专题4.3 探索三角形全等的条件讲义-2025-2026学年北师大版数学七年级下册

探索三角形全等的条件 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 基本事实“边边边”（SSS） 考点梳理 1. 三边分别相等的两个三角形全等．简写成“边边边”或“SSS”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 典例引领 考向01 用SSS证明三角形全等 【例1】工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线．这种方法是通过判定得到，其中判定的依据是_____________． 考向02 用SSS间接证明三角形全等 【例2】如图，，，． (1)证明． (2)若，，求． 考向03 全等的性质和SSS综合 【例3】如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：． 对点提升 【对点1】油纸伞是中国传统手工艺品，也是国家级非物质文化遗产，其制作工艺精巧，伞骨结构蕴含着丰富的几何智慧．如图是某款油纸伞撑开后倒置在地面上的示意图，已知，则的依据是（    ） A． B． C． D． 【对点2】如图，E为上一点，，．求证： (1)； (2)． 【对点3】如图，，，，相交于点．求证． 考点02 基本事实“角边角”（ASA） 考点梳理 1. 两边及其夹边分别相等的两个三角形全等．简写成“角边角”或“ASA”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 考点03 “角边角”的推论“角角边”（AAS） 考点梳理 1. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．简写成“角角边”或“AAS”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 典例引领 考向01 用ASA（AAS）证明三角形全等 【例1】如图，点，都在线段上，，，．求证：． 考向02 全等的性质和ASA（AAS）综合 【例2】如图，已知点，在线段上，，，，求证：． 对点提升 【对点1】一个缺角三角形残片如图，不恢复这个缺角，请你利用尺规作一个和原三角形全等的三角形，不写作法但保留作图痕迹，并说出证明两个三角形全等的依据：________． 【对点2】如图，中，，为上一点，，交于点，求证： 考点04 基本事实“边角边”（SAS） 考点梳理 1. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．简写成“边角边”或“SAS”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 典例引领 考向01 用SAS证明三角形全等 【例1】如图，，，垂足分别为，，，，，点为边上一动点，当________时，形成的与全等． 考向02 用SAS间接证明三角形全等 【例2】如图，以的边、分别向外作等腰直角与等腰直角，，连接和相交于点O，交于点F，交于点G． (1)求证：； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 考向03 全等的性质和SAS综合 【例3】如图，有一个圆柱形杯子，小明要测量杯口的直径，他用长度都完全一样的木棍（木棍粗细忽略不计）如图所示放置，与交于点，且是和的中点，小明说测量出的长度，利用全等三角形的性质就可求出的长，以上做法中小明证明全等的依据为（    ） A． B． C． D． 对点提升 【对点1】综合实践课上，楠楠先画出了，又利用尺规作图画出了，使．图1～图3是其作图过程． （1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点． （2）以点N为圆心，以长为半径画弧，与（1）中的弧交于点P，作射线． （3）以点A为圆心，分别以长为半径画弧，与边交于点D，与射线交于点E，连接． 在楠楠的作法中，可直接判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【对点2】如图，，，求证：平分． 【对点3】如图，已知，，．求证：． 考点05 斜边、直角边定理（HL） 考点梳理 1. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2. 数学语言表达:如图，在Rt与Rt中（与为直角）， ． 考点06 三角形的稳定性 生活经验告诉我们，如果一个三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性． 三角形的稳定性在生活和生产中有着广泛的应用．例如：房屋的人字形支架、电线杆支架、斜拉桥架等，利用三角形的稳定性，使生活中的建筑经久耐用． 典例引领 考向01 三角形的稳定性及应用 【例1】下列图形中，具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 考向02 四边形的不稳定性 【例2】如图是某学校的电动伸缩门，其利用的数学原理是________________． 对点提升 【对点1】如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，其理论依据是______． 【对点2】以下生活现象利用四边形的不稳定性的是（   ） A． B． C． D． 考点07 全等三角形的判定综合 考点梳理 1、灵活选用判定方法证全等 2、结合尺规作图的全等问题 3、利用全等图形求正方形网格中角度之和 典例引领 考向01 灵活选用判定方法证全等 【例1】如图，、相交于点O，，请你再补充一个条件，使得，你补充的条件是_______． 考向02 结合尺规作图的全等问题 【例2】请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出的依据是（   ） A． B． C． D． 考向03 利用全等图形求正方形网格中角度之和 【例3】如图，正方形的网格纸上每个小正方形的边长都为1，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较 考向04 尺规作图——作三角形 【例4】如图，已知的两角分别为，．求作这个三角形，使，，(不写作法，保留作图痕迹)． 对点提升 【对点1】根据下列已知条件，能画出唯一的的是（   ） A．，， B．，， C．， D．， 【对点2】的顶点在如图所示的网格中的格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图中作的中线； (2)在图中作的高． 【对点3】如图，图形的各个顶点都在的正方形（每个小正方形的边长为1）网格的格点上，则的度数为_____________． 【对点4】用直尺和圆规，按照下面要求作出． 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．如图，小星用高度都相等的10个相同长方体小木块垒了两面与地面垂直的木墙与，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，且等腰直角三角板斜边的两个端点分别与点A，B重合，等腰直角三角板的直角顶点C与点D，E均在水平地面上，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内．已知，，则每个长方体小木块的高度为（   ） A． B． C． D． 2．根据下列条件，能作出唯一三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．， 3．如图，在中，，分别过点B，C作过点A的直线的垂线，，若，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．20 4．如图，在锐角中，的面积为15，平分，若，分别是上的动点，当的最小值为6时，的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 6．有一张三角形纸片，已知，按如下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全等打“×”．则下列判断正确的是（    ） A．方案一：√、方案二：√ B．方案一：×、方案二：× C．方案一：×、方案二：√ D．方案一：√、方案二：× 7．如图，，，垂足分别为，，，．若，，则的长度是（   ） A．5 B．7 C．8 D．10 8．如图所示，甲、乙两个三角形中能用“”判定和全等的是（　　） A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．都不是 9．如图，在中，是边上的高，．连接，交的延长线于点E，连接．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 10．山东潍坊是中国风筝之乡，匠人在制作过程中采用了全等的相关知识．在如图所示的风筝“龙骨”图案中，．则不一定能得到以下哪个结论（    ） A． B． C． D． 2、 填空题 11．如图，在等边三角形中，，，点D为边上一点且．点P为边上的动点，从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向点C运动，到达点C后停止运动；点Q为边AC上的动点，从点C出发向点A运动，到达点A后折返一次，回到点C后停止运动，P、Q两点同时出发．若在点Q返回过程中存在与全等，点Q的运动速度为______． 12．如图，在中，，，则________． 13．如图①，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律如图②，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点A，B，C，D在同一条直线上已知，，则小红和木板之间的距离为_____． 14．如图，在和中，，，点是的中点，连接、，且满足，若，则________．（用含的代数式表示） 15．如图，在中，是边上的中线，设，，若a，b满足，则的取值范围是________． 3、 填空题 16．如图，．求证：． 17．对于题目“如图1，已知相交于，，，证明：．”小明的解答过程如图2．请指出小明证明过程中错误步骤的序号，并写出正确证明过程． 18．如图，在四边形中，，为对角线上一点，，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 19．【阅读材料】面对一般性的问题时，可以先考虑特殊情形，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性的问题，这就是特殊化策略． 【活动主题】根据以上材料，同学们在数学活动课上以对角互补的四边形为活动主题，开展了如下探究． 【问题背景】如图，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且请探究线段，，之间的数量关系． (1)【特殊情形】任务：如图，当时，其他条件不变，请探究线段，，之间的数量关系． 下面是学习委员琳琳的解题过程，请将剩余内容补充完整． 解：如图，延长到点，使得，连接． 在和中， 所以，所以，． 所以． 因为，所以． …… (2)【一般性问题】任务：小梦同学发现在如图所示的四边形中，任务中的结论仍然是成立的，请你写出结论并说明理由． 20．阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造手拉手旋转型全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形中，，，若，求四边形的面积． 解：延长线段到，使得，连接，我们可以证明，根据全等三角形的性质得，，则，得，这样，四边形的面积就转化为等腰直角三角形的面积． (1)根据上面的思路，我们可以求得四边形的面积为 ． (2)请你用上面学到的方法完成下题． 如图2，已知，，求五边形的面积． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 探索三角形全等的条件 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 基本事实“边边边”（SSS） 考点梳理 1. 三边分别相等的两个三角形全等．简写成“边边边”或“SSS”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 典例引领 考向01 用SSS证明三角形全等 【例1】工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线．这种方法是通过判定得到，其中判定的依据是_____________． 【答案】三边分别相等的两个三角形全等（或）． 【分析】根据题意得出，，结合公共边，利用全等三角形的判定定理即可求解． 【详解】解：由题意可知．因为角尺两边相同的刻度分别与点，重合， 所以． 在和中， 所以． 判定依据是三边分别相等的两个三角形全等． 考向02 用SSS间接证明三角形全等 【例2】如图，，，． (1)证明． (2)若，，求． 【答案】(1)证明见详解 (2)2 【分析】（1）根据已知条件利用线段和差关系得出，进而利用“”证明； （2）由（1）的结论得到，结合已知条件即可求得结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 考向03 全等的性质和SSS综合 【例3】如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：， ，即， ，， ， ． 对点提升 【对点1】油纸伞是中国传统手工艺品，也是国家级非物质文化遗产，其制作工艺精巧，伞骨结构蕴含着丰富的几何智慧．如图是某款油纸伞撑开后倒置在地面上的示意图，已知，则的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴． 【对点2】如图，E为上一点，，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． （1）由可证明 （2）由（1）可得，即可得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：在和中 ，，， ∴． （2）证明：如图， 由（1）知， 在和中， ，，， ． 【对点3】如图，，，，相交于点．求证． 【答案】见解析 【分析】直接证明，根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】证明：在和中， ， ． 考点02 基本事实“角边角”（ASA） 考点梳理 1. 两边及其夹边分别相等的两个三角形全等．简写成“角边角”或“ASA”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 考点03 “角边角”的推论“角角边”（AAS） 考点梳理 1. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．简写成“角角边”或“AAS”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 典例引领 考向01 用ASA（AAS）证明三角形全等 【例1】如图，点，都在线段上，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据角边角的证明方法证明即可． 【详解】证明：∵， ∴，即． 在和中， ∵， ∴． 考向02 全等的性质和ASA（AAS）综合 【例2】如图，已知点，在线段上，，，，求证：． 【答案】见解析． 【分析】利用线段的和差关系得出，利用即可证明． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中，， ∴． 对点提升 【对点1】一个缺角三角形残片如图，不恢复这个缺角，请你利用尺规作一个和原三角形全等的三角形，不写作法但保留作图痕迹，并说出证明两个三角形全等的依据：________． 【答案】图见解析， 【分析】根据角边角的证明方法，使用尺规作相同的三角形即可． 【详解】解：记点A，点B如图， 画射线，以点C为圆心，长为半径，画弧，交射线于点D， 则有， 再以点A为圆心，任意长为半径画弧，交于点E与点F， 以点C为圆心，相同长度为半径画弧，交于点P， 再以点P为圆心，长度为半径，交圆于点Q，连接， 则有， 再以相同的方法作，两条射线相交于点E， 则即为所求，如图， 则是和原三角形全等的三角形，依据是：． 【对点2】如图，中，，为上一点，，交于点，求证： 【答案】证明见详解 【分析】根据已知条件可知四边形是平行四边形，得到，再证明，即可求证． 【详解】证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴（）， ∴． 考点04 基本事实“边角边”（SAS） 考点梳理 1. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．简写成“边角边”或“SAS”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 典例引领 考向01 用SAS证明三角形全等 【例1】如图，，，垂足分别为，，，，，点为边上一动点，当________时，形成的与全等． 【答案】2 【分析】根据题意首先要找出与对应的边，结合已知条件可知与相等时，由可判定，据此即可求出的值． 【详解】解：∵，，，， ∴，， ∴只有、时，与全等， ∵，， ∴，此时， 在与中， ， ∴， ∴当时，形成的与全等． 考向02 用SAS间接证明三角形全等 【例2】如图，以的边、分别向外作等腰直角与等腰直角，，连接和相交于点O，交于点F，交于点G． (1)求证：； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，，，进一步利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质得到，，利用三角形内角和以及对顶角相等得到，可得，即可证明． 【详解】（1）证明：和都是等腰直角三角形， ，， 又， ， 即， 在和中， ， ； （2）解： 理由： ， ，， 又，， ， ， 即． 考向03 全等的性质和SAS综合 【例3】如图，有一个圆柱形杯子，小明要测量杯口的直径，他用长度都完全一样的木棍（木棍粗细忽略不计）如图所示放置，与交于点，且是和的中点，小明说测量出的长度，利用全等三角形的性质就可求出的长，以上做法中小明证明全等的依据为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用证明，即可． 【详解】解：∵是和的中点， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴． 对点提升 【对点1】综合实践课上，楠楠先画出了，又利用尺规作图画出了，使．图1～图3是其作图过程． （1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点． （2）以点N为圆心，以长为半径画弧，与（1）中的弧交于点P，作射线． （3）以点A为圆心，分别以长为半径画弧，与边交于点D，与射线交于点E，连接． 在楠楠的作法中，可直接判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到，，，进而证明出即可． 【详解】解：由作图可得， ， ∴， ∴在楠楠的作法中，可直接判定的依据是 【对点2】如图，，，求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键；由题意得，利用即可证明，得，即可得平分． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴， ∴平分． 【对点3】如图，已知，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】先证明，进而证明，进而得出结论． 【详解】证明：， ， 即， 在和中， ， ， ． 考点05 斜边、直角边定理（HL） 考点梳理 1. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2. 数学语言表达:如图，在Rt与Rt中（与为直角）， ． 考点06 三角形的稳定性 生活经验告诉我们，如果一个三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性． 三角形的稳定性在生活和生产中有着广泛的应用．例如：房屋的人字形支架、电线杆支架、斜拉桥架等，利用三角形的稳定性，使生活中的建筑经久耐用． 典例引领 考向01 三角形的稳定性及应用 【例1】下列图形中，具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性判断即可． 【详解】解：选项A、B、D都是四边形，不具有稳定性，选项C由两个三角形组成具有稳定性． 考向02 四边形的不稳定性 【例2】如图是某学校的电动伸缩门，其利用的数学原理是________________． 【答案】四边形具有不稳定性 【详解】解：电动伸缩门能伸缩的几何原理是四边形具有不稳定性． 对点提升 【对点1】如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，其理论依据是______． 【答案】 三角形具有稳定性 【分析】观察图形可知，窗钩与窗框、窗扇的边缘构成了一个三角形结构，利用三角形的性质即可解答． 【详解】解：窗钩与窗框、窗扇的边缘构成了一个三角形. 因为三角形具有稳定性， 所以用窗钩可将窗户固定． 故答案为：三角形具有稳定性． 【对点2】以下生活现象利用四边形的不稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、木窗框与对角钉的木条形成的三角形，三边和三角固定，防止安装变形，是利用三角形的稳定性，不符合题意； B、活动梯子，张开的梯腿与地面形成三角形，三边和三角固定，防止登上梯子变形，是利用三角形的稳定性，不符合题意； C、伸缩门的结构是平行四边形，四角活动可以变形开关门，是利用四边形的不稳定性，符合题意； D、使用梯子的过程中，墙壁、地面和梯子形成三角形，三边和三角固定，防止登上梯子变形，是利用三角形的稳定性，不符合题意． 考点07 全等三角形的判定综合 考点梳理 1、灵活选用判定方法证全等 2、结合尺规作图的全等问题 3、利用全等图形求正方形网格中角度之和 典例引领 考向01 灵活选用判定方法证全等 【例1】如图，、相交于点O，，请你再补充一个条件，使得，你补充的条件是_______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据全等三角形的判定定理：，，，，，即可解答． 【详解】根据题意可得，， 根据全等三角形的判定定理， 可补充的条件为，则； 可补充的条件为，则．（答案不唯一） 考向02 结合尺规作图的全等问题 【例2】请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：作如下标识， 根据作法可知，，， ∴， ∴， 则画出的依据是， 考向03 利用全等图形求正方形网格中角度之和 【例3】如图，正方形的网格纸上每个小正方形的边长都为1，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【分析】本题考查了角的大小比较．构造全等三角形，让与两个角的顶点重合，即可解答． 【详解】解：如图，，，， ∴， ∴， ∵在的内部， ∴． 故选：C． 考向04 尺规作图——作三角形 【例4】如图，已知的两角分别为，．求作这个三角形，使，，(不写作法，保留作图痕迹)． 【答案】作图见解析 【分析】先作出定长的边，再在该边的同侧准确作出与已知角相等的角，使两角的另一边相交得到三角形的第三个顶点． 【详解】解：如图，任意作射线，以点为圆心，线段的长为半径画弧，交射线于点，再作，在的同侧作，交射线于点， 则即为所求． 对点提升 【对点1】根据下列已知条件，能画出唯一的的是（   ） A．，， B．，， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查三角形唯一性的判断，当已知条件符合全等三角形的判定定理（，，，，）时，能画出唯一的三角形，据此逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、已知两边及其中一边的对角，即，不符合全等三角形的判定，不能画出唯一，故本选项错误； B、已知，，夹边，符合全等三角形判定，因此能画出唯一，故本选项正确； C、仅已知一个角和一条边，条件不足，不能画出唯一三角形，故本选项错误； D、仅已知一条边和一个角，条件不足，不能画出唯一三角形，故本选项错误． 【对点2】的顶点在如图所示的网格中的格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图中作的中线； (2)在图中作的高． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（1）利用网格特征作出的中点，连接即可； （2）取格点，连接，延长交于点，线段即为所求． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； （2）如图，线段即为所求． 【对点3】如图，图形的各个顶点都在的正方形（每个小正方形的边长为1）网格的格点上，则的度数为_____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，由证明三角形全等得出是解题的关键． 通过证明三角形全等得出再根据即可得出答案． 【详解】解：如图所示， 由题意得，在和中， 故答案为：. 【对点4】用直尺和圆规，按照下面要求作出． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图，掌握运用尺规作角和线段的方法是解题的关键． 先作与相等的，在、上分别截取，确定点A、点C，然后顺次连接即可解答． 【详解】解：如图：即为所求． 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．如图，小星用高度都相等的10个相同长方体小木块垒了两面与地面垂直的木墙与，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，且等腰直角三角板斜边的两个端点分别与点A，B重合，等腰直角三角板的直角顶点C与点D，E均在水平地面上，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内．已知，，则每个长方体小木块的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明，得到，进而求出的长为10个长方体小木块的高度，即可. 【详解】解：由题意，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴10个长方体小木块的高度为， ∴每个长方体小木块的高度为. 2．根据下列条件，能作出唯一三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．， 【答案】C 【分析】本题利用三角形三边关系和全等三角形的判定定理，逐一判断选项能否作出唯一三角形即可． 【详解】解：A、已知两边及其中一边的对角，不能确定唯一三角形，本选项不符合题意． B、，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能作出三角形，本选项不符合题意． C、已知两个角，第三个角可由三角形内角和求出，且已知一条边，符合全等三角形的判定条件，能作出唯一三角形，本选项符合题意． D、只知道一个直角和斜边，缺少边或角的条件，不能确定唯一三角形，本选项不符合题意． 3．如图，在中，，分别过点B，C作过点A的直线的垂线，，若，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．20 【答案】B 【分析】首先证明，然后再根据定理证明，根据全等三角形的性质可得，，进而得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 4．如图，在锐角中，的面积为15，平分，若，分别是上的动点，当的最小值为6时，的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】在上截取，证明，所以，则，当三点共线，且时，的值最小，为长，然后通过三角形面积公式求出长即可． 【详解】解：如图，在上截取， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时，的值最小，为长，如图， 即， ∵的面积为15， ∴，即， ∴． 5．如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用判定，根据全等三角形对应角相等可得，从而可得，根据三角形内角和定理可以求出，再利用三角形内角和定理可求的度数． 【详解】解：在中，， ， 在和中， ， ， 又， ， ， 在中，． 6．有一张三角形纸片，已知，按如下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全等打“×”．则下列判断正确的是（    ） A．方案一：√、方案二：√ B．方案一：×、方案二：× C．方案一：×、方案二：√ D．方案一：√、方案二：× 【答案】D 【分析】对于方案一，可以运用“角边角”的判定定理证明两个阴影部分的三角形全等；对于方案二，只有当点N是中点时，两个阴影部分的三角形才能全等． 【详解】解：如图，方案一： ∵，，， ∴． 又∵，， ∴在与中， ， ∴， 即方案一正确； 方案二： 只有当点N是中点时，两个阴影部分的三角形才能全等， ∴方案二中两个阴影部分的三角形不一定全等． 7．如图，，，垂足分别为，，，．若，，则的长度是（   ） A．5 B．7 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定．根据垂直的定义得到根据平行线的性质得到，证明得出，进而根据，即可求解． 【详解】证明：， ， 又， ， 在和中 ． ∴， ∴， ∴     故选：B． 8．如图所示，甲、乙两个三角形中能用“”判定和全等的是（　　） A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．都不是 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据判定三角形全等的条件，逐一判断即可解答． 【详解】解：甲的边，的夹角和的边，的夹角不对应，故甲三角形与不全等； 乙的角，和边与的角，和边对应，能用“”证明乙三角形与全等； 则甲、乙两个三角形中能用“”判定和全等的是乙． 故选：B． 9．如图，在中，是边上的高，．连接，交的延长线于点E，连接．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】先证即可判断①，利用及三角形内角和定理与对顶角即可判断②，点F作于点M，过点G作交的延长线于点N，证明，得出，同理得到，从而得出，证明，从而得到，即可判断③④，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，故①正确， ∵， ∴， 如图，记交于点，的交点为， ∵， ∴， ∴，故②正确， 过点F作于点M，过点G作交的延长线于点N， ， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 同理， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故③正确，④正确． 10．山东潍坊是中国风筝之乡，匠人在制作过程中采用了全等的相关知识．在如图所示的风筝“龙骨”图案中，．则不一定能得到以下哪个结论（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定定理证明三角形全等是解题的关键． 根据已知条件分析和易得可判断A选项；由得出，再由全等三角形的判定和性质即可判定B、C选项即可解答． 【详解】解：在和中， ， ∴，故选项A不符合题意； ∴， ∴，即， ∵、， ∴，故选项B不符合题意； ∴， ∴，即，故选项C不符合题意； 无法证明，故选项D符合题意． 故选：D． 2、 填空题 11．如图，在等边三角形中，，，点D为边上一点且．点P为边上的动点，从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向点C运动，到达点C后停止运动；点Q为边AC上的动点，从点C出发向点A运动，到达点A后折返一次，回到点C后停止运动，P、Q两点同时出发．若在点Q返回过程中存在与全等，点Q的运动速度为______． 【答案】或10个单位长度 【分析】点Q到达点A后折返一次，回到点C后停止运动，在运动过程中存在与全等，推出，或，根据点P求出运动时间，利用路程除以时间得出Q的运动速度． 【详解】解：点P以每秒2个单位长度向点C运动，点Q返回过程中存在与全等， ， ，或， 或， 点Q的运动路程为或， 点Q的速度为：或． 12．如图，在中，，，则________． 【答案】 【分析】利用证明得到，再由平角的定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 13．如图①，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律如图②，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点A，B，C，D在同一条直线上已知，，则小红和木板之间的距离为_____． 【答案】6 【分析】根据入射角等于反射角得到，再证明三角形全等，即可解答． 【详解】解：由题意，得 ，     ，     在和中， ，     ， ∴． 14．如图，在和中，，，点是的中点，连接、，且满足，若，则________．（用含的代数式表示） 【答案】 【详解】解：如图，延长至点，使，连接、，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，即， ，， ， ， ， ， ． 15．如图，在中，是边上的中线，设，，若a，b满足，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】已知等式变形后，利用完全平方公式配方，再利用非负数的性质求出a与b的值，即可求出的取值范围． 【详解】解：已知等式整理得：， 即， ∵， ∴ ∴， 解得：， ∴， 延长到E，使，连接， ∵为边上的中线， ∴， 在和中，, ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3、 填空题 16．如图，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据推出，利用证出即可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 17．对于题目“如图1，已知相交于，，，证明：．”小明的解答过程如图2．请指出小明证明过程中错误步骤的序号，并写出正确证明过程． 【答案】②，证明见解析 【分析】利用“边边边”证明，即可． 【详解】解：错误步骤的序号为②． 正确证明如下： 由正确步骤①知， 所以， 因为，． 所以， 在和中， 因为， 所以． 18．如图，在四边形中，，为对角线上一点，，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）由补角的性质得到，由平行得，由即可证明三角形全等； （2）由全等三角形得，，进而求得，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴． ∴． 19．【阅读材料】面对一般性的问题时，可以先考虑特殊情形，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性的问题，这就是特殊化策略． 【活动主题】根据以上材料，同学们在数学活动课上以对角互补的四边形为活动主题，开展了如下探究． 【问题背景】如图，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且请探究线段，，之间的数量关系． (1)【特殊情形】任务：如图，当时，其他条件不变，请探究线段，，之间的数量关系． 下面是学习委员琳琳的解题过程，请将剩余内容补充完整． 解：如图，延长到点，使得，连接． 在和中， 所以，所以，． 所以． 因为，所以． …… (2)【一般性问题】任务：小梦同学发现在如图所示的四边形中，任务中的结论仍然是成立的，请你写出结论并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）证明得到，进而即可得出结论． （2）延长至点，使，连接，先证明得到，，再证明，得到，进而即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，延长到点，使得，连接． 在和中， 所以， 所以，． 所以． 因为， 所以． 在和中，， 所以． 所以． 因为， 所以． （2）解：，理由如下： 如图，延长至点，使，连接． 因为，， 所以． 在和中，， 所以． 所以，． 因为， 所以． 所以． 在和中，， 所以，所以． 因为， 所以． 20．阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造手拉手旋转型全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形中，，，若，求四边形的面积． 解：延长线段到，使得，连接，我们可以证明，根据全等三角形的性质得，，则，得，这样，四边形的面积就转化为等腰直角三角形的面积． (1)根据上面的思路，我们可以求得四边形的面积为 ． (2)请你用上面学到的方法完成下题． 如图2，已知，，求五边形的面积． 【答案】(1)； (2)五边形的面积是． 【分析】（1）根据三角形的面积公式求得的面积，即可求解； （2）连接、，延长到，截取，证明，，根据三角形的面积公式求得的面积，即可得出的面积，进而求得四边形的面积． 【详解】（1）解：由题意可得， ，， 则的面积是：， 即四边形的面积为， 故答案为：； （2）连接、，延长到，截取， 在和中， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， 的面积是：， 的面积是， 四边形的面积是， 五边形的面积是． 1 / 2 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