精品解析：吉林省白山市2026届高三上学期一模联考数学试题

高三数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 命题人：金鹏娟 审核人：郑寒 祝本风 王力斌 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 4．本卷主要命题范围：集合与常用逻辑用语，不等式，函数导数及其应用，三角函数，平面向量与复数，数列，解三角形，立体几何，解析几何． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，且，则（ ） A. B. 3 C. D. 3. 直线与直线之间的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 若等比数列的各项均为正数，且，则（ ） A. 12 B. 10 C. 5 D. 7. 已知锐角满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆：的左焦点为，不经过且斜率为的直线交于，两点.当的周长最大时，（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数z满足，是z的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. z的虚部为 B. 复数在复平面中对应的点在第三象限 C. D. 10. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点（ ） A. 横坐标变成原来的（纵坐标不变） B. 横坐标变成原来的2倍（纵坐标不变） C. 向上平移1个单位长度 D. 向左平移1个单位长度 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，函数的最小值为 B. 当时，函数的极大值点为 C. 存在实数使得函数在定义域上单调递增 D. 若恒成立，则实数的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则抛物线的标准方程为_______． 13. 已知三角函数的图象关于对称，且其相邻对称轴之间的距离为，则__________. 14. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面为的中点，，直线与所成角的大小为，则四校锥的体积为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知等差数列的前n项和为，，． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 16. 在中，A、B、C分别为边a、b、c所对的角，且满足． （1）求的大小； （2）若，，求的面积． 17. 如图，已知在正四棱柱中，四边形的边长均为，且分别是的中点. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知双曲线的左、右焦点分别为，且，点在C上. （1）求双曲线C的标准方程； （2）过的直线交双曲线C于M，N两点（M，N两点均位于x轴下方，M在左，N在右），线段AM与线段交于点R，若的面积等于的面积，求直线MN的方程. 19. 已知函数，为的导函数. （1）讨论的单调性； （2）证明：； （3）若，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 命题人：金鹏娟 审核人：郑寒 祝本风 王力斌 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 4．本卷主要命题范围：集合与常用逻辑用语，不等式，函数导数及其应用，三角函数，平面向量与复数，数列，解三角形，立体几何，解析几何． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用具体函数的定义域的求法把集合具体化，再根据集合的运算法则可得答案. 【详解】要使  有意义，只需， 即 ，所以 ； 又因为 ， 所以. 故选：C 2. 已知向量，，且，则（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将垂直转化为数量积为零计算即可. 【详解】，， ， 故选：D 3. 直线与直线之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两平行线间的距离公式即可求解. 【详解】将变形为， 故两直线的距离为， 故选：B 4. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定的取值范围，再将转化为同指数的幂函数形式，结合幂函数与指数函数的单调性，比较、的大小，进而确定三者的大小关系. 【详解】由，得，即. 由，因幂函数在时单调递增，故，即. 又单调递增，，故，结合，得. 故选：A. 5. 早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，，结合基本不等式可得，化简可得，转化为求关于的二次函数在区间上的最小值即可. 【详解】不妨设，，则，， 所以，当且仅当时取等号， 即，当且仅当时取等号， 所以 ，（） 所以当时，取得最小值， 故选：D． 6. 若等比数列的各项均为正数，且，则（ ） A. 12 B. 10 C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列下标和性质及对数的运算性质计算可得. 【详解】因为，又，所以， 所以， 所以， 所以. 故选：B 7. 已知锐角满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两角和的正弦公式先得再根据平方和关系得，即可得解. 【详解】由， 可得为锐角， 可得. 故选：C. 8. 已知椭圆：的左焦点为，不经过且斜率为的直线交于，两点.当的周长最大时，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的定义证明当直线过点时，的周长最大，联立方程组求直线与椭圆的交点横坐标，根据弦长公式求结论. 【详解】椭圆的左焦点的坐标为，则椭圆的右焦点的坐标为， 由椭圆的定义可得，， 所以的周长为， 又，所以，当且仅当在线段上时取等号， 所以当直线过点时，的周长最大， 又直线的斜率为，所以直线的方程为， 联立，消可得，所以或， 所以， 所以当的周长最大时，， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数z满足，是z的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. z的虚部为 B. 复数在复平面中对应的点在第三象限 C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，求得，结合复数的概念，复数的几何意义，以及复数模的计算公式，逐项分析判断，即可求解. 【详解】由复数z满足，可得， A，复数的虚部为，正确； B，由，得，则复数在复平面内对应的点为位于第三象限，正确； C，由复数模的计算公式，可得，错误； D，因为复数和都是虚数，不能比较大小，错误. 故选：AB 10. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点（ ） A. 横坐标变成原来的（纵坐标不变） B. 横坐标变成原来的2倍（纵坐标不变） C. 向上平移1个单位长度 D. 向左平移1个单位长度 【答案】AC 【解析】 【分析】利用对数的运算性质及换底公式，可将化为，结合函数图象的变换即可进行判断. 【详解】因为， 即,将函数图象上所有点横坐标变成原来的（纵坐标不变），可得到的图象； 又因为， 所以还可以将函数图象上所有点向上平移1个单位长度，可得到的图象． 故选：AC． 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，函数的最小值为 B. 当时，函数的极大值点为 C. 存在实数使得函数在定义域上单调递增 D. 若恒成立，则实数的取值范围为 【答案】AD 【解析】 【分析】由函数极值的求解以及极值点的辨析即可判断AB，由在上恒成立即可判断C，分离参数，构造函数求得其最小值，即可判断D. 【详解】因为函数，则，其中， 当时，则，令，可得， 当时，，则函数单调递减， 当时，，则函数单调递增， 当时，有极小值，即最小值，故A正确； 当时，则，令，可得， 当时，，则函数单调递减， 当时，，则函数单调递增， 当时，函数有极小值，则为极小值点，故B错误； 假设存在实数使得函数在定义域上单调递增， 则在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上恒成立，因为的值域为， 所以函数无最小值， 故不存在实数使得函数在定义域上单调递增，故C错误； 若恒成立，即在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则，令，则， 当时，，则函数单调递减， 当时，，则函数单调递增， 当时，有极小值，即最小值，所以，故D正确； 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则抛物线的标准方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由双曲线和抛物线的几何性质，结合题意，得到方程，求得的值，即可求解. 【详解】由双曲线，可得，则， 又由抛物线的准线的方程为， 因为双曲线的一个焦点在抛物线的准线上， 所以，解得，所以抛物线的标准方程为. 故答案为：. 13. 已知三角函数的图象关于对称，且其相邻对称轴之间的距离为，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由其相邻对称轴之间的距离为，确定函数的周期，结合周期与的关系求，结合对称轴求. 【详解】由题意可知，，所以， 所以，所以， 又函数的图象关于对称， 又，且， 所以. 故答案为：. 14. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面为的中点，，直线与所成角的大小为，则四校锥的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】作辅助线，根据线面垂直的性质定理得到线线垂直，再根据边长之间的关系以及余弦定理求得，再根据棱锥的体积公式可求得结果. 【详解】连接，如图所示： 因为，所以直线与所成角为（或其补角）， 因为平面，所以， 又底面为矩形，所以， 因为，平面，平面，而平面， 所以，所以均为直角三角形， 设，则，即， 因为点E为的中点，所以， 在中，由余弦定理得， 所以，解得， 所以四棱锥的体积. 故答案为：. 【点睛】本题考查了线面垂直的性质定理、异面直线所成的角、锥体的体积公式，关键点点睛： （1）直线垂直平面，则这条直线垂直平面内任何一条直线； （2）锥体体积底面积高； （3）异面直线所成的角取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知等差数列的前n项和为，，． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列基本量的计算可求数列的通项公式； （2）由（1）可推得，进而利用裂项相消法求即可. 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为， 由题意得，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，则， 所以， 得. 16. 在中，A、B、C分别为边a、b、c所对的角，且满足． （1）求的大小； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化为角后，利用特殊角的余弦值及角的范围可得； （2）先利用余弦定理求得，再利用三角形的面积公式计算即可得. 【小问1详解】 因为，所以， 即，所以， 又，所以，所以，即， 所以； 【小问2详解】 在中，由，，及得， ，即，解得或（舍去）， 所以的面积为. 17. 如图，已知在正四棱柱中，四边形的边长均为，且分别是的中点. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 在正四棱柱中，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 由，得，所以. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理得证. （2）求出平面的法向量，再利用线面角的向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设平面的法向量为，而， 则，取，得，又， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知双曲线的左、右焦点分别为，且，点在C上. （1）求双曲线C的标准方程； （2）过的直线交双曲线C于M，N两点（M，N两点均位于x轴下方，M在左，N在右），线段AM与线段交于点R，若的面积等于的面积，求直线MN的方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）方法1：根据焦距和点在双曲线上列方程组求解即可； 方法2：利用双曲线定义求得，再利用及求解即可； （2）设过的直线为，由得点和点到直线的距离相等，利用点到直线距离公式列式求解即可. 【小问1详解】 方法1：根据题意，得，解得，所以双曲线C的标准方程为； 方法2：根据题意知， ，则， 双曲线C的标准方程为； 【小问2详解】 由题知直线斜率不为0，设过的直线为， 因为，所以， 即点和点到直线的距离相等， 则有，解得（舍）， 则直线MN的方程为. 19. 已知函数，为的导函数. （1）讨论的单调性； （2）证明：； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1）在单调递减； （2） 令， 则对，， 所以在单调递减， 所以，即， 因为，所以， 即得证. （3） 【解析】 【分析】（1）利用导函数符号判断单调性； （2）构造函数，证明，再证明； （3）令，结合（1）中结论，讨论满足不等式的的取值范围. 【小问1详解】 由题，， 令， 则对，， 所以在单调递减，即在单调递减. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 令，则， 若，则. 因为，由（1）在单调递减， 可知在单调递减，所以， 若，因为，时，， 所以，. 所以当时，，单调递增， 所以，矛盾； 若，则由在单调递减，可得， 所以在单调递减，，满足条件. 综上，的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $