM,最后通过余弦定理可得结果；（法二）通过求 cos(BE,CF)得到结果 【详解】(1)由正弦定理得sinB(cos4A+√3sin4=sin4+sinC, .'sinBcosA+3sinBsin4=sinA+sin(A+B), .'.v3sinBsinA=sinA+sinAcosB, 第9页共18页 ,sinA≠0，.√3sinB=1+cosB, 6 6 3 2)0:版=aA+BC), ÷B-2aA+8c可-V+2a1o+C- ()在△BCF中，由余弦定理得CF2=BC2+BF:-2BC×BFX1=21 24 即cr=2 (法一)由题知M是△ABC的重心， CM2CE=BM3=V39 3 在△BMC中，由余弦定理得coS∠BMC=BM+CM-BC_4V 2BM.CM 91 (法=)又C亚-A-BC, ∴驱-（}8c}顾-c厨4丽c-c-3. cos∠Rr-csE.CP BE.CF 4V91 BE CF 91 18.(1)y2=4x (2)1 3)3√2 【分析】(1)求出的坐标，即可得到F的坐标，从而求出抛物线方程； (2)设A(x,)，A(x2,y2),B(xy),B2（,y4),联立直线与抛物线方程，求出A, B的坐标，再由向量的关系求出A的坐标，即可得解； (3)推导出OA,=204A,同理OB,=208,即可得到S边形444=3S44,设AB:x=w+, 联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，即可求出AB过定点坐标，再求出S4马的 最小值 【详解】)抛物线C广=2x的熊点为行0） 由为线段OF的中点，可得F(1,0), 所以曲线C的方程为y2=4x; 第10页共18页 (2)设A(,),A(,y2),B(y),B2(x,y4), [y=2x-2 联立 =2，消去x整理得y2-y-2=0,解得y=2,为=-1， 则422，专： B2 因为4瓜=24网，则4=-3 y4-y2=-6’ 因为名=年，圣，则誉年=3，所以+男=之 44 所以儿=4，名聋-4，即4民)，直线44的斜率为子1； 4 (3)因为A(,y),A(y2),B(,y),B2(x,y4), 所以4B=(6-xy-4)，4,B,=(化4-xy4-y), 因为4瓜=24网，所以-2传) y4-y2=2(y-y) 因为；=上」 ≥，火李=之—之 4 m@等-普=答- ,① 由y4-2=2(⅓-)代入①得y4+y2=2(y+), 由化以得%告， y4-y2=2(y-y), 第11页共18页 因为名=号，名=琴，所以5-受，所以04-204，同理O丽-20明， 4 所以△OAB△0A,B,且S4aS%,=1:4, 所以S边形44，A=3Sa4，因为k44k4马=-2，所以k4·k=-2,， 所以空兰之，是资2，即%2， XX 22 设AB:x=y+n,联立 =2,消去x,得y2-2w-2n=0, x=y+2, 所以yy=-21=-2,所以n=1,则AB,:x=w+1,所以AB过定点(10)， f√2 当且仅当页， 即=V5时取等号，所以S边形44,8=3S.43≥3V2, 所以四边形AA,B,B面积的最小值为3√2 19.(2)=,B)- 13 243 (②P,(2)= -别 (3)证明见解析 【分析】(1)根据已知条件，结合一个细胞分别分裂出1、2、3个细胞的概率，根据第二、 三次分裂出现2个细胞的所有情况，由独立事件概率的乘法公式，求出事件概率； (2)分析出第次分裂后只有2、3个细胞的情况，根据独立事件概率的乘法公式，求出结 果； (3)根据分裂出细胞数和此情况的概率，求出一次分裂后细胞数的期望，根据离散型随机 变量的期望的性质，和等此数列求和公式，证明不等式即可。 【详解1)由题意可得R山=R)=RB)=3, 若第二次分裂出现2个细胞，有两种情况： 第一种情况：第一次1个细胞分裂成1个，第二次1个细胞分裂成2个； 第二种情况：第一次1个细胞分裂成2个，第二次2个细胞各分裂成1个. 所以a-@,-Ger专5周5： 若第三次分裂出现2个细胞，有两种情况： 第一种情况：第二次1个细胞分裂成2个细胞； 第二种情况：第二次2个细胞每个细胞各分裂为1个 第12页共18页 所以a-a-图)eG-G京品 (2)第n次分裂后只有2个细胞，则这n次分裂中，有1次由1个细胞分裂成2个细胞，有n-1 次由1个细胞分裂成1个细胞； 设第k(0<k≤2，k∈N)次由1个细胞分裂成2个细胞，后面的n-k次都是由1个细胞分裂成1 个细胞；则 @-”g 13 则ag (3)记分裂n(n∈N)次后细胞个数为X,令y=Xn-Xn1(n≥2)， 设Z,(1≤i≤X)表示第-1次分裂后生成的第i个新细胞，经过第n次分裂后增加的细胞个 数， 即分裂产生1个细胞时Z,=0,分裂产生2个细胞时Z,=1, 分裂产车3个细跑时乙=2，可得8(2)0写12}1； 1 可知y=乙+Z++Zx, 得E(但)=E(亿+Z2++Zx)）=E亿+E包2H+ExX:; 可知X。=Xm-1+Yn(n≥2)，E(Xn)=E(Xn-1)+E(yn)=E(Xn-)+Xn-(n≥2)； 得E(E(X》=E(E(X)+E(X)(≥2)， 求得E(Xn)=E(Xm)+E(Xm-)=2E(X)(n≥2)， 得8(X)-=1x+2x}3x2, 3 3 所以{E(X)}是以2为首项，以2为公比的等比数列，即E(X)=2×21=2”, 易知3)， 当n≥2时，E(Xn)=2≥P(1)+2P(2)+3P(3)++8P(8)+3Dn(3), 即E(Xm)=2≥P(1)+2P(2)+3Pn(3)+…+8Pn(⑧)+1(n22), 第13页共18页 E(1)+2P(2)+3P,3)++8P,8H1≤22 B(1)+2P(2)+323)++8P8H1≤23 所以 P(1)+2P.(2)+3P3H+8P8H1≤2" 累加可得2迟@)+空迟0)之迟)+空1卫.m-上2424+2 22(1-21 1-2 22n-4, 即∑i迟)+∑i迟)+∑i迎)++∑iP上21-n-3. 第14页共18页