精品解析：陕西咸阳彩虹学校2026届高三下学期冲刺(三) 数学试题

高三冲刺（三） 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知抛物线的焦点为，是上一点，，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆，圆沿着圆内部边缘滚动，点，在圆上，且连线经过圆心，若圆的半径为1，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 6. 如图，连接正方体六个面的中心构成一个正八面体，该正八面体的所有棱中，互为异面直线的棱共有（ ） A. 12对 B. 18对 C. 24对 D. 48对 7. 将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，当时，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，且满足，若函数有三个不同的零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 人工智能的普及使学生学习方式发生了改变，数字素养水平较高的学生能高效检索、筛选和整合信息，利用在线课程、模拟实验等工具进行深度学习.为了解学生的数字素养水平，某市采用分层抽样从全市10所学校中随机抽取500名学生进行问卷调查，并根据问卷结果进行打分记作学生的数字素养得分，满分100分，分数集中在内，频率分布表如下： 分组 频率 0.05 0.18 0.42 0.28 0.07 下列对本次调查的说法中正确的是（ ） A. 学生数字素养得分的众数约为75 B. 学生数字素养得分的中位数约为76.43 C. 学生数字素养得分的第75百分位数约为84.6 D. 学生数字素养得分的平均数约为76.4 10. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 函数在定义域内不是单调函数 B. 函数的最小值为2 C. 当时， D. 若，则 11. 已知分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线上的两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的渐近线方程为 B. 当时，则 C. 若，则的取值范围为 D. 线段的中点坐标可能为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列满足，则______． 13. 已知，且，则的最小值为______． 14. 如图，在正四棱锥中，侧棱与底面所成角的余弦值为，该四棱锥侧面积为，且大球，与小球均与该四棱锥的四个侧面相切，大球与小球相切，大球与底面相切，则三棱锥的体积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角所对的边分别是，且． （1）求； （2）若的周长为，外接圆的周长为，，，求． 16. 如图，在四棱锥中，，，，，，． （1）求证：； （2）若点是线段（含端点）上一点，直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 17. 在平面直角坐标系中，已知椭圆（）的短轴长为2，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）记椭圆的右焦点为，过点且斜率存在的两条直线与椭圆分别交于点和，线段和的中点分别为． （i）若轴上存在点，使得，求实数的取值范围； （ii）设直线的斜率分别为，若，求证：直线过定点． 18. 已知函数． （1）求函数的最小值； （2）证明：当时，； （3）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 19. 某校举办了一场以“新质生产力·青春创未来”为主题的知识与能力挑战赛.比赛题库中有选择题和填空题两种题型，且数目相同，每次答题从中随机抽取1题进行作答，每次答题（无论对错）后，该题都会被移除，系统会补充1道同题型的新题，使比赛题库中的选择题和填空题的数目始终保持相同.答对1道选择题可获得1分，答对1道填空题可获得2分，若答对，继续从补充题目后的比赛题库中随机抽取1题进行作答；若答错，立即停止答题，比赛结束.已知甲同学答对每道选择题的概率均为，答对每道填空题的概率均为，且每道题答对与否互不影响． （1）记甲同学进行1次答题后的得分为，求的分布列及数学期望； （2）比赛结束前，记甲同学累计得分达到的概率为． （i）求； （ii）求．（用含的式子表达） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三冲刺（三） 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，， 在定义域内单调递增， ，即， ， ． 2. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据复数的模计算公式和复数的除法运算求出复数，再根据共轭复数的定义即可得解. 【详解】. 所以. 3. 已知抛物线的焦点为，是上一点，，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知抛物线，焦点，，准线为， 根据抛物线的定义可得， 如下图所示，作到准线的垂线分别交抛物线，准线于，当三点共线时，取得最小值， ． 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，再根据结合商数关系化弦为切即可得解. 【详解】因为， 所以，即， 所以， . 5. 已知圆，圆沿着圆内部边缘滚动，点，在圆上，且连线经过圆心，若圆的半径为1，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】圆的标准形式为， ，即圆心的轨迹是以为圆心，半径是2的圆， 已知，点，在圆上，且连线经过圆心，则是圆的直径， 则， ， ． 6. 如图，连接正方体六个面的中心构成一个正八面体，该正八面体的所有棱中，互为异面直线的棱共有（ ） A. 12对 B. 18对 C. 24对 D. 48对 【答案】C 【解析】 【分析】借助异面直线定义计算即可得. 【详解】先任选一条棱，余下的11条棱中与它异面的有4条， 故共有对异面直线． 7. 将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，当时，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】向左平移个单位长度得， 将的横坐标伸长为原来的2倍，得到原函数， 求导得，已知， 即，解得， ， 则位于同一单调区间内，严格递增，且， 点与关于对称中心对称， 即， ， 当时，，为最小值． 8. 已知函数的定义域为，且满足，若函数有三个不同的零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件构造函数并求导进而求出，分析的性质，得出的解的个数情况，通过换元法简化零点问题，构造函数并求导，分析函数单调性从而确定的取值范围． 【详解】已知，构造函数， 则，故， 设为常数，则，代入得， ，即，解得， ， 求导得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 在处取得极大值，即最大值； 当时，；时，； 令， 当时，有1个解；当时，有2个解； 当时，有1个解；当时，无解； 则等价于， 设，，求导得， 当，，单调递增，； 当，，单调递减，； 当时，，单调递减，； 当时，，单调递增，； 当时，； 当时，； 当时，； 要使有3个零点，需要对应的值，使得共有3个的解； 当时，对应1个的解； 当时，对应2个的解；总共个解， 时，，时，， ， 在单调递增， ，故， 综上可得． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 人工智能的普及使学生学习方式发生了改变，数字素养水平较高的学生能高效检索、筛选和整合信息，利用在线课程、模拟实验等工具进行深度学习.为了解学生的数字素养水平，某市采用分层抽样从全市10所学校中随机抽取500名学生进行问卷调查，并根据问卷结果进行打分记作学生的数字素养得分，满分100分，分数集中在内，频率分布表如下： 分组 频率 0.05 0.18 0.42 0.28 0.07 下列对本次调查的说法中正确的是（ ） A. 学生数字素养得分的众数约为75 B. 学生数字素养得分的中位数约为76.43 C. 学生数字素养得分的第75百分位数约为84.6 D. 学生数字素养得分的平均数约为76.4 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据众数，中位数，百分位数，平均数的定义，结合频率分布表计算即可. 【详解】对于A，学生数字素养得分的众数约为，故A正确； 对于B，因为， 所以中位数在区间内，设为， 则，解得， 所以学生数字素养得分的中位数约为，故B正确； 对于C，因为， 所以第75百分位数在区间内，设为， 则，解得， 所以学生数字素养得分的第75百分位数约为，故C错误； 对于D，学生数字素养得分的平均数约为 ，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 函数在定义域内不是单调函数 B. 函数的最小值为2 C. 当时， D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】易得函数在上是增函数，再求出其零点，从而可求出函数的单调区间，即可判断A；根据A选项即可判断B；根据函数在上的单调性即可判断C；令，结合A选项可得函数在上单调递增，则，再判断出的符号即可判断D. 【详解】对于A，， 因为函数在上都是增函数， 所以函数在上是增函数， 又， 所以存在，使得，即， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以函数在定义域内不是单调函数，故A正确； 对于B，由A选项得， 因为， 当且仅当，即时，取等号， 又，所以，故B错误； 对于C，由A选项知，函数在上先减后增， 则当时，无法判断的大小关系， 即无法判断是否成立，故C错误； 对于D，， 则， 令，则， 由A选项知，函数在上单调递增， 则函数在上单调递增， 所以，所以， 所以函数在上单调递增， 所以， 因为，所以， ， ， 因为，所以，所以， 所以 ， 所以，故D正确. 故选：AD. 11. 已知分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线上的两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的渐近线方程为 B. 当时，则 C. 若，则的取值范围为 D. 线段的中点坐标可能为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据双曲线的方程求出渐近线方程即可判断A；根据求出点的坐标，进而可求出，即可判断B；可设，，根据是双曲线上的两点求出，再根据化简整理即可判断C；假设是线段的中点，利用点差法求出直线的斜率，进而可求出其方程，再判断直线与双曲线是否相交即可判断D. 【详解】对于A，由双曲线，得，， 所以双曲线的渐近线方程为，故A正确； 对于B，，， 当时，， 则，解得， 所以， 所以，所以，故B错误； 对于C，因为，所以， 不妨设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 可设，即， 由是双曲线上的两点， 得，即， 所以， 得，即， 所以， 由，可得， ， 令， 则， 由，得，所以， 即，所以的取值范围为，故C正确； 对于D，假设是线段的中点， 设， 则有，所以， 因为是双曲线上的两点， 所以，两式相减得， 所以， 所以， 所以直线的方程为，即， 联立，消得， 则，方程无解， 所以线段的中点坐标不可能为，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列满足，则______． 【答案】 【解析】 【详解】已知，则，， ， 取倒数得， ， 令，则， 是首项为，公比为2的等比数列，即， ，即， ． 13. 已知，且，则的最小值为______． 【答案】0 【解析】 【详解】已知，则， ， ， ， 设，则，， ， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值为0． 14. 如图，在正四棱锥中，侧棱与底面所成角的余弦值为，该四棱锥侧面积为，且大球，与小球均与该四棱锥的四个侧面相切，大球与小球相切，大球与底面相切，则三棱锥的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正四棱锥及球的性质，结合已知条件，运用几何法求出侧面积及小球半径，进而利用三棱锥的体积公式求解． 【详解】设底面正方形的中心为，连接，则正四棱锥的高为， 侧棱与底面所成角为，则， ，即， 设底面边长为，侧面斜高为，则， ， 侧面积为，解得， 取中点，连接，作，，则， 设大球半径为，小球半径为，则， ，解得， 同理，解得， ． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角所对的边分别是，且． （1）求； （2）若的周长为，外接圆的周长为，，，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，结合正弦定理、余弦定理及三角形内角关系计算求解； （2）根据已知条件，结合正弦定理及三角形内角关系、和角公式求出及，再利用坐标法求． 【小问1详解】 已知，， 则①， 由正弦定理， 代入①化简得， 由余弦定理知， ， ． 【小问2详解】 已知外接圆的周长为，则，解得， 由正弦定理得， 周长为，即， ， 又， 由正弦定理得， 则， 展开得，即 ， ， ，则A为锐角，， ，， ， ， 而，故在的延长线上， 以为原点建立如图所示的坐标系， 则， 角，故，， ，， ， ， ， ． 16. 如图，在四棱锥中，，，，，，． （1）求证：； （2）若点是线段（含端点）上一点，直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 【答案】（1）已知，则， 为直角三角形，且， ，且，平面， 由线面垂直判定定理可得，平面， 平面， ． （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直判定定理结合已知条件证明结论； （2）建立空间直角坐标系，得出点和相关向量坐标，进而求出法向量，利用向量夹角余弦公式结合已知条件构造方程，进而求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，为轴正向，为轴正向，过点垂直于轴为轴， 建立下图所示空间直角坐标系， 则，设， ， ，解得， ， 设，，则， ， ，故， ，设平面的法向量为，则 ，令，故， 直线与平面所成角的正弦值为，设该角为， 则， ，化简整理得， 解得或， ， ，故． 17. 在平面直角坐标系中，已知椭圆（）的短轴长为2，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）记椭圆的右焦点为，过点且斜率存在的两条直线与椭圆分别交于点和，线段和的中点分别为． （i）若轴上存在点，使得，求实数的取值范围； （ii）设直线的斜率分别为，若，求证：直线过定点． 【答案】（1） （2）（i） （ii） （i）椭圆右焦点，设过的直线，，联立椭圆方程， 得， 设，中点，由韦达定理得 ， ，， ， 在的垂直平分线上， 设垂直平分线的斜率为，则，解得， 故垂直平分线的方程为， 令，得，代入得， 则， 当时，； 当时，，， ； （ii）已知直线的斜率分别为，且由（i）可知， 的中点，的中点， 由则， ， ， ， 直线的方程为， 整理得， 令，解得，此时，与无关， 直线与无关，故直线过定点． 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的基本性质求出，进而求出椭圆方程； （2）（i）联立直线与椭圆方程，利用中点和垂直平分线的性质，把表示为斜率的函数，进而求出的范围；（ii）用消元，将坐标用相同参数表示，推出直线方程找出定点． 【小问1详解】 已知椭圆（）的短轴长为2，故，解得， 离心率，则，整理得， 椭圆． 【小问2详解】 略 18. 已知函数． （1）求函数的最小值； （2）证明：当时，； （3）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）0 （2）证明：因为， 所以要证明，只需证明， 只需证明， 设，求导得， 令，求导得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 在处取得极大值，即为最大值，， 当时，， ， 在上单调递增，故， 又，故， ，原不等式得证． （3） 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数分析函数单调性及最值； （2）化简不等式，构造函数并求导，结合单调性证明结论； （3）化简不等式，构造函数并求导，结合单调性求实数的取值范围． 【小问1详解】 已知函数，求导得， 令，解得， 当时，，故，函数单调递减； 当时，，故，函数单调递增； 是极小值点，即为最小值点，最小值为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，不等式等价于， ， 令， 当时，，故处等号成立； 求导得， ， 令，求导得，，则， 在上单调递增， 当时，，， 存在，使得， 当时，，又， 所以当时，，不满足条件； 当时，， 在上单调递增，故，单调递增， ，满足条件； 实数的取值范围为． 19. 某校举办了一场以“新质生产力·青春创未来”为主题的知识与能力挑战赛.比赛题库中有选择题和填空题两种题型，且数目相同，每次答题从中随机抽取1题进行作答，每次答题（无论对错）后，该题都会被移除，系统会补充1道同题型的新题，使比赛题库中的选择题和填空题的数目始终保持相同.答对1道选择题可获得1分，答对1道填空题可获得2分，若答对，继续从补充题目后的比赛题库中随机抽取1题进行作答；若答错，立即停止答题，比赛结束.已知甲同学答对每道选择题的概率均为，答对每道填空题的概率均为，且每道题答对与否互不影响． （1）记甲同学进行1次答题后的得分为，求的分布列及数学期望； （2）比赛结束前，记甲同学累计得分达到的概率为． （i）求； （ii）求．（用含的式子表达） 【答案】（1）的分布列为 0 1 2 ，. （2）（i）.（ii）. 【解析】 【分析】（1）比赛题库中两种题型数目始终相同，所以每次抽到选择题和填空题的概率均为．一次答题后的得分只可能为，分别按“抽到题型”和“答题正误”计算概率，再列分布列并求数学期望． （2）将理解为从开始答题到比赛停止前，累计得分曾经达到的概率．先由“最后一次得分为1分或2分”建立递推关系，再用构造法把二阶递推转化为一阶递推，最后利用等比数列求和得到通项． 【小问1详解】 每次抽到选择题和填空题的概率均为.若答错，则得分为0，所以. 若答对选择题，则得1分，所以；若答对填空题，则得2分，所以. 因此的分布列为 0 1 2 所以. 【小问2详解】 记为从开始答题到比赛停止前，累计得分曾经达到的概率． 先求初始两项．要累计得分达到，第一次答题必须抽到并答对选择题，所以． 要累计得分达到，有两种互斥情况：第一次抽到并答对填空题， 或前两次均抽到并答对选择题，第一种情况的概率为，第二种情况的概率为，所以． 当时，若最后一次由分达到分，则最后一次需抽到并答对选择题，这一步发生的概率为； 若最后一次由分达到分，则最后一次需抽到并答对填空题，这一步发生的概率为． 因此． 由递推式得．再由递推式得． 下面用构造法求．由，得． 设，则． 又，所以，即． 设，则．又，所以. 用等比数列求和得，所以． 而也满足此式，因此． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $