4.3探索三角形全等的条件 讲义2025-2026学年北师大版数学七年级下册

探索三角形全等的条件 一、 教学要求 日教学目标 (1)经历探索三角形全等条件的过程 (2)掌握判定三角形全等的基本事实“边边边”，“边角边”，“角边角”和推论“角角边”， 能判定两个三角形全等 (3)了解三角形的稳定性 日重难点分析 (1)重点：掌握三角形全等的判定 (2)难点：在探索三角形全等的条件及应用的过程中，能有条理的思考并进行简单的推理 二、知识精讲 日sss判定 【探究】先任意画出一个△ABC.再画出一个△ABC,使A'B=AB,BC=BC,CA'=CA. 把画好的△ABC剪下来，放到△ABC上，它们全等吗？ 【作图】画一个△A'B'C,使A'B=AB,BC'=BC,CA'=CA: ①画BC'=BC; ②分别以点B,C为圆心，线段AB,AC长为半径画弧，两弧相交于点A'; ③连接线段AB,A'C. C B' 全等三角形判定方法：三边分别相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或 “SSs”) 【书写过程】 B 在△ABC和△DEF中 .△ABC≌△DEF(SSS) 如果三角形的三条边长固定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的 这个性质叫做三角形的稳定性。 日例题 1如图，EF是线段BC上两点，AB=DC,AE=DF,BF=CB,求证：△ABE≌ △DCF 【答案】证明见解析 :BF+EF=CE+EF. 即：BE=CF. 在△ABE和△DCF中 (AB-DC AE-DF BE=CF △ABE≌△D CF SSS). 9练习 2.如图，AB=AC,AE=AD,BD=CE,求证：△AEB≌△ADC 【答案】证明见解析 :BD-ED=EC-DE, :BE=DC, AB=AC 在△ABE和△ACD中 AE-AD EB=CD ∴.△AEB≌△AD C(SSS. 3.如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC,AC=DB,求证：△ABC≌△DCB· B 【答案】证明见解析 在和中， AB=DC BC=BC AC=BD' .△ABC≌△DCB(SSS). 9例题 4.如图，一扇窗户打开后，用窗钩BC可将其固定，这里所运用的几何原理是(）· A.三角形的稳定性 B.两点之间线段最短 C两点确定一条直线 D垂线段最短 【答案】A 这里所运用的几何原理是三角形的稳定性. ⑨练习 5.下列实际情景运用了三角形稳定性的是()· A.人能直立在地面上 B.校门口的自动伸缩栅栏门 C.古建筑中的三角形屋架 D.三轮车能在地面上运动而不会倒 【答案】C 古建筑中的三角形屋架是利用了三角形的稳定性， 故选C 6空调安装在墙上时，一般都会采用如图的方法固定，这种方法应用的几何原理是()· 空调 三角形支架 A.两点确定一条直线 B.两点之间线段最短 C.三角形的稳定性 D.垂线段最短 【答案】C 这种方法应用的几何原理是三角形的稳定性. 故选C 日SAS判定 【探究】先任意画出一个△ABC.再画出一个△A'BC,使A'B=AB,A'C=AC,∠A'=∠A, 把画好的△A'BC剪下来，放到△ABC上，它们全等吗？ 【作图】画一个△A'B'C,使A'B=AB,A'C'=AC,∠A'=∠A: ①画∠DA'E=∠A; ②在射线A'D上截取A'B=AB,在射线AE上截取A'C=AC; ③连接BC'. E B B'D 全等三角形判定方法：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 (可以简写成“边角边”或“sAs”)· 【书写过程】 D B 在△ABC和△DEF中 .△ABC≌△DEF(SAS) 【思考】己知两边及其一边的对角对应相等，能否判定两个三角形全等？ 【易错提醒】 己知两边及其中一边的对角对应相等时，不能判定两个三角形全等. 如图：∠A=45°，AB=4Cm,BC=BD=3Cm,△ABC与△ABD明显不全等， 日例题 7.如图，AB=AC,AD=AE求证：LB=LC B 【答案】证明见解析. 在和中 B=AC ∠BAE=∠CAD 、AE=AD ·△ABE≌△ACD(SAS), ∠B=∠C 日练习 8如图，点F、C在BE上，BF=CE,AB=DE,∠B=∠E· 求证：∠A=∠D· 【答案】证明见解析. , ∴BC=EF, 在△ABC和△DEF中， AB=DE ∠B=∠E BC=EF :△ABC≌△DEF. ∴∠A=∠D 9.如图，△ABC为等边三角形，且BM=CN,AM与BN相交于点P,则∠APN的度数 (). B A.75 B.600 C.45o D.大小无法确定 【答案】B :△ABC为等边三角形， .BC=AB,∠C=∠ABM=60°， BM=CN, ·△ABM≌△BCN, ∴∠BAM=∠CBN,∠AMB=∠BNC, .∠APN=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=60°. 日ASA判定 【探究】先任意画出一个△ABC.再画出一个△A'BC,使A'B=AB,∠A'=∠A,∠B=∠B. 把画好的△A'BC剪下来，放到△ABC上，它们全等吗？ 【作图】画一个△A'BC,使A'B=AB,∠A'=∠A,∠B=LB: ①画A'B=AB; ②在A'B的同旁画∠DA'B=∠A,∠EBA'=∠B,A'D,BE相于点C. D B 全等三角形判定方法：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 (可以简写成“角边角”或“ASA”)· 【书写过程】 D B 在△ABC和△DEF中 ∴.△ABC≌△DEF(ASA) 日例愿 10.如图，AC=AD,∠1=∠2，∠C=∠D·求证：BC=ED· 【答案】证明见解析. , ∴∠1十∠EAC=∠2十∠EAC,即LCAB=∠EAD, 在△ACB和△ADE中， I∠CAB=∠EAD AC=AD ∠C=∠D △ACB≌△ADE(ASA), :BC=DE 日练习 11如图，等边△ABC与等边△DEC共顶点于C点.求证：AE=BD· D 【答案】证明见解析. :是等边三角形， ∠ACB=60°，AC=BC. ∠BCD+∠DCA=60°，同理∠ACE+∠DCA=60°，DC=EC. .∠BCD=∠ACE 在△BCD与△ACE中， BC=AC ∠BCD=∠ACE DC=EC .△BCD≌△ACE, :BD=AE. 12.如图，点E在线段AC上，BC//DE,AC=DE,CB=CE,求证：∠A=∠D· D 【答案】证明见解析 , ∴.∠CED=∠BCA, 在△DEC和△ACB中， DE-AC ∠CED=∠BCA EC=CB .△DEC≌△ACB(SAS), ∴∠A=∠D. 日AAS判定 【探究】如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D,∠B=LE,BC=EF,那么△ABC和△DEF全 等吗？能利用边角边条件证明你的结论吗？ D B 证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°， .∠C=180°-∠A-∠B. 同理∠F=180°-∠D-∠E. :LA=∠D,∠B=∠E, :LC=ZF, 在△ABC和△DEF中 △ABC≌△DEF(ASA). 全等三角形判定方法：两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 （可以简写成“角角边”或“AAs”). 【书写过程】 D B 在△ABC和△DEF中 ·△ABC≌△DEF(AAS) ⊙例题 13.如图，已知∠1=∠2，∠B=∠C,若直接推得△ABD≌△ACD,则其根据是(）· B A.SAS B.SSS C.ASA D.AAS 【答案】D 在和中 IB=∠C ∠1=∠2 (AD=AD ·△ABD≌△ACD(AAS), 故选：D 日练习 14如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且 BC=CE,求证：△ABC≌△DEC. 2 【答案】证明见解析. ·∠3+∠4=∠4+∠5， .∠3=∠5， 在△ACD中，∠ACD=90°， ·∠2+∠D=90°， :∠BAE=∠1十∠2=90°， ∠1=∠D, 在△ABC和△DEC中， I∠1=∠D 3=∠5 BC=CE .△ABC≌△DEC(AAS)· 15.如图，AC=CE,∠ACE=90°，AB⊥BD,ED⊥BD,AB=6cm,DE=2cm, 则BD等于()· B▣ DD A.6cm B.8cm C.10cm D.4cm 【答案】B ，, .∠B=∠D=∠ACE=90°， .∠BAC+∠ACB=90°，∠ACB+∠ECD=90°， .∠BAC=∠ECD, :在Rt△ABC与Rt△CDE中， ∠B=∠D ∠BAC=∠DCE AC=CE :Rt△ABC≌Rt△CDE(AAS, :BC=DE=2cm,CD=AB=6cm, :.BD=BC+CD=2+6=8cm. 三、知识总结 三边分别相等的两个三角形全等 sss 三角形的稳定性 SAS 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 探索三角形全等的条件 ASA 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 AAS 两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等探索三角形全等的条件 一、 教学要求 日教学目标 (1)经历探索三角形全等条件的过程 (2)掌握判定三角形全等的基本事实“边边边”，“边角边”，“角边角”和推论“角角边”， 能判定两个三角形全等 (3)了解三角形的稳定性 日重难点分析 (1)重点：掌握三角形全等的判定 (2)难点：在探索三角形全等的条件及应用的过程中，能有条理的思考并进行简单的推理 二、知识精讲 日sss判定 【探究】先任意画出一个△ABC.再画出一个△ABC,使A'B=AB,BC=BC,CA'=CA. 把画好的△ABC剪下来，放到△ABC上，它们全等吗？ 【作图】画一个△A'B'C,使A'B=AB,BC'=BC,CA'=CA: ①画BC'=BC; ②分别以点B,C为圆心，线段AB,AC长为半径画弧，两弧相交于点A'; ③连接线段AB,A'C. B B" 全等三角形判定方法：三边分别相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或 “sSs”) 【书写过程】 在△ABC和△DEF中 .△ABC≌△DEF(SSS) 如果三角形的三条边长固定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的 这个性质叫做三角形的稳定性。 目例题 1如图，EF是线段BC上两点，AB=DC,AE=DF,BF=CB,求证：△ABE≌ △DCF 日练习 2如图，AB=AC,AE=AD,BD=CE,求证：△AEB≌△ADC. B 3.如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC,AC=DB,求证：△ABC≌△DCB B 日例题 4.如图，一扇窗户打开后，用窗钩BC可将其固定，这里所运用的几何原理是(）· A三角形的稳定性 B两点之间线段最短 C.两点确定一条直线 D.垂线段最短 日练习 5.下列实际情景运用了三角形稳定性的是(). A.人能直立在地面上 B.校门口的自动伸缩栅栏门 C.古建筑中的三角形屋架 D.三轮车能在地面上运动而不会倒 6.空调安装在墙上时，一般都会采用如图的方法固定，这种方法应用的几何原理是()· 空调 三角形支架 A两点确定一条直线 B.两点之间线段最短 C.三角形的稳定性 D.垂线段最短 日SAS判定 【探究】先任意画出一个△ABC.再画出一个△A'BC,使A'B=AB,A'C'=AC,∠A'=∠A. 把画好的△A'BC剪下来，放到△ABC上，它们全等吗？ 【作图】画一个△A'BC,使A'B=AB,AC=AC,∠A'=∠A: ①画∠DA'E=∠A; ②在射线AD上截取A'B=AB,在射线A'E上截取A'C=AC; ③连接BC. E B A B D 全等三角形判定方法：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 (可以简写成“边角边”或“sAs”)· 【书写过程】 在△ABC和△DEF中 ∴.△ABC≌△DEF(SAS) 【思考】己知两边及其一边的对角对应相等，能否判定两个三角形全等？ 【易错提醒】 已知两边及其中一边的对角对应相等时，不能判定两个三角形全等. 如图：∠A=45,AB=4Cm,BC=BD=3Cm,△ABC与△ABD明显不全等， Q例题 7.如图，AB=AC,AD=AE,求证：∠B=∠C 目练习 8.如图，点F、C在BE上，BF=CE,AB=DE,∠B=LE· 求证：∠A=∠D, 9.如图，△ABC为等边三角形，且BM=CN,AM与BN相交于点P,则∠APN的度数 (). A.75· B.60° C.45o D.大小无法确定 日ASA判定 【探究】先任意画出一个△ABC.再画出一个△A'BC',使A'B=AB,∠A'=∠A,∠B=∠B. 把画好的△A'BC剪下来，放到△ABC上，它们全等吗？ 【作图】画一个△A'B'C,使A'B=AB,∠A=∠A,∠B=∠B: ①画A'B=AB; ②在A'B的同旁画LDA'B=∠A,∠EBA'=LB,A'D,BE相于点C. .D B A B 全等三角形判定方法：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 (可以简写成“角边角”或“ASA”), 【书写过程】 B 在△ABC和△DEF中 .△ABC≌△DEF(ASA) ⑨例题 10.如图，AC=AD,∠1=∠2，∠C=∠D·求证：BC=ED· A 2 目练习 11.如图，等边△ABC与等边△DEC共顶点于C点.求证：AE=BD· D 12如图，点E在线段AC上，BC//DE,AC=DECB=CE,求证：∠A=LD: 日AAS判定 【探究】如图，在△ABC和△DEF中，∠A=LD,∠B=∠E,BC=EF,那么△ABC和△DEF全 等吗？能利用边角边条件证明你的结论吗？ CE 证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°， .∠C=180°-∠A-∠B. 同理∠F=180°-∠D-∠E. ,∠A=∠D,∠B=∠E, ∠C=∠F, 在△ABC和△DEF中 △ABC≌△DEF(ASA). 全等三角形判定方法：两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 (可以简写成“角角边”或“AAS). 【书写过程】 D 在△ABC和△DEF中 .△ABC≌△DEF(AAS) ⑨例愿 13.如图，已知∠1=∠2∠B=∠C,若直接推得△ABD兰△ACD,则其根据是()· B A.SAS B.SSS C.ASA D.AAS 日练习 14.如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCB=∠ACD=90°，且 BC=CE,求证：△ABC≌△DEC, 2 B 15.如图，AC=CE,∠ACE=90°，AB⊥BD,ED⊥BD,AB=6cm,DE=2cm, 则BD等于()· A.6cm B.8cm C.10cm D.4cm 三、知识总结 三边分别相等的两个三角形全等 SSS 三角形的稳定性 SAS 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 探索三角形全等的条件 ASA 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 AAS 两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等