精品解析：重庆市南岸区2026年九年级质量监测数学试题

南岸区2026年九年级质量监测 数学试题 （考试时间：120分钟 考试形式：闭卷分值：150分） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．） 1. 下列各数中，2的相反数是（） A. B. C. D. 2. 下列汉字中，是轴对称图形的是（ ） A. 草 B. 船 C. 借 D. 箭 3. 下列调查最适合采用抽样调查的是（ ） A. 调查一个班学生的视力情况 B. 校对一本书籍的错别字 C. 调查2026年春节联欢晚会的收视率 D. 神舟二十三号飞船发射前检查各零件是否正常 4. 如图，，，，是上的四点，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 按如图所示的规律拼接图案，其中第①个图中有5个△，第②个图中有8个△，第③个图中有11个△，第④个图中有14个△……按照这一规律，则第10个图中△的个数是（ ） A. 35 B. 32 C. 30 D. 29 6. 反比例函数的图象所在象限为（ ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第一、四象限 D. 第二、四象限 7. 长江、黄河是我国的母亲河，已知长江的长度约为，黄河的长度约为，那么长江与黄河的总长度用科学记数法表示约为（ ） A. B. C. D. 8. 将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为的小正方形，做成一个无盖长方体的盒子．已知盒子的容积是（不考虑铁皮的厚度），则原铁皮的边长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，，分别是，的中点，连接，是上一点，连接与相交于点，连接．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式：，其中，，，，为正整数，，且，，，下列说法： ①当时，满足条件的所有整式之和为； ②当，时，关于的方程无实数根； ③当时，满足条件的所有二次三项式共有16个． 其中正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分，请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．） 11. 掷一枚质地均匀的骰子，掷到的点数大于4的概率是_____________． 12. 若为正整数，且满足，则________． 13. 如图，在菱形中，，，则菱形的面积为________． 14. 若实数满足，则________． 15. 如图，是的外接圆，，若的半径为5，，则________，以、为边作平行四边形，与相交于点，连接，过点作的垂线交于点，交于点，则________． 16. 我们规定：一个四位数，若满足，且各个数位上的数字均不为零，称这个数为“九九数”．例如：四位数8136，因为，所以8136是“九九数”．按照这个规定最大的“九九数”是________，一个“九九数”，将其千位数字与十位数字调换位置，百位数字与个位数字调换位置，得到一个新数，记．再将的千位数字放到个位数字之后得到，将的个位数字放到千位数字之前得到，记．若是完全平方数，且是整数，则满足条件的的值是________． 三、解答题：（本大题共9个小题，其中17，18小题每小题8分，其余各小题每小题10分，共86分，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．） 17. 解不等式组并将解集在数轴上表示出来． 18. 如图，已知直线，直线与，分别相交于，，是的平分线． （1）用尺规按要求作图：作的平分线（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）问的条件下，求证：． 证明：， _____________， 又平分，平分， ，． ___________， ． 19. 近年来AI软件兴起，给人们的学习、生活和工作带来了极大的便利．现有关人员分别针对甲、乙两款软件的用户使用满意度进行了问卷调查．现从调查结果中各随机抽取20名用户的评分（满分100分，评分为不小于60的整数，评分越高代表用户越满意），并对用户的评分进行整理、描述、分析（评分用表示，共分成四个等级：（A．，B．，C．，D．）下面给出了部分信息： 甲款软件的分数是：96，95，92，90，89，88，88，87，84，80，80，80，80，78，75，75，73，65，65，60． 乙款软件的分数在B等级的数据是：88，87，85，85，84，84，84，82． 甲、乙两款AI软件评分统计表 甲款软件 乙款软件 平均数 81 81 中位数 80 众数 84 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述图表中，，的值； （2）根据以上数据分析，你认为哪款软件的用户满意度较高？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若此次评分中有300名用户对甲款软件打分，有200名用户对乙款软件打分，请估计此次评分中A等级的用户数一共有多少？ 20. 先化简再求值：，其中． 21. 上周蔬菜经营户用90元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共40千克，黄瓜的批发价为2.4元/千克，茄子的批发价为2元/千克． （1）他上周购买黄瓜、茄子各多少千克？ （2）本周黄瓜和茄子的批发价受各方因素影响发生了变化，茄子的批发价比黄瓜的批发价高0.5元/千克，该蔬菜经营户决定再次购买黄瓜和茄子，这次他用160元购进黄瓜，用120元购进茄子，发现购买的黄瓜、茄子的质量之比为，求本周购买黄瓜多少千克？ 22. 如图，点为矩形边的中点，连接，，．动点从出发沿的路线以每秒2个单位长度的速度运动，到达点时停止运动；同时动点从出发沿的路线以每秒1个单位长度的速度运动，到达点时停止运动．点是射线上一动点，连接，运动过程中的面积始终等于4．设点，的运动时间为秒，点到的距离为，的长度为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数的图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 23. 我国科技发展日新月异，机器人走进普通生活成为现实，某公园采用巡逻机器人服务游客．如图，，，，在同一平面内，其中是公园一号门，公园雕塑位于一号门北偏东方向处，是公园二号门，从二号门出发沿北偏西方向前进也可到达处，喷泉在的正东方向，在的正南方向．（参考数据：，，） （1）求一号门到喷泉的距离（结果保留小数点后一位）； （2）甲机器人从一号门沿路线巡逻到雕塑，乙机器人从雕塑沿路线巡逻到二号门，甲、乙机器人同时出发且速度相同，请问当乙机器人到达二号门之前，甲、乙两机器人相距时，乙机器人走了多少千米（结果保留小数点后一位）？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，其中，． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴，交直线于点．点是抛物线对称轴上的一动点，连接，．当取得最大值时，求的最大值； （3）将该抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使抛物线与射线交于，两点．点为抛物线上的一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 25. 如图，在中，． （1）如图，若，点在边上（不与，点重合）．连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，．求的度数； （2）如图，若，点，分别在，上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，点是的中点，连接．请用等式表示线段，，的数量关系并证明； （3）如图，若，点在上，且，点在直线上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，点是的中点，连接，．当取最小值时，在直线上取一点，连接，将沿所在直线翻折到所在的平面内，得到，连接，当取最大值时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南岸区2026年九年级质量监测 数学试题 （考试时间：120分钟 考试形式：闭卷分值：150分） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．） 1. 下列各数中，2的相反数是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据定义可直接得出结果． 【详解】解：的相反数为． 2. 下列汉字中，是轴对称图形的是（ ） A. 草 B. 船 C. 借 D. 箭 【答案】A 【解析】 【分析】先明确轴对称图形的定义，再根据定义逐一判断选项即可得到结果，即在平面内，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形． 【详解】解：选项A的草，沿中间竖直线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，是轴对称图形； 选项B的船，无论沿哪条直线折叠，直线两旁的部分都无法完全重合，不是轴对称图形； 选项C的借，无论沿哪条直线折叠，直线两旁的部分都无法完全重合，不是轴对称图形； 选项D的箭，无论沿哪条直线折叠，直线两旁部的部分都无法完全重合，不是轴对称图形． ∴答案选A． 3. 下列调查最适合采用抽样调查的是（ ） A. 调查一个班学生的视力情况 B. 校对一本书籍的错别字 C. 调查2026年春节联欢晚会的收视率 D. 神舟二十三号飞船发射前检查各零件是否正常 【答案】C 【解析】 【分析】根据两种调查方式的适用场景判断，调查范围小、要求精确度高、需要全面结果的适合普查，调查范围广、工作量大、无法全面调查的适合抽样调查． 【详解】解：A、调查一个班学生的视力，调查范围小，容易完成全面调查，适合普查，不符合要求； B、校对书籍错别字，需要保证内容准确，必须全面检查，适合普查，不符合要求； C、调查2026年春节联欢晚会的收视率，调查范围广，涉及人数极多，无法完成全面调查，最适合采用抽样调查，符合要求； D、飞船零件检查关系到发射安全，精确度要求极高，必须逐个检查，适合普查，不符合要求． 4. 如图，，，，是上的四点，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵，，，是上的四点， ∴． 5. 按如图所示的规律拼接图案，其中第①个图中有5个△，第②个图中有8个△，第③个图中有11个△，第④个图中有14个△……按照这一规律，则第10个图中△的个数是（ ） A. 35 B. 32 C. 30 D. 29 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查图形的变化规律．通过观察前几个图形中三角形个数的变化情况，归纳出一般规律求值即可． 【详解】解：通过前几个图形可以发现，从第二个图形起，图形中三角形个数总比前一个多3个， 因此第个图中△的个数为， 即． 所以当时，图中△的个数为． 6. 反比例函数的图象所在象限为（ ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第一、四象限 D. 第二、四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数比例系数的符号，即可判断图象所在象限． 【详解】解：对于反比例函数， ∵， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限． 7. 长江、黄河是我国的母亲河，已知长江的长度约为，黄河的长度约为，那么长江与黄河的总长度用科学记数法表示约为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先逆用乘法分配律计算，再根据科学记数法要求表示为，其中，n为整数． 【详解】解：． 8. 将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为的小正方形，做成一个无盖长方体的盒子．已知盒子的容积是（不考虑铁皮的厚度），则原铁皮的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用长方体容积公式建立方程即可求解，原正方形铁皮四角各剪去小正方形后，盒子底面的边长为原边长减去2倍小正方形边长，盒子的高等于小正方形边长，代入容积公式列方程求解即可． 【详解】解：设原铁皮的边长为， ∵ 四角各剪去一个边长为的小正方形， ∴ 无盖盒子的底面长和宽均为，盒子的高为， 根据题意得： 解得，（舍去）， 答：原铁皮的边长为． 9. 如图，在正方形中，，分别是，的中点，连接，是上一点，连接与相交于点，连接．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，则，由勾股定理可得，解方程得到，则，；求出；；过点E作于点N，可证明；过点P作于点M，则，可证明；解直角三角形得到，；设，则，，证明，推出，则，则，据此可得，，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴；， 设， ∵E是的中点， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴，， ∴； ∵F是的中点， ∴； 如图所示，过点E作于点N， 在中，，， ∴， ∴； 如图所示，过点P作于点M，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 在中，， ∴； 在中，， ∴； 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 10. 已知整式：，其中，，，，为正整数，，且，，，下列说法： ①当时，满足条件的所有整式之和为； ②当，时，关于的方程无实数根； ③当时，满足条件的所有二次三项式共有16个． 其中正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题根据题目给定的整式系数条件，通过分类枚举逐个判断三个说法，即可得出正确结论． 【详解】由题意，对n次整式，满足，所有均为正整数，，，逐个判断如下： ① 当时： 时，满足，，得 ，对应整式为 ； 时，满足，，得 ，对应整式为； 时，最小乘积为 ，无满足条件的整式； 所有整式和为，故①错误; ② 当，时： 满足 ，，仅 ， 方程即 ， 判别式 ， 方程无实根，故②正确。 ③ 当 ，求二次三项式个数： 二次三项式即， ，满足， 枚举得： 时，共个； 时，共个； 时最小和为 ，无满足条件的组合； 总个数为，故③正确。 综上，正确的说法共2个， 故选：B． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分，请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．） 11. 掷一枚质地均匀的骰子，掷到的点数大于4的概率是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是简单随机事件的概率，掌握简单随机事件的概率的计算公式：“随机事件A的概率事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．”是解题的关键． 一枚质地均匀的骰子有六个面，分别标有1，2，3，4，5，6，其中点数大于4的面有2个，结合概率公式可得答案． 【详解】解：掷一枚质地均匀的骰子，掷到的点数大于4的概率是：． 故答案为：． 12. 若为正整数，且满足，则________． 【答案】 5 【解析】 【分析】估算无理数的大小，确定其介于两个连续正整数之间，据此即可求解． 【详解】解：， ， 即， 又为正整数，且满足， 因此． 13. 如图，在菱形中，，，则菱形的面积为________． 【答案】 20 【解析】 【详解】解：∵是菱形， ∴， ∴． 14. 若实数满足，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由绝对值的性质得出，，进而可得出，解一元一次方程求出x的值，再代入到计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 15. 如图，是的外接圆，，若的半径为5，，则________，以、为边作平行四边形，与相交于点，连接，过点作的垂线交于点，交于点，则________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接、、，延长交于点，判断垂直平分，利用垂径定理，得到，再利用勾股定理求解即可；由圆内接四边形的性质，得出，再结合平行四边形和等腰三角形的性质，推出，，利用相似三角形的性质，依次求出、、、的长，再求出的长，即可得解． 【详解】解：如图，连接、、，延长交于点，则， ，， 垂直平分， ， 在中，， ， 在中，； 四边形是的内接四边形， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 16. 我们规定：一个四位数，若满足，且各个数位上的数字均不为零，称这个数为“九九数”．例如：四位数8136，因为，所以8136是“九九数”．按照这个规定最大的“九九数”是________，一个“九九数”，将其千位数字与十位数字调换位置，百位数字与个位数字调换位置，得到一个新数，记．再将的千位数字放到个位数字之后得到，将的个位数字放到千位数字之前得到，记．若是完全平方数，且是整数，则满足条件的的值是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先根据题意得到，最大为，求出最大“九九数”；然后得到，，即可表示，，，，求出和，利用是完全平方数得到为或时，再计算，然后枚举符合题意的，的值验证解答即可． 【详解】解：∵，且各个数位上的数字均不为零， ∴，最大为，，d相应为， ∴最大的“九九数”是； ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是完全平方数，且各个数位上的数字均不为零， ∴为或，即为或， ∵， ∴， ∵， 当，时，不是整数，不符合题意； 当，时，是整数，符合题意，这时的值为； 当，时，不是整数，不符合题意； 当，时，不是整数，不符合题意； 当，时，不是整数，不符合题意； 当，时，不是整数，不符合题意； ∴满足条件的的值为． 三、解答题：（本大题共9个小题，其中17，18小题每小题8分，其余各小题每小题10分，共86分，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．） 17. 解不等式组并将解集在数轴上表示出来． 【答案】 【解析】 【分析】先分别求出两个不等式的解集，并在数轴上表示，即可得出不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得， 在数轴上表示不等式组的解集为： 所以不等式组的解集是． 18. 如图，已知直线，直线与，分别相交于，，是的平分线． （1）用尺规按要求作图：作的平分线（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）问的条件下，求证：． 证明：， _____________， 又平分，平分， ，． ___________， ． 【答案】（1） 如图，射线即为所求． （2）， 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的作法作出射线即可； （2）根据角平分线的定义结合平行线的性质即可推出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：， ， 又平分，平分， ，． ， ． 19. 近年来AI软件兴起，给人们的学习、生活和工作带来了极大的便利．现有关人员分别针对甲、乙两款软件的用户使用满意度进行了问卷调查．现从调查结果中各随机抽取20名用户的评分（满分100分，评分为不小于60的整数，评分越高代表用户越满意），并对用户的评分进行整理、描述、分析（评分用表示，共分成四个等级：（A．，B．，C．，D．）下面给出了部分信息： 甲款软件的分数是：96，95，92，90，89，88，88，87，84，80，80，80，80，78，75，75，73，65，65，60． 乙款软件的分数在B等级的数据是：88，87，85，85，84，84，84，82． 甲、乙两款AI软件评分统计表 甲款软件 乙款软件 平均数 81 81 中位数 80 众数 84 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述图表中，，的值； （2）根据以上数据分析，你认为哪款软件的用户满意度较高？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若此次评分中有300名用户对甲款软件打分，有200名用户对乙款软件打分，请估计此次评分中A等级的用户数一共有多少？ 【答案】（1），， （2）乙款 （3）此次评分中A等级的用户数一共有100人． 【解析】 【分析】（1）先求出乙款软件的分数在B等级的百分比，即可求出m，再根据中位数和众数的定义解答； （2）根据中位数做出决断即可； （3）分别用总数乘以选择A等级所占的百分比，再求和． 【小问1详解】 解：∵乙款软件的分数在B等级的百分比为， ∴， ∴； A等级人数：，B等级人数：8人，C等级人数：，D等级人数 ． 乙款软件的分数在B等级的数据为88，87，85，85，84，84，84，82， 所以中位数是第10，11个都是，故中位数为它们的平均数，即； 甲款软件评分最多的是80分，所以众数是； 【小问2详解】 解：乙款软件评分的中位数高，所以大多数人喜欢乙款软件，所以乙款软件的用户满意度较高； 【小问3详解】 解：， 所以此次评分中A等级的用户数一共有100人． 20. 先化简再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先根据多项式的乘法和分式的混合运算计算，然后合并同类项化简，再计算a的值代入化简后的式子解答即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 21. 上周蔬菜经营户用90元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共40千克，黄瓜的批发价为2.4元/千克，茄子的批发价为2元/千克． （1）他上周购买黄瓜、茄子各多少千克？ （2）本周黄瓜和茄子的批发价受各方因素影响发生了变化，茄子的批发价比黄瓜的批发价高0.5元/千克，该蔬菜经营户决定再次购买黄瓜和茄子，这次他用160元购进黄瓜，用120元购进茄子，发现购买的黄瓜、茄子的质量之比为，求本周购买黄瓜多少千克？ 【答案】（1） 购买黄瓜25千克，茄子15千克 （2） 本周购买黄瓜80千克 【解析】 【分析】（1）设上周购买的黄瓜x千克，茄子y千克，根据题意列出二元一次方程组，求出解； （2）设本周购买黄瓜的质量为千克，则茄子的质量为千克，根据题意列出分式方程，求出解，再检验得出答案． 【小问1详解】 解：设上周购买的黄瓜x千克，茄子y千克，根据题意，得 ， 解得， 所以上周购买的黄瓜25千克，茄子15千克； 【小问2详解】 解：设本周购买黄瓜的质量为千克，则茄子的质量为千克，根据题意，得， ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则， 所以本周购买黄瓜为80千克． 22. 如图，点为矩形边的中点，连接，，．动点从出发沿的路线以每秒2个单位长度的速度运动，到达点时停止运动；同时动点从出发沿的路线以每秒1个单位长度的速度运动，到达点时停止运动．点是射线上一动点，连接，运动过程中的面积始终等于4．设点，的运动时间为秒，点到的距离为，的长度为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数的图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】（1）， （2） 如图，图像即为所求； 在时，随着x的增大而增大；在时随着x的增大而减小；（答案不唯一） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出，，分类讨论：当点P在上时（包括点E），当点P在上时（不包括点E）时，，求出，根据三角形的面积，得到，即，即可解答； （2）根据列表，描点，连接作图即可，根据图像的性质解答即可； （3）根据图像进行求解即可； 【小问1详解】 解：∵点为矩形边的中点，，， ∴，， ∴， ∴， 当点P在上时（包括点E），有，即，过点P作于点F，如图 ∴，，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴ 当点P在上时（不包括点E）时，，如图 ∴， 即， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴， 即． 【小问2详解】 解：列表如下 x …… 3 5 6 7 …… …… 6 4 2 描点并连线，如图 列表如下： x …… 1 2 4 5 …… …… 16 8 4 2 描点并连线，图像略 由图可知，在时，随着x的增大而增大；在时随着x的增大而减小；（答案不唯一） 【小问3详解】 解：由图可知 当时，． 23. 我国科技发展日新月异，机器人走进普通生活成为现实，某公园采用巡逻机器人服务游客．如图，，，，在同一平面内，其中是公园一号门，公园雕塑位于一号门北偏东方向处，是公园二号门，从二号门出发沿北偏西方向前进也可到达处，喷泉在的正东方向，在的正南方向．（参考数据：，，） （1）求一号门到喷泉的距离（结果保留小数点后一位）； （2）甲机器人从一号门沿路线巡逻到雕塑，乙机器人从雕塑沿路线巡逻到二号门，甲、乙机器人同时出发且速度相同，请问当乙机器人到达二号门之前，甲、乙两机器人相距时，乙机器人走了多少千米（结果保留小数点后一位）？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查方位角的定义，根据平行线求内错角，勾股定理和三角函数解直角三角形 （1）过点B作于E，过C作于F，用三角函数求出，则 ． （2）在上取点M，上取点N，根据两机器人速度相同得，再通过勾股定理列出一元二次方程，最后求解． 【小问1详解】 如图所示，过点B作于E，过C作于F， 由题目可知，， 由平行线性质得， 由所作线段得是直角三角形，四边形是矩形， ， ， ． 【小问2详解】 如图所示，在上取点M，上取点N，满足， 设乙机器人走了x千米，则，， 由（1）可求得， 故由勾股定理得， ， 解得，由乙机器人还未到达二号门，故， 故甲、乙两机器人相距时，乙机器人走了1.3千米． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，其中，． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴，交直线于点．点是抛物线对称轴上的一动点，连接，．当取得最大值时，求的最大值； （3）将该抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使抛物线与射线交于，两点．点为抛物线上的一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（）把，，代入抛物线解出即可． （）根据轴，用含的式子表示出，通过配方求出取最大值时的的坐标，再根据抛物线的对称性转化，此时,根据三角形三边关系知，当、、共线时有最大值，从而求出最大值为的长度． （）根据沿直线进行平移，设出新抛物线的解析式，从而求出直线与抛物线的交点，再根据，得到，进而得到，根据直线平移的性质可知直线和直线的相等，求出的解析式，最后求出的坐标，第二种情况是在直线下方，过作交抛物线于交轴于，使得，过作轴，根据得到，求出的坐标，再联立直线和平移后的抛物线，从而求出的坐标． 【小问1详解】 解：已知抛物线过，， 将，代入解析式得解得， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：连接， 当时，， 解得，， ∵， ∴； 设直线的解析式为（）， 把，代入得解得； ∴直线的解析式为， 设， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，取最大值， ∴ ． 由抛物线的对称性可知，关于抛物线的对称轴对称，且在对称轴上， ∴， ∴, 根据三角形三边关系知， ∴当、、共线时有最大值，最大值为的长度， ∵ ∴的最大值为． 【小问3详解】 解：①当在直线上方时，过作交抛物线于， ∵抛物线是沿直线进行平移， ∴设向右平移个单位，向上平移个单位， ∴新抛物线的解析式为， ∵新抛物线过， ∴， 解得，（舍） ∴平移后的抛物线解析式为； 联立方程组得：， 解得，， ∵新抛物线与直线交于,两点，且， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当时， ∴， ∴， ∵，， ∴同法可求出直线的解析式为， 根据直线平移的性质可知直线和直线的相等， 设的直线解析式为，新抛物线上的， 把代入得 ， 解得， ∴直线的解析式为， ∴， 解得， ∵， ∴． ②当在直线下方时， 过作交抛物线于交轴于，使得，过作轴于点． ∴， ∴, ∴， ∵, ∴， ∴, 设过的直线解析式为（）， ∴，解得， ∴的直线解析式为， 联立方程组整理得， 解得，， ∵， ∴， 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了抛物线求解析式，线段的最值问题，二次函数相关的性质，三角函数角度的转化，直线和抛物线的交点坐标，抛物线的动点问题等相关知识点，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 25. 如图，在中，． （1）如图，若，点在边上（不与，点重合）．连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，．求的度数； （2）如图，若，点，分别在，上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，点是的中点，连接．请用等式表示线段，，的数量关系并证明； （3）如图，若，点在上，且，点在直线上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，点是的中点，连接，．当取最小值时，在直线上取一点，连接，将沿所在直线翻折到所在的平面内，得到，连接，当取最大值时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2） 解：，证明： 如图1，过点F作，交于点G，连接， ∴． ∵绕点逆时针旋转得到， ∴，． ∴为等腰直角三角形． ∵点是的中点， ∴，， ∴，即． 在四边形中，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，为等腰直角三角形， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）观察图形，结合已知条件证即可； （2）通过取特殊点，先猜想出三条线段应满足的数量关系：，然后结合已知条件，过点F作，交于点G，连接，通过全等把转化为一条线段的长，最后利用等腰直角三角形的性质即可得证； （3）首先通过取特殊点猜想点E的运动轨迹，进而确定出取得最小值时的位置以及对应的线段、角度等；然后再探究点Q的运动轨迹，进而确定取得最大值时的位置即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴是等边三角形， ∴，． 由旋转，得，， ∴，即， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，思路提示： 第一步，确定取得最小值时的位置 如图2，在直线上再取一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接分别交，于H，I，则易知，为等腰直角三角形． ∴，， ∴，即， ∴，∴． ∵在和中，， ∴， ∴． 由条件易知， ∴． 由条件可知当D和A重合时，点E恰好和点H重合，此时． ∴点E在与边垂直、且经过点H的直线上运动． 根据垂线段最短，当时取得最小值，如图3所示． 连接，设，则由条件易知 ． 在等腰直角三角形，和中，，，， ∴，． 第二步，确定取得最大值的位置 ∵点是的中点， ∴． ∵是由沿所在直线翻折得到的， ∴， ∴点Q的运动轨迹为以E为圆心，为半径的圆上（如图4）． ∴当Q在的延长线上时，最大（如图5），此时有． ∵，， ∴． 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形、等腰直角三角形、全等、相似、圆等知识，掌握解决动态问题的一般方法；熟悉常见的最值模型，如瓜豆问题、圆外一点到圆上一点的最值问题等；如何根据已知条件构造恰当的辅助线是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $