2025—2026学年北师大版数学八年级下学期期末全真测评卷二

**基本信息** 立足北师大版八年级下册核心知识，融合新能源充电桩、密码编译等现实情境与正五边形结等文化素材，梯度设计选择、填空、解答题，全面考察数学抽象、推理、应用能力，适配期末综合测评。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|不等式性质、图形对称、分式性质、平行四边形判定|第6题以密码编译考因式分解应用，体现数学语言表达现实世界| |填空题|6/18|分式意义、正多边形计算、折叠变换、角平分线性质|第12题正五边形结计算，渗透文化传承与几何直观| |解答题|8/72|分式化简、不等式组、几何证明、实际应用、方案设计|第24题平行四边形方案探究，考察创新意识与推理能力；第20题新能源充电桩问题，强化模型观念与应用意识|

2025—2026学年北师大版八年级下学期期末全真测评卷二 用时:120分钟 总分:120分 得分: 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.若x>y，则下列式子错误的是( ). A. x-5>y-5 B. - 3x<-3y C. D. ax> ay 2.下列几种著名的数学曲线分别是“笛卡尔爱心曲线”“费马螺线”“卡西尼卵形线”“蝴蝶曲线”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ). 3.根据分式基本性质对分式变形，下列正确的是( ). A. B. C. D. 4.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD 是平行四边形的是( ). A. AB=BC B. AD=BC C. ∠A=∠C D. ∠B+∠C=180° 5.数轴是认识数形结合的重要工具.如图，完整的数轴上有A，B两点，分别表示 和1-x,且点 A 在点B 左侧，则x的值可以是( ). A. - 3 B. - 2 C. - 1 D. 0 6.李明喜欢密码编译，在他的密码手册中，有这样一条信息：x-y,a-b,x²-y²,4,x+y,a+b分别对应下列六个字：国，爱，美，我，中，丽，现将 因式分解，结果呈现的密码信息可能是( ). A.美丽中国 B.我爱中国 C.我爱美 D.我爱美丽 7.下列命题的逆命题错误的是( ). A.平行四边形是中心对称图形 B.平行四边形的对角线互相平分 C.平行四边形的两组对边相等 D.平行四边形的两组对角相等 8.如图，△ABC的周长为a，以它的各边的中点为顶点作△A₁B₁C₁，再以△AB₁C₁各边的中点为顶点作△A₂B₂C₂,…,如此下去,则△AₙBₙCₙ的周长为( ). A. B. C. D. 9.如图,▱ABCD 的边CD在x轴上,沿x轴正方向将▱ABCD平移到▱A'B'C'D'的位置.点C的坐标为(b,0),点C'的坐标为(a,0),则点A 平移的距离为( ). A. a B. b C. a-b D. b-a 10.如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,将△ABC 绕点C 顺时针旋转60°得到△DEC,点A,B 的对应点分别是D,E,F 是边AC 的中点,连接BE,DF,BF.①△BCE 是等边三角形;②DE=BF;③△ABC≌△CFD;④四边形 BEDF 是平行四边形.则其中正确结论的个数是( ). A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 11.若分式 有意义，则x的取值范围是 . 12.如图，用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结(如图(1))，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图(2)所示的正五边形 ABCDE.在图(2)中,∠ACD 的度数为 . 13.如图，在平行四边形 ABCD 中，将△ADC沿AC折叠后，点 D 恰好落在DC 延长线上的点E 处.若∠D=60°,AB=3,则AC为 . 14.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以顶点A 为圆心,适当长为半径画弧,分别交AC,AB 于点M,N,再分别以点 M，N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 P，作射线AP，交边BC于点D，若CD=4,AB=15,则△ABD 的面积是 . 15.如图，已知直线 与直线 的交点的横坐标为 则关于x的不等式 的解集为 . 16.对于实数m，n，定义一种新运算“※”为 这里等式右边是实数运算，例如：2※3= 则方程 的解为 . 三、解答题(本大题共8小题，共72分) 17.(6分)先化简,再求值: 其中a=-1. 18.(6分)解不等式组 并求出它的整数解. 19.(8分)如图，平面直角坐标系中的网格由单位正方形构成，在 中，点A 的坐标为(2，3)，点B 的坐标为(-2,0),点C 的坐标为((0,-1). (1)求证: (2)若以A，B，C及D 为顶点的四边形为平行四边形，写出点 D 的坐标： ； (3)把 绕点C旋转 得到 ，请在网格上画出 20.(8分)随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施，某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如下表所示： 单枪充电桩 双枪充电桩 总价:50000元 总价:45000元 单价：x元/个 单价:1.5x元/个 若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多8个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价. 21.(8分)如图,在平行四边形ABCD中,E为BC上一点,F为AE 的中点,连接DF 并延长,交CB 的延长线于点G. (1)求证:△ADF≌△EGF; (2)求证:BG=CE. 22.(10分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD 是边BC上的中线,分别以点C,D为圆心,大于 的长为半径画弧，两弧相交于点M，N.作直线MN分别交AC，BC于点F，E，连接DF. (1)△ADF 是等边三角形吗?为什么? (2)若 EF 的长为2,求AB 的长. 23.(14分)新定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程 的解是 成立，那么我们就把实数a，b组成的数对[a，b]称为关于x的分式方程 的一个“关联数对”.例如：a=2,b=-5使得关于x的分式方程 的解是 成立，所以数对[2,-5]就是关于x的分式方程 的一个“关联数对”. (1)下列数对是关于x的分式方程 的“关联数对”有_______ .(填字母) A.[-2,4] B. [3,-5] (2)若数对 是关于x的分式方程 的一个“关联数对”，求 n的值. 24.(12分)如图,在平行四边形ABCD 中, 为锐角. O是对角线AC 的中点，某数学学习小组要在AC上找两点E，F，使四边形 BEDF 为平行四边形，现在，甲、乙两个同学给出了两种不同的方案如下： 甲方案:分别取AO,CO的中点E,F; 乙方案：作 于点E, 于点F. 请回答下列问题： (1)你认为按照甲方案得到的四边形是平行四边形吗? 答: (填“是”或者“不是”). (2)你认为按照乙的方案得到的四边形是平行四边形吗?如果是，请证明；如果不是，请说明理由. (3)请你给出一种和他们不同的方案，请用文字表达你的方案，并在图中标记字母，写出证明. 1. D 2. C[解析]本题考查了轴对称图形和中心对称图形的辨别. A.不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B.不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C.既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意； D.不是中心对称图形，故此选项不符合题意.故选 C. 思路引导 判断一个图形是不是轴对称图形的关键是寻找对称轴，使图形按照对称轴折叠后两部分可重合；判断一个图形是不是中心对称图形是要寻找对称中心点，使图形绕对称中心旋转180°后与原图重合. 3. C[解析]本题考查了分式的基本性质. A.分子和分母同时加2，不符合分式基本性质中“乘或除以”的要求，例如： 故原选项错误，不符合题意； 故原选项错误，不符合题意； C.分子和分母同时乘3，满足分式基本性质； 故原选项正确，符合题意； D.分子和分母同时平方，若a≠b，则分式的值会改变，故原选项错误，不符合题意.故选 C. 4. C[解析]本题考查了平行四边形的判定. 一定能判定四边形 ABCD 是平行四边形的是∠A=∠C.理由如下： ∵AB∥CD,∴∠A+∠D=180°. ∵∠A=∠C,∴∠C+∠D=180°,∴AD∥BC. 又AB∥CD,∴四边形ABCD 是平行四边形.故选 C. 5. A[解析]本题考查了解一元一次不等式. 根据题意可知 解得x<-2. ∴x的值可以是-3.故选 A. 6. B[解析]本题考查了因式分解的应用. =4(a-b)(x+y)(x-y). ∵4对应“我”,a-b对应“爱”,x+y对应“中”,x-y对应“国”，∴组合结果只有 B选项符合.故选 B. 7. A[解析]本题考查了命题与逆命题以及命题真假的判断. A.逆命题为“中心对称图形是平行四边形”，中心对称图形包含圆、线段等，故逆命题错误，符合题意； B.逆命题为“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，符合平行四边形的判定定理，故逆命题正确，不符合题意； C.逆命题为“两组对边相等的四边形是平行四边形”，符合平行四边形的判定定理，故逆命题正确，不符合题意； D.逆命题“两组对角相等的四边形是平行四边形”，符合平行四边形的判定定理，故逆命题正确，不符合题意. 故选 A. 方法诠释 解答本题需要明确原命题与逆命题的关系是条件和结论互换，然后需要逐一分析各选项的逆命题是否正确. 8. A[解析]本题考查了三角形的中位线定理. ∵A₁,B₁,C₁分别为BC,AC,AB的中点, ∴△A₁B₁C₁的周长为a, 同理， 的周长为 …, 则△AnBnCn的周长为 故选 A. 9. C[解析]本题考查了坐标系中的平移. ∵点C的坐标为(b,0),点C'的坐标为(a,0), ∴CC'=a-b,∴点A平移的距离为a-b.故选 C. 10. D[解析]本题考查了直角三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定及平行四边形的判定. ∵在Rt△ABC中,∠ABC=90°,F 是边AC的中点, ∴BF=AB=AF=CF,∴∠FBC=∠FCB=30°. ∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC, ∴∠BCE=∠ACD=60°,CB=CE,∠DEC=∠ABC=90°,AB=DE,AC=CD, ∴△BCE 是等边三角形,DE=BF,故①②正确; ∵AC=CD,∠A=∠FCD=60°,AB=CF, ∴△ABC≌△CFD(SAS),故③正确; 如图,延长BF交CE于点G,则∠BGE=∠GBC+∠BCG通过延长才能证明 BF 与 DE 的关系是平行=90°,∴∠BGE=∠DEC,∴BF∥DE. 又BF=DE,∴四边形 BEDF 是平行四边形,故④正确.故选 D. 11. x≠3 [解析]本题考查了分式有意义的条件.由题意,得x-3≠0,解得x≠3. 12.72°[解析]本题考查了正多边形的相关计算. ∵正五边形 ABCDE 的内角和为(5-2)×180°=540°, ∵AB=BC,∴∠BCA=∠BAC=(180°-108°)÷2=36°, ∴∠ACD=∠BCD-∠BCA=108°-36°=72°. 13.3 [解析]本题考查了与平行四边形折叠有关的计算.∵将△ADC沿AC折叠后，点 D 恰好落在DC 的延长线上的点E处,∴∠ACD=90°, ∴∠CAD=180°-∠ACD-∠D=30°. ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴CD=AB=3,∴AD=2CD=6, 在 Rt△ACD 中,由勾股定理,得 14.30 [解析]本题考查了角平分线的性质和三角形的面积公式. 如图,过点D作DE⊥AB于E₂ 由基本尺规作图可知，AD 是∠BAC 的平分线. ∵∠C=90°,DE⊥AB,∴DE=DC=4, ∴△ABD 的面积 [解析]本题考查了一次函数与一元一次不等式(组). 令-2nx+n=0,解得 ∵直线 与直线 的交点的横坐标为 ∴观察图象可得 的解集为 16. x=3 [解析]本题考查了与新定义有关的解分式方程.由新定义可得 解得x=3,检验:当x=3时,x-1≠0,∴原分式方程的解为x=3. 17.原式 当a=-1时,原式 解不等式①，得 解不等式②，得x≤0， ∴不等式组的解集是 它的整数解为-1，0. 19.(1)∵BC²=1²+2²=5,AB²=3²+4²=25,AC²=2²+ ∴△ABC 是直角三角形,且∠ACB=90°,∴AC⊥BC. (2)(4,2)或(0,4)或(-4,-4) [解析]以A,B,C及D为顶点的四边形为平行四边形，分三种情况讨论：如图(1). ①当 AC 为对角线时,四边形 ABCD 是平行四边形,点D 的坐标为(4,2); ②当AB 为对角线时，四边形 ACBD'是平行四边形，点D'的坐标为(0,4); ③当 BC 为对角线时,四边形 ABD'C 是平行四边形,点D'的坐标为(-4,-4), 综上所述,点 D 的坐标为(4,2)或(0,4)或(-4,-4). (3)把△ABC 绕点 C 旋转 90°得到△A₁B₁C,分两种情况：如图(2)，把△ABC 绕点 C 顺时针旋转 90°得到△A₁B₁C,即为所求; 如图(3),把△ABC 绕点C逆时针旋转90°得到△A₁B₁C,即为所求. 20.根据题意，得 解得x=2500,经检验，x=2500是原方程的解，且符合题意； ∴1.5x=1.5×2500=3750.故单枪新能源充电桩的单价为2500元，双枪新能源充电桩的单价为3750元. 21.(1)∵在平行四边形 ABCD 中,AD∥BC,F为AE 的中点,∴∠DAF=∠GEF,AF=EF. 在△ADF 和△EGF 中, ∴△ADF≌△EGF(ASA). (2)由(1)知△ADF≌△EGF,∴GE=DA. ∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD=BC, ∴GE=CB. ∵GE=GB+BE,CB=BE+CE,∴BG=CE. 22.(1)△ADF 是等边三角形.理由如下: ∵在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°, ∵以点C，D为圆心，大于 CD的长为半径画弧，两弧相交于点M,N,作直线MN分别交AC,BC于点F,E, ∴MN是CD的垂直平分线,∴DF=CF, ∴∠FDC=∠C=30°, ∴∠AFD=∠C+∠FDC=60°. ∵在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线, ∴∠ADF=∠DAF=∠AFD=60°, ∴△ADF 是等边三角形. (2)由(1)知,MN是CD的垂直平分线,∴∠FEC=90°. ∵∠C=30°,EF=2,∴FC=2EF=4,∴DF=FC=4. ∵△ADF 是等边三角形,∴AF=DF=4, ∴AC=AF+FC=4+4=8. ∵AB=AC,∴AB=8,即AB的长为8. 23.(1)B [解析]当a=-2,b=4时,解分式方程 4,得 ∴[-2,4]不是 的“关联数对”； 当a=3,b=-5时, 解分式方程 得 是 的“一个关联数对”.故选 B. (2)由新定义可知 解得 解得n=3. 经检验，n=3是分式方程 的解. 故n的值为3. 24.(1)是[解析]如图(1),连接BD,交AC 于点O. ∵在▱ABCD中,O是对角线AC的中点, ∴AO=CO,BO=DO. ∵E,F分别为AO,CO的中点,∴EO=FO, ∴四边形 BEDF 为平行四边形. (2)按照乙的方案得到的四边形是平行四边形.证明如下： ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC,AD∥CB,∴∠EAD=∠FCB. ∵BE⊥AC,DF⊥AC, ∴BE∥DF,∠BEC=∠AFD=90°. 在△ADF 和△CBE 中, ∴△ADF≌△CBE(AAS),∴BE=DF. ∵BE∥DF,∴四边形 BEDF 为平行四边形. (3)如图(2),在AO,OC上分别取点E,F,使AE=CF,即可得到四边形 BEDF 为平行四边形.证明如下： 连接BD,交AC 于点O. ∵在▱ABCD中,O是对角线AC的中点, ∴AO=CO,BO=DO. ∵AE=CF,∴AO-AE=CO-CF,∴EO=FO, ∴四边形 BEDF 为平行四边形. 学科网（北京）股份有限公司 $