精品解析：天津市滨海新区塘沽第一中学2026届高三毕业班十二校联考（二）模拟考试数学试题

塘沽一中2026届高三毕业班十二校联考（二）模拟考数学 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为非零向量，则“存在实数，使”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 4. 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图： 则（ ） A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于 B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于 C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差 D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差 5. 已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，则数列 的前5项和为 A. 或5 B. 或5 C. D. 6. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 100 7. 若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，也是抛物线的焦点，点P是双曲线E与抛物线C的一个公共点，若，则双曲线E的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 9. 如图，已知是边长为4的等边三角形，分别是和的中点，将沿着翻折，使点到点处，得到四棱锥，则下列说法中，正确的个数为（ ） ①翻折过程中，该四棱锥的体积有最大值为9． ②取线段中点，则翻折过程中，三棱锥与四棱锥体积比为定值． ③翻折过程中，直线始终与平面平行． ④当时，该四棱锥的五个顶点所在球的表面积为 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分． 10. 若复数（，是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为___________ 11. 已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等，则常数项为___________ 12. 若圆被直线所截得的弦长为10，过点作圆的切线，其中一个切点为，则的值为__________. 13. 两个三口之家进行游戏活动，从6人中随机选出2人，则这2人来自同一个家庭的概率为_________；若选出的2人来自同一个家庭，游戏成功的概率为0.6，若来自不同的家庭，游戏成功的概率为0.3，则游戏成功的概率为_________． 14. 在菱形中，，，，， 已知点M在线段上，且则_____ ，若点N为线段上一个动点，则的最小值为___________ 15. 若非空数集满足：，都存在（其中），使得，则称集合是的“理想集”．记集合，若集合是的“理想集”，则实数的取值范围为___________ 三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16. 在中，角所对的边分别为．满足 （1）求角的大小； （2）设，求的值； （3）设，已知是边的中点，求的最大值． 17. 如图，已知四棱锥中，底面为正方形，，，是棱的中点，是棱上一点，. （1）若是棱的中点时， ①求证：平面； ②求直线与平面成角的正弦值； （2）若点到平面的距离为，求线段的长度. 18. 已知点F是椭圆C： (a>b>0)的右焦点，过点F的直线l交椭圆于M，N两点．当直线l过C的下顶点时，l的斜率为；当直线l垂直于C的长轴时，△OMN的面积为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）当|MF|＝2|FN|时，求直线l的方程； （3）若直线l上存在点P满足|PM|，|PF|，|PN|成等比数列，且点P在椭圆外，证明：点P在定直线上． 19. 定义集合与实数间的运算符号*，设 为集合， 为正整数， 且 ，例如 ，.已知 以此类推，令 ，例如 . （1）求 ； （2）若 ，求 的通项公式； （3）设 的前 项和为，试证明 . 20. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若有两个极值点，，且， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 塘沽一中2026届高三毕业班十二校联考（二）模拟考数学 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简集合A，再根据并集的定义可得. 【详解】由不等式，可得；又因为，因此. 又因为，所以. 2. 已知为非零向量，则“存在实数，使”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据共线向量定理及相关性质、充分必要条件的定义求解判断即可. 【详解】若存在实数，使，则共线； 若，则同向； 所以“存在实数，使”是“”的必要不充分条件. 3. 函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数定义域、值域及对称性判断. 【详解】B选项，函数，定义域为R，与图象不符，B选项错误； CD选项，对于函数， 当时，恒成立，与图象不符，CD选项错误； A选项，函数，定义域为， ，函数为奇函数，图象关于原点对称， 当或时，；当或时，. A选项正确. 4. 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图： 则（ ） A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于 B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于 C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差 D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差 【答案】B 【解析】 【分析】由图表信息，结合中位数、平均数、标准差、极差的概念，逐项判断即可得解. 【详解】讲座前中位数为,所以错； 讲座后问卷答题的正确率只有一个是个,剩下全部大于等于,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于,所以B对； 讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C错； 讲座后问卷答题的正确率的极差为， 讲座前问卷答题的正确率的极差为,所以错. 故选:B. 5. 已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，则数列 的前5项和为 A. 或5 B. 或5 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设等比数列的公比为q, ∵9S3=S6, ∴8(a1+a2+a3)=a4+a5+a6, ∴8=q3,即q=2, ∴an=2n-1, ∴=, ∴数列是首项为1,公比为的等比数列, 故数列的前5项和为=. 故选C. 6. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 100 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数的换底公式，再结合基本不等式，即可求解. 【详解】， 又因为，所以， 则，当且仅当时取等， ． 故选：B. 7. 若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦函数、正切函数的性质求出图象的对称中心，结合已知建立方程求解. 【详解】由，得函数图象的对称中心为 由，函数图象的对称中心为， 依题意，对整数，点与重合，则， 因此，，而，所以，，D正确. 8. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，也是抛物线的焦点，点P是双曲线E与抛物线C的一个公共点，若，则双曲线E的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作于，由抛物线的定义和双曲线的定义，结合已知把，，用表示，然后由勾股定理列式，得的齐次式，从而可求得． 【详解】由题意，即，设，则， 又，，所以， ，， 作于，如图，则，，， 由得， 化简得，所以，解得（舍去）， 故选：A． 9. 如图，已知是边长为4的等边三角形，分别是和的中点，将沿着翻折，使点到点处，得到四棱锥，则下列说法中，正确的个数为（ ） ①翻折过程中，该四棱锥的体积有最大值为9． ②取线段中点，则翻折过程中，三棱锥与四棱锥体积比为定值． ③翻折过程中，直线始终与平面平行． ④当时，该四棱锥的五个顶点所在球的表面积为 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】设分别为的中点，当平面，求解体积判断①；到平面的距离为，再结合等体积转化求解判断②；证明，再根据线面平行的判定定理即可判断③；由已知可推得平面平面，设球心为，的外心为，点为等腰梯形的外心，可得四边形为矩形，进而求出即半径的长，即可得出外接球的表面积判断④. 【详解】如图1，设分别为的中点，则， 对于①：当平面平面时，四棱锥的体积最大， 因为为的中点，且为等边三角形，则， 平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 此时体积，故①错误； 对于②，因为线段中点， 在翻折过程中，到平面的距离为， 因为是边长为4的等边三角形，分别是的的中点， 所以，， 所以， ， 所以翻折过程中，三棱锥与四棱锥体积比为，是定值，故②正确； 对于③，因为分别是的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面，即翻折过程中，直线始终与平面平行，故③正确； 对于④，当时，由，可知，即， 又，且平面，则平面， 又平面，则平面平面， 设四棱锥的外接球球心为，的外心为，则平面， 如图2，易知点为等腰梯形的外心，则平面， 则四边形为矩形，且， 从而有， 从而该四棱锥的五个顶点所在球的表面积为，故④正确. 二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分． 10. 若复数（，是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为___________ 【答案】 【解析】 【分析】化简复数得，再根据复数的概念求解即可. 【详解】， 因为复数（，是虚数单位）是纯虚数， 所以且，解得显然满足， 所以. 11. 已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等，则常数项为___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合二项式系数性质得，再根据通项公式得时，展开式为常数项，再代入通项公式求解即可. 【详解】因为的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等， 所以，根据组合数性质易知， 所以展开式的通项公式为： , 令得， 所以常数项为 12. 若圆被直线所截得的弦长为10，过点作圆的切线，其中一个切点为，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用垂径定理来求弦长，得用勾股定理来求切线长，即可解决问题. 【详解】由弦长为，结合垂径定理可得：，解得， 结合已知点，可得： 所以， 故答案为：. 13. 两个三口之家进行游戏活动，从6人中随机选出2人，则这2人来自同一个家庭的概率为_________；若选出的2人来自同一个家庭，游戏成功的概率为0.6，若来自不同的家庭，游戏成功的概率为0.3，则游戏成功的概率为_________． 【答案】 ①. ## ②. 0.42## 【解析】 【分析】先计算从6人中选2人的所有种数，再计算同一家庭的种数，求概率即可；由全概率公式计算即可得第二空. 【详解】由题意可知从6人中随机选出2人，则这2人来自同一个家庭的概率为； 而来自不同家庭的概率为， 则游戏成功的概率为. 故答案为：； 14. 在菱形中，，，，， 已知点M在线段上，且则_____ ，若点N为线段上一个动点，则的最小值为___________ 【答案】 ①. 7 ②. 【解析】 【分析】设，进一步将其表示成以，为基底的向量，结合已知条件，可得关于和的方程组，解之，再根据模长的计算方法，得的值；设，，根据平面向量的运算法则，推出，然后由配方法，得解． 【详解】因为，，所以，， 所以，， 因为点在线段上， 可设， 而，所以，解得，， 所以， 则， 所以， 因为点为线段上一个动点， 可设，， 所以， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为． 故答案为：7，． 15. 若非空数集满足：，都存在（其中），使得，则称集合是的“理想集”．记集合，若集合是的“理想集”，则实数的取值范围为___________ 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知关于b的方程在内有解，取或，解方程并结合零点存在性定理分析求解. 【详解】若集合是的“理想集”， 则关于b的方程在内有解， 若，即， 可得，解得或， 则或，解得或，所以； 若，即， 令，， 原题意等价于在内有零点， 则，解得或， 因为且，可得或， 若，则，且，， 可知在内有零点，符合题意； 若，则，且，， 可知在内有零点，符合题意； 综上所述：实数的取值范围为. 三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16. 在中，角所对的边分别为．满足 （1）求角的大小； （2）设，求的值； （3）设，已知是边的中点，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换可得，结合角的范围即可求解； （2）根据余弦定理可得，利用余弦定理，同角关系式及二倍角公式可得，，然后利用和差角公式结合条件即得. （3）根据题意，结合余弦定理得，进而结合基本不等式得，再根据中线公式，结合余弦定理求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以， 因为，故，则， 又，所以. 【小问2详解】 由（1）知，，且，， 因为，即， 化简，解得（舍），，所以. 由， 则， 则，， 所以. 【小问3详解】 由（1）知，， 所以，由余弦定理得：， 因为，即，当且仅当时等号成立， 因为是边的中点，所以， 所以 ， 所以，即的最大值为. 17. 如图，已知四棱锥中，底面为正方形，，，是棱的中点，是棱上一点，. （1）若是棱的中点时， ①求证：平面； ②求直线与平面成角的正弦值； （2）若点到平面的距离为，求线段的长度. 【答案】（1）①是棱的中点，是棱的中点， ， 平面，平面， 平面． ② （2） 【解析】 【分析】（1）①由直线与平面平行的判定定理证明即可. ②建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用直线与平面成角的正弦值，计算即可. （2）求平面的法向量，利用点到平面的距离公式计算即可 【小问1详解】 ①略 ②，， 底面为正方形，， 以为原点，为轴建立空间直角坐标系， ，， 是棱的中点，是棱的中点， ， 则各点坐标为：，，，，，， ，，， 设平面法向量为，则，即， 令，，，则， 直线与平面成角为， 则直线与平面成角的正弦值为： . 【小问2详解】 设，则，，，， 设平面法向量为，则，即， 令，则，，， 点到平面的距离为， ，解得：. 18. 已知点F是椭圆C： (a>b>0)的右焦点，过点F的直线l交椭圆于M，N两点．当直线l过C的下顶点时，l的斜率为；当直线l垂直于C的长轴时，△OMN的面积为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）当|MF|＝2|FN|时，求直线l的方程； （3）若直线l上存在点P满足|PM|，|PF|，|PN|成等比数列，且点P在椭圆外，证明：点P在定直线上． 【答案】（1）； （2）； （3）证明：设，， 当直线与轴重合时，∵点在椭圆外，∴，同号， 由，得，解得， 当直线与轴不重合时，由(2)知，， ∵，，， ∵点在椭圆外，∴，同号， 由，得， 整理得，即， 解得，代入直线方程，得， ∴点在定直线上． 【解析】 【分析】(1)根据题意得：，，及，解得，，进而可得椭圆得方程． (2)分两种情况：当直线与轴重合时，，不合题意．当直线与轴不重合时，设直线的方程为，，，，，联立直线与椭圆得方程，结合根与系数关系得，，由，得，组成方程组解得，进而可得直线得方程． (3)设，，分两种情况讨论，当直线与轴重合时，当直线与轴不重合时，由，解得，∴点在定直线上． 【小问1详解】 由题设：，，解得，， ∴椭圆的方程为． 【小问2详解】 当直线与轴重合时，，不合题意． 当直线与轴不重合时，设直线的方程为，，，，， 联立，消去整理得， 有①， ②， 由，得③， 联立①②③得，解得． ∴直线的方程为． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查椭圆得标准方程，直线与椭圆相交，等比数列，考查转化能力和计算能力． 19. 定义集合与实数间的运算符号*，设 为集合， 为正整数， 且 ，例如 ，.已知 以此类推，令 ，例如 . （1）求 ； （2）若 ，求 的通项公式； （3）设 的前 项和为，试证明 . 【答案】（1），. （2） （3） 由（2）可知，， 当为偶数时， ， 设，为偶数， ， 两式相减， 得， 所以，此时，为偶数， 单调递增，当时，取得最小值2， 所以当为偶数时，， 当为奇数时， ， 设 ， 两式相减得 所以， 此时，单调递增，当时，取得最小值2， 所以为奇数时， 综上可知，. 【解析】 【分析】（1）首先求和，再根据新定义，求和； （2）首先利用等差数列的通项公式和求和公式，得到，再根据新定义，以及为正整数，求得通项； （2）根据（2）的结果求数列的通项公式，再分为奇数和偶数，利用错位相减法求，结合数列的单调性，即可证明不等式. 【小问1详解】 由题意可知，，， 所以，. 【小问2详解】 显然数列的通项公式为，集合中有1个元素，中有2个元素，…，中有个元素， 前个集合中的元素个数为，所以集合中的第一个数是数列的第项，为，集合中共有项， 即, 因为，且 且， 设中的元素为中的第项，则，即， 则， 当为奇数时，，， 当为偶数时，，， 即. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解新定义，理解与的关系，第二问求是本题的关键. 20. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若有两个极值点，，且， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）求证：． 【答案】（1） （2）（ⅰ） （ⅱ）证明：由（ⅰ）得，． ， 欲证，只需证， 构造，，则， 令，则，当时，， 即在上单调递增，且， 在时恒成立， ， 当时，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， ，故， 设方程的两根为，，不妨， 则由得， 由韦达定理得， ， ，且是方程的两根，是的两根， 则， ， ，命题得证． 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何性质求出斜率，进而求出切线方程； （2）（ⅰ）求导，利用导数讨论极值点及单调性，进而求解的取值范围； （ⅱ）利用函数单调性转化不等式，再通过构造函数，求导，利用导数讨论函数单调性，进而证明结论． 【小问1详解】 时，，则， 求导得，则， 切线方程为，即． 【小问2详解】 （ⅰ）由于有两个极值点，， 故有两个变号零点，等价于方程有两个不同的解； 设，则，令，，则， 令得，令得， 在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，，且， ，即的取值范围为． （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $