精品解析：重庆渝北中学教育集团2025-2026学年下期九年级第二学月质量监测数学试题

渝北中学教育集团2025-2026学年下期初三年级 第二学月质量监测数学试题 （全卷共四个大题，总分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的班级、姓名和考号填写清楚． 2．请将所有答案写在答题卡上，不得在试卷上直接作答． 3．选择题部分请按题号用2B铅笔规范填涂． 4．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色签字笔书写． 5．作图（包括作辅助线）请一律用2B铅笔完成． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的相反数是( ) A. B. C. D. 3 2. 下列四种新能源汽车的标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中，最适宜采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查某校九年级3班体育中考的情况 B. 调查一批“遥遥领先”手机电池的使用寿命 C. 调查全国中学生每天作业完成的时间 D. 调查我市中学生观看2026年央视春晚的情况 4. 如图，已知与位似，位似中心为O，且与的面积之比是，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，圆内接四边形中，圆心角，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 若反比例函数的图象经过，两点，则a的值为（ ） A. B. 3 C. 2 D. 7. 用五角星按如图所示的规律拼图案，其中第个图案中有个五角星，第个图案中有个五角星，第个图案中有个五角星，第个图案中有个五角星，，按此规律排列下去，则第9个图案中五角星的个数为（ ） A. B. C. D. 8. 某新能源企业第一个月生产钠离子电池成本为605万元，因技术升级，生产成本逐月下降，第三个月生产钠离子电池成本为500万元.设该企业每个月生产钠离子电池成本的平均下降率为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形中，点是对角线上一点，连接，将沿直线翻折到正方形所在平面内，得到，落在正方形内部，交于点，延长交于点，连接，若，则为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中，⋯，为正整数，且．下列说法：①当时，则满足条件的所有整式有且仅有10个；②记所有整式的和为S，若为整数，则满足条件的所有整数x之和为；③当时，则满足条件的所有整式有且仅有7个．其中正确的个数是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每题答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 在一个不透明的盒子里装有个红球，个黄球，这些球除了颜色外没有其他任何区别，从中随机抽取一个，抽到黄球的概率是______． 12. 如图，已知，平分交直线于点，若，则的度数为______． 13. 若是整数，满足，则的值为________． 14. 若实数，同时满足，，则的值为___________． 15. 如图，平行四边形的顶点A，B，C在上，点A为弧的中点，交于点E，连接并延长交的延长线于点F，连接，若的直径为10，，则______，______． 16. 若规定：一个四位自然数，若满足，且，则称这个四位数为“满分数”．例如：四位数，因为，所以是“满分数”．按照这个规定，最大的“满分数”为______．若是一个“满分数”，的前两位数字所组成的两位数记为，的后两位数字所组成的两位数记为，若除以余数为，且能被整除，则满足条件的自然数为______． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置． 17. 求不等式组的所有整数解． 解：解不等式①，得___________， 解不等式②，得___________， 将不等式①②的解集表示在数轴上如图所示： 不等式组的解集为___________． 整数解为___________． 18. 如图，在平行四边形中，E为线段延长线上的一点，连接．请完成以下作图和填空： （1）在平行四边形的外部，用尺规作，且交直线于点F，连接，． （2）在（1）问的条件下，求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形，∴，，∴___①___， ∵，，∴___②___， 在和中，，∴， ∴___③___，，∴___④___，∴四边形是平行四边形． 19. 国际数学日是联合国教科文组织于2019年设立的全球性节日，定于每年3月14日（即圆周率日，）．在2026年国际数学日到来之际，某校举办了“数学节”竞赛活动．现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩为：61，63，65，68，72，73，76，81，85，86，88，88，88，89，92，94，95，97，99，100． 八年级20名学生的竞赛成绩在C组的数据是：84，83，81，89，88，87． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 83 83 中位数 87 众数 91 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，________，________； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有2000名学生，八年级有1600名学生参加了此次竞赛活动，估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩优秀的学生人数一共是多少？ 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 年马年春晚，以“中国智造”为主题的机器人表演震撼全场，引发了“机器人消费热”．某科技公司计划购进甲、乙两种型号的“春晚同款”机器人进行销售． （1）若购进甲型机器人台，乙型机器人台，共耗资万元；若购进甲型机器人台，乙型机器人台，共耗资万元．求甲、乙两种型号机器人的进价各是多少万元？ （2）在（1）的条件下，若公司对甲、乙两种型号的机器人各投入万元分别进行采购，因技术升级，甲型机器人的进价每台降低万元，乙型号机器人的进价每台降低万元．则所购甲型机器人的数量是所购乙型机器人的数量的，求的值． 22. 在矩形中，，，点E为的中点，动点P以每秒1个单位的速度从点E沿折线运动，同时动点Q以每秒2个单位的速度沿折线运动，当其中一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接，，．设运动时间为x秒，的面积为，的面积与点P的运动路程之比为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并根据图象分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 23. 如图，，，，是某科技公司的四个试验基地，且，，，在同一平面内，位于的正东方向处，位于的南偏东方向处，位于的正南方向，位于的南偏西方向．（参考数据：，，） （1）求和两试验基地之间的距离；（结果保留整数） （2）现甲从基地出发沿前往地办公，乙以基地出发沿方向前往基地，两人同时出发，乙的速度是甲速度的倍．当两人的距离是甲到基地距离的倍时，甲距离基地多少千米？（结果保留整数） 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点B和D，与坐标系交于A、B、C三点，已知，点B在x轴上，点E为直线与y轴交点． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是第一象限内抛物线上的一动点，过点P作轴，交于点F．点M为线段上的一动点，轴，垂足为N，连接、．当取得最大值时，求的最小值； （3）将该抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，连接并延长，在第二象限与新抛物线交于点H，点K为新抛物线上一点，当时，直接写出所有符合条件的点K的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 25. 在中，，平分，点为上一点，连接． （1）如图，连接并延长至点，使，交于点，连接，当，且平分时，求的度数； （2）如图，延长至点，使得，连接．点为线段上一动点，连接，将绕点顺时针旋转至线段，在下方，连接，若，试猜想线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）如图，在（）的条件下，若，，当取得最小值时，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 渝北中学教育集团2025-2026学年下期初三年级 第二学月质量监测数学试题 （全卷共四个大题，总分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的班级、姓名和考号填写清楚． 2．请将所有答案写在答题卡上，不得在试卷上直接作答． 3．选择题部分请按题号用2B铅笔规范填涂． 4．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色签字笔书写． 5．作图（包括作辅助线）请一律用2B铅笔完成． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的相反数是( ) A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相反数，根据只有符号不同两个数互为相反数，进行判断即可． 【详解】解∶的相反数是3； 故选D． 2. 下列四种新能源汽车的标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意； B、不是中心对称图形，故本选项不合题意， C、不是中心对称图形，故本选项不合题意； D、不是中心对称图形，故本选项不合题意． 3. 下列调查中，最适宜采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查某校九年级3班体育中考的情况 B. 调查一批“遥遥领先”手机电池的使用寿命 C. 调查全国中学生每天作业完成的时间 D. 调查我市中学生观看2026年央视春晚的情况 【答案】A 【解析】 【分析】根据调查范围大小、调查是否具有破坏性，判断各选项是否适合采用普查． 【详解】解：A、调查某校九年级3班体育中考情况，范围小，人数少，适宜采用普查， B、调查一批“遥遥领先”手机电池的使用寿命，调查具有破坏性，不适宜普查， C、调查全国中学生每天作业完成时间，调查范围过大，不适宜普查， D、调查我市中学生观看2026年央视春晚的情况，调查范围较大，不适宜普查， 4. 如图，已知与位似，位似中心为O，且与的面积之比是，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据位似变换的概念得到，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：已知与位似， 则, ∵与的面积之比是， 则与的相似比是， 则． 5. 如图，圆内接四边形中，圆心角，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理可知，再根据圆内接四边形对角互补即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 6. 若反比例函数的图象经过，两点，则a的值为（ ） A. B. 3 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上点的横纵坐标乘积等于常数k，先求出k的值，再代入B点坐标计算得到a的值． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴； ∵点在该反比例函数图象上， ∴， 解得． 7. 用五角星按如图所示的规律拼图案，其中第个图案中有个五角星，第个图案中有个五角星，第个图案中有个五角星，第个图案中有个五角星，，按此规律排列下去，则第9个图案中五角星的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过观察前几个图案中五角星的数量，归纳出第个图案中五角星数量的代数式，将代入计算即可求解． 【详解】解：观察图形可知： 第个图案中五角星的个数为； 第个图案中五角星的个数为； 第个图案中五角星的个数为； 第个图案中五角星的个数为；  ； ∴第个图案中五角星的个数为； 当时，； ∴第个图案中五角星的个数为． 8. 某新能源企业第一个月生产钠离子电池成本为605万元，因技术升级，生产成本逐月下降，第三个月生产钠离子电池成本为500万元.设该企业每个月生产钠离子电池成本的平均下降率为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用第三个月生产钠离子电池的成本=第一个月生产钠离子电池的成本该企业每个月生产钠离子电池成本的平均下降率，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵第一个月生产钠离子电池成本为605万元，平均月下降率为x， ∴第二个月成本为万元， 第三个月成本为第二个月成本再下降x，即万元， 又∵题目给出第三个月成本为500万元， ∴可列方程为． 9. 如图，正方形中，点是对角线上一点，连接，将沿直线翻折到正方形所在平面内，得到，落在正方形内部，交于点，延长交于点，连接，若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题可通过正方形性质、翻折变换的性质，结合角度推导与三角形相似来求解．先利用正方形对角线性质证明 及相关角相等，再通过角度计算得到角的等量关系，最后证明三角形相似，结合边长比例求出 的值． 【详解】解：连接、， ∵ 四边形 是正方形， ∴ ，， 垂直平分 ，， ∴ ，， ∴， ∵, ∴, ∴． ∵ 沿 翻折得到 ， ∴ ，，． 设 , 则 ， ∴， ∴, ∴, 又 ， ∴， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∵， ∴ ， ∴ ． 10. 已知整式，其中，⋯，为正整数，且．下列说法：①当时，则满足条件的所有整式有且仅有10个；②记所有整式的和为S，若为整数，则满足条件的所有整数x之和为；③当时，则满足条件的所有整式有且仅有7个．其中正确的个数是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题综合考查了整式的定义，多项式与单项式的定义，合并同类项，解题的关键是掌握整式的定义． 根据每个说法所给的条件，利用规律逐项讨论并判断即可解答． 【详解】解：①：时， 为正整数且，取值序列有 共10个， ∴该选项正确； ②：有三种情况:，和，， 为整数时， 整除5，，和为， ∴该选项正确； ③: n整除24，由题意和可知： 当时，，不满足； 当时，，不存在满足的正整数； 故的取值只能为：， 时对应序列:; 时对应序列:; 时对应序列:和; 时对应序列:; 时对应序列:（11个1）; 时对应序列:全1，共7个序列， ∴ 该选项正确； 正确的选项有①、②、③； 故选：D． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每题答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 在一个不透明的盒子里装有个红球，个黄球，这些球除了颜色外没有其他任何区别，从中随机抽取一个，抽到黄球的概率是______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据红球和黄球的数量得出总球数，再结合概率公式列式计算，即可作答． 【详解】解：∵不透明的盒子里装有个红球，个黄球， ∴总球数为， ∴从中随机抽取一个，抽到黄球的概率是． 12. 如图，已知，平分交直线于点，若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线的性质可得，根据角平分线的性质可得，则，进而根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 13. 若是整数，满足，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定介于哪两个连续正整数之间，再结合已知不等式求出整数的值． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴， ∴， ∵，且是整数， ∴． 14. 若实数，同时满足，，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知得，，即可得出、的取值范围，将化简得，进一步可得关于的方程，进而可解得，，最后代入表达式计算即可． 【详解】解：实数，同时满足，， ，， 解得，，， ，即， 故将代入得，， 即． 当时，，故舍去； 当时，，解得，， 将代入得，， ． 15. 如图，平行四边形的顶点A，B，C在上，点A为弧的中点，交于点E，连接并延长交的延长线于点F，连接，若的直径为10，，则______，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接，连接并延长，交于点H，作，垂足为M．证明是垂直平分线，得到，根据勾股定理求出，，再根据勾股定理即可求出．根据圆内接四边形和平行四边形证明，，得到，．设，根据勾股定理得，求出．证明四边形为矩形，得到，．．即可求出． 【详解】解：如图，连接，连接并延长，交于点H，作，垂足为M． ∵点A为弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴点都在垂直平分线上， ∴是垂直平分线， ∴． ∵的直径为10， ∴， ∴在中，， ∴， ∴在中，． ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴，， 设， 在中，根据勾股定理得， 即， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴． ∴在中，． 【点睛】本题为与圆有关综合题，考查了垂径定理，圆内接四边形性质，勾股定理，平行四边形的性质，矩形的性质与判定，等腰三角形的判定等知识，综合性强，难度较大，根据题意正确添加辅助线是解题关键． 16. 若规定：一个四位自然数，若满足，且，则称这个四位数为“满分数”．例如：四位数，因为，所以是“满分数”．按照这个规定，最大的“满分数”为______．若是一个“满分数”，的前两位数字所组成的两位数记为，的后两位数字所组成的两位数记为，若除以余数为，且能被整除，则满足条件的自然数为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据“满分数”的定义得出，，即可求出最大的“满分数”；根据，得出，，根据除以余数为得出，根据能被整除得出能被整除，结合分别列举即可得出答案． 【详解】解：∵，，，，， ∴， ∵， ∴，， ∵要求最大的“满分数”， ∴、应取最大数为， ∴，， ∴最大的“满分数”为； ∵，， ∴， ∵，，，， ∴， ∵除以余数为， ∴能被整除， ∵能被整除， ∴能被整除， ∵，， ∴， ∴， ∴或（不是整数，舍去），或（不是整数，舍去）， ∴，即， ， ∵能被整除， ∴能被整除， ∵能被整除， ∴能被整除， ∴能被整除， ∵，， ∴， ∴， 当时，，，此时为， 当时，（舍去）， 综上所述：满足条件的自然数为． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置． 17. 求不等式组的所有整数解． 解：解不等式①，得___________， 解不等式②，得___________， 将不等式①②的解集表示在数轴上如图所示： 不等式组的解集为___________． 整数解为___________． 【答案】，， 将不等式①②的解集表示在数轴上如图所示： ，或或或或 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，再表示在数轴上，结合数轴即可得出解集． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为． 整数解为或或或或． 18. 如图，在平行四边形中，E为线段延长线上的一点，连接．请完成以下作图和填空： （1）在平行四边形的外部，用尺规作，且交直线于点F，连接，． （2）在（1）问的条件下，求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形，∴，，∴___①___， ∵，，∴___②___， 在和中，，∴， ∴___③___，，∴___④___，∴四边形是平行四边形． 【答案】（1）如图即为所求． （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴①， ∵，， ∴②， 在和中，， ∴， ∴③，， ∴④， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）根据题意作图即可． （2）根据题中思路求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 国际数学日是联合国教科文组织于2019年设立的全球性节日，定于每年3月14日（即圆周率日，）．在2026年国际数学日到来之际，某校举办了“数学节”竞赛活动．现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩为：61，63，65，68，72，73，76，81，85，86，88，88，88，89，92，94，95，97，99，100． 八年级20名学生的竞赛成绩在C组的数据是：84，83，81，89，88，87． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 83 83 中位数 87 众数 91 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，________，________； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有2000名学生，八年级有1600名学生参加了此次竞赛活动，估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩优秀的学生人数一共是多少？ 【答案】（1） （2）八年级学生的竞赛成绩较好，理由见详解 （3）1240名 【解析】 【分析】（1）结合中位数的定义进行分析列式计算，得，结合众数的定义，得，再求出，即可作答． （2）结合两个年级的平均数，中位数，众数进行分析，即可作答． （3）运用样本估计总体列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，， 八年级20名学生的竞赛成绩在C组的数据是：81，83，84，87，88，89． 先把八年级的竞赛成绩按从小到大排序，中位数是位于第名和第名的成绩之间， ∴， 观察七年级20名学生的竞赛成绩中分出现次数最多，且为3次， ∴， 则， ∴； ∴． 【小问2详解】 解：八年级学生的竞赛成绩较好，理由如下： ∵七，八年级学生的成绩的平均数都是分，八年级学生的成绩的中位数高于七年级学生的成绩的中位数，八年级学生的成绩的众数高于七年级学生的成绩的众数， ∴八年级学生的竞赛成绩较好． 【小问3详解】 解：依题意，（名）， ∴该校七、八年级参加此次竞赛成绩优秀的学生人数一共是名． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 21. 年马年春晚，以“中国智造”为主题的机器人表演震撼全场，引发了“机器人消费热”．某科技公司计划购进甲、乙两种型号的“春晚同款”机器人进行销售． （1）若购进甲型机器人台，乙型机器人台，共耗资万元；若购进甲型机器人台，乙型机器人台，共耗资万元．求甲、乙两种型号机器人的进价各是多少万元？ （2）在（1）的条件下，若公司对甲、乙两种型号的机器人各投入万元分别进行采购，因技术升级，甲型机器人的进价每台降低万元，乙型号机器人的进价每台降低万元．则所购甲型机器人的数量是所购乙型机器人的数量的，求的值． 【答案】（1）甲型机器人的每台进价为万元，乙型机器人的每台进价为万元 （2）的值为 【解析】 【分析】（1）设甲、乙两种型号机器人每台的进价分别为、万元，根据题意列出二元一次方程组，并求解即可； （2）根据题意列出分式方程，求解并检验即可． 【小问1详解】 解：设甲、乙两种型号机器人每台的进价分别为、万元， 根据题意得：， 解得：， 答：甲型机器人每台的进价为万元，乙型机器人每台的进价为万元． 【小问2详解】 解：根据题意得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解且符合题意． 答：的值为． 22. 在矩形中，，，点E为的中点，动点P以每秒1个单位的速度从点E沿折线运动，同时动点Q以每秒2个单位的速度沿折线运动，当其中一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接，，．设运动时间为x秒，的面积为，的面积与点P的运动路程之比为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并根据图象分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】（1）， （2）图象见解析；性质：当时，随x增大而增大，当时，随x增大而减小；性质：当时，随x增大而减小（答案不唯一） （3） 【解析】 【分析】（1）先得出当时，点Q在上运动，点P在上运动；当时，点Q在上运动，点P在上运动，分别画出图形，再求面积即可； （2）利用描点法画图，再利用图象写出性质即可； （3）利用时x的取值范围即的图象在的图象下方时自变量x的取值范围求解即可． 【小问1详解】 解：∵在矩形中，，，点E为的中点， ∴，，，， 由题意得当点Q到达点D时，用时，当点P到达点B时，用时， 当时，点Q在上运动，点P在上运动，此时如图， ∴， ∴； 当时，点Q在上运动，点P在上运动，此时如图， ∴，， ∴，， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 综上，，． 【小问2详解】 解：，的图象如图所示： 性质：当时，随x增大而增大，当时，随x增大而减小； 性质：当时，随x增大而减小；（答案不唯一） 【小问3详解】 解：当时，由得， 则（负值舍去）， 由图可知时x的取值范围即的图象在的图象下方时自变量x的取值范围， 由图可知． 23. 如图，，，，是某科技公司的四个试验基地，且，，，在同一平面内，位于的正东方向处，位于的南偏东方向处，位于的正南方向，位于的南偏西方向．（参考数据：，，） （1）求和两试验基地之间的距离；（结果保留整数） （2）现甲从基地出发沿前往地办公，乙以基地出发沿方向前往基地，两人同时出发，乙的速度是甲速度的倍．当两人的距离是甲到基地距离的倍时，甲距离基地多少千米？（结果保留整数） 【答案】（1）和两试验基地之间的距离约为 （2）当两人的距离是甲到基地距离的倍时，甲距离基地 【解析】 【分析】（1）作于，作于，在中，解直角三角形可求得，，进而得到，证明四边形为矩形，得到，在中，解直角三角形可求得,进而可得，即可得到； （2）如图，当两人的距离是甲到基地距离的倍时，甲运动到点处，乙运动到点处，作于点，连接，则，设，可表示出，，，在中，解直角三角形可表示出，，，在中，根据勾股定理列一元二次方程，解方程即可得解． 【小问1详解】 解：如图，作于，作于． 由题意得，，， ， 在中，， ， ． ，，， 四边形为矩形，， ，， ， 在中，, ， ， 即和两试验基地之间的距离约为； 【小问2详解】 解：如图，当两人的距离是甲到基地距离的倍时，甲运动到点处，乙运动到点处， 作于点，连接，则，， 设，则， 甲乙同时出发，且乙的速度是甲速度的倍， ， ． 在中，，． ． 在中，根据勾股定理得：， 即， 整理得， 解得，（负值，舍去）． 答：当两人的距离是甲到基地距离的倍时，甲距离基地． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点B和D，与坐标系交于A、B、C三点，已知，点B在x轴上，点E为直线与y轴交点． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是第一象限内抛物线上的一动点，过点P作轴，交于点F．点M为线段上的一动点，轴，垂足为N，连接、．当取得最大值时，求的最小值； （3）将该抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，连接并延长，在第二象限与新抛物线交于点H，点K为新抛物线上一点，当时，直接写出所有符合条件的点K的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出，再将、代入抛物线求解即可． （2）联立抛物线与直线解析式求出，再求出，设，则，则，，从而得，根据二次函数的性质得出当时取得最大值，从而得M在直线​上，设，则，，将向右平移个单位得，则，得出，求出​​，即可得的最小值为，从而求解​​． （3）求出，判断出抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，即抛物线向左平移5个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到新抛物线，求出新抛物线解析式．求出直线解析式，联立和，则，求出．设，分为①当点在点左侧时，过点H作轴，过点K作，证明，得出，从而列方程求解．②当点在点右侧时，过点H作轴，过点K作，同理证明，从而列方程求解． 【小问1详解】 解：∵点在轴和直线上， 令，得，解得：，即， 将、代入抛物线得 ， 解得：， ∴抛物线表达式为： ． 【小问2详解】 解：联立抛物线与直线解析式得， 解得：，则， ∴， 在直线中，令，得， ∴， 设，则， 则， ， ∴， 则， 该二次函数开口向下，故当时取得最大值， 此时， ∴M在直线​上， 设， ∴，， 将向右平移个单位得，则，连接， ∴， ∵​​， ∴的最小值为， ∴的最小值为​​． 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，即抛物线向左平移5个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到新抛物线， ∵抛物线的顶点坐标为， 此时点的对应的点为， 故新抛物线为：． 在中，令，则， ∴， 设直线解析式为， 代入得，解得：， 则直线解析式为， 联立和，则， 解得：， ∴． 设， 当点在点左侧时，如图， 过点H作轴，过点K作， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得：， 解得：（舍去）或， ∴． 当点在点右侧时，如图， 过点H作轴，过点K作， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得：， 解得：（舍去）或， ∴； 综上，或． 25. 在中，，平分，点为上一点，连接． （1）如图，连接并延长至点，使，交于点，连接，当，且平分时，求的度数； （2）如图，延长至点，使得，连接．点为线段上一动点，连接，将绕点顺时针旋转至线段，在下方，连接，若，试猜想线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）如图，在（）的条件下，若，，当取得最小值时，求的面积． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（）先利用三角形内角和求出的度数，再根据角平分线的性质得到和的度数，接着通过三角形外角性质求出的度数，最后结合已知条件，判定是等边三角形，从而得出的度数； （）在上取一点，连接，使得，过点作于点，证明，易得，再证明，可知，然后证明，即可证明结论； （）先利用已知的，结合垂线段最短的性质确定取最小值的条件为；接着通过三角形内角和、等腰三角形性质及已知条件推导出的长度；再利用三角形面积公式和角度关系求出的长度，通过证明得到的长度，最后代入三角形面积公式计算出的面积． 【小问1详解】 解：∵，，平分，平分， ∴，，， ∵是三角形两条角平分线交点， ∴平分， ∴， ∵是的外角， ∴， 又， 故是等边三角形， ∴； 【小问2详解】 解：猜想：， 理由：∵平分， ∴， ∵， 在上取一点，连接，使得，过点作于点，如下图， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， 绕点顺时针旋转至线段， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：如图，过点作于点，过点作于点，交直线于点，延长交于点， 由（）可知，， ∴点是上的一个动点， ∴ 当时，取最小值， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即：， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴， 在中，， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $