精品解析：江苏泰州市高港区2026 年春学期九年级第一次学情调查数学试题

2026年春学期九年级第一次学情调查 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，选择正确选项的字母代号涂在答题卡相应的位置上） 1. 下列温度中，比低的温度是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（ ） … −2 −1 0 1 2 … … * 无意义 * 0 * … A. B. C. D. 4. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 5. 如图，四边形内接于，为的直径．若，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，菱形的对角线、交于点，，．点是边上的动点，过点作，垂足为点，，垂足为点，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 7. 据权威机构于2026年1月发布信息显示：2025年全球市场规模约为3717.1亿美元，将数3717.1用科学记数法表示为__________． 8. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是__________． 9. 若方程的两根分别是，则___． 10. 若二元一次方程组的解为，则的值为____． 11. 明代数学文献中的“五星幻图”是中国古代唯一在算书中出现五角星的数学文献，如图所示的五角星图案绕点O至少旋转_________度才能与自身重合． 12. 某特色美食街的商户二月份的营业额为300万元，四月份的营业额为432万元，若月均增长率为x，则根据题意可列方程为_________． 13. 如图，将正方形放在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点C，D在第一象限内．若点A的坐标为，正方形的面积为5，则点C的坐标________． 14. 如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为_______°． 15. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与反比例函数的图象交于点，过点作x轴的平行线分别交与的图象于C，D两点．连接，则的面积为___________． 16. 如图，等腰，，，点D在边上运动，连接，以为边向右侧作等腰，其中，与边交于点F．当为等腰三角形时，的长为____________． 三、解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 按要求完成下列计算： （1）计算： （2）解方程： 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 为了解某品牌A、B两种型号扫地机器人的销售情况，商场对这两种型号的扫地机器人1～8月份的销售情况进行了调查统计，并对统计数据进行了整理分析． 数据整理：1～8月份A、B型号扫地机器人销售情况条形统计图 数据分析： 平均数 中位数 众数 A型号 a 14 12 B型号 12 b c 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）请对商场八月份以后这两种型号扫地机器人的进货意向提出合理的建议，并说明理由． 20. “苏超冠军城”是泰州最新的亮眼名片，2026年春节期间，溱湖国家湿地公园、梅兰芳纪念馆、凤栖湖冰雪乐园等多处景点备受游客追捧．小林，小凯两人分别从这3个景点中选择景点游玩． （1）若每人选择1个景点，则小林选中凤栖湖冰雪乐园的概率为 ； （2）若每人选择1个景点，求两人所选景点相同的概率． 21. 如图，、分别在正方形对角线、边上，给出以下信息：①；②；③．从上面三个信息中选择两个作为条件，剩余的一个作为结论组成一个真命题． （1）你选择的条件是 ，结论是 (填序号)； （2）证明你构造的命题． 22. “惠山之眼”亮了，位于惠山大道东侧的摩天轮终于焕发光彩，成为地标性网红打卡点．如图，某人站在距离革天轮60米的点处（即米），以的仰角恰好看到摩天轮圆轮最低处的点，在原地再以的仰角恰好看到摩天轮圆轮最高处的点．（人的身高忽略不计） （1）求摩天轮的最低处到地面的距离的长； （2）求摩天轮圆轮直径的长． 23. 如图，点C为上一点，连接并延长至点A，使． （1）请用无刻度的直尺和圆规在圆上找一点B，使为的切线（保留作图痕迹，不写作法），并证明； （2）在（1）的条件下，设的半径为5，求的长度． 24. 已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家，公园离家．小华从家出发，先匀速步行了到书店，在书店停留了，之后匀速步行了到公园，在公园停留后，再用匀速跑步返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 小华离开家的时间 1 6 18 50 小华离家的距离 ②填空：小华从公园返回家的速度为____________； ③当时，请直接写出小华离家的距离关于时间的函数解析式； （2）若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以的速度散步直接到公园．在从家到公园的过程中，对于同一个的值，小华离家的距离为，小华的妈妈离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 25. 综合与实践： 如何将正方形纸片折叠出相等的三列 背景 书法社团课上，需要将正方形书法纸折叠成均等的三列（如图①），这引起数学兴趣小组的关注．兴趣小组准备三张边长均为的正方形纸片，为折叠出均等的三列提供三组方案，请你论证． 方案1 如图② 步骤1：折均等的四列； 步骤2：连接对角线分别交折痕于点、点、点，知； 步骤3：连接延长交线段于点． 方案2 如图③ 步骤1：对折正方形，折痕为； 步骤2：沿翻折得到； 步骤3：沿翻折，使得D与重合，点为折痕与的交点． 方案3 如图④ 步骤1：对折正方形，折痕为； 步骤2：沿翻折，使得点与点重合，点与点对应； 步骤3：线段与交点为． 问题论证： （1）在方案1中，求证：点为的三等分点； （2）在方案2中，求与的比值； （3）在方案3中，图④已标注的点中是否存在线段的三等分点？若存在，指出并证明；若不存在，说明理由． 26. 如图1，已知抛物线交x轴于点，点，交y轴于点C．过点C作，交抛物线于点D． （1）此抛物线对称轴为________；点D坐标为________；________，________； （2）点E是线段上一动点，连接，若平分，则点E的坐标为________； （3）将抛物线图象沿x轴正方向平移m个单位（）得到新抛物线的图象，对于新抛物线图象上的一点，当时，的最小值为． ①求m的值； ②如图2，在（2）的条件下，连接，点M为线段上一动点，过点M作y轴的平行线，交抛物线的图象于点N，当点M从左向右运动时线段的长度逐渐减小，求M的横坐标为t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春学期九年级第一次学情调查 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，选择正确选项的字母代号涂在答题卡相应的位置上） 1. 下列温度中，比低的温度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； B、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 3. 根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（ ） … −2 −1 0 1 2 … … * 无意义 * 0 * … A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式无意义的条件（分母为0时分式无意义）和分式值为0的条件（分子为0且分母不为0时分式值为0），结合表格信息判断选项即可． 【详解】根据表格信息可得两个条件： ① 当时，无意义，可知时，分式分母为； ② 当时，，可知时，分式分子为且分母不为； A：， 时，分母， 无意义，符合条件①； 时，分子，分母 ， ，符合条件②，故该选项符合题意； B：， 时，分母， 有意义，不符合条件①，不符合题意； C：， 时，分母 ， 有意义，不符合条件①，不符合题意； D：， 时，分母， 有意义，不符合条件①，不符合题意． 4. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，证明出是的中位线是解题关键．取格点、，由网格的性质可知，，得到，，进而证明是的中位线，即可求解． 【详解】解：如图，取格点、， 由网格的性质可知，， ，， 、分别是、的中点， 是的中位线， ， 故选：B． 5. 如图，四边形内接于，为的直径．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，直径所对的圆周角是直角，根据等边对等角以及三角形内角和定理可得，根据同弧所对的圆周角相等可得，进而根据为的直径，得出，进而得出即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴ 故选：B． 6. 如图，菱形的对角线、交于点，，．点是边上的动点，过点作，垂足为点，，垂足为点，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、垂线段最短，根据菱形的性质可知，，，利用勾股定理即可求出，根据有三个角是直角的四边形是矩形，可知四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得：，根据垂线段最短可知当时，最短，利用三角形的面积公式即可求出的最小值． 【详解】解：如下图所示，连接， 四边形是菱形， ，，， ， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 当时，最短， 设中边上的高为， ， ， ， 的最小值是， 即的最小值是. 故选：A． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 7. 据权威机构于2026年1月发布信息显示：2025年全球市场规模约为3717.1亿美元，将数3717.1用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义，确定出和即可求解． 【详解】解：． 8. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键．根据二次根式的意义可得，求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得：． 故答案为：． 9. 若方程的两根分别是，则___． 【答案】## 【解析】 【分析】根据根与系数的关系求解即可． 【详解】∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 10. 若二元一次方程组的解为，则的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】先由二元一次方程组解的定义得到关于的二元一次方程组，两个方程相加即可得到答案． 【详解】解：二元一次方程组的解为， ， 则①②得， ． 11. 明代数学文献中的“五星幻图”是中国古代唯一在算书中出现五角星的数学文献，如图所示的五角星图案绕点O至少旋转_________度才能与自身重合． 【答案】72 【解析】 【分析】根据旋转对称图形的性质解答即可； 【详解】解：这个五角星是旋转对称图形，中心O将整个周角平均分成了5个相等的部分， 根据旋转对称图形的性质，最小旋转角度周角度数等份数， 即： ， 因此绕点O至少旋转72度就能与自身重合． 12. 某特色美食街的商户二月份的营业额为300万元，四月份的营业额为432万元，若月均增长率为x，则根据题意可列方程为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据 二月份的营业额为万元，月均增长率为，得到 三月份的营业额为万元，四月份的营业额为万元，结合 四月份的营业额为万元，即可列得方程． 【详解】解：根据题意， 可列方程为． 13. 如图，将正方形放在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点C，D在第一象限内．若点A的坐标为，正方形的面积为5，则点C的坐标________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据正方形面积求出边长，再利用勾股定理求出相关线段的长度，最后确定点的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵点A的坐标为， ∴， ∵正方形的面积为5， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴则点C的坐标为． 14. 如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为_______°． 【答案】43 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，读懂题意并熟练掌握知识点是解题的关键．设与交于点K，先由三角形内角和定理求出，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，设与交于点K， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与反比例函数的图象交于点，过点作x轴的平行线分别交与的图象于C，D两点．连接，则的面积为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】把点的坐标分别代入对应的一次函数解析式和反比例函数解析式中，利用待定系数法求出一次函数解析式和反比例函数解析式，再分别求出的坐标，进而求出的长，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：把代入中得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为， 把代入中得：， 解得：， ∴反比例函数的解析式为， ∵轴，， ∴点和点的纵坐标都为 2 ， 在中，当时，，即， 在中，当时，,即, ， ∵， ． 16. 如图，等腰，，，点D在边上运动，连接，以为边向右侧作等腰，其中，与边交于点F．当为等腰三角形时，的长为____________． 【答案】1或 【解析】 【分析】过点作于点，根据已知求得，设，则，证明，得出，即，进而表示出，根据题意分两种情况，①，②，分别讨论，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∴ ∴， 设，则，， ∵，，， ∴ ∴， 又∵ ∴， ∴ ∴，即 ∴， ∴ ∵ ∴ ①当时， ∴； 解得：； ②当时， ∴ ∴ 在中， ∴ 解得： 综上所述，的长为：1或 三、解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 按要求完成下列计算： （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值分别计算即可； （2）根据解分式方程的方法解答即可； 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：， 去分母，得， 去括号，得， 解得：， 检验：当时，， 所以分式方程的根为． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】化简得，代值得 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算是解题的关键．先化简，再求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 为了解某品牌A、B两种型号扫地机器人的销售情况，商场对这两种型号的扫地机器人1～8月份的销售情况进行了调查统计，并对统计数据进行了整理分析． 数据整理：1～8月份A、B型号扫地机器人销售情况条形统计图 数据分析： 平均数 中位数 众数 A型号 a 14 12 B型号 12 b c 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）请对商场八月份以后这两种型号扫地机器人的进货意向提出合理的建议，并说明理由． 【答案】（1）14，13，14 （2） 解：建议多进B型号扫地机器人． 理由：B 型销量从年初的较低水平逐渐上升，八月份已高于 A 型；基于这一走势，商场可适当增加 B 型的进货量以满足需求． 【解析】 【分析】本题考查平均数、中位数、众数，利用统计数据做决策： （1）根据平均数、中位数、众数的定义，结合条形统计图，即可求解； （2）观察统计图，B型号需求逐渐上升的趋势，进而做出决策． 【小问1详解】 解：A型号平均数：； 将B型销量按从小到大顺序排列为：5，8，11， 12，14，14，15，17， 第4位和第5位的平均数为：， B型号中位数； B型销量中14出现了2次，出现的次数最多， B型号众数； 故答案为：14，13，14； 【小问2详解】 略 20. “苏超冠军城”是泰州最新的亮眼名片，2026年春节期间，溱湖国家湿地公园、梅兰芳纪念馆、凤栖湖冰雪乐园等多处景点备受游客追捧．小林，小凯两人分别从这3个景点中选择景点游玩． （1）若每人选择1个景点，则小林选中凤栖湖冰雪乐园的概率为 ； （2）若每人选择1个景点，求两人所选景点相同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式，即可求解． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两人所选景点相同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：从这3个景点中选择1个景点，则小林选中凤栖湖冰雪乐园的概率为； 【小问2详解】 解：将这3个景点分别记为，，， 列表如下： 共有9种等可能的结果，其中两人所选景点相同的结果有3种， 两人所选景点相同的概率为． 21. 如图，、分别在正方形对角线、边上，给出以下信息：①；②；③．从上面三个信息中选择两个作为条件，剩余的一个作为结论组成一个真命题． （1）你选择的条件是 ，结论是 (填序号)； （2）证明你构造的命题． 【答案】（1）①②，③(或①③，②或②③，①)； （2） 证明：选择条件①；②，结论是③． ∵四边形是正方形， ∴，，． ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ． 如图，连接， 在和中，， ， ， ． 选择条件①；③，结论是②． ∵四边形是正方形， ∴，，，且． ∵， ∴． 如图，过点作，交于点，则， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴点与点重合， ∴． 选择条件②；③，结论是①． ∵四边形是正方形， ∴，，． ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ． ∵， ∴． 如图，连接， 在和中，， ， ． 【解析】 【分析】（1）三组条件两两搭配均可组成真命题，选择一组即可； （2）以条件①②推导结论③时，先利用正方形固有角度性质结合，证出为等腰直角三角形，得到，再结合与公共斜边证明直角三角形全等，通过线段等量代换即可证出； 以条件①③推导结论②时，作辅助线交于点，先求出的长度，再利用等腰直角三角形的性质求出与的长度，证明，从而得出与重合，进而证明； 以条件②③推导结论①时，先由正方形特殊角与垂直条件得到，结合完成线段等量转换，再通过直角三角形全等，证明对应直角边相等，即可证出． 【小问1详解】 解：选择的条件是①；②，结论是③． (或者选择的条件是①；③，结论是②；或者选择的条件是②；③，结论是①) 【小问2详解】 略 22. “惠山之眼”亮了，位于惠山大道东侧的摩天轮终于焕发光彩，成为地标性网红打卡点．如图，某人站在距离革天轮60米的点处（即米），以的仰角恰好看到摩天轮圆轮最低处的点，在原地再以的仰角恰好看到摩天轮圆轮最高处的点．（人的身高忽略不计） （1）求摩天轮的最低处到地面的距离的长； （2）求摩天轮圆轮直径的长． 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题，解答此题的关键是此题的两个直角三角形拥有公共直角边，能够合理的运用这条边． （1）首先分析图形根据题意构造直角三角形．在中，利用角的三角函数关系可以求得的长； （2）在中，根据角的三角函数可求的长，再减去的长从而得出答案． 【小问1详解】 根据题意可得：， ∴（米） 摩天轮的最低处到地面的距离的长为米． 【小问2详解】 ∵， ∴（米）， ∴（米） 即摩天轮圆轮直径的长为米． 23. 如图，点C为上一点，连接并延长至点A，使． （1）请用无刻度的直尺和圆规在圆上找一点B，使为的切线（保留作图痕迹，不写作法），并证明； （2）在（1）的条件下，设的半径为5，求的长度． 【答案】（1） 解：如图，以点C为圆心，为半径画弧交于点B，连接即可． 证明：连接，， 根据题意可得， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴为的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）以点C为圆心，为半径画弧交于点B，连接即可； （2）根据弧长公式即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据（1）可得， ∵的半径为5， ∴的长． 24. 已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家，公园离家．小华从家出发，先匀速步行了到书店，在书店停留了，之后匀速步行了到公园，在公园停留后，再用匀速跑步返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 小华离开家的时间 1 6 18 50 小华离家的距离 ②填空：小华从公园返回家的速度为____________； ③当时，请直接写出小华离家的距离关于时间的函数解析式； （2）若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以的速度散步直接到公园．在从家到公园的过程中，对于同一个的值，小华离家的距离为，小华的妈妈离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（1）①②③ （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的图形，数形结合的数学思想，求分段函数的解析式，一次函数和不等式相结合等内容，解题的关键是准确从图形中获取信息． （1）①理解题意，从图形中获取准确信息即可； ②理解题意，从图形中获取准确信息利用速度公式进行计算即可； ③理解题意，从图形中获取准确信息，并利用待定系数法进行分段求函数解析式即可； （2）求出相关解析式，列出等式求解，并结合图形即可求出不等式的解集． 【小问1详解】 解：①小华去书店的速度为， 1分钟时小华离家的距离为； 由图可知18分钟时，小华离家的距离为； 50分钟时，小华离家的距离为； 故答案为：； ②小华返回家的速度为 故答案为：； ③由①得小华去书店的速度为， ∴当时，； 由图可知，当时，； 当时，假设直线解析式为， 将代入解析式得， 解得 ∴； 综上，； 【小问2详解】 解：如图所示，为妈妈的图形， 根据题意可知，小华妈妈的速度为， 所以其直线解析式为， 当时， 令， 解得，经验证，符合题意； 令， 解得，经验证，符合题意； 结合图形，当时，． 25. 综合与实践： 如何将正方形纸片折叠出相等的三列 背景 书法社团课上，需要将正方形书法纸折叠成均等的三列（如图①），这引起数学兴趣小组的关注．兴趣小组准备三张边长均为的正方形纸片，为折叠出均等的三列提供三组方案，请你论证． 方案1 如图② 步骤1：折均等的四列； 步骤2：连接对角线分别交折痕于点、点、点，知； 步骤3：连接延长交线段于点． 方案2 如图③ 步骤1：对折正方形，折痕为； 步骤2：沿翻折得到； 步骤3：沿翻折，使得D与重合，点为折痕与的交点． 方案3 如图④ 步骤1：对折正方形，折痕为； 步骤2：沿翻折，使得点与点重合，点与点对应； 步骤3：线段与交点为． 问题论证： （1）在方案1中，求证：点为的三等分点； （2）在方案2中，求与的比值； （3）在方案3中，图④已标注的点中是否存在线段的三等分点？若存在，指出并证明；若不存在，说明理由． 【答案】（1） 证明：在正方形中，，则， ， ， ， ， 即， 在正方形中，，则， 点为的三等分点； （2） （3） 解：存在，理由如下： 如图所示： 不妨令正方形的边长为，则， 沿翻折，使得点与点重合，则，， 设，则， 在中，由勾股定理可得，则， 解得， ， ， ， ， ， ， 则， 解得， ， 则，即， 点是线段的三等分点． 【解析】 【分析】（1）由正方形性质，结合三角形相似的判定与性质求证即可； （2）设正方形的边长为，，表示出，再由折叠性质及勾股定理列式得到，表示出与的比值求解即可； （3）令正方形的边长为，由折叠性质及勾股定理求出的直角边长度，再由相似三角形的判定与性质求出长度，最后得到长度，得出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示： 设正方形的边长为，， 则，， 沿翻折得到，沿翻折，使得D与重合， ， 在正方形中，，则由勾股定理可得， ， 则， ； 【小问3详解】 略 26. 如图1，已知抛物线交x轴于点，点，交y轴于点C．过点C作，交抛物线于点D． （1）此抛物线对称轴为________；点D坐标为________；________，________； （2）点E是线段上一动点，连接，若平分，则点E的坐标为________； （3）将抛物线图象沿x轴正方向平移m个单位（）得到新抛物线的图象，对于新抛物线图象上的一点，当时，的最小值为． ①求m的值； ②如图2，在（2）的条件下，连接，点M为线段上一动点，过点M作y轴的平行线，交抛物线的图象于点N，当点M从左向右运动时线段的长度逐渐减小，求M的横坐标为t的取值范围． 【答案】（1），，， （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的对称性求出对称轴和点D的坐标，根据待定系数法求出a、b的值； （2）过E作于F，根据角平分线的性质，然后根据可得出关于的方程，解方程即可求解； （3）①先求出平移后抛物线的解析式，分两种情况讨论：；，根据二次函数的性质求解即可； ②待定系数法求出的解析式，根据题意求出，然后根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线交x轴于点，点， ∴抛物线对称轴为直线， 当时，， ∴， ∵，交抛物线于点D， ∴C、D关于直线对称， ∴， ∵抛物线交x轴于点，点， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∴， 过E作于F， ∵平分，， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：①由（1）知， ∵抛物线图象沿x轴正方向平移m个单位（）得到新抛物线的图象， ∴， ∴新抛物线的对称轴为， 当，即时， ∵， ∴新抛物线开口向下， ∴到对称轴的距离越大点的函数值越小， ∵，当时，的最小值为， ∴当时，的最小值为， ∴， 解得（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去）； 当，即时， ∵， ∴新抛物线开口向下， ∴到对称轴的距离越大点的函数值越小， ∵，当时，的最小值为， ∴当时，的最小值为， ∴， 解得（不符合题意，舍去）或， 综上，； ②设直线解析式为， 则， 解得， ∴， ∵点M为线段上一动点， M的横坐标为t， ∴M的纵坐标为，， 由①知：， ∵轴， ∴， ∴ ， ∴当时，随t的增大而减小， 又， ∴， 即当时，点M从左向右运动时线段的长度逐渐减小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $