2026年高考数学模拟卷（一）（全国Ⅰ卷）

2026年高考数学模拟卷（一） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用省份：河北 江苏 浙江 安徽 福建 江西 山东 河南 湖北 湖南 广东 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·江西南昌·二模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·江西·二模）已知复数，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·湖南怀化·模拟预测）已知数列满足，，则的个位数字为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 4．（2026·福建·二模）设是两个不重合的平面，则的充要条件是（   ） A．存在无数条直线与都平行 B．存在无数个平面与都垂直 C．对任意的直线，都存在直线，使得 D．对任意的直线，都存在直线．使得 5．（2026·江西南昌·二模）某校高三年级准备在接下来的14周内，安排三次心理健康讲座，分别记为第周、第周、第周．为了让学生有足够的时间消化内容，学校要求：①第一次与第二次讲座之间至少间隔2周；②第二次与第三次讲座之间也至少间隔2周；③在第一次讲座之前至少预留1周准备时间，最后一次讲座之后至少预留1周总结时间，则符合要求的不同安排方案有（   ） A．120种 B．84种 C．70种 D．56种 6．（2026·江苏苏州·二模）若，则（   ） A． B． C． D． 7．（2026·河北·模拟预测）在中，已知，，，，则（   ） A． B． C．1 D． 8．（2026·江西·二模）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且，则（   ） A． B． C．1 D．2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·湖南怀化·模拟预测）设数列的前n项和为，满足.则下列说法中正确的是（   ） A． B． C．是等比数列 D．若，数列前n项和，则 10．（2026·安徽合肥·二模）在平行六面体中，，，，分别为棱，的中点，则（   ） A． B．平面 C． D．直线与所成角的余弦值为 11．（2026·江西南昌·二模）已知时，关于的不等式恒成立，则下列判断正确的是（   ） A．， B． C． D．的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·山东德州·二模）从这49个数中取25个数，使得任意两个数之和既不等于49也不等于50，则这25个数字之和为__________. 13．（2026·安徽安庆·三模）一组数据19、5、4、13、a、b、1、2、16、3的第60%分位数为9（其中），则最小值为____. 14．（2026·福建·二模）在平面凸四边形中，，，，的面积为．当最大时，四边形的面积为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·山东德州·二模）在凸四边形中，已知，. (1)求的值； (2)求的值. 16．（2026·山东潍坊·一模）如图1，在平面四边形中，，将沿翻折，得到如图2所示的三棱锥，且在平面上的射影恰为的外接圆的圆心.    (1)证明：平面平面； (2)设点满足，若平面与平面夹角的余弦值为，求的值. 17．（2026·河北邯郸·二模）2026年马年春晚是大模型与节目结合最多的一场春晚，其中大模型“豆包”贯穿整场晚会．为了了解人们对大模型“豆包”应用的关注程度，现随机抽取不同年龄段的1000人进行调查统计，得到如下列联表： 年龄 “豆包”应用 合计 不关注 关注 不超过50岁 400 600 超过50岁 300 合计 1000 (1)完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断人们对大模型“豆包”应用的关注程度是否与年龄有关联； (2)从不超过50岁的调查者中按比例分配的分层随机抽样抽取6人，从这6人中随机抽取2人做进一步的访谈，记抽到的2人中关注“豆包”应用的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：，其中． α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18．（2026·浙江杭州·二模）（1）已知，证明：； （2）设，若恒成立，求正整数的最大值； （3）求证：. 19．（2026·江西南昌·二模）设双曲线的离心率为2，其左、右焦点分别是，过的直线与双曲线的右支交于点．当与轴垂直时，． (1)求双曲线的标准方程； (2)求的最小值； (3)记的内切圆与双曲线的一个公共点为，双曲线的左顶点为，证明：． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学模拟卷（一） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用省份：河北 江苏 浙江 安徽 福建 江西 山东 河南 湖北 湖南 广东 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·江西南昌·二模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，且，可得， 所以. 2．（2026·江西·二模）已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，则． 3．（2026·湖南怀化·模拟预测）已知数列满足，，则的个位数字为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【详解】由题设，则， 令，得，则， ， 显然也满足上式， ，则，显然个位数字为2. 4．（2026·福建·二模）设是两个不重合的平面，则的充要条件是（   ） A．存在无数条直线与都平行 B．存在无数个平面与都垂直 C．对任意的直线，都存在直线，使得 D．对任意的直线，都存在直线．使得 【答案】C 【分析】借助于长方体模型逐一判断各选项即可. 【详解】    如上图，作长方体，取平面，平面分别为平面. 对于A，因，且，且，则， 显然可作无数条与平行且不在平面的直线，即存在无数条直线与都平行，但不平行，故A错误； 对于B，因平面与平面均垂直，且显然可作无数个与平面平行的平面， 即存在无数个平面与都垂直，但不平行，故B错误； 对于D，由上图，显然，且，在平面内作一条与垂直相交的直线， 则，从而对平面内的任意直线，都有， 即对任意的直线，都存在直线．使得，但不平行，故D错误；    对于C，假设为两相交平面，如上图取平面，平面分别为平面， 则，对于任意的直线，（不妨设与相交）都存在直线，使得， 因，则有，又因，则有，这与与相交矛盾，故假设不成立，故有，充分性成立； 反过来，时，对于任意的直线，都可以过直线和平面内一点作一个平面， 使，则必有，故必要性成立，故C正确. 5．（2026·江西南昌·二模）某校高三年级准备在接下来的14周内，安排三次心理健康讲座，分别记为第周、第周、第周．为了让学生有足够的时间消化内容，学校要求：①第一次与第二次讲座之间至少间隔2周；②第二次与第三次讲座之间也至少间隔2周；③在第一次讲座之前至少预留1周准备时间，最后一次讲座之后至少预留1周总结时间，则符合要求的不同安排方案有（   ） A．120种 B．84种 C．70种 D．56种 【答案】D 【详解】设之前的周数为，与之间的周数为，与之间的周数为，之后的周数为，由题目条件知 ，，，，， 令，，，，得 ，，，，， 由隔板法，符合要求的不同安排方案为. 6．（2026·江苏苏州·二模）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先借助平方关系、商数关系及倍角公式化为齐次分式，再弦化切代入即可求解. 【详解】 . 7．（2026·河北·模拟预测）在中，已知，，，，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】由平面向量的加减法得出，再应用数量积的定义及运算律计算求解． 【详解】由，则，因此， ． 8．（2026·江西·二模）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】先由为奇函数推得，再由为偶函数推得，即得4是的一个周期，通过赋值代入求得，再由周期性即可求得答案. 【详解】因为为奇函数，所以， 令，则，即①； 因为为偶函数，所以， 令，则，即， 所以，所以，即②， 所以，所以4是的一个周期． 由① 式，取，可得，即得， 又由② 式，取，可得 故，， 由② 式，取，可得，取，可得， 故， 则. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·湖南怀化·模拟预测）设数列的前n项和为，满足.则下列说法中正确的是（   ） A． B． C．是等比数列 D．若，数列前n项和，则 【答案】ACD 【分析】根据关系及等比数列的定义求数列的通项公式，进而判断A、B、C，应用裂项相消法求判断D. 【详解】当时，，解得. 当时，， ，即， 数列是以首项为2，公比为2的等比数列，故. A，，正确； B，， ， ，错误； C，，则， 是以4为首项，2为公比的等比数列，正确； D，， ， ， ，正确. 10．（2026·安徽合肥·二模）在平行六面体中，，，，分别为棱，的中点，则（   ） A． B．平面 C． D．直线与所成角的余弦值为 【答案】ABD 【分析】对A：连接，借助中位线性质可得，利用平行六面体性质结合平行四边形定义及其性质可得，则可得；对B：借助菱形性质可得，再利用题目条件可得，则有等腰三角形三线合一可得，即可利用线面垂直判定定理得到平面；对C：得到、及后，利用余弦定理计算即可得；对D：由，，可得即为所求，求出、、后，利用余弦定理计算即可得. 【详解】对A：连接，由，分别为棱，的中点，则， 由平行六面体性质可得，且，故四边形为平行四边形， 故，又，故，故A正确； 对B：连接、、、，设， 由，则四边形为菱形，故，为中点， 由，，，故与全等， 故，又为中点，故， 又，、平面，故平面，故B正确； 对C：由，， 则、、都为等边三角形，故， 则，， 故， 故，即，故C错误； 对D：连接，由，， 故直线与所成角即为直线与所成角，即为， ， ，， 则，故D正确. 11．（2026·江西南昌·二模）已知时，关于的不等式恒成立，则下列判断正确的是（   ） A．， B． C． D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】首先利用导数分析 的符号，然后结合不等式恒成立条件分析二次式 可判断AB；根据​ 是 的根结合韦达定理可判断C；由可得，令 ，利用导数求其最大值可判断D. 【详解】已知 ，设 ，，令 ，解得 ， 在 上递减， 上递增，最小值 ， 又 时， ，故 ，， ， 时 ，因此 有两个不同的正零点 ， 要使 恒成立，开口向上的二次式必须和 同号， 因此二次式的零点恰好就是 ，即 . 由韦达定理：，​，因为 都是正数， 故 ， ，A正确； 二次式有两个不同零点，判别式 ，即 ，B正确； 因为 ​ 是 的根，故 ​，， 两式相乘得： ，即 ，C错误； 由 得 ，代入目标式化简： ， 令 ，求导得 , 当 时， ，递增； 当 时， ，递减. 因此 的最大值为 ，D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·山东德州·二模）从这49个数中取25个数，使得任意两个数之和既不等于49也不等于50，则这25个数字之和为__________. 【答案】925 【分析】将个数按和为分成组后再根据题设条件可确定这个数字，再结合等差数列的前项和公式可求它们的和. 【详解】将分成如下25组：， 因为所选取的个数，任意两数之和不为，也不为， 故只能从每一组中选择一个数，故必须选取，故不能选取， 考虑，所以只能选取，再考虑。该组只能选择， 故只能依次选取， 故这个数的和为. 13．（2026·安徽安庆·三模）一组数据19、5、4、13、a、b、1、2、16、3的第60%分位数为9（其中），则最小值为____. 【答案】 【分析】借助百分位数定义计算可得，再利用基本不等式求解即可得. 【详解】对10个数先排序：1、2、3、4、5、a、b、13、16、19， ，则，由， 则，当且仅当时，等号成立. 14．（2026·福建·二模）在平面凸四边形中，，，，的面积为．当最大时，四边形的面积为__________． 【答案】 【分析】利用余弦定理结合勾股定理可得出，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，设点，根据以及图形求得，且有，分析可得，利用基本不等式结合两角差的正切公式可求出的最大值，利用等号成立的条件可求出点的坐标，进而可求得四边形的面积. 【详解】在中，，，， 由余弦定理可得， 即，整理可得，解得或（舍去）， 所以，故， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、、，则点在第一象限，设点， 则，解得，则， 因，而，， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立，此时取最大值，则点， 故.    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·山东德州·二模）在凸四边形中，已知，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）过分别作直线的垂线，垂足分别为，结合解直角三角形可求的值； （2）利用勾股定理求出的长，再由余弦定理可求的值. 【详解】（1） 过分别作直线的垂线，垂足分别为，易知， 因为，所以，所以， 在直角中，. （2）在直角中，由勾股定理知. 在直角中，因为， 所以. 于是有， 在中，由余弦定理可知. 所以的值为. 16．（2026·山东潍坊·一模）如图1，在平面四边形中，，将沿翻折，得到如图2所示的三棱锥，且在平面上的射影恰为的外接圆的圆心.    (1)证明：平面平面； (2)设点满足，若平面与平面夹角的余弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据射影得出线面垂直，然后利用判定定理可得面面垂直； （2）建立坐标系，求解平面法向量，利用向量夹角和平面夹角的关系可得答案. 【详解】（1）因为，所以， 因为是等腰直角三角形，所以它的外接圆圆心是斜边的中点，记为， 因为在平面上的射影恰为的外接圆的圆心，所以平面; 又平面，所以平面平面. （2）以 O 为原点，为 x 轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， ，,,; ; 设平面的法向量为，则，取，可得； 设平面的法向量为，则，取，可得； 因为平面与平面夹角的余弦值为， 所以，整理可得， 解得或（舍）.    17．（2026·河北邯郸·二模）2026年马年春晚是大模型与节目结合最多的一场春晚，其中大模型“豆包”贯穿整场晚会．为了了解人们对大模型“豆包”应用的关注程度，现随机抽取不同年龄段的1000人进行调查统计，得到如下列联表： 年龄 “豆包”应用 合计 不关注 关注 不超过50岁 400 600 超过50岁 300 合计 1000 (1)完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断人们对大模型“豆包”应用的关注程度是否与年龄有关联； (2)从不超过50岁的调查者中按比例分配的分层随机抽样抽取6人，从这6人中随机抽取2人做进一步的访谈，记抽到的2人中关注“豆包”应用的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：，其中． α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析，依据小概率值的独立性检验，可判断人们对大模型“豆包”应用的关注程度与年龄有关联． (2)分布列见解析； 【分析】（1）补全列联表，进行零假设，求出，根据附表进行判断； (2)根据超几何分布的特征，写出变量的分布列，根据分布列求出变量的数学期望. 【详解】（1）（1）补全的列联表如下： 年龄 “豆包”应用 合计 不关注 关注 不超过50岁 200 400 600 超过50岁 300 100 400 合计 500 500 1000 零假设为：人们对大模型“豆包”应用的关注程度与年龄无关. 根据表中数据，计算得到． 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断成立， 即认为人们对大模型“豆包”应用的关注程度与年龄有关，该推断犯错误的概率不超过0.001． （2）从不超过50岁的调查者中按比例分配的分层随机抽样抽取6人， 则关注“豆包”应用的有人，不关注“豆包”应用的有人， 则的所有可能取值为0，1，2， 的分布列为 0 1 2 的数学期望. 18．（2026·浙江杭州·二模）（1）已知，证明：； （2）设，若恒成立，求正整数的最大值； （3）求证：. 【答案】（1）证明见解析（2）2（3）证明见解析 【分析】（1）记，，求导，根据导数即可证明； （2）由（1）结合特殊值可知，结合题意验证是否满足即可求解； （3）由（2）可得，记，求导，根据导数可证得，进而可得，计算即可得证. 【详解】（1）一方面，记，. 则，故在上单调递增，即. 另一方面，记，. 所以，故在上单调递增，即. 综上，，成立. （2）当时，由（1）知，故恒成立. 一方面，取，则； 另一方面，当时，记，则. 由知， 所以，故单调递增.进而. 综上，正整数的最大值为2. （3）当时，由（2）， 即. 则，① 下证，， ， 则， 故单调递增.进而，即. 所以结合①可得，即， 所以. 19．（2026·江西南昌·二模）设双曲线的离心率为2，其左、右焦点分别是，过的直线与双曲线的右支交于点．当与轴垂直时，． (1)求双曲线的标准方程； (2)求的最小值； (3)记的内切圆与双曲线的一个公共点为，双曲线的左顶点为，证明：． 【答案】(1) (2)9 (3)证明见解析 【分析】（1）依题意列出关于的方程组，求解即得双曲线的标准方程； （2）设直线的方程为与双曲线方程联立，推得，写出的表达式，利用的范围，即可求得的最小值； （3）先证明与边的切点即为点，再证，由此推得点在直线上，再证，结合，且，可得点均在上，即得证. 【详解】（1）不妨设点在第一象限，点在第四象限，离心率① ， 在中，当时，，故，即②  ， 又因③ ，联立① ②③，解得， 故双曲线的标准方程为. （2）由（1）得，当直线的斜率为0时，直线与双曲线的两个交点分别在左支和右支，不符合条件； 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为， 由，化简得， 设，则，解得， 则， 因，则，故，即. 故的最小值为9. （3）如图，设与边切于点， 由双曲线的定义及内切圆切线长相等的性质得， ，即点与点重合，即与边切于点. 设与边切于点，则， 在中，. 设点，点，则，解得， 即点在直线上，过点作直线的垂线，交直线于点， 其中，， 设点关于直线的对称点为点，所以. 因为点与点，点与点分别关于直线对称， 所以，且， 所以点均在上，且， 所以. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $