精品解析：浙江省强基联盟2025-2026学年高一下学期4月题库数学试题

浙江省强基联盟2025-2026学年高一下学期4月题库数学试题 考生注意： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数为纯虚数，其中i为虚数单位，则实数的值为（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2. 已知向量，为单位向量，，则，的夹角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 120° 3. 已知圆锥的底面半径为3，高为4，则它的侧面积为（ ） A. B. C. D. 4. 用斜二测画法画一个边长为4的正三角形的直观图，则直观图的面积是（ ） A. B. C. D. 5. 设的三个角A，B，C，所对的边分别为a，b，c.已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 若复数满足，其中为虚数单位，则的取值范围为（ ） A. [4，6] B. C. D. 8. 已知平面向量满足．当取最大值时，下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数是它的共轭复数，则下列结论成立的有（ ） A. B. C. D. 10. 正四棱台中，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 该四棱台的高为 B. 该四棱台的体积为 C. 该四棱台外接球的半径为 D. 若点在棱上，则的最小值为 11. 已知点为的外心，点为所在平面内一点，则下列结论一定成立的有（ ） A. B. 若，则 C. 若，则点为的重心 D. 若，则点为的垂心 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知球的表面积是，则该球的体积为________. 13. 已知，则___________． 14. 已知的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的最小值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，点在AB边上，且，记． （1）用表示； （2）若，求． 16. 如图，一个底面边长为的正三棱柱容器中盛有容器容积一半的水，若侧面水平放置时，水面分别过、、、的、、、点． （1）几何体是否为棱台？请说明理由； （2）求图中水面的高． 17. 设是关于的方程的两个根． （1）若，求的值； （2）求函数的解析式． 18. 已知为原点）． （1）求的最小值； （2）已知四边形OABC为平行四边形，求的值． 19. 如图，在平面上以三边为边分别向外作三个正三角形，记这三个正三角形的中心分别为．（被称为拿破仑三角形） （1）证明：为正三角形； （2）若，求周长的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省强基联盟2025-2026学年高一下学期4月题库数学试题 考生注意： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数为纯虚数，其中i为虚数单位，则实数的值为（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【详解】为纯虚数，且，则. 2. 已知向量，为单位向量，，则，的夹角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 120° 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直列方程，由此求得，进而确定正确答案. 【详解】因为，所以 ， 由于， 所以. 3. 已知圆锥的底面半径为3，高为4，则它的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆锥侧面积公式求解即可. 【详解】圆锥的母线长，则它的侧面积． 4. 用斜二测画法画一个边长为4的正三角形的直观图，则直观图的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】正三角形的面积为，令直观图面积为， 由，得． 5. 设的三个角A，B，C，所对的边分别为a，b，c.已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理求解即可. 【详解】由正弦定理 得,故， 则． 6. 已知，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】在上的投影向量为． 7. 若复数满足，其中为虚数单位，则的取值范围为（ ） A. [4，6] B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数及复数模的几何意义求解即可. 【详解】在复平面内，设对应的点为， 则表示到点的距离为， 表示动点到点的距离， 因为， 所以． 8. 已知平面向量满足．当取最大值时，下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，得，因此得出结论：当时，最大，然后可得出,代入模计算可得各选项中的模. 【详解】设，则， ，当时，最大， 于是，即,, 所以，， . 只有C正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数是它的共轭复数，则下列结论成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】对选项A，利用复数的除法运算法则计算；对选项B，根据复数的性质，复数不能比较大小判断即可；对选项C，结合复数运算法则求解；对选项D，利用复数模的性质判断. 【详解】，故A错误； 复数不能比较大小，故B错误； ，故C正确； ，故D正确． 10. 正四棱台中，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 该四棱台的高为 B. 该四棱台的体积为 C. 该四棱台外接球的半径为 D. 若点在棱上，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据棱台体积公式、勾股定理、余弦定理等知识逐项判断即可. 【详解】如图，，则棱台的高为，故A错误； 四棱台的体积，故B正确； 四棱台的外接球的球心在直线上，球心在的延长线上，记为， 设外接球的半径，设， 则有，解得，则，故C正确； 将侧面和展开平铺成一个平面．当A，P，C三点共线时，最小， 且的最小值为线段AC长，易知， 且，在展开图中由余弦定理可知，故D正确． 11. 已知点为的外心，点为所在平面内一点，则下列结论一定成立的有（ ） A. B. 若，则 C. 若，则点为的重心 D. 若，则点为的垂心 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于选项A,将变形为，结合外心性质分析是否相等;对于选项B，根据正弦定理可得，再结合，对比半径比较大小即可；对于选项C：根据重心的向量性质求解即可； 对于选项D，结合向量线性运算和数量积运算求解，同理可证，进而判断垂心. 【详解】已知是外心，故（外接圆半径） 选项A，若， 整理得， 即，仅对特定成立，不是对任意一定成立，故A错误； 选项B，如图所示，取中点，， 故 由题， 得. 由正弦定理：， 故，即，B正确. 选项C，对于任意点,重心的向量性质为：， 即，题设，故与重合， 即是重心，C正确； 选项D，若，     故， 同理可得，即是垂心，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知球的表面积是，则该球的体积为________. 【答案】 【解析】 【分析】 设球的半径为r，代入表面积公式，可解得，代入体积公式，即可得答案. 【详解】设球的半径为r，则表面积， 解得， 所以体积， 故答案为： 【点睛】本题考查已知球的表面积求体积，关键是求出半径，再进行求解，考查基础知识掌握程度，属基础题. 13. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】结合诱导公式和倍角公式求解. 【详解】． 14. 已知的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的最小值为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用正弦定理整理原式可得，结合三角形面积公式和倍角公式建立关于和的等式，再根据三角函数的值域求解的最小值. 【详解】， 由得 当，时，分母取最大值， 此时取最小值，即，的最小值为2． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，点在AB边上，且，记． （1）用表示； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量加法的三角形法则及向量减法运算求解即可； （2）结合（1）的结论可得，根据向量的数量积公式及模长计算可求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 16. 如图，一个底面边长为的正三棱柱容器中盛有容器容积一半的水，若侧面水平放置时，水面分别过、、、的、、、点． （1）几何体是否为棱台？请说明理由； （2）求图中水面的高． 【答案】（1）不是，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据棱柱的定义判断即可得出结论； （2）设正三棱柱的侧棱为，分析可知，可求出的高，进而可得出水面的高. 【小问1详解】 不是，由图可知梯形梯形，且、、、平行且相等， 故几何体是四棱柱. 【小问2详解】 设正三棱柱的侧棱为， 因为，即， 则得,易得与相似， 由，则，所以， 则的高为， 故图中水面的高为． 17. 设是关于的方程的两个根． （1）若，求的值； （2）求函数的解析式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）方法一：利用韦达定理将两根之和与积直接代入对称式，通过代数变形求值；方法二：可先解出具体复根再分别计算高次幂后求和，体现复数运算法则的应用； （2）根据判别式对参数分区间讨论，将两根按实根与共轭虚根分类；利用韦达定理、绝对值性质及复数模长公式，在不同情形下转化为根与系数的表达式或直接求模. 【小问1详解】 解一：是方程的两个根，， . 解二：当，则， ， ． 【小问2详解】 ， 当时，； 当时，； 当时，． 18. 已知为原点）． （1）求的最小值； （2）已知四边形OABC为平行四边形，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据向量坐标求解模长，换元后利用二次函数性质求模长最小值 (2)根据平面向量基本定理列等式，换元后求方程的根 【小问1详解】 因为， 所以. 令，则， 设，其对称轴为， 所以， 即当时，． 【小问2详解】 ∵四边形为平行四边形，， 即， 由此可得方程：， 由第二式得，代入第一式得： 整理得． 令，则，换元后设， 因为和在均递增，所以在为递增函数. 又因为，， 即， 所以在有且仅有一个根，解得. 由得，. 19. 如图，在平面上以三边为边分别向外作三个正三角形，记这三个正三角形的中心分别为．（被称为拿破仑三角形） （1）证明：为正三角形； （2）若，求周长的取值范围． 【答案】（1） 连接，设． 分别是正三角形的中心， ， 在中， ， ， 同理，． ，即为正三角形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据是三个正三角形的中心的几何性质，再利用余弦定理分别求解即可； （2）结合余弦定理和面积公式求解，进而建立关于的方程，可得周长，设，换元构造函数，结合函数单调性求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，， ．又． 由余弦定理得：，即，① 在中，由余弦定理得：，② 由①得：，故， 由①，②得：，故． ． 又由②得：． 设，则． 下面证明在上单调递减．任取． ， ，同理，． ． 故．即的周长取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $