重庆市永川中学校2026届高三下学期第二次调研检测数学试题

高2026届高三春期第二次调研检测（数学）答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B B A D AC ABD ACD 12.8 13.-2+2√2 a 7.先求甲、乙两人分在同一社区的概率P。·分两种情况：①A、B、C3个社区人数为1、1、3结 构.甲乙分在同一社区方法数：CA=18种；②A、B、C3个社区人数为1、2、2结构.甲乙分在 同一社区方法数：CCC=18种，而当不考虑任何条件时，满足题意分法总数为： g发1m号海会P=是 A A 25 8.设切点为P(x,y。）,据题意：这样的切点有两个，即关于。的方程有且仅有两根. ylk=,=3x-2a,y=(3x-2a)(x-x)+y→y=(3x-2a(x-x)+(x3-2ax+b）,为过切 点P(x,)的切线，又A(-1,1)在此切线上， .1=(3x-2a(-1-x)+(x-2ax+b）P-2x-3x+2a+b-1=0→2a+b=2x+3x+1,令 f(x)=2x3+3x2+1,又A(-1,1)不在曲线C上，→2a+b≠2，由f(x)的图像可知 2a+b=1 10.对于D,因为X~N(1,22),记函数f(x)=P(X≤x),x∈R, 所以对任意x∈R,有f(1+x)+f(1-x)=P(X≤1+x)+P(X≤1-x), 由正态分布的对称性：P(X≤1-x)=P(X≥1+x), 因此f(1+x)+f(1-x)=P(X≤1+x)+P(X≥1+x)=1, 即(x)的图象关于点A,宁对称，故D正确 1.令正方体ABCD-4BCD的外接球半径为r,4m:=3元，，=5，则BD=V5,AB=1, 2 连接AB,AD,BD,由四边形ABCD是该正方体的对角面，得四边形ABCD是矩形， D 即有AD/IBC1,而BCC平面BDC,AD,t平面BDC,则AD/I平面BDC, 同理ABII平面BDC,又AB,∩AD=A,AB,ADC平面ABD, 因此平面AB,DII平面BDC,令平面ABD,截球面所得截面小圆为圆M, 对圆M上任意一点（除点A外）均有APII平面BDC,A正确： 对于B,过A与平面BDC垂直的直线AP仅有一条，这样的P点至多一个，B错误； 对于C,显然AB⊥平面BCC,B,在平面BCCB,内建立平面直角坐标系，如图， B R 因t-+空m0+m02 1 (sine +cose', 2 2 (sin +cos = AP+PG=2+x+Fx-VW2+xW1-寸≤(V2+]√6当且仅当x=-号取等号， 2 此时am9-os=子即m0+孕=分因此+PC的技大位为、6，C正确： 对于D,平面BCC,B,截球面为圆R,圆R的半径为5，则圆R上的点到底面ABCD的距离的最大值为 2 V2+1 2 因此四枝棱锥P-4BCD的体积的最大值为这V2+1V2+。D正确 26 14据题意：R、V、R三点共线，=灰+M?1→1=3→M:M=2:1,设 f f ,=,则M=2,由椭圆第一定义：M+ME=2a,由双曲线第一定义： 3 3m=2a a=- ME-M=2a→ m=2a ?.在AMR至：中，由余弦定理得cos120 a=2" (2m2+m2-4m2 →c=?㎡，设椭圆，双曲线离心率分别为g、9,那么 2.21m 4 7m2 -cc c2 .4 7 个 ee2=-. aaa.a 3m2】 →ee,=3 15.【小问1详解】取AB中点O, 因为PA=PB,O是AB的中点，所以AB⊥PO. 又CA=CB,O是AB的中点，所以AB⊥CO. 又CO∩PO=O,CO,POc平面POC, 所以AB⊥平面POC,又PCc平面POC,所以PC⊥AB. 【小问2详解】 因为平面PAB⊥平面ABC,且平面PABO平面ABC=AB,AB⊥PO,可得PO⊥平面ABC. 如图，以O为原点，以OA,OC,OP所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系. 1 PC.=0 -z=0 设平面PBC的法向量为=(x,y,),由 PB.=0 得 (2 -z=0 取x=5,y=z=1,得元=(5，-1，-1： 由亚=4C,得E= 35 所以P亚= 35 5 88,0 88 2 B PE.n 3 设PE与平面PBC所成角为O,则sin0 PE斗同 5 因此直线PE与平面PBC所成角的正弦值是亏 3 16.(1)根据题意可知，每局比赛甲获胜的概率为0.3，乙获胜的概率为0.7， 若采用三局两胜制，则最终获胜的两种可能的比分为2：0或2：1. 因为每局比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率P=0.32+C×0.32×0.7=0.216, ②易得n211,X~B(nP),P(X=1)=C×px(1-p)-", 记f(n)=C×p×(1-p)-1, (n+1)！2 则fh+1cHx0-6"0-411业-105n+2 f(n) C×061×0.41 n! n-105 11(n-11)H fn+_n+1x名>1，得n≤17，即当11≤n≤17时，f(mf(n+),当n≥18时， f(n)n-1051 f(n)>f(n+1),故当n=l8时，P(X=11)最大，所以n的估计值为18 7()由余弦定理和14a-1lc)os51a+6-c.得 2a （14a-1c)cosB=1-20 bcosC-=1lbc0sC,整理得14 Hacos B=1(cosB+bo0sC), 2a 由正弦定理，得14 sinAcosB=11(sinCcos B+sin BcosC)=11sin(B+C)=11sinA. 因为sinA≠0，所以cosB=11 14 (2若选择条件0.由(1可得，mB=V-cosB-55由S=csmB=15V5,得ac=21@.又 14 2 4 由余弦定理，得b2=a2+c2-2 ac cos B=a2+c2-33=25,解得a2+c2=58②.联立①②，解得a=7, c=3,或者a=3,c=7.因此所求a的值是a=7或者u=3. 若选择条件②，不符合要求，理由如下： 因为sinA-simC=1,sinC>0,所以sinA=sinC+1>1,与正弦函数的值域矛盾，舍去； 若选择条件@.由(1)可知，i血B=55 14 又sinA=sin(B+C)）=sin BcoC+cos Bsin C= 551L535 14214214 -X ahc=n1::snC-35:7,故c-写a.所以s-mB=片a-a5-155 7 23144 化简得a2=9,得a=3,因此所求a的值是3. 18.【解析】少)由题意可知，气=4,21 2所以C的方程为x2=y. (②)方法1：设A(x,),B(x,),由题意得1存在斜率，设1：y=c+b,联立 x2=y得 y=kx+b x+x=k x2-kx-b=0,令△=k2+4b>0,则 xx2=-b FAFPFBFP FA·FPFB.FP 因为∠AFP=∠BFP,所以 网丽网·即 FA FB +4 +4 整理得4xx,(-x)3(x+x)x-x)-(x-x)=0.因为x≠x2,所以4x2-3(x+x)-1=0, 所0-+1-0，用6：子子青板yx-》子所以监过定点号-》 方法2：设A(x,月)，B(x2,y2),由题意得1存在斜率，设1：y=x+b, 因为∠AFP=∠BFP, FA·FP FB·FP FA.FP FB.FP 所以， 网卧网网 即 FB 因为网⅓+片网到=为+寻 + 4 +b+4 ,+b+4 整理得（3法1()-0，因为名，所以3法111-0，所以6-子女-子 (3)方法1：设A(,),B(x2,y2),由题意得1存在斜率， 设1：y=x+b,联立 心=y,得X--b=0, y=hx+b x+x=k 令△=2+4b>0,则 5=b’由中点 k k2 在y=x上，得b=- 2 所以A=VR+1V2k-,k∈(0,2)点P到直线1的距离d k-2+2_-2k+2 2WR2+12Vk2+1 面积S= √2k-(k-2k+2. k∈(0,2) 4 令1=V2k-,则50)=f+24,1e(0,则 4 所以50)=3+2.令S口)=0，解得1=6 4 所以S(t)在 上在华上年 所以当t= 5时，S0有最大信V6 即△PAB面积的最大值为 9 方法2：设AB的中点为(t,),A(x,),B(x,2),则x+x,=2t,片+y2=2t. 因为片=x,y2=x,所以x+x号=2t,xx=2-1. 因为抛物线x2=y与直线y=x交点为(0,0)，(1,1)，所以t∈(0,1) 所以A=店-广+0-=VG-x+-=V店-[+G+x V+发-2x5V1+(x+x2=2f-F+4证，t∈(0,1) 因为直线1的斜车友=业=寸￡=5+52，且经过点化小。 x-x2 x-x2 所以直线1的方程为y-t=2t(x-t),即：2x-y-2t2+t=0, 所以点P行到且我的离日22刊2-211 V4t2+1 V4t2+1 所以面积S=Vf-t2(2r2-2t+1),t∈(0,1) 令--F,则s-2nu.wo 则S(u=-6+1,令S)=0,解得4= 6 所以S(u)在 0,6 上单调递增， 交 61 62 上单调递减。 所以当u= 时，Sw有袋大伯6 6 即△PAB面积的最大值为 9 19.【解折11①当a=1b=2时，则f的-+2x+2,了)- 2e* 2es0, 可知f(x)在[0，+w)单调递减，所以f(x)在[0，+o)上的最大值为f(0)=1. (2)当a=0时，f)=br+b 2e* 2e，可得m=br+b 令r+m=f(y,即x+m=x+b, 原题意等价于方程m=x+bx仅有一个解， 2e* 令8()=r+b 2e* x,则g)=-加-1， 2e* 因为对任意实数m,方程m=g(x)都仅有一个解， 可知g(x)在R上为单调函数，且值域为R, 令Gx)=g'(w,则c(x)=b0-D, 2e* 因为当x趋近于+o时，G(x)趋近于-1，则G(x)≤0恒成立， (i)当b=0时，则g(x)=-x,可知g(x)在R上单调递减，值域为R,满足题意： (ii)当b>0时，当x<1时，G(x)<0;当x>1时，G(x)>0; 可知G(9在(n,单调递减，在，+)单调递增，则c(x)≥G)=夕-1<0， 2e 当x趋近于-o时，G(x)趋近于+o;当x趋近于+o时，G(x)趋近于-1： 可知G(x)存在唯一零点x,∈(-o,-1), 当x<x时，G(x)>0,即g(x)>0;当x>x时，G(x)<0,即g(x)<0: 可知g(x)在(-o,)单调递增，在(x,+∞)单调递减，不符合题意： (i)当b<0时，当x<1时，G(x)>0;当x>1时，G(x)<0: 可知G(x)在（←0，）单调递增，在(L,+∞)单调递减， 则G)≤G0=多1s0,解得-2≤b<0, 2e 当-2e≤b<0时，g(x)在定义域R内单调递减， 当x趋近于-o时，g(x)趋近于+0；当x趋近于+o时，g(x)趋近于-n; 可知g(x)值域为R,符合题意； 综上所述：实数b的取值范围为[-2C,0]. (3)当a=1时，f)=+bx+b 2e* 若26名<e6-6m,即f+1lc6-cm e 因为0<b≤2，x≥0，则+br+b+1s+2x+3 e e 由(1)可知：+2+2≤1，即x2+2x+2≤2c,则r+2x+3≤2e+1 2e* 可得+m+b+1<+2x+3s2e+1 e e 共r2e+1<e'3-csim),即证e2x≤3-csin.r, e i)当x≥π时，则e≥e>4,可得2e+1-2+11+1 十 且0<c≤2，则csin x≤2，可得3-csinx≥1，所以2e+1s3-csinx: e2x (i)当0sx<元时，则3-cimx≥3-2sinx,可得2e+1≤3-2simx, e2x 整理可得ee*3-2sinx)-2≥1， h(x)=e*(3-2sinx)-2,h(x)=e*(3-2sinx-2cosx), 因为2sinx+2cosx=2W2simx+s2W5<3,则hg>0, 4 可知h(x)在[0，)上单调递增，h(x)≥h(O)=1, 且e≥e°=1，可得e[e3-2sin)-2]-c.(≥1，所以2c+1s3-csinx: e2x 1 综上所述：x∈[0，+0)时， 2f+。≤e6-csin)高2026届高三春期第二次调研检测（数学） 一、单选题 1.已知集合A={-1,0,1,2,3},B= 则A∩B=() A.{-1 B.0,12} C.1,2} D.1,2,3} 2.己知等差数列{a},若43+a4,=2,则42十a4+46=() A.6 B.4 C.3 D.2 3.已知复数z是方程x2-2x+3=0的根，则=() A.√ B.3 C.2 D.3 4方程、x2 -=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数的取值范围为() 2m-32- 32 B 副 D 5.已知向量a,b,满足a上1,1b=2,|a-b=√7，则a在五方向上的投影向量是() B.36 c- D.-36 4 4 4 6.为保护环境，某发电厂对烟气进行脱碳处理.已知初始碳排放浓度为3.6kg,每经过一次环保设备处 理，碳排放浓度会减少50%.国家排放标准规定碳排放浓度不得超过0.08kgm3，若要使该发电厂烟气排 放达标，则至少需要脱碳处理的次数为() A.4 B.5 C.6 D.7 7.甲、乙、丙等5人被安排到A,B,C三个社区做志愿者，每人随机选择一个社区，且这三个社区都有人 去，则甲和乙不去同一个社区的概率为() 4号 .5 5 6 n 8.过曲线C:y=x3-2ax+b外一点A(-1,1)做C的切线恰好可做两条，则() A.2a-b=1B.a-b=0 C.a+b=0 D.2a+b=1 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 9函数f)=Ain(ox+j@>0,← 的图象如图所示，则下列说法正确的是() A.函数f(x)的最小正周期为元 2 9元 B9- 3π 8 C.f(x)关于点 +，0(kZ)对称 2+8 D.将y=f(x)的图象向左平移交个单位长度，所得图象关于原点对称 10.下列说法正确的是() A.随机事件A,B相互独立的充要条件是P(AB)=[1-P(A)]P(B) B.设X为随机变量，则E(X)=D(X)+[E(X)] cX-B3则EK)=1,D(X)=2 D.若X~N1,2),记函数f(x)=P(X≤x),x∈R,则f(x)的图象关于点 对称 11.己知正方体ABCD-ABCD的各个顶点都在表面积为3π的球面上，点P为该球面上的任意一点，则 下列结论正确的是() A.有无数个点P,使得AP//平面BDC B.有无数个点P,使得APL平面BDC C.若点P∈平面BCCB,则AP+PC,的最大值为√6 D.若点Pe平面BCCA,则四枝锥P-ABCD的体积的最大值为√5+1 6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 21 12.已知x,y均为正数，且x+2y=1,则二+二的最小值为 xV 13.己知A(-2,0),B1,0),若直线x-y+c=0上存在点P满足PA=2PB，则实数c的最大值是」 14.焦点在x轴上的椭圆C与双曲线C2有公共左、右焦点F、F,,点M是C1与C2的 MF. N=元 MF, 公共点且∠FME=120°，点N在x轴上，满足 ,若 t=M瓦+2MF(t∈R),则C与C2的离心率之积为 四、解答题 15.在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC,ABC和△PAB都是边长为1的正三角形. (1)证明：PC⊥AB: (2)若A正=4C,求直线PE与平面PBC所成角的正弦值 16.甲、乙两位同学进行纸飞机比赛，设各局比赛的结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为 p(0<p<1),乙获胜的概率为1-卫.比赛规则如下：三局两胜制指有一方获胜两局，比赛结束；四局 三胜制指有一方获胜三局，比赛结束 (1)若卫=03，比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率： (2)若p=0.6,甲、乙进行了n局比赛，X表示甲获胜的局数，当且仅当k=11时，P(X=k)取得 最大值，其中k∈{0,1,2，，m,求满足条件的n的值 17记ca1BC的内角4，么.C的对边分别为ab,c,已知(14a-1ccos月-1女+-c】 2a (1)求cosB的值： (2)若4BC的面积为15V5 再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 4 ABC存在，并求边长a的值. 条件0：b=5:条件②：sin4-sinC=1:条件③：C=27 3 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个 解答计分， 18已知地物线Cr=2m《P>0)的焦点为P,准线为=手直线1与C相交于A2附点，点 的 (1)求C的方程： (2)若∠AFP=∠BFP,求证：I过定点： (3)若线段AB的中点在直线y=x上，求△PAB面积的最大值 19.已知函数f)=+bx+b 2e* (1)当a=1,b=2时，求f(x)在[0，+o)上的最大值： (2)当a=0时，若对任意的实数m,直线y=x+m与曲线y=f()恰有一个公共点，求实数b的取值范围： (⑧若a=10bs20<es2.正明：当xe0+)时，20-e6-6m