2025-2026学年青岛版七年级下学期期中数学分章复习学案

2025-2026学年青岛新版七年级下册期中复习 第七章 数据的收集、整理与描述 考点一 、普查和抽查 调查方式 适应情景 优缺点 普查 ①当考查对象数量较少；（全班同学的视力情况） ②当调查结果具有特殊要求； （人口普查） ③事关重大的调查； （神舟飞船的零部件检查） 优点 ：获得准确全面的数据 缺点： 消耗人力 、物力和财力 抽样调查 ①当考察对象数量较多； ②普查的意义或价值不大时； ③调查结果具有破坏性；（一批导弹的杀伤半径） 优点 ：省时 、省力 缺点： 不如普查得到的结果准确 1．下列调查中，最适宜采用全面调查（普查）的是（　　） A．调查某河流的水污染情况 B．了解我市全体初中生每周做家务的时间 C．调查某品牌圆珠笔的使用寿命情况 D．了解某校九（1）班全体学生的体重 【解答】解：A．调查某河流的水污染情况，适合抽样调查，故本选项不合题意； B．解我市全体初中生每周做家务的时间，适合抽样调查，故本选项不合题意； C．调查某品牌圆珠笔的使用寿命情况，适合抽样调查，故本选项不合题意； D．了解某校九（1）班全体学生的体重，适合全面调查，故本选项符合题意； 故选：D． 2．下列采用的调查方式中，合理的是（　　） A．检查神舟十八号飞船的各零部件，采用抽样调查 B．统计某校九年级一班学生视力情况，采用抽样调查 C．对全国所有中小学生进行健康调查，采用全面调查 D．了解某品牌新能源电动汽车的碰撞测试效果，采用抽样调查 【解答】解：A、检查神舟十八号飞船的各零部件，应采用全面调查，故不符合题意； B、统计某校九年级一班学生视力情况，应采用全面调查，故不符合题意； C、对全国所有中小学生进行健康调查，应采用抽样调查，故不符合题意； D、了解某品牌新能源电动汽车的碰撞测试效果，应采用抽样调查，故符合题意； 故选：D． 3．下列各项调查中，适合采用抽样调查的是（　　） A．火车站进站前的安全检查 B．调查全班43名同学的视力情况 C．长征四号运载火箭执行某次发射任务前的零部件检查 D．调查某地区居民防火安全意识 【解答】解：A．火车站进站安全检查需要检查每一名旅客，适合全面调查，不符合题意， B．全班仅43名同学，调查范围小，适合全面调查，不符合题意， C．火箭发射前的零部件检查事关发射安全，必须逐个检查，适合全面调查，不符合题意， D．某地区居民人数多，调查防火安全意识范围广，工作量大，适合抽样调查，符合题意． 故选：D． 考点二 、总体 、个体 、样本 、样本容量 ①“ 总体 ”是所有被考察对象的情况； ②“ 个体 ”是每一个被考察对象的情况； ③“样本 ”是被抽取的考察对象的情况； ④样本容量就是指样本中个体的数量 ，且不能带单位。 1．3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础，某初中为了解全校720名八年级学生的睡眠时间，从16个班级中随机抽取100名学生进行调查，下列说法正确的是（　　） A．720名八年级学生的睡眠时间是总体 B．720是样本容量 C．16个班级是抽取的一个样本 D．每名八年级学生是个体 【解答】解：A．720名八年级学生的睡眠时间是总体，选项说法正确，符合题意； B．抽取了100名学生，故样本容量为100，选项说法错误，不符合题意； C．抽取的样本是100名学生的睡眠时间，而非16个班级，选项说法错误，不符合题意； D．每名八年级学生的睡眠时间是个体，选项说法错误，不符合题意． 故选：A． 2．3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础，某县某初中为了解全校720名八年级学生的睡眠时间，从16个班级中随机抽取100名学生进行调查，下列说法不正确的是（　　） A．720名八年级学生的睡眠时间是总体 B．100是样本容量 C．16个班级是抽取的一个样本 D．每名八年级学生的睡眠时间是个体 【解答】解：A、720名八年级学生的睡眠时间是总体，选项说法正确，不符合题意； B、抽取了100名学生，故样本容量为100，选项说法正确，符合题意； C、抽取的样本是100名学生的睡眠时间，而非16个班级，选项说法错误，符合题意； D、每名八年级学生的睡眠时间是个体，选项说法正确，不符合题意． 故选：C． 考点三、频数、组数、组距与频数分布表 1、 找最大值和最小值 2、 算极差 3、 确定组数 计算组距：组距＝（向上取整） 1．在期末体育考核中，成绩分为优秀、合格、不合格三个档次，八年级（1）班有48名学生，达到优秀的有15人，合格的有21人，则这次体育考核中，不合格人数的频率是（　　） A．0.125 B．0.25 C．0.215 D．1.25 【解答】解：由题意得：不合格人数＝48﹣（15+21）＝12（人）， ∴不合格人数的频率＝12÷48＝0.25， 故选：B． 考点四、数据分析综合题 1．某校七年级举办了一次“共沐书香，筑梦未来”文学常识知识竞赛（如图1），赛后发现所有学生的成绩均不低于50分，为了解本次竞赛的成绩分布情况，随机抽取若干名学生的成绩作为样本进行整理，并绘制了不完整的统计表和统计图（如图2）． 成绩x/分 频数 所占百分比 50≤x＜60 16 8% 60≤x＜70 a 31% 70≤x＜80 72 b 80≤x＜90 c 90≤x≤100 12 d 请你根据统计图表解答下列问题： （1）此次抽样调查的样本容量是　200　 ，a＝　62　 ，b＝　36%　 ，c＝　38　 ； （2）请补全学生成绩分布直方图； （3）该校按照此次知识竞赛的得分由低到高共设置三等奖、二等奖和一等奖若干名，如何设置一等奖的分数线，使25%的参赛学生能获得一等奖？【解答】解：（1）由题意可知，此次抽样调查的样本容量为16÷8%＝200（人）； ∵分数段在60≤x＜70的频数占总体百分比为31%， ∴其频数a＝200×31%＝62； ∵分数段在70≤x＜80的频数为72，占总体百分比为． ∵分数段在90≤x≤100的频数为12， ∴占总体百分比为， 频数c＝200﹣16﹣62﹣72﹣12＝38； 故答案为：200，62，36%，38； （2）补全学生成绩分布直方图，如图即为所求： （3）该校按照此次知识竞赛的得分由低到高共设置三等奖、二等奖和一等奖若干名， 分数段在80≤x＜90占总体百分比为1﹣8%﹣31%﹣36%﹣6%＝19%． ∵分数段在90≤x≤100为6%， ∴6%+19%＝25%． ∴一等奖的最低分数线是80分． 2．某直播电商平台推出“商品口碑分级”机制，对直播间在售的日用商品进行用户评价回溯评级，结果分为优质、良好、合格、待改进四个等级．平台运营团队随机抽取若干用户对商品的评级结果作为样本进行数据分析，并绘制出两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）参与本次用户评级的人数为　500　 人，扇形统计图中“待改进”对应的圆心角度数为　72°　 ； （2）等级为“良好”的用户人数为　150　 人，并补全条形统计图； （3）若该平台本次参与口碑评级的用户有1800人，请根据调查结果求出评级为“优质”和“合格”的用户人数各有多少人？ 【解答】解：（1）200÷40%＝500，， 所以参与本次用户评级的人数是500人，扇形统计图中“待改进”对应的圆心角度数是72°； 故答案为：500，72°； （2）30%×500＝150，补全统计图如下： 故答案为：150； （3）用总人数乘以“优质”和“合格”所占的百分比之和可知： （人）， 所以，评级为“优质”和“合格”的用户人数有900人． 第八章 相交线与平行线 考点一、对顶角和邻补角 （1） 对顶角满足的条件：①只有两条直线相交时，才能产生对顶角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线；③相等的两个角。 （2） 两条直线相交时，除了产生对顶角外，还会产生邻补角，邻补角满足的条件： ①有公共顶点；②有一条公共边，另一边互为反向延长线。 1．下面的四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：对顶角是有公共顶点，一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，则： A、有公共顶点，但不满足一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，故∠1与∠2不是对顶角，不符合题意； B、有公共顶点，但不满足一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，故∠1与∠2不是对顶角，不符合题意； C、有公共顶点，且满足一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，故∠1与∠2是对顶角，符合题意； D、没有公共顶点，且不满足一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，故∠1与∠2不是对顶角，不符合题意； 故选：C． 2．如图，要测量两堵围墙所形成的∠AOB的度数，但人不能进入围墙，小刚提供的测量方案是：反向延长OA至点C，若他测量∠BOC的度数是75°，则∠AOB的度数是（　　） A．15° B．105° C．115° D．165° 【解答】解：∵∠BOC＝75°， ∴∠AOB＝180°﹣75°＝105°． 故选：B． 3．下列图形中，∠1与∠2属于同位角的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据同位角的特征得选项A是同位角，选项B、C、D不是同位角． 故选：A． 4．如图，已知直线AB，CD相交于点O，∠COE＝90°． （1）若∠AOC＝35°，求∠BOE的度数； （2）若∠BOD：∠BOC＝2：7，求∠AOE的度数． 【解答】解：（1）已知直线AB，CD相交于点O，∠COE＝90°． ∵∠AOC＝35°，∠COE＝90°， ∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE， ＝180°﹣35°﹣90° ＝55°； （2）∵∠BOD+∠BOC＝180°，且∠BOD：∠BOC＝2：7， ∴∠BOD＝40°， ∴∠AOC＝∠BOD＝40°， ∵∠COE＝90°， ∴∠AOE＝∠AOC+∠COE＝130°． 考点二、三线八角 位置关系 图示特征 示例 同位角 在直线a、b（被截线）的同侧，并且都在直线c（截线）的同旁 “F”型 ∠1与∠5，∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8 内错角 在直线a、b（被截线）的之间，并且都在直线c（截线）的两旁 “Z”型 ∠3与∠5，∠4和∠6 同旁内角 在直线a、b（被截线）的之间，并且都在直线c（截线）的同旁 “U”型 ∠3和∠6，∠4和∠5 1．如图1是《天工开物》中记载的我国古代的提水工具“桔槔”，图2是其简易装置图，则与∠1构成内错角的是（　　） A．∠5 B．∠4 C．∠3 D．∠2 【解答】解：与∠1构成内错角的是∠2， 故选：D． 2．如图，直线AB与CD被直线AC所截形成的内错角为（　　） A．∠3与∠8 B．∠1与∠5 C．∠3与∠7 D．∠4与∠8 【解答】解：A．∠3和∠8是直线AB，直线BC被直线AC所截得的同旁内角，因此选项A不符合题意； B．∠1和∠5是直线AB，直线CD被直线BD所截得的内错角，因此选项B不符合题意； C．∠3和∠7是直线AD，直线BC被直线AC所截得的内错角，因此选项C不符合题意； D．∠4和∠8是直线AB，直线CD被直线AC所截得的内错角，因此选项D符合题意； 故选：D． 考点三、文字辨析题 1、在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 2、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离。 3、过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 1．下列说法中正确的个数有（　　） ①从直线外一点到已知直线的垂线段叫做点到直线的距离； ②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短； ③A，B，C三点在同一直线上且AB＝BC，则B是线段AC的中点； ④两条直线被第三条直线所截，内错角相等； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列说法中正确的是（　　）【解答】解：①从直线外一点到已知直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，错误； ②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确； ③A、B、C三点在同一直线上且AB＝BC，则B是线段AC的中点，正确； ④两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，错误； 故选：B． A．同位角相等 B．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 C．直线外一点到已知直线引垂线，这个点和垂足之间的垂线段叫做这个点到这条直线的距离 D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 3．下列说法：①不相交的两条直线一定互相平行；②过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行；③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④平行于同一直线的两直线平行；⑤已知三点，过每两点画直线，一定可以画3条直线．其中正确的有（　　）【解答】解：∵只有两直线平行时，同位角才相等，∴A错误，不符合题意； ∵只有两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角才互补，选项未说明两直线平行，∴B错误，不符合题意； ∵直线外一点到这条直线的距离是垂线段的长度，不是垂线段本身，∴C错误，不符合题意； ∵同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，符合垂线的基本性质，∴D正确，符合题意． 故选：D． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①在同一平面内，不相交的两条直线一定互相平行，故本选项错误； ②同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误； ③平面内，过直线外有且只有一条直线与已知直线平行；故本选项错误； ④平行于同一直线的两直线平行；故本选项正确； ⑤已知不在同一直线上的三点，过每两点画直线，一定可以画3条直线，故本选项错误． 故选：A． 考点四、平行线的性质与判定 1．如图，将一副三角尺（分别含30°和45°的直角三角形）的直角顶点重合放置，则下列结论不正确的是（　　） A．若∠2＝30°，则AC∥DE B．若BC∥AD，则∠2＝45° C．若∠CAD＝140°，则∠4＝∠C D．∠2+∠CAD＝180°【解答】解：由题意知∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝∠C＝45°，∠D＝30°，∠E＝60°， A．若∠2＝30°， ∴∠1＝60°， ∴∠1＝∠E， ∴AC∥DE，故选项正确，不符合题意； B．若BC∥AD， ∴∠3＝∠B＝45°， ∴∠2＝45°，故选项正确，不符合题意； C．若∠CAD＝140°，∠D＝30°， ∴∠CAD+∠D＝170°． ∴AC和DE不平行， ∴∠4≠∠C，故选项错误，符合题意； D．∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°， ∴∠2+∠CAD＝∠2+∠1+∠2+∠3＝90°+90°＝180°，故选项正确，不符合题意； 故选：C． 2．如图，若∠B+∠BAD＝180°，则下列结论正确的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠D+∠BAD＝180° D．∠B＝∠DCE 3．深圳市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝60°，∠BAC＝45°，当∠MAC为（　　）度时，AM∥BE．【解答】解：如图所示，∠B+∠BAD＝180°， ∴AD∥BC， ∴∠3＝∠4， A、由于AB与CD不一定平行，则∠1＝∠2不一定正确，不符合题意； B、∠3＝∠4正确，符合题意； C、由于AB与CD不一定平行，则∠D+∠BAD＝180°不一定正确，不符合题意； D、由于AB与CD不一定平行，则∠B＝∠DCE不一定正确，不符合题意； 故选：B． A．45 B．60 C．75 D．105 【解答】解：∵AB，CD都与地面l平行， ∴AB∥CD， ∴∠ABC＝∠BCD＝60°（两直线平行，内错角相等）， ∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣60°﹣45°＝75°， ∵AM∥BE， ∴∠MAC＝∠ACB＝75°， 故选：C． 4．如图，已知∠A与∠B互补，DE平分∠ADC，∠1＝40°，那么∠2＝（　　） A．80° B．85° C．95° D．100° 【解答】解：∵∠A与∠B互补， ∴AD∥BC， ∴∠1＝∠ADE， ∵∠1＝40°， ∴∠ADE＝40°， ∵DE平分∠ADC， ∴∠ADC＝2∠ADE＝80°， ∵AD∥BC， ∴∠ADC+∠DCB＝180°， ∴∠DCB＝180°﹣80°＝100°， ∴∠2＝∠DCB＝180°﹣80°＝100°． 故选：D． 5．光线照射到镜面会产生反射现象，根据光的反射原理，入射光线与镜面的夹角和反射光线与镜面的夹角相等，如：在图1中∠1＝∠2，∠3＝∠4． （1）当平面镜EF与MN平行时，AB与CD是否平行？ （2）在（1）的结论下，若∠1＝45°，求∠BCD的度数． 【解答】解：（1）平行，理由如下： ∵MN∥EF， ∴∠2＝∠3． ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴180°﹣2∠2＝180°﹣2∠3， 即∠ABC＝∠BCD， ∴AB∥CD； （2）∵∠1＝∠2，∠1＝45°， ∴∠ABC＝180°﹣2×45°＝90°． ∵AB∥CD， ∴∠BCD＝∠ABC＝90°． 6．如图，已知∠1＝∠2，∠ACG+∠G＝180°． （1）试判断AD与CE的位置关系，并说明理由； （2）若CA平分∠BCE，∠2＝40°，求∠ADB的度数． 【解答】解：（1）AD∥EC，理由如下： ∵∠ACG+∠G＝180°， ∴AC∥FG， ∴∠ACE＝∠2， ∵∠1＝∠2， ∴∠ACE＝∠1， ∴AD∥EC； （2）∵∠ACE＝∠2，∠2＝40°， ∴∠ACE＝40°， ∵CA平分∠BCE， ∴∠BCE＝2∠ACE＝80°， ∵AD∥EC， ∴∠ADB＝∠BCE＝80°． 7．如图1是一种躺椅，图2是其结构示意图，前支架AB与椅背CD平行，扶手MN与前支架AB和椅背CD分别交于点A、E，底座FD与前支架AB和椅背CD分别交于点H、D，点D在后支架AG上．已知∠MEC+∠FHB＝180°． （1）请判断MN与FD的位置关系，并说明理由； （2）当前支架AB与后支架AG恰好垂直，且∠CDF＝135°时，人躺着最舒服，求此时扶手MN与后支架AG的夹角∠NAG的度数． 【解答】解：（1）MN∥FD，理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠CDF+∠AHD＝180°， ∵∠FHB＝∠AHD，∠MEC+∠FHB＝180°， ∴∠MEC＝∠CDF， ∴MN∥FD； （2）∵MN∥FD， ∴∠NAB+∠AHD＝180°， ∵∠CDF+∠AHD＝180°， ∴∠NAB＝∠CDF＝135°， 即∠NAG+∠BAG＝135°， ∵AB⊥AG， ∴∠BAG＝90°， ∴∠NAG＝45°． 考点五、折叠问题 1．如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点D、C分别落在点D'、C'的位置，ED'的延长线交BC于点G，若∠BGE＝α，则∠EFC＝（　　）（用α的代数式表示） A．180°﹣α B． C． D． 【解答】解：∵AD∥BC， ∴∠DEG＝∠BGE＝α． 由折叠可知， ∠DEF∠DEG． ∵AD∥BC， ∴∠DEF+∠EFC＝180°， ∴∠EFC＝180°． 故选：D． 2．如图，将长方形纸片ABCD沿线段BD折叠，点A落在A′处，A′B交CD于点E．将三角形BCE沿线段BE折叠，点C落在点C′处．若∠1＝32°，则∠2的度数为（　　） A．52° B．58° C．62° D．64° 【解答】解：∵ABCD是长方形， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ADB＝90°﹣∠1＝90°﹣32°＝58°， 由折叠的性质得∠A'BD＝∠ADB＝58°， ∴∠A'DE＝58°﹣32°＝64°， ∴∠2＝180°﹣64°﹣64°＝52°． 故选：A． 3．将一条长方形纸带先沿EF折叠，再沿BF折叠，如图，若∠AED′＝130°，则∠EFC″的度数为（　　） A．95° B．100° C．105° D．110° 【解答】解：∵∠AED′＝130°， ∴∠DED′＝180°﹣∠AED′＝180°﹣130°＝50°， 由折叠得，， ∵AD∥BC， ∴∠DEF＝∠EFB＝25°（两直线平行，内错角相等）， ∵ED′∥FC′， ∴∠EFC′＝180°﹣∠FED′＝180°﹣25°＝155°， ∴∠BFC′＝∠EFC′﹣∠EFB＝155°﹣25°＝130°， 由折叠得，∠BFC″＝∠BFC′＝130°， ∴∠EFC″＝∠BFC″﹣∠BFE＝130°﹣25°＝105°， 故选：C． 考点六、双平行（双垂直）问题 1．如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，若其中一个角为40°，则另一个角为　40°或140　 °． 【解答】解：∵一个角的两边与另一个角的两边分别平行， ∴这两个角相等或互补， ∵一个角为40°， ∴另一角为40°或140°． 故答案为：40°或140°． 2．如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，且一个角比另一个角的3倍少60°，则这两个角的度数分别为　30°、30°或60°、120°　 ． 【解答】解：设一个角为x°，则另一个角为（3x﹣60）°， ∵这两个角的两边平行， ∴x°＝（3x﹣60）°， 解得x＝30°， 或x°+（3x﹣60）°＝180°， 解得x＝60°，（3x﹣60）°＝120°， 综上所述，这两个角的度数分别为30°、30°或60°、120°． 故答案为：30°、30°或60°、120° 3．一个角的两边分别与另一个角的两边垂直，且其中一个角为50°，则另一个角的度数是 　50°或130°　 ． 【解答】解：由题意可知：一个角的两边分别与另一个角的两边垂直，且其中一个角为50°，则另一个角和它相等或互补，所以另一个角的度数是50°或130°，、 故答案为：50°或130°． 考点七、拐角问题 1．如图，已知AB∥CD，∠1＝125°，∠2＝55°，则∠C＝（　　） A．45° B．50° C．70° D．65° 【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝125°， ∴∠FGD＝∠1＝125°， ∵∠2＝55°， ∴∠C＝∠FGD﹣∠2＝125°﹣55°＝70°， 故选：C． 2．“抖空竹”是我国非物质文化遗产，某中学将此运动引入特色大课间，某同学“抖空竹”的一个瞬间如图所示，将图1抽象成图2的数学问题：在平面内，AB∥CD．若∠BAE＝50°，∠DCE＝85°，则∠AEC的度数为（　　） A．115° B．125° C．135° D．145° 【解答】解：如图，过点E作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴EF∥AB∥CD， ∴∠DCE＝∠CEF＝85°，∠BAE＝∠AEF＝50°， ∴∠AEC＝∠CEF+∠AEF＝85°+50°＝135°． 故选：C． 3．如图，AB∥EF，∠C＝135°，∠D＝72°，则∠A+∠E等于（　　） A．27° B．30° C．17° D．24° 【解答】解：如图，作CM∥AB，DN∥EF， ∴∠A＝∠1，∠E＝∠4， ∵AB∥EF， ∴AB∥CM∥DN∥EF， ∴∠2+∠3＝180°， ∵∠1+∠2＝∠C＝135°，∠3+∠4＝∠D＝72°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝207°， ∴∠A+∠E＝∠1+∠4＝207°﹣（∠2+∠3）＝27°， 故选：A． 4．如图，已知AB∥CD，AB∥EF，∠1+∠3＝180°，以下4个结论： ①CD∥EF； ②∠1＝∠BAE； ③2∠1+∠2＝∠180°； ④∠3+∠4＝180°， 正确的是（　　） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【解答】解：∵AB∥CD，AB∥EF， ∴CD∥EF（平行于同一直线的两直线相互平行），则①正确； ∵AB∥EF， ∴∠BAE+∠3＝180°． ∵∠1+∠3＝180°， ∴∠1＝∠BAE，则②正确； ∵AB∥CD， ∴∠BAE+∠1+∠2＝180°， 即2∠1+∠2＝180°，则③正确； 延长FE， ∵CD∥EF， ∴∠4＝∠CEG． ∵∠CEG+∠AEC+∠3＝180°， ∴∠4+∠AEC+∠3＝180°，则④不正确． 综上所述，正确的为①②③， 故选：B． 5．下列结论：①如图1，AB∥CD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，AB∥CD，则∠P＝∠A﹣∠C；③如图3，AB∥CD，则∠E＝∠A+∠1；④如图4，直线AB∥CD∥EF，点O在直线EF上，则∠α﹣∠β+∠γ＝180°．正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解： ①如图1，过点E作直线EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°， ∴∠A+∠1+∠2+∠C＝360°， ∴∠A+∠AEC+∠C＝360°， 故①错误； ②如图2， ∵∠1是△CEP的外角， ∴∠1＝∠C+∠P， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠1， 即∠P＝∠A﹣∠C， 故②正确； ③如图3，过点E作直线EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2， ∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°， 即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A， 故③错误； ④如图4， ∵AB∥EF， ∴∠α＝∠BOF， ∵CD∥EF， ∴∠γ+∠COF＝180°， ∵∠BOF＝∠COF+∠β， ∴∠COF＝∠α﹣∠β， ∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°， 故④正确； 综上结论正确的个数为2， 故选：B． 6．【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，AB∥CD，P是AB、CD之间的一点，连接BP、DP，试说明：∠B+∠D＝∠BPD；请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过P作PM∥AB． ∵PM∥AB．（辅助线的作法） ∴∠B＝∠BPM．（ 　两直线平行，内错角相等　 ） ∵AB∥CD．（已知） ∴PM∥CD．（ 　平行于同一条直线的两条直线互相平行　 ） ∴∠D＝∠DPM．（ 　两直线平行，内错角相等　 ） ∵∠BPM+∠DPM＝∠BPD．（角的和差定义） ∴∠B+　∠D ＝∠BPD．（等量代换） 【方法应用】 （2）如图2，若AB∥CD，∠BEP＝150°，∠PFD＝128°，则∠EPF＝ 　82　 °； 【变式探究】 （3）如图3，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有什么数量关系？请说明理由； 【拓展延伸】 （4）如图4，若∠EPF＝98°，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点Q，则∠Q＝ 　131　 °． 【解答】解：（1）如图，过P作PM∥AB， ∵PM∥AB，（辅助线的作法） ∴∠B＝∠BPM，（两直线平行，内错角相等） ∵AB∥CD，（已知） ∴PM∥CD，（平行于同一条直线的两条直线互相平行） ∴∠D＝∠DPM，（两直线平行，内错角相等） ∵∠BPM+∠DPM＝∠BPD，（角的和差定义） ∴∠B+∠D＝∠BPD．（等量代换） 故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；∠D； （2）过点P作PN∥AB（点N在点P的右侧），如图2所示： ∴∠EPN+∠BEP＝180°， ∵∠BEP＝150°， ∴∠EPN＝180°﹣∠BEP＝30°， ∵AB∥CD， ∴PN∥CD， ∴∠FPN+∠PFD＝180°， ∵∠PFD＝128°， ∴∠FPN＝180°﹣∠PFD＝52°， ∴∠EPF＝∠EPN+∠FPN＝30°+52°＝82°， 故答案为：82； （3）∠PEA，∠PFC，∠EPF之间的数量关系是：∠PFC﹣∠PEA＝∠EPF；理由如下： 过点P作PH∥AB（点H在点P的右侧），如图3所示： ∴∠HPE＝∠PEA， ∵AB∥CD， ∴PH∥CD， ∴∠HPF＝∠PFC， ∴∠EPF＝∠HPF﹣∠HPE＝∠PFC﹣∠PEA， 即∠PEA，∠PFC，∠EPF之间的数量关系是：∠PFC﹣∠PEA＝∠EPF； （4）∵∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点Q， ∴设∠AEQ＝∠PEQ＝α，∠CFQ＝∠PFQ＝β， ∴∠AEP＝2α，∠CFP＝2β， ∴∠BEP＝180°﹣∠AEP＝180°﹣2α，∠DFP＝180°﹣∠CFP＝180°﹣2β， 由（1）的结论得：∠Q＝∠AEQ+∠CFQ＝α+β， ∠EPF＝∠BEP+∠DFP＝360°﹣2（α+β）， ∵∠EPF＝98°， ∴98°＝360°﹣2（α+β）， 解得：α+β＝131°， ∴∠Q＝α+β＝131°， 故答案为：131． 7．在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，何老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． （1）路灯维护工程车的工作示意图如图①，工作篮底部与支撑平台平行，已知∠1＝32°，则∠2+∠3＝　212　 °； （2）一种路灯的示意图如图②所示，其底部支架AB与吊线FG平行，灯杆CD与底部支架AB所成锐角α＝15°，顶部支架EF与灯杆CD所成锐角β＝45°，求EF与FG所成锐角∠EFG的度数． 【解答】解：（1）如图所示， ∵∠1＝32°， ∴∠COM＝180°﹣32°＝148°． ∵AB∥CD，CD∥MN， ∴∠3+∠HCD＝180°，∠COM+∠OCD＝180°． 又∵∠HCD+∠OCD＝∠2， ∴∠3+∠2+∠COM＝360°， ∴∠2+∠3＝360°﹣148°＝212°． 故答案为：212； （2）延长FG交AB于点M， ∵α＝15°，β＝45° ∴∠MBE＝α＝15°，∠MEB＝β＝45°， ∴∠NME＝∠MBE+∠MEB＝60°． ∵AB∥FG， ∴∠EFG＝∠NME＝60°． 8．2025年11月2日，人形机器人“夸父”成为全运会历史上首个人形机器人火炬手．如图是“夸父”在传递火炬时某瞬间的姿势及其平面示意图．其中，∠GHN：∠FGE＝2：1，∠HGF＝140°，GE∥MN． （1）求∠GHM的度数； （2）若GH∥DE，∠ABC＝150°，∠BCE＝68°，∠GEC＝118°，求证：GH∥AB． 【解答】（1）解：设∠FGE＝α，∠GHN＝2α， 则∠EGH＝∠HGF﹣∠FGE＝140°﹣α， ∵GE∥MN， ∴∠GHM＝∠EGH，∠EGH+∠GHN＝180°， ∴∠EGH+∠GHN＝140°﹣α+2α＝180°， 解得α＝40°， ∴∠GHM＝∠EGH＝140°﹣α＝140°﹣40°＝100°； （2）证明：如图，过点C作直线QC∥AB， ∵QC∥AB，∠ABC＝150°， ∴∠QCB＝180°﹣150°＝30°， ∴∠QCE＝∠BCE﹣∠QCB＝68°﹣30°＝38°， ∵GH∥DE， ∴∠DEG＝∠EGH＝100°， ∴∠DEC＝360°﹣∠DEG﹣∠GEC＝360°﹣100°﹣118°＝142°， ∵∠QCE+∠DEC＝38°+142°＝180°， ∴QC∥DE， 又∵QC∥AB，H∥DE， ∴GH∥AB． 9．2025年央视春节联欢晚会上，一群穿着花棉袄的人形机器人科技感爆棚．这个《秧BOT》节目中的机器人名为H1，将传统文化与尖端技术融为一体，不仅展现了极高的艺术表现力，更体现了中国在机器人技术领域的重大突破． 【提出问题】 图①是H1练习时的侧面示意图，上身AB与地面呈垂直状态，脚面DE呈水平状态，此时∠ABC＝150°，∠CDE＝45°，则∠BCD的度数是多少？ 【思考过程】 依靠图中现有的线无法解决该问题，因此，需要添加辅助线构造新的图形． 【问题解决】 解：如图②，过点B作BM∥DE，过点C作CN∥DE，则∠ABM＝90°． 因为∠ABC＝150°，∠ABM＝90°， 所以∠MBC＝60°， 因为BM∥DE，CN∥DE， 根据　平行于同一条直线的两条直线平行　 （1）， 所以BM∥CN， 根据　两直线平行，内错角相等　 （2）， 所以∠BCN＝∠MBC＝60°； 因为CN∥DE， 所以　∠NCD （3）＝∠CDE＝45°， 所以∠BCD＝∠BCN+∠NCD＝　105°　 （4）． 【迁移应用】 如图③，在一款手推车的平面示意图中CD∥EF． （1）若∠C＝20°，∠EGC＝70°，则∠E＝　130　 °； （2）写出∠C，∠E，∠EGC之间的数量关系，并说明理由． 【拓展提高】 如图④，AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，点P是线段EF上的一点，PM⊥PN，MH平分∠AMP，NH平分∠PNF，则∠MHN＝　135　 °． 【解答】【问题解决】 解：如图②，过点B作BM∥DE，过点C作CN∥DE，则∠ABM＝90°， 因为∠ABC＝150°，∠ABM＝90°， 所以∠MBC＝60°， 因为BM∥DE，CN∥DE， 根据平行于同一条直线的两条直线平行（1）， 所以BM∥CN， 根据两直线平行，内错角相等（2）， 所以∠BCN＝∠MBC＝60°， 因为CN∥DE， 所以∠NCD（3）＝∠CDE＝45°， 所以∠BCD＝∠BCN+∠NCD＝105°（4）； 故答案为：（1）平行于同一条直线的两条直线平行， （2）两直线平行，内错角相等， （3）∠NCD， （4）105°； 【迁移应用】（1）如图③，过G作GM∥EF， ∵EF∥CD， ∴GM∥CD， ∴∠MGC＝∠C＝20°，． ∵∠EGC＝70°， ∴∠EGM＝∠EGC﹣∠MGC＝50°， ∵GM∥EF， ∴∠E＝180°﹣∠EGM， ∴∠E＝130°， 故答案为：130； （2）数量关系为∠E+∠EGC＝180°+∠C，理由如下： 如图③，过G作GM∥EF， ∵GM∥EF，CD∥EF， ∴GM∥CD， ∴∠CGM＝∠C， ∵EF∥GM， ∴∠EGM+∠E＝180°， ∴∠EGM+∠CGM+∠E＝180°+∠C， ∵∠EGC＝∠EGM+∠CGM， ∴∠E+∠EGC＝180°+∠C； 【拓展提高】 如图④，作PG∥AB，HK∥AB， ∵MH平分∠AMP，NH平分∠PNF， ∴令∠HMA＝∠HNP＝α，∠HMP＝∠HMD＝β， 由（1）可得∠PMB+∠PNF＝90°， 同理∠MHN＝∠HMB+∠HND， ∴180°﹣2α+2β＝90°， ∴α﹣β＝45°， ∴∠MHN＝β+180°﹣α ＝180°﹣（α﹣β） ＝180°﹣45° ＝135°． 故答案为：135． 考点八、垂直 1．如图，直线l表示一段河道，点P表示水池，现要从河l向水池P引水，设计了四条水渠开挖路线PA，PB，PC，PD，其中PB⊥l，要使挖渠的路线最短，可以选择的路线是（　　） A．PA B．PB C．PC D．PD 【解答】解：∵在PA，PB，PC，PD四条路线中只有PB⊥l， ∴垂线段PB最短，即要使挖渠的路线最短，可以选择的路线是PB． 故选：B． 2．投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线l上的点A，B，C，D处往点P处的壶内投箭矢，小明认为站在点C处的投壶者最近会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（　　） A．垂线段最短 B．线段可以度量 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 【解答】解：站在点C处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是垂线段最短， 故选：A． 3．如图，已知A、B、C是直线l上的三点，点P是直线l外一点，若PB⊥l，PA＝5，PC＝7，则下列各数中可能是点P到直线l的距离的是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【解答】解：∵PB⊥l， ∴PB＜PA＝5， ∴可能是点P到直线l的距离的是4． 故选：A． 4．如图，点A，B在直线l上，点P在直线l外，连接PA，PB，若PA＝3，PB＝5，则点P到直线l的距离可能是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：∵直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，且垂线段最短， ∴P到直线l的距离小于3， ∴点P到直线l的距离可能是2． 故选：A． 5．已知C、D、E三点在直线AB上，P为直线AB外一点，PC＝1，PD＝2，PE＝3，则点P到直线AB的距离（　　） A．小于1 B．不小于1 C．大于1 D．不大于1 【解答】解：∵垂线段最短， ∴点P到直线AB的距离不大于PC、PD、PE， 又∵PC＝1，PD＝2，PE＝3， ∴点P到直线AB的距离不大于1， 故选：D． 6．如图，AC⊥BC，C为垂足，CD⊥AB，D为垂足，BC＝8，CD＝4.8，AC＝6，那么点C到AB的距离是 　4.8　 ． 【解答】解：∵CD⊥AB，CD＝4.8， ∴点C到AB的距离是4.8， 故答案为：4.8． 第九章 二元一次方程组 考点一、二元一次方程及其解法 1．下列方程中，属于二元一次方程的是（　　） A．x+y2＝1 B． C．2x+3y＝5 D．xy＝3【解答】解：二元一次方程需满足：①含两个未知数；②未知数最高次数为1；③整式方程． A、（0≤x≤1，﹣1≤y≤1），y的次数为2，不符合题意； B、，含分式，不是整式方程，不符合题意； C、2x+3y＝5，含两个未知数，未知数次数均为1，是整式方程，符合题意； D、xy＝3，xy项次数为2，不符合题意． 故选：C． 2．已知x2m﹣1﹣3y4﹣2n＝﹣7是关于x，y的二元一次方程，则m﹣n的值是（　　） A．2 B． C． D． 【解答】解：根据题意得2m﹣1＝1，4﹣2n＝1，‘ 解得m＝1，n， ∴m﹣n＝1， 故选：D． 3．（m﹣3）x+2y|m﹣2|+6＝0是关于x，y的二元一次方程，则m＝　1　 ． 【解答】解：∵（m﹣3）x+2y|m﹣2|+6＝0是关于x，y的二元一次方程， ∴|m﹣2|＝1且m﹣3≠0， 解得m＝1， 故答案为：1． 4．方程组是关于x，y的二元一次方程组，则代数式b+c的值是 　﹣5　 ． 【解答】解：由二元一次方程组的概念，得 c+3＝0，b+3＝1， 解得c＝﹣3，b＝﹣2， 所以b+c＝﹣2﹣3＝﹣5． 故答案为：﹣5． 考点二、二元一次方程的解 1．在“班级原创数学题目”比赛中，四个数学小组设计出了四个方程组，其中以为解的二元一次方程组是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、解方程组得，不符合题意； B、解方程组得，符合题意； C、解方程组得，不符合题意； D、解方程组得，不符合题意； 故选：B． 2．已知是二元一次方程组的解，则m﹣n的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：把代入方程组，得， 解得：m＝1，n＝﹣3， ∴m﹣n＝1﹣（﹣3）＝1+3＝4． 故选：D． 3．李明解出方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数▲和■，则两个数▲和■分别为（　　） A．10，4 B．4，10 C．3，10 D．10，3 【解答】解：∵方程组的解为， ∴把x＝6代入2x+y＝16中，得：2×6+y＝16，解得：y＝4， ∴■＝4， ∴x+y＝6+4＝10， ∴▲＝10． 故选：A． 4．用代入法解方程组时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是（　　） A．2x﹣3x﹣6＝4 B．2x+3x﹣2＝4 C．2x﹣3x+6＝4 D．2x+3x﹣6＝4 【解答】解：将①代入②得， 2x﹣3（﹣x+2）＝4， 去括号得：2x+3x﹣6＝4， 故选：D． 5．用加减消元法解二元一次方程组时，下列做法中无法消元的是（　　） A．①×2+② B．①×5﹣②×3 C．①×3﹣②×5 D．①×（﹣5）+②×3 【解答】解：A、①×2+②得11x＝25，能消元，故本选项不符合题意； B、①×5﹣②×3得﹣11y＝﹣20，能消元，故本选项不符合题意； C、①×3﹣②×5得﹣16x﹣13y＝﹣60，不能消元，故本选项符合题意； D、①×（﹣5）+②×3得11y＝20，能消元，故本选项不符合题意． 故选：C． 考点三、整体求解 1．已知二元一次方程组，则m+n的值是（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．0 D．4 【解答】解：， ①﹣②得，2m﹣m﹣n+2n＝3﹣7， 解得：m+n＝﹣4． 故选：A． 2．已知方程组，则x﹣y等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：， ①+②得：3x+x﹣y﹣3y＝12﹣4， 4x﹣4y＝8， ∴x﹣y＝2， 故选：B． 3．若方程组的解中x+y＝16，则k等于（　　） A．15 B．18 C．16 D．17 【解答】解：由题意得， ①+③得：4x＝4k+11④， ①×6+②得：20x＝25k﹣30，即4x＝5k﹣6⑤， ⑤﹣④得：k＝17， 故选：D． 4．已知关于x，y的方程组中，x+3y＝2，则m的值为（　　） A．6 B．2 C．﹣6 D．﹣2 【解答】解：原方程组的两个方程作差可得x+3y＝﹣m﹣4＝2， 解得：m＝﹣6， 故选：C． 5．若方程组的解是，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵方程组的解是， ∴方程组的解为：， 解得， 故选：C． 6．已知方程组的解是，现给出另个方程组，则它的解是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵方程组的解是， ∴由可得， 解得：， 故选：D． 考点四、整数解问题 1、已知关于x，y的二元一次方程组的解x，y均为整数，则符合条件的整数k的值有（　　）个． A．4 B．5 C．6 D．8 【解答】解：， ②×3，得6x+3y＝﹣6③， ①﹣③，得（k﹣6）x＝8， 解得：， ∵x，y均为整数， ∴k﹣6必须是8的因数，8的因数有：±1，±2，±4，±8共8个， ∴k＝6±1，k＝6±2，k＝6±4，k＝±8， ∴k＝7，5，8，4，10，2，14，﹣2共8个． 故选：D． 2．已知关于x，y的二元一次方程组有正整数解，其中k为整数，则k2﹣1的值为（　　） A．﹣2 B．3 C．﹣2或4 D．3或15 【解答】解：， ①+②得：， 把代入②得：， ∵关于x，y的二元一次方程组有正整数解，其中k为整数， ∴k+3＝1或7， 解得：k＝﹣2或4， 当k＝﹣2时，k2﹣1＝（﹣2）2﹣1＝4﹣1＝3； 当k＝4时，k2﹣1＝42﹣1＝15， ∴k2﹣1的值为3或15， 故选：D． 考点五、同解问题 1．已知方程组和方程组的解相同，求（2a+b）2024的值． 【解答】解：∵方程组和方程组的解相同， ∴， 解得：， 则2a+2b＝﹣4，2b﹣2a＝﹣8， 即， 解得：， 则（2a+b）2024＝（2﹣3）2024＝1． 2．已知方程组和方程组的解相同，求（2a+b）2025的值． 【解答】解：∵方程组和方程组的解相同， ∴， 解得：， 将代入得， 解得：， ∴（2a+b）2025＝（2×1﹣3）2025＝﹣1． 3．已知方程组的解和方程组的解相同，求（2a+b）2024的值． 【解答】解：联立得：， ①+②得：5x＝10，即x＝2， 把x＝2代入①得：y＝﹣2， ， 解得：a＝1，b＝﹣3， 则原式＝（2﹣3）2024＝1． 考点六、马虎问题 1．两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得．则a，b，c正确的值应为（　　） A．a＝﹣3，b＝﹣1，c＝12 B．a＝﹣3，b＝﹣1，c＝﹣12 C．a＝3，b＝﹣1，c＝﹣12 D．a＝3，b＝﹣1，c＝12 【解答】解：将代入原方程组， 得，， 将代入ax+by＝4， 得4a+8b＝4， a+2b＝1， 则， 解得：， 综上，a＝3，b＝﹣1，c＝12． 故选：D． 2．两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得，则a，b，c正确的值应为（　　） A．a＝﹣3，b＝﹣1，c＝﹣5 B．a＝1，b＝﹣1，c＝﹣10 C．a＝2，b＝﹣4，c＝﹣10 D．a＝3，b＝1，c＝﹣10 【解答】解：把代入方程组得： 把代入ax+by＝2得：﹣3a﹣2b＝2， 把含a，b的方程联立方程组得， 解得：， 由﹣c﹣7＝3，得到c＝﹣10， 故选：C． 3．已知关于x、y的方程组，甲同学看错了字母a解得；乙同学看错了字母b解得，则该方程的解为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意可知，将代入2x+by＝5， 得4+b＝5， 解得：b＝1， 同理可求得a＝5， 将a＝5，b＝1代入原方程组， 得， 解得：， ∴原方程组正确的解是． 故选：B． 考点七、配套问题 1．工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产大小齿轮，该车间有工人85人，其中女生人数比男生人数的2倍少8人，每个工人平均每天可以生产大齿轮16个或者小齿轮10个． （1）请问该车间有男生、女生各多少人？ （2）已知2个大齿轮与3个小齿轮配套，为了使每天生产的大小齿轮恰好配套，应该分配多少工人负责生产大齿轮，多少工人负责生产小齿轮？【解答】解：（1）设该车间有男生x人，有女生y人， 根据题意得：， 解得：， 答：该车间有男生31人，女生54人； （2）设应该分配m名工人负责生产大齿轮，则分配（85﹣m）名工人负责生产小齿轮， 根据题意得：3×16m＝2×10（85﹣m）， 解得：m＝25， ∴85﹣m＝60， 答：应该分配25名工人负责生产大齿轮，60名工人负责生产小齿轮． 2．半期考试后，李老师准备从某玩具厂定制一批盲盒作为礼物奖励学生．玩具厂用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成这批盲盒，一个盲盒搭配3个玩偶A和2个玩偶B．已知每米布料可做2个玩偶A或1个玩偶B，现计划用128米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（　　） A． B． C． D．【解答】解：已知用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，布料总长度为128米，所以x+y＝128， 每米布料可做2个玩偶A，则x米布料可做2x个玩偶A；每米布料可做1个玩偶B，则y米布料可做y个玩偶B， 因为一个盲盒搭配3个玩偶A和2个玩偶B，要恰好配套，则， 所以可列方程组， 故选：A． 考点八、和差倍分问题 1．《算学启蒙》是中国古代重要的著作，书中记载：今有军士分甲，人分五领，少十领；人分四领，多二领，问军士、甲各几何？题目大意：今有士兵分铠甲，如果每人分5领，则缺少10领；如果每人分4领，则多出2领．问士兵和铠甲各有多少？设士兵有x人，铠甲有y领，则所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意可得方程组为． 故选：A． 2．古代一歌谣：栖树一群鸦，鸦树不知数：三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．请你动脑筋，鸦树各几何？若设乌鸦有x只，树有y棵，由题意可列方程组（　　） A． B． C． D． 【解答】解：依题意，得：． 故选：D． 3．我国明代数学家程大位所著《算法统宗》中记载了一道有趣的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”题目大意是：100个和尚分100个馒头，刚好分完．大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分一个馒头．问大、小和尚各有多少人？若大和尚有x人，小和尚有y人．则下列方程或方程组中，正确的有（　　） ①； ②； ③3x（100﹣x）＝100； ④y+3（100﹣y）＝100． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【解答】解：设大和尚有x人，小和尚有y人， 依题意，得：； ∴y＝100﹣x，或x＝100﹣y． ∴3x（100﹣x）＝100或y+3（100﹣y）＝100． ∴②③④正确． 故选：D． 考点九、销售问题 1．春节期间，小李购进一批玩具进行销售，其中A，B两种畅销玩具的进价分别为8元和12元，销售2件A种玩具和3件B种玩具可获利润78元．若A种玩具降价4元，B种玩具打8折销售，则销售3件A种玩具与销售2件B种玩具获得的利润相同，求A，B两种玩具原来的售价分别为多少． 【解答】解：设A种玩具原来的售价为每件x元，B种玩具原来的售价为每件为y元， 根据题意得：， 解得：， 答：A种玩具原来的售价为每件20元，B种玩具原来的售价为每件为30元． 2．某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，甲种商品的每件进价比乙种商品的每件进价少30元．若购进甲种商品4件，乙种商品5件，需要870元． （1）求甲、乙两种商品的每件进价分别是多少元？ （2）该商场从厂家购进了甲、乙两种商品共50件，所用资金恰好为4600元．在销售时，甲种商品的每件售价为100元，要使得这50件商品卖出后获利25%． ①求甲、乙两种商品各多少件？ ②求出乙种商品的每件售价为多少元？ 【解答】解：（1）设甲种商品的每件进价为x元， 由题意得：4x+5（x+30）＝870， 解得x＝80（元）， 则x+30＝80+30＝110（元）， 答：甲种商品的每件进价为80元，乙种商品的每件进价为110元； （2）①设购进甲种商品y件， 由题意得：80y+110（50﹣y）＝4600， 解得：y＝30， ∴50﹣y＝20， ∴进甲种商品30件，则乙种商品为20件； ②设乙种商品的每件售价为z元， 由题意得：30×（100﹣80）+20（z﹣110）＝4600×25%， 解得z＝137.5（元）． 答：乙种商品的每件售价为137.5元． 考点十、行程问题 1．小明从家骑车到学校有一段平路和一段上坡路．在平路、上坡路和下坡路上，他踦车的速度分别为12km/h、10km/h、15km/h．他骑车从家到学校需要40分钟；骑车从学校回家需要30分钟．设小明从家到学校的平路有xkm，上坡路有ykm，则依题意所列的方程组是（　　） A． B． C． D．【解答】解：依据题意得，小明骑车在平路所需的时间为小时，上坡路所需的时间为，下坡路所需的时间为， 则上学共需时间为小时，放学回家共需的时间为小时， 40分钟小时，30分钟小时， 可列出方程组为． 故选：A． 2．小明和小伟分别从A、B两地同时出发，小明骑自行车，小伟步行，沿同一道路相向匀速而行，出发24分钟后两人相遇．相遇时小明比小伟多行进4.8千米，相遇后6分钟小明到达B地．则A、B两地间的距离为（　　） A．8千米 B．12千米 C．6千米 D．9千米 【解答】解：设小明骑自行车的速度为x千米/分，小伟步行的速度为y千米/分， 则根据题意列二元一次方程得，， 解得， ∴（千米）， 即A、B两地间的距离为8千米， 故选：A． 考点十一、行程问题 1．如图，某工厂与A、B两地有公路、铁路相连．这家工厂近期从A地购买一批原料运回工厂，制成的产品再全部运到B地．已知公路的运价为2元/（吨•千米），铁路的运价为1.5元/（吨•千米），且这两次运输共支出公路运费48000元，铁路运费207000元． 求从A地购买的原料和运到B地的产品各多少吨？ 【解答】解：设从A地购买的原料为a吨和运到B地的产品为b吨， 由题意可得，， 解得， 答：从A地购买的原料为600吨和运到B地的产品为400吨； 2．一批蔬菜要运往某批发市场，菜农准备租用汽车公司的甲、乙两种货车．已知过去两次租用这两种货车的记录如下表： 甲种货（辆） 乙种货（辆） 总量（吨） 第一次 4 5 28.5 第二次 3 6 27 这批蔬菜需租用5辆甲种货车、2辆乙种货车刚好一次运完，如果每吨付20元运费，问菜农应付运费多少元？ 【解答】解：设甲种货车每辆每次运送货物x吨，乙种货车每辆每次运送货物y吨， 由题意得，， 解得：， 则这次共运蔬菜为：5×4+2×2.5＝25（吨）， 运费为：25×20＝500（元）． 答：菜农应付运费500元． 考点十二、几何图形问题 1．有8张形状、大小完全相同的小长方形卡片，将它们按如图所示的方式（不重叠）放置在大长方形ABCD中，根据图中标出的数据，阴影部分的总面积是（　　） A．72 B．68 C．65 D．60 【解答】解：设小长方形卡片的长为x，宽为y， 根据题意得：， 解得：， ∴阴影部分的总面积为：29（9+3y）﹣8xy＝29（9+3×4）﹣8×17×4＝65， 故选：C． 考点十三、工程问题 1．“天无三日晴，地无三里平”是一句形容贵州中部地区自然环境的谚语．某工程队在一次高速公路修建过程中，晴天每天修建260m，雨天每天修建120m，他们连续修建了1480m，平均每天修建148m，那么这几天中有几天雨天（　　） A．4天 B．6天 C．8天 D．10天 【解答】解：设这几天中有x天晴天，y天雨天， 根据题意得：， 解得：， ∴这几天中有8天雨天． 故选：C． 2．某工厂承接了一批加工任务，要求在规定时间内完成．如果每天加工120个零件，那么在规定时间内只能完成任务的90%；如果每天加工150个零件，那么可提前1天完成任务，且多加工50个零件．求规定的时间和这批零件的总数． 【解答】解：设规定的时间为t天，这批零件的总数为m个， 依题意列二元一次方程组得： 解得． 即规定的时间为12天，这批零件的总数为1600个， 答：规定的时间为12天，这批零件的总数为1600个． 考点十四、方案问题 1．某学校组织爱心义卖，七（1）班选定一家商店采购钥匙扣和玩偶两种商品，钥匙扣每个4元，玩偶每个2元．为支持爱心事业，该商店推出两种优惠方案： 方案一 购买钥匙扣超过30个时，超过部分享受八折优惠 方案二 购买玩偶满50个时，立减10元 （1）若班委购买了钥匙扣和玩偶共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元，则班委购买了钥匙扣和玩偶各多少个？ （2）现有班费266元全部用于购买商品，且同时享受两种优惠方案，请通过计算，求出所有的购买方案．【解答】解：（1）设班委购买了钥匙扣x个、玩偶y个， 由题意得：， 解得：， 答：班委购买了钥匙扣50个、玩偶30个； （2）设购买钥匙扣a（a＞30）个、玩偶b（b≥50）个， 由题意得：4×30+3.2（a﹣30）+2b﹣10＝266， ∴， ∵a、b是正整数，且a＞30，b≥50， ∴ 或 或 ， ∴共有以下3种购买方案： 方案1：购买钥匙扣35个、玩偶70个； 方案2：购买钥匙扣40个、玩偶62个； 方案3：购买钥匙扣45个、玩偶54个． 考点十五、其他问题 1．笑笑完成一套共10题的小测卷，满分100分，答对一题记作+10分，答错或不答一题记作﹣5分．若笑笑最后的得分是40分，则笑笑最后答对了的题目有（　　） A．7道 B．6道 C．5道 D．4道 【解答】解：设笑笑答对了x道题，答错或不答的题数为y道， 根据题意可得， 解得：， ∴笑笑答对了6道题， 故选：B． 2．有一个两位数，个位数字比十位数字小2，如果把这两个数字的位置对换，所得新数与原数的和为154，则原来两位数为 　86　 ． 【解答】解：设这个两位数的个位数字是x，十位数字是y， 由题意得， ， 解得， ∴原来的两位数为：10y+x＝10×8+6＝86． 故答案为：86． 3．甲对乙说：“当我岁数是你现在的岁数时，你才4岁．”乙对甲说：“当我的岁数是你现在岁数时，你61岁．”则乙现在为 　23　 岁． 【解答】解：设甲现在x岁，乙现在y岁， 依题意，得：， 解得：． 故答案为：23． 4．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方．三阶幻方又名九宫格，是一种将9个数字（数字不重复使用）安排在三行三列正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等．图2三阶幻方中填写了一些数和字母，则x+y＝（　　） A．﹣3 B．﹣13 C．3 D．13 【解答】解：由题意得：， 解得：， ∴x+y＝﹣5﹣8＝﹣13， 故选：B． 第十章 整式的乘法和除法 考点一、同底数幂的乘法 同底数幂相乘，底数不变，指数相加.即(m、n为正整数). 1．计算的结果是（　A　） A．23+n B．23n C．28n D．28+n 【解答】解：原式＝2n×8 ＝2n×23 ＝23+n， 故选：A． 2．若a，b是正整数，且满足2a+2a+2a+2a＝2b•2b，则下列a与b的关系正确的是（　　） A．a＝b B．a+2＝2b C．a+1＝b2 D．4a＝b 【解答】解：根据同底数幂相等则指数相等的性质化简等式可得：4×2a＝2b+b， ∵4＝22， ∴22×2a＝22b， ∴2a+2＝22b， ∴a+2＝2b． 故选：B． 3．阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22013的值． 解：设S＝1+2+22+23+24+…+22012+22013， 将等式两边同时乘2得：2S＝2+22+23+24+25+…+22013+22014， 将下式减去上式得：2S﹣S＝22014﹣1， 即S＝22014﹣1， 即1+2+22+23+24+…+22013＝22014﹣1． 请你仿照此法计算： （1）1+2+22+23+24+…+22024； （2）1+3+32+32+34+…+3n （其中n为正整数）． 解答：（1）设S＝1+2+22+23+24+…+22024， 将等式两边同时乘2得：2S＝2+22+23+24+…+22025， 将下式减去上式得：2S﹣S＝22025﹣1， 即S＝22025﹣1，即1+2+22+23+24+…+22024＝22025﹣1； （2）设S＝1+3+32+32+34+…+3n， 将等式两边同时乘3得：3S＝3+32+32+34+…+3n+1， 将下式减去上式得：3S﹣S＝3n+1﹣1， 即2S＝3n+1﹣1，则S，即1+3+32+32+34+…+3n． 考点二、积的乘方 即积的乘方等于各因数乘方的积。即 (m为正整数). 1．计算的结果是（　　） A． B． C．1 D．2 【解答】解： ． 故选：B． 2、【解答】解：原式＝（4×5）20 ＝420×520 ＝（45）4×（54）5 ＝a4b5． 故答案为：a4b5． 2．若a＝45，b＝54，试用含a，b的代数式表示2020＝a4b5 ． 考点三、幂的乘方 幂的乘方，底数不变，指数相乘. 即(其中m、n都是正整数). 1．已知a＝255，b＝344，c＝433，把a，b，c从小到大排列a＜c＜b ．（用“＜”连接） 【解答】解：根据幂的性质将原式都变为指数相同的数可得： a＝255＝（25）11＝3211， b＝344＝（34）11＝8111， c＝433＝（43）11＝6411， ∴a＜c＜b． 故答案为：a＜c＜b． 2．若9m＝27n，则m与n满足的数量关系为　2m＝3n ． 【解答】解：根据题意可知，9m＝（32）m＝32m＝27n＝（33）n＝33n， ∴32m＝33n， ∴2m＝3n． 故答案为：2m＝3n． 考点四、同底数幂的除法 同底数的幂相除，底数不变，指数相减，即 .（a≠0，m、n为正整数，且m＞n） 1．已知：x﹣y﹣4＝0，则2x÷2y＝　16　 ． 【解答】解：∵x﹣y﹣4＝0， ∴x﹣y＝4， ∴2x÷2y＝2x﹣y＝24＝16， 故答案为：16． 2、【解答】解：根据题意可知，x﹣y＝3， ∴． 故答案为：64． 2．若x﹣y﹣3＝0，则　64　 ． 考点五、幂的运算 1、零指数幂：任何不等于零的数的0次幂等于1，即（a≠0） 2、负整数指数幂：不等于零的数的-p（p是正整数）次幂等于这个数的p次幂的倒数，，即 （a≠0，p是正整数）. 1．阅读材料：①1的任何次幂都等于1；②﹣1的奇数次幂都等于﹣1；③﹣1的偶数次幂都等于1；④任何不等于零的数的零次幂都等于1，试根据以上材料探索使等式：（3﹣2x）x+2020＝1成立的x的值为 　1或2或﹣2020　 ． 【解答】解：①当3﹣2x＝1时，解得：x＝1，此时x+2020＝2021，则（3﹣2x）x+2020＝12021＝1，所以x＝1． ②当3﹣2x＝﹣1时，解得：x＝2，此时x+2020＝2022，则（3﹣2x）x+2020＝（﹣1）2022＝1，所以x＝2． ③当x+2020＝0时，x＝﹣2020，此时3﹣2x＝﹣4037，则（3﹣2x）x+2020＝（﹣4037）0＝1，所以x＝﹣4037． 综上所述，当x＝1，或x＝2，或x＝﹣2020时，代数式（3﹣2x）x+2020的值为1． 故答案为：1或2或﹣2020． 2．若a＝3﹣2，b＝﹣32，，，则它们的大小关系是（　　） A．a＜b＜c＜d B．b＜a＜d＜c C．c＜a＜d＜b D．d＜a＜c＜b【解答】解：根据题意可知，a＝3﹣2，b＝﹣32＝﹣9，9，1， 又∵， ∴b＜a＜d＜c． 故选：B． 考点六、科学计数法 一绝对值小于1的非零数可以记作的形式，其中1≤＜10。n是正整数。这种科学计数法，是绝对值小于1的非零数的科学记数法。 1．世界上几乎所有的生物都是由细胞组成的，科学家发现，一个细胞的平均质量约为0.0000000035克．用科学记数法表示0.0000000035正确的是（　　） A．3.5×109 B．0.35×10﹣8 C．3.5×10﹣10 D．3.5×10﹣9 【解答】解：0.0000000035＝3.5×10﹣9． 故选：D． 2．面对国外对芯片技术的垄断，我国科学家奋起直追，2020年11月26号，上海微电子宣布由我国独立研发的光刻机为光源完成了22nm的光刻水准，1nm＝1.0×10﹣9m，用科学记数法表示22nm，则正确的结果是（　　） A．22×10﹣9m B．22×10﹣8m C．2.2×10﹣8m D．2.2×10﹣10m 【解答】解：22nm＝22×10﹣9m＝2.2×10﹣8m． 故选：C． 考点七、单项式的乘法 1、 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。 2、单项式与多项式相乘，先将单项式分别乘多项式的各项，再把所得的积相加. 即m(a+b+c)=ma+mb+mc. 1．若（　　）•（﹣x2y）＝4x4y2，则括号里应填的单项式是（　　） A．﹣4x2y B．4x2y C．﹣4x6y3 D．4x6y3 【解答】解：4x4y2÷（﹣x2y）＝﹣4x2y． 故选：A． 2．已知单项式3x2y3与﹣2xy2的积为mx3yn，则m﹣n＝　﹣11　 ． 【解答】解：（3x2y3）•（﹣2xy2）＝﹣6x3y5， ∵单项式3x2y3与﹣2xy2的积为mx3yn， ∴m＝﹣6，n＝5， ∴m﹣n＝﹣6﹣5＝﹣11． 故答案为：﹣11． 3．已知单项式M，N满足3x（M﹣5x）＝6x2y2+N，则MN＝（　　） A．﹣30x3y2 B．﹣30x2y3 C．﹣15x2y2 D．﹣15x3y3【解答】解：∵3x•（M﹣5x）＝3Mx﹣15x2＝6x2y2+N， ∴M＝2xy2，N＝﹣15x2， ∴M•N＝﹣30x3y2． 故选：A． 4．一个长方体的长，宽，高分别是2a，a2，（3a+1），这个长方体的体积是（　　） A．6a2+2 B．6a3+2a C．6a4+2a2 D．6a4+2a3 【解答】解：∵长方体的体积＝长×宽×高； ∴长方体的体积＝2a×a2×（3a+1） ＝2a3×（3a+1） ＝6a4+2a3； 故选：D． 5．已知x2+2x﹣1＝0，则代数式4x（x+1）﹣2x2﹣3的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5 【解答】解：根据题意可知，x2+2x＝1， ∴原式＝4x2+4x﹣2x2﹣3 ＝2x2+4x﹣3 ＝2（x2+2x）﹣3 ＝2×1﹣3 ＝﹣1． 故选：B． 考点八、多项式的乘法 1．若（y+4）（y﹣3）＝y2+my+n，则m，n的值分别为（　　） A．m＝1，n＝﹣12 B．m＝7，n＝12 C．m＝1，n＝12 D．m＝7，n＝﹣12 【解答】解：（y+4）（y﹣3） ＝y2﹣3y+4y﹣12 ＝y2+y﹣12 ＝y2+my+n， 则m＝1，n＝﹣12， 故选：A． 2．已知M＝（a+1）（a2+a+1），N＝（a﹣1）（a2﹣a+1），那么M与N的大小关系是（　　） A．M＞N B．M＜N C．M≥N D．M≤N 【解答】解：∵M＝（a+1）（a2﹣a+1），N＝（a﹣1）（a2+a+1）， ∴M﹣N＝（a+1）（a2﹣a+1）﹣（a﹣1）（a2+a+1） ＝（a3﹣a2+a+a2﹣a+1）﹣（a3+a2+a﹣a2﹣a﹣1） ＝a3﹣a2+a+a2﹣a+1﹣a3﹣a2﹣a+a2+a+1 ＝2＞0， ∴M＞N． 故选：A． 3．已知a﹣b＝5，ab＝3，则（a+1）（b﹣1）＝（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．2 【解答】解：∵a﹣b＝5，ab＝3， ∴（a+1）（b﹣1） ＝ab﹣a+b﹣1 ＝ab﹣（a﹣b）﹣1 ＝3﹣5﹣1 ＝﹣3． 故选：A． 4．已知多项式ax+b与2x2﹣x+1的乘积展开式中不含x的二次项，且常数项为2，则ab的值为（　　） A．1 B．4 C．8 D．16 【解答】解：∵（ax+b）（2x2﹣x+1）＝2ax3+（2b﹣a）x2+（a﹣b）x+b， ∴，解得：， ∴ab＝42＝16． 故选：D． 5．在计算（x+a）（x+b）时，甲错把b看成了6，得到结果x2+8x+12；乙错把a看成了﹣a，得到结果x2+x﹣6．你能正确计算（x+a）（x+b）吗？（a、b都是常数） 【解答】解：∵（x+a）（a+6）＝x2+（6+a）x+6a＝x2+8x+12， ∴6+a＝8， ∴a＝2； ∵（x﹣a）（x+b）＝x2+（b﹣a）x﹣ab＝x2+x﹣6， ∴b﹣a＝1， ∴b＝3， ∴（x+a）（a+b） ＝（x+2）（x+3） ＝x2+5x+6． 6．有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为2a+b、宽为a+3b的长方形，需要B类卡片（　　） A．5张 B．6张 C．7张 D．8张 【解答】解：长方形的面积为： （2a+b）（a+3b） ＝2a2+7ab+3b2， ∴需要B类卡片的张数为7ab÷（ab）＝7（张）． 故选：C． 7．回答下列问题： （1）计算： ①（x+2）（x+3）＝ x2+5x+6　 ； ②（x+2）（x﹣3）＝ x2﹣x﹣6　 ； ③（x﹣2）（x+3）＝ x2+x﹣6　 ． （2）总结公式（x+a）（x+b）＝x2+　（a+b）　 x+ab； （3）已知a，b，m均为整数，且（x+a）（x+b）＝x2+mx+7．求m的所有可能值． 【解答】解：（1）①（x+2）（x+3） ＝x2+2x+3x+6 ＝x2+5x+6． ②（x+2）（x﹣3） ＝x2﹣3x+2x﹣6 ＝x2﹣x﹣6． ③（x﹣2）（x+3） ＝x2+3x﹣2x﹣6 ＝x2+x﹣6． 故答案为：①x2+5x+6；②x2﹣x﹣6；③x2+x﹣6； （2）原式＝x2+ax+bx+ab＝x2+（a+b）x+ab． 故答案为：（a+b）； （3）∵（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab＝x2+mx+7， ∴m＝a+b，ab＝7， ∵a、b都是整数，7＝1×7＝（﹣1）×（﹣7）， ∴或或或， ∴m＝a+b＝1+7＝8或m＝a+b＝﹣1﹣7＝﹣8． 考点九、乘法公式 1、 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差。 即：（a+b）（a-b）=a2-b2 2、完全平方公式：两个数的和（差）的平方，等于这两个数的平方和加上（减去）它们乘积的2倍。即： (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2 = a2-2ab+b2 1．如图1，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图2所示的长方形．根据图形的变化过程可以验证等式（　　） A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．a（a+b）＝a2+ab C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）【解答】解：图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2， 拼成的图2是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b）， 所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故选：D． 2．已知m+n＝2，m﹣n＝3，则计算m2﹣n2的结果为　6　 ． 【解答】解：利用平方差公式将所求代数式因式分解可知： m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）＝2×3＝6． 故答案为：6． 3．计算：20262﹣20252＝（　　） A．1 B．206 C．4050 D．4051 【解答】解：原式＝（2026+2025）（2026﹣2025） ＝4051×1 ＝4051． 故选：D． 4．计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）得（　　） A．28﹣1 B．210﹣1 C．216﹣1 D．232﹣1 【解答】解：原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1） ＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1） ＝（24﹣1）（24+1）（28+1） ＝（28﹣1）（28+1） ＝216﹣1． 故选：C． 5．如图，把一个边长为a的正方形相邻两边增加b得到一个新的大正方形，则通过新的大正方形的面积表示可以得到等式（　　） A．2（a+b）＝2a+2b B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2 【解答】解：∵大正方形的面积：（a+b）2或a2+2ab+b2， ∴（a+b）2＝a2+2ab+b2． 故选：B． 6．已知a+b＝7，ab＝12，那么a2+b2＝（　　） A．19 B．25 C．31 D．73 【解答】解：完全平方公式移项可得a2+b2＝（a+b）2﹣2ab． ∵a+b＝7，ab＝12． ∴代入得a2+b2＝72﹣2×12＝49﹣24＝25． 故选：B． 7．已知（m+n）2＝11，mn＝2，则（m﹣n）2的值为　3　 ． 【解答】解：∵（m+n）2＝11，mn＝2， ∴（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2＝m2+2mn+n2﹣4mn＝（m+n）2﹣4mn＝11﹣8＝3， 故答案为：3 8．简便运算：992+202×99+1012． 【解答】解：原式＝992+2×101×99+1012 ＝（99+101）2 ＝2002 ＝40000． 9．若多项式9x2﹣（a+1）xy+16y2是关于x、y的完全平方公式的展开式，则a的值是（　　） A．25 B．23 C．25或﹣23 D．﹣25或23 【解答】解：由条件可知﹣（a+1）xy＝±2×3x×4y＝±24xy， ∴a+1＝±24， ∴a＝﹣25或23． 故选：D． 10．若5，则　23　 ． 【解答】解：∵（a）2＝a2+225， ∴a225﹣2＝23． 考点十、整式的除法 1、 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 2、多项式除以单项式，用多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加 1．一个长方形的面积为12a3b2，它的长为3a3b，则宽为（　　） A．4b B．4a2b C．3ab D．3a2b 【解答】解：由题意得：12a3b2÷3a3b ＝（12÷3）•（a3÷a3）•（b2÷b） ＝4b， 故选：A． 2．某同学在计算﹣3x加上一个多项式时错将加法算成了乘法，得到的答案是﹣6x3+3x2﹣9x，由此可以推断出正确的计算结果是　2x2﹣4x+3　 ． 【解答】解：（﹣6x3+3x2﹣9x）÷（﹣3x）＝2x2﹣x+3， 则（﹣3x）+（2x2﹣x+3）＝2x2﹣4x+3， 故答案为：2x2﹣4x+3． 3．先化简，再求值：[（2x+y）2﹣4x•x﹣x3y÷x2]÷y，其中，y＝2026． 【解答】解：原式＝（4x2+4xy+y2﹣4x2﹣xy）÷y ＝（y2+3xy）÷y ＝y+3x， 将，y＝2026代入得： 原式． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年青岛新版七年级下册期中复习 第七章 数据的收集、整理与描述 考点一 、普查和抽查 调查方式 适应情景 优缺点 普查 ①当考查对象数量较少；（全班同学的视力情况） ②当调查结果具有特殊要求； （人口普查） ③事关重大的调查； （神舟飞船的零部件检查） 优点 ：获得准确全面的数据 缺点： 消耗人力 、物力和财力 抽样调查 ①当考察对象数量较多； ②普查的意义或价值不大时； ③调查结果具有破坏性；（一批导弹的杀伤半径） 优点 ：省时 、省力 缺点： 不如普查得到的结果准确 1．下列调查中，最适宜采用全面调查（普查）的是（　　） A．调查某河流的水污染情况 B．了解我市全体初中生每周做家务的时间 C．调查某品牌圆珠笔的使用寿命情况 D．了解某校九（1）班全体学生的体重 2．下列采用的调查方式中，合理的是（　　） A．检查神舟十八号飞船的各零部件，采用抽样调查 B．统计某校九年级一班学生视力情况，采用抽样调查 C．对全国所有中小学生进行健康调查，采用全面调查 D．了解某品牌新能源电动汽车的碰撞测试效果，采用抽样调查 3．下列各项调查中，适合采用抽样调查的是（　　） A．火车站进站前的安全检查 B．调查全班43名同学的视力情况 C．长征四号运载火箭执行某次发射任务前的零部件检查 D．调查某地区居民防火安全意识 考点二 、总体 、个体 、样本 、样本容量 ①“ 总体 ”是所有被考察对象的情况； ②“ 个体 ”是每一个被考察对象的情况； ③“样本 ”是被抽取的考察对象的情况； ④样本容量就是指样本中个体的数量 ，且不能带单位。 1．3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础，某初中为了解全校720名八年级学生的睡眠时间，从16个班级中随机抽取100名学生进行调查，下列说法正确的是（　　） A．720名八年级学生的睡眠时间是总体 B．720是样本容量 C．16个班级是抽取的一个样本 D．每名八年级学生是个体 2．3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础，某县某初中为了解全校720名八年级学生的睡眠时间，从16个班级中随机抽取100名学生进行调查，下列说法不正确的是（　　） A．720名八年级学生的睡眠时间是总体 B．100是样本容量 C．16个班级是抽取的一个样本 D．每名八年级学生的睡眠时间是个体 考点三、频数、组数、组距与频数分布表 1、 找最大值和最小值 2、 算极差 3、 确定组数 计算组距：组距＝（向上取整） 1．在期末体育考核中，成绩分为优秀、合格、不合格三个档次，八年级（1）班有48名学生，达到优秀的有15人，合格的有21人，则这次体育考核中，不合格人数的频率是（　　） A．0.125 B．0.25 C．0.215 D．1.25 考点四、数据分析综合题 1．某校七年级举办了一次“共沐书香，筑梦未来”文学常识知识竞赛（如图1），赛后发现所有学生的成绩均不低于50分，为了解本次竞赛的成绩分布情况，随机抽取若干名学生的成绩作为样本进行整理，并绘制了不完整的统计表和统计图（如图2）． 成绩x/分 频数 所占百分比 50≤x＜60 16 8% 60≤x＜70 a 31% 70≤x＜80 72 b 80≤x＜90 c 90≤x≤100 12 d 请你根据统计图表解答下列问题： （1）此次抽样调查的样本容量是　 　 ，a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ； （2）请补全学生成绩分布直方图； （3）该校按照此次知识竞赛的得分由低到高共设置三等奖、二等奖和一等奖若干名，如何设置一等奖的分数线，使25%的参赛学生能获得一等奖？ 2．某直播电商平台推出“商品口碑分级”机制，对直播间在售的日用商品进行用户评价回溯评级，结果分为优质、良好、合格、待改进四个等级．平台运营团队随机抽取若干用户对商品的评级结果作为样本进行数据分析，并绘制出两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）参与本次用户评级的人数为　 　 人，扇形统计图中“待改进”对应的圆心角度数为　 　 ； （2）等级为“良好”的用户人数为　 　 人，并补全条形统计图； （3）若该平台本次参与口碑评级的用户有1800人，请根据调查结果求出评级为“优质”和“合格”的用户人数各有多少人？ 第八章 相交线与平行线 考点一、对顶角和邻补角 （1） 对顶角满足的条件：①只有两条直线相交时，才能产生对顶角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线；③相等的两个角。 （2） 两条直线相交时，除了产生对顶角外，还会产生邻补角，邻补角满足的条件： ①有公共顶点；②有一条公共边，另一边互为反向延长线。 1．下面的四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，要测量两堵围墙所形成的∠AOB的度数，但人不能进入围墙，小刚提供的测量方案是：反向延长OA至点C，若他测量∠BOC的度数是75°，则∠AOB的度数是（　　） A．15° B．105° C．115° D．165° 3．下列图形中，∠1与∠2属于同位角的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，已知直线AB，CD相交于点O，∠COE＝90°． （1）若∠AOC＝35°，求∠BOE的度数； （2）若∠BOD：∠BOC＝2：7，求∠AOE的度数． 考点二、三线八角 位置关系 图示特征 示例 同位角 在直线a、b（被截线）的同侧，并且都在直线c（截线）的同旁 “F”型 ∠1与∠5，∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8 内错角 在直线a、b（被截线）的之间，并且都在直线c（截线）的两旁 “Z”型 ∠3与∠5，∠4和∠6 同旁内角 在直线a、b（被截线）的之间，并且都在直线c（截线）的同旁 “U”型 ∠3和∠6，∠4和∠5 1．如图1是《天工开物》中记载的我国古代的提水工具“桔槔”，图2是其简易装置图，则与∠1构成内错角的是（　　） A．∠5 B．∠4 C．∠3 D．∠2 2．如图，直线AB与CD被直线AC所截形成的内错角为（　　） A．∠3与∠8 B．∠1与∠5 C．∠3与∠7 D．∠4与∠8 考点三、文字辨析题 1、在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 2、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离。 3、过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 1．下列说法中正确的个数有（　　） ①从直线外一点到已知直线的垂线段叫做点到直线的距离； ②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短； ③A，B，C三点在同一直线上且AB＝BC，则B是线段AC的中点； ④两条直线被第三条直线所截，内错角相等； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列说法中正确的是（　　） A．同位角相等 B．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 C．直线外一点到已知直线引垂线，这个点和垂足之间的垂线段叫做这个点到这条直线的距离 D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 3．下列说法：①不相交的两条直线一定互相平行；②过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行；③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④平行于同一直线的两直线平行；⑤已知三点，过每两点画直线，一定可以画3条直线．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点四、平行线的性质与判定 1．如图，将一副三角尺（分别含30°和45°的直角三角形）的直角顶点重合放置，则下列结论不正确的是（　　） A．若∠2＝30°，则AC∥DE B．若BC∥AD，则∠2＝45° C．若∠CAD＝140°，则∠4＝∠C D．∠2+∠CAD＝180° 2．如图，若∠B+∠BAD＝180°，则下列结论正确的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠D+∠BAD＝180° D．∠B＝∠DCE 3．深圳市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝60°，∠BAC＝45°，当∠MAC为（　　）度时，AM∥BE． A．45 B．60 C．75 D．105 4．如图，已知∠A与∠B互补，DE平分∠ADC，∠1＝40°，那么∠2＝（　　） A．80° B．85° C．95° D．100° 5．光线照射到镜面会产生反射现象，根据光的反射原理，入射光线与镜面的夹角和反射光线与镜面的夹角相等，如：在图1中∠1＝∠2，∠3＝∠4． （1）当平面镜EF与MN平行时，AB与CD是否平行？ （2）在（1）的结论下，若∠1＝45°，求∠BCD的度数． 6．如图，已知∠1＝∠2，∠ACG+∠G＝180°． （1）试判断AD与CE的位置关系，并说明理由； （2）若CA平分∠BCE，∠2＝40°，求∠ADB的度数． 7．如图1是一种躺椅，图2是其结构示意图，前支架AB与椅背CD平行，扶手MN与前支架AB和椅背CD分别交于点A、E，底座FD与前支架AB和椅背CD分别交于点H、D，点D在后支架AG上．已知∠MEC+∠FHB＝180°． （1）请判断MN与FD的位置关系，并说明理由； （2）当前支架AB与后支架AG恰好垂直，且∠CDF＝135°时，人躺着最舒服，求此时扶手MN与后支架AG的夹角∠NAG的度数． 考点五、折叠问题 1．如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点D、C分别落在点D'、C'的位置，ED'的延长线交BC于点G，若∠BGE＝α，则∠EFC＝（　　）（用α的代数式表示） A．180°﹣α B． C． D． 2．如图，将长方形纸片ABCD沿线段BD折叠，点A落在A′处，A′B交CD于点E．将三角形BCE沿线段BE折叠，点C落在点C′处．若∠1＝32°，则∠2的度数为（　　） A．52° B．58° C．62° D．64° 3．将一条长方形纸带先沿EF折叠，再沿BF折叠，如图，若∠AED′＝130°，则∠EFC″的度数为（　　） A．95° B．100° C．105° D．110° 考点六、双平行（双垂直）问题 1．如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，若其中一个角为40°，则另一个角为　 　 °． 2．如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，且一个角比另一个角的3倍少60°，则这两个角的度数分别为　 　 ． 3．一个角的两边分别与另一个角的两边垂直，且其中一个角为50°，则另一个角的度数是 　 　 ． 考点七、拐角问题 1．如图，已知AB∥CD，∠1＝125°，∠2＝55°，则∠C＝（　　） A．45° B．50° C．70° D．65° 2．“抖空竹”是我国非物质文化遗产，某中学将此运动引入特色大课间，某同学“抖空竹”的一个瞬间如图所示，将图1抽象成图2的数学问题：在平面内，AB∥CD．若∠BAE＝50°，∠DCE＝85°，则∠AEC的度数为（　　） A．115° B．125° C．135° D．145° 3．如图，AB∥EF，∠C＝135°，∠D＝72°，则∠A+∠E等于（　　） A．27° B．30° C．17° D．24° 4．如图，已知AB∥CD，AB∥EF，∠1+∠3＝180°，以下4个结论： ①CD∥EF； ②∠1＝∠BAE； ③2∠1+∠2＝∠180°； ④∠3+∠4＝180°， 正确的是（　　） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 5．下列结论：①如图1，AB∥CD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，AB∥CD，则∠P＝∠A﹣∠C；③如图3，AB∥CD，则∠E＝∠A+∠1；④如图4，直线AB∥CD∥EF，点O在直线EF上，则∠α﹣∠β+∠γ＝180°．正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，AB∥CD，P是AB、CD之间的一点，连接BP、DP，试说明：∠B+∠D＝∠BPD；请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过P作PM∥AB． ∵PM∥AB．（辅助线的作法） ∴∠B＝∠BPM．（ 　 　 ） ∵AB∥CD．（已知） ∴PM∥CD．（ 　 　 ） ∴∠D＝∠DPM．（ 　 　 ） ∵∠BPM+∠DPM＝∠BPD．（角的和差定义） ∴∠B+　 ＝∠BPD．（等量代换） 【方法应用】 （2）如图2，若AB∥CD，∠BEP＝150°，∠PFD＝128°，则∠EPF＝ 　 　 °； 【变式探究】 （3）如图3，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有什么数量关系？请说明理由； 【拓展延伸】 （4）如图4，若∠EPF＝98°，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点Q，则∠Q＝ 　 　 °． 7．在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，何老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． （1）路灯维护工程车的工作示意图如图①，工作篮底部与支撑平台平行，已知∠1＝32°，则∠2+∠3＝　 　 °； （2）一种路灯的示意图如图②所示，其底部支架AB与吊线FG平行，灯杆CD与底部支架AB所成锐角α＝15°，顶部支架EF与灯杆CD所成锐角β＝45°，求EF与FG所成锐角∠EFG的度数． 8．2025年11月2日，人形机器人“夸父”成为全运会历史上首个人形机器人火炬手．如图是“夸父”在传递火炬时某瞬间的姿势及其平面示意图．其中，∠GHN：∠FGE＝2：1，∠HGF＝140°，GE∥MN． （1）求∠GHM的度数； （2）若GH∥DE，∠ABC＝150°，∠BCE＝68°，∠GEC＝118°，求证：GH∥AB． 9．2025年央视春节联欢晚会上，一群穿着花棉袄的人形机器人科技感爆棚．这个《秧BOT》节目中的机器人名为H1，将传统文化与尖端技术融为一体，不仅展现了极高的艺术表现力，更体现了中国在机器人技术领域的重大突破． 【提出问题】 图①是H1练习时的侧面示意图，上身AB与地面呈垂直状态，脚面DE呈水平状态，此时∠ABC＝150°，∠CDE＝45°，则∠BCD的度数是多少？ 【思考过程】 依靠图中现有的线无法解决该问题，因此，需要添加辅助线构造新的图形． 【问题解决】 解：如图②，过点B作BM∥DE，过点C作CN∥DE，则∠ABM＝90°． 因为∠ABC＝150°，∠ABM＝90°， 所以∠MBC＝60°， 因为BM∥DE，CN∥DE， 根据　 　 （1）， 所以BM∥CN， 根据　 　 （2）， 所以∠BCN＝∠MBC＝60°； 因为CN∥DE， 所以　 （3）＝∠CDE＝45°， 所以∠BCD＝∠BCN+∠NCD＝　 　 （4）． 【迁移应用】 如图③，在一款手推车的平面示意图中CD∥EF． （1）若∠C＝20°，∠EGC＝70°，则∠E＝　 　 °； （2）写出∠C，∠E，∠EGC之间的数量关系，并说明理由． 【拓展提高】 如图④，AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，点P是线段EF上的一点，PM⊥PN，MH平分∠AMP，NH平分∠PNF，则∠MHN＝　 　 °． 考点八、垂直 1．如图，直线l表示一段河道，点P表示水池，现要从河l向水池P引水，设计了四条水渠开挖路线PA，PB，PC，PD，其中PB⊥l，要使挖渠的路线最短，可以选择的路线是（　　） A．PA B．PB C．PC D．PD 2．投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线l上的点A，B，C，D处往点P处的壶内投箭矢，小明认为站在点C处的投壶者最近会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（　　） A．垂线段最短 B．线段可以度量 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 3．如图，已知A、B、C是直线l上的三点，点P是直线l外一点，若PB⊥l，PA＝5，PC＝7，则下列各数中可能是点P到直线l的距离的是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 4．如图，点A，B在直线l上，点P在直线l外，连接PA，PB，若PA＝3，PB＝5，则点P到直线l的距离可能是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 5．已知C、D、E三点在直线AB上，P为直线AB外一点，PC＝1，PD＝2，PE＝3，则点P到直线AB的距离（　　） A．小于1 B．不小于1 C．大于1 D．不大于1 6．如图，AC⊥BC，C为垂足，CD⊥AB，D为垂足，BC＝8，CD＝4.8，AC＝6，那么点C到AB的距离是 　 　 ． 第九章 二元一次方程组 考点一、二元一次方程及其解法 1．下列方程中，属于二元一次方程的是（　　） A．x+y2＝1 B． C．2x+3y＝5 D．xy＝3 2．已知x2m﹣1﹣3y4﹣2n＝﹣7是关于x，y的二元一次方程，则m﹣n的值是（　　） A．2 B． C． D． 3．（m﹣3）x+2y|m﹣2|+6＝0是关于x，y的二元一次方程，则m＝　 　 ． 4．方程组是关于x，y的二元一次方程组，则代数式b+c的值是 　 　 ． 考点二、二元一次方程的解 1．在“班级原创数学题目”比赛中，四个数学小组设计出了四个方程组，其中以为解的二元一次方程组是（　　） A． B． C． D． 2．已知是二元一次方程组的解，则m﹣n的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．李明解出方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数▲和■，则两个数▲和■分别为（　　） A．10，4 B．4，10 C．3，10 D．10，3 4．用代入法解方程组时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是（　　） A．2x﹣3x﹣6＝4 B．2x+3x﹣2＝4 C．2x﹣3x+6＝4 D．2x+3x﹣6＝4 5．用加减消元法解二元一次方程组时，下列做法中无法消元的是（　　） A．①×2+② B．①×5﹣②×3 C．①×3﹣②×5 D．①×（﹣5）+②×3 考点三、整体求解 1．已知二元一次方程组，则m+n的值是（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．0 D．4 2．已知方程组，则x﹣y等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．若方程组的解中x+y＝16，则k等于（　　） A．15 B．18 C．16 D．17 4．已知关于x，y的方程组中，x+3y＝2，则m的值为（　　） A．6 B．2 C．﹣6 D．﹣2 5．若方程组的解是，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 6．已知方程组的解是，现给出另个方程组，则它的解是（　　） A． B． C． D． 考点四、整数解问题 1、已知关于x，y的二元一次方程组的解x，y均为整数，则符合条件的整数k的值有（　　）个． A．4 B．5 C．6 D．8 2．已知关于x，y的二元一次方程组有正整数解，其中k为整数，则k2﹣1的值为（　　） A．﹣2 B．3 C．﹣2或4 D．3或15 考点五、同解问题 1．已知方程组和方程组的解相同，求（2a+b）2024的值． 2．已知方程组和方程组的解相同，求（2a+b）2025的值． 3．已知方程组的解和方程组的解相同，求（2a+b）2024的值． 考点六、马虎问题 1．两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得．则a，b，c正确的值应为（　　） A．a＝﹣3，b＝﹣1，c＝12 B．a＝﹣3，b＝﹣1，c＝﹣12 C．a＝3，b＝﹣1，c＝﹣12 D．a＝3，b＝﹣1，c＝12 2．两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得，则a，b，c正确的值应为（　　） A．a＝﹣3，b＝﹣1，c＝﹣5 B．a＝1，b＝﹣1，c＝﹣10 C．a＝2，b＝﹣4，c＝﹣10 D．a＝3，b＝1，c＝﹣10 3．已知关于x、y的方程组，甲同学看错了字母a解得；乙同学看错了字母b解得，则该方程的解为（　　） A． B． C． D． 考点七、配套问题 1．工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产大小齿轮，该车间有工人85人，其中女生人数比男生人数的2倍少8人，每个工人平均每天可以生产大齿轮16个或者小齿轮10个． （1）请问该车间有男生、女生各多少人？ （2）已知2个大齿轮与3个小齿轮配套，为了使每天生产的大小齿轮恰好配套，应该分配多少工人负责生产大齿轮，多少工人负责生产小齿轮？ 2．半期考试后，李老师准备从某玩具厂定制一批盲盒作为礼物奖励学生．玩具厂用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成这批盲盒，一个盲盒搭配3个玩偶A和2个玩偶B．已知每米布料可做2个玩偶A或1个玩偶B，现计划用128米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 考点八、和差倍分问题 1．《算学启蒙》是中国古代重要的著作，书中记载：今有军士分甲，人分五领，少十领；人分四领，多二领，问军士、甲各几何？题目大意：今有士兵分铠甲，如果每人分5领，则缺少10领；如果每人分4领，则多出2领．问士兵和铠甲各有多少？设士兵有x人，铠甲有y领，则所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 2．古代一歌谣：栖树一群鸦，鸦树不知数：三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．请你动脑筋，鸦树各几何？若设乌鸦有x只，树有y棵，由题意可列方程组（　　） A． B． C． D． 3．我国明代数学家程大位所著《算法统宗》中记载了一道有趣的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”题目大意是：100个和尚分100个馒头，刚好分完．大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分一个馒头．问大、小和尚各有多少人？若大和尚有x人，小和尚有y人．则下列方程或方程组中，正确的有（　　） ①； ②； ③3x（100﹣x）＝100； ④y+3（100﹣y）＝100． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 考点九、销售问题 1．春节期间，小李购进一批玩具进行销售，其中A，B两种畅销玩具的进价分别为8元和12元，销售2件A种玩具和3件B种玩具可获利润78元．若A种玩具降价4元，B种玩具打8折销售，则销售3件A种玩具与销售2件B种玩具获得的利润相同，求A，B两种玩具原来的售价分别为多少． 2．某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，甲种商品的每件进价比乙种商品的每件进价少30元．若购进甲种商品4件，乙种商品5件，需要870元． （1）求甲、乙两种商品的每件进价分别是多少元？ （2）该商场从厂家购进了甲、乙两种商品共50件，所用资金恰好为4600元．在销售时，甲种商品的每件售价为100元，要使得这50件商品卖出后获利25%． ①求甲、乙两种商品各多少件？ ②求出乙种商品的每件售价为多少元？ 考点十、行程问题 1．小明从家骑车到学校有一段平路和一段上坡路．在平路、上坡路和下坡路上，他踦车的速度分别为12km/h、10km/h、15km/h．他骑车从家到学校需要40分钟；骑车从学校回家需要30分钟．设小明从家到学校的平路有xkm，上坡路有ykm，则依题意所列的方程组是（　　） A． B． C． D． 2．小明和小伟分别从A、B两地同时出发，小明骑自行车，小伟步行，沿同一道路相向匀速而行，出发24分钟后两人相遇．相遇时小明比小伟多行进4.8千米，相遇后6分钟小明到达B地．则A、B两地间的距离为（　　） A．8千米 B．12千米 C．6千米 D．9千米 考点十一、行程问题 1．如图，某工厂与A、B两地有公路、铁路相连．这家工厂近期从A地购买一批原料运回工厂，制成的产品再全部运到B地．已知公路的运价为2元/（吨•千米），铁路的运价为1.5元/（吨•千米），且这两次运输共支出公路运费48000元，铁路运费207000元． 求从A地购买的原料和运到B地的产品各多少吨？ 2．一批蔬菜要运往某批发市场，菜农准备租用汽车公司的甲、乙两种货车．已知过去两次租用这两种货车的记录如下表： 甲种货（辆） 乙种货（辆） 总量（吨） 第一次 4 5 28.5 第二次 3 6 27 这批蔬菜需租用5辆甲种货车、2辆乙种货车刚好一次运完，如果每吨付20元运费，问菜农应付运费多少元？ 考点十二、几何图形问题 1．有8张形状、大小完全相同的小长方形卡片，将它们按如图所示的方式（不重叠）放置在大长方形ABCD中，根据图中标出的数据，阴影部分的总面积是（　　） A．72 B．68 C．65 D．60 考点十三、工程问题 1．“天无三日晴，地无三里平”是一句形容贵州中部地区自然环境的谚语．某工程队在一次高速公路修建过程中，晴天每天修建260m，雨天每天修建120m，他们连续修建了1480m，平均每天修建148m，那么这几天中有几天雨天（　　） A．4天 B．6天 C．8天 D．10天 2．某工厂承接了一批加工任务，要求在规定时间内完成．如果每天加工120个零件，那么在规定时间内只能完成任务的90%；如果每天加工150个零件，那么可提前1天完成任务，且多加工50个零件．求规定的时间和这批零件的总数． 考点十四、方案问题 1．某学校组织爱心义卖，七（1）班选定一家商店采购钥匙扣和玩偶两种商品，钥匙扣每个4元，玩偶每个2元．为支持爱心事业，该商店推出两种优惠方案： 方案一 购买钥匙扣超过30个时，超过部分享受八折优惠 方案二 购买玩偶满50个时，立减10元 （1）若班委购买了钥匙扣和玩偶共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元，则班委购买了钥匙扣和玩偶各多少个？ （2）现有班费266元全部用于购买商品，且同时享受两种优惠方案，请通过计算，求出所有的购买方案． 考点十五、其他问题 1．笑笑完成一套共10题的小测卷，满分100分，答对一题记作+10分，答错或不答一题记作﹣5分．若笑笑最后的得分是40分，则笑笑最后答对了的题目有（　　） A．7道 B．6道 C．5道 D．4道 2．有一个两位数，个位数字比十位数字小2，如果把这两个数字的位置对换，所得新数与原数的和为154，则原来两位数为 　 　 ． 3．甲对乙说：“当我岁数是你现在的岁数时，你才4岁．”乙对甲说：“当我的岁数是你现在岁数时，你61岁．”则乙现在为 　 　 岁． 4．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方．三阶幻方又名九宫格，是一种将9个数字（数字不重复使用）安排在三行三列正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等．图2三阶幻方中填写了一些数和字母，则x+y＝（　　） A．﹣3 B．﹣13 C．3 D．13 第十章 整式的乘法和除法 考点一、同底数幂的乘法 同底数幂相乘，底数不变，指数相加.即(m、n为正整数). 1．计算的结果是（　 　） A．23+n B．23n C．28n D．28+n 2．若a，b是正整数，且满足2a+2a+2a+2a＝2b•2b，则下列a与b的关系正确的是（　　） A．a＝b B．a+2＝2b C．a+1＝b2 D．4a＝b 3．阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22013的值． 解：设S＝1+2+22+23+24+…+22012+22013， 将等式两边同时乘2得：2S＝2+22+23+24+25+…+22013+22014， 将下式减去上式得：2S﹣S＝22014﹣1， 即S＝22014﹣1， 即1+2+22+23+24+…+22013＝22014﹣1． 请你仿照此法计算： （1）1+2+22+23+24+…+22024； （2）1+3+32+32+34+…+3n （其中n为正整数）． 考点二、积的乘方 即积的乘方等于各因数乘方的积。即 (m为正整数). 1．计算的结果是（　　） A． B． C．1 D．2 2．若a＝45，b＝54，试用含a，b的代数式表示2020＝ ． 考点三、幂的乘方 幂的乘方，底数不变，指数相乘. 即(其中m、n都是正整数). 1．已知a＝255，b＝344，c＝433，把a，b，c从小到大排列 ．（用“＜”连接） 2．若9m＝27n，则m与n满足的数量关系为　 ． 考点四、同底数幂的除法 同底数的幂相除，底数不变，指数相减，即 .（a≠0，m、n为正整数，且m＞n） 1．已知：x﹣y﹣4＝0，则2x÷2y＝　 　 ． 2．若x﹣y﹣3＝0，则　 　 ． 考点五、幂的运算 1、零指数幂：任何不等于零的数的0次幂等于1，即（a≠0） 2、负整数指数幂：不等于零的数的-p（p是正整数）次幂等于这个数的p次幂的倒数，，即 （a≠0，p是正整数）. 1．阅读材料：①1的任何次幂都等于1；②﹣1的奇数次幂都等于﹣1；③﹣1的偶数次幂都等于1；④任何不等于零的数的零次幂都等于1，试根据以上材料探索使等式：（3﹣2x）x+2020＝1成立的x的值为 　 　 ． 2．若a＝3﹣2，b＝﹣32，，，则它们的大小关系是（　　） A．a＜b＜c＜d B．b＜a＜d＜c C．c＜a＜d＜b D．d＜a＜c＜b 考点六、科学计数法 一绝对值小于1的非零数可以记作的形式，其中1≤＜10。n是正整数。这种科学计数法，是绝对值小于1的非零数的科学记数法。 1．世界上几乎所有的生物都是由细胞组成的，科学家发现，一个细胞的平均质量约为0.0000000035克．用科学记数法表示0.0000000035正确的是（　　） A．3.5×109 B．0.35×10﹣8 C．3.5×10﹣10 D．3.5×10﹣9 2．面对国外对芯片技术的垄断，我国科学家奋起直追，2020年11月26号，上海微电子宣布由我国独立研发的光刻机为光源完成了22nm的光刻水准，1nm＝1.0×10﹣9m，用科学记数法表示22nm，则正确的结果是（　　） A．22×10﹣9m B．22×10﹣8m C．2.2×10﹣8m D．2.2×10﹣10m 考点七、单项式的乘法 1、 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。 2、单项式与多项式相乘，先将单项式分别乘多项式的各项，再把所得的积相加. 即m(a+b+c)=ma+mb+mc. 1．若（　　）•（﹣x2y）＝4x4y2，则括号里应填的单项式是（　　） A．﹣4x2y B．4x2y C．﹣4x6y3 D．4x6y3 2．已知单项式3x2y3与﹣2xy2的积为mx3yn，则m﹣n＝　 　 ． 3．已知单项式M，N满足3x（M﹣5x）＝6x2y2+N，则MN＝（　　） A．﹣30x3y2 B．﹣30x2y3 C．﹣15x2y2 D．﹣15x3y3 4．一个长方体的长，宽，高分别是2a，a2，（3a+1），这个长方体的体积是（　　） A．6a2+2 B．6a3+2a C．6a4+2a2 D．6a4+2a3 5．已知x2+2x﹣1＝0，则代数式4x（x+1）﹣2x2﹣3的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5 考点八、多项式的乘法 1．若（y+4）（y﹣3）＝y2+my+n，则m，n的值分别为（　　） A．m＝1，n＝﹣12 B．m＝7，n＝12 C．m＝1，n＝12 D．m＝7，n＝﹣12 2．已知M＝（a+1）（a2+a+1），N＝（a﹣1）（a2﹣a+1），那么M与N的大小关系是（　　） A．M＞N B．M＜N C．M≥N D．M≤N 3．已知a﹣b＝5，ab＝3，则（a+1）（b﹣1）＝（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．2 4．已知多项式ax+b与2x2﹣x+1的乘积展开式中不含x的二次项，且常数项为2，则ab的值为（　　） A．1 B．4 C．8 D．16 5．在计算（x+a）（x+b）时，甲错把b看成了6，得到结果x2+8x+12；乙错把a看成了﹣a，得到结果x2+x﹣6．你能正确计算（x+a）（x+b）吗？（a、b都是常数） 6．有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为2a+b、宽为a+3b的长方形，需要B类卡片（　　） A．5张 B．6张 C．7张 D．8张 7．回答下列问题： （1）计算： ①（x+2）（x+3）＝ 　 ； ②（x+2）（x﹣3）＝ 　 ； ③（x﹣2）（x+3）＝ 　 ． （2）总结公式（x+a）（x+b）＝x2+　 　 x+ab； （3）已知a，b，m均为整数，且（x+a）（x+b）＝x2+mx+7．求m的所有可能值． 考点九、乘法公式 1、 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差。 即：（a+b）（a-b）=a2-b2 2、完全平方公式：两个数的和（差）的平方，等于这两个数的平方和加上（减去）它们乘积的2倍。即： (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2 = a2-2ab+b2 1．如图1，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图2所示的长方形．根据图形的变化过程可以验证等式（　　） A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．a（a+b）＝a2+ab C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） 2．已知m+n＝2，m﹣n＝3，则计算m2﹣n2的结果为　 　 ． 3．计算：20262﹣20252＝（　　） A．1 B．206 C．4050 D．4051 4．计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）得（　　） A．28﹣1 B．210﹣1 C．216﹣1 D．232﹣1 5．如图，把一个边长为a的正方形相邻两边增加b得到一个新的大正方形，则通过新的大正方形的面积表示可以得到等式（　　） A．2（a+b）＝2a+2b B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2 6．已知a+b＝7，ab＝12，那么a2+b2＝（　　） A．19 B．25 C．31 D．73 7．已知（m+n）2＝11，mn＝2，则（m﹣n）2的值为　 　 ． 8．简便运算：992+202×99+1012． 9．若多项式9x2﹣（a+1）xy+16y2是关于x、y的完全平方公式的展开式，则a的值是（　　） A．25 B．23 C．25或﹣23 D．﹣25或23 10．若5，则　 　 ． 考点十、整式的除法 1、 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 2、多项式除以单项式，用多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加 1．一个长方形的面积为12a3b2，它的长为3a3b，则宽为（　　） A．4b B．4a2b C．3ab D．3a2b 2．某同学在计算﹣3x加上一个多项式时错将加法算成了乘法，得到的答案是﹣6x3+3x2﹣9x，由此可以推断出正确的计算结果是　 　 ． 3．先化简，再求值：[（2x+y）2﹣4x•x﹣x3y÷x2]÷y，其中，y＝2026． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $