精品解析：浙江省嘉兴市上海外国语大学秀洲外国语学校2025-2026学年下学期八年级期中考试数学试题卷

2025学年第二学期八年级期中考试 数学试题卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 下面四个图形体现了中华民族的传统文化．其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，关于的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某校举办“汉字听写大赛”，7名学生进入决赛，他们所得分数互不相同，比赛共设3个获奖名额，某学生知道自己的分数后，要判断自己能否获奖，他应该关注的统计量是(　　) A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 6. 用反证法证明命题：“在中，若，则．”时，第一步应先假设（ ） A. B. C. D. 7. 为提升航空运力，南宁吴圩国际机场进行第二条跑道扩建并优化调度，每月航班起降架次经过两次增长，由原来的1200架次增至架次．假设这两次的增长率相同，设每次增长率为x，可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 在某场女排决赛中，队战胜队获得冠军．如图反映了两队队员拦网高度情况，下列说法错误的是（ ） A. 队拦网高度的整体水平比队高 B. 队拦网高度的中位数更低 C. 队拦网高度的波动相对较小，队拦网高度相对分散 D. 队上四分位数更高 9. 如图，已知D、E分别是的边、的中点，是的中线，连接、、，若的面积为40，则阴影部分的面积为（ ） A. 10 B. 5 C. 8 D. 4 10. 关于x的一元二次方程，下列说法： ①若，则方程一定有两个不相等的实数根； ②若，则方程没有实数根； ③若n是方程的一个根，则； ④若是方程的一个根，则是方程 的一个根． 其中正确的是（　　） A. ①②③④ B. ①③ C. ②④ D. ①②④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_____． 12. 甲、乙两人在相同情况下各打靶8次，每次打靶的成绩如图所示，统计两人成绩的方差为，，则__________填“＞”或“＜”）． 13. 已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则另一个根是________． 14. 足球表面为什么用正六边形和正五边形构成？因为正六边形的两个内角和正五边形的一个内角加起来接近一个周角，而又不足一个周角．这样，由平面折叠而成的多面体充气后最终就呈现为球形．如图，在折叠前的平面上，拼接点处的缝隙∠AOB的大小为 ______． 15. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，且方程的两根满足，则m的值为________． 16. 如图，在▱中，对角线、相交于点，点、分别是边、上的点，连接、、若，，，则 点到直线的距离是______． 周长的最小值是______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解下列方程： （1）； （2）． 19. 如图．在网格中，每个小正方形的边长都是1，每个顶点称为格点．线段的端点都在格点上．按下列要求作图，使所画图形的顶点均在格点上． （1）如图1，画出与关于点成中心对称的图形； （2）如图2，画一个以为边，且面积为12的平行四边形． 20. 从2003年10月神舟五号载人飞船进入太空，到2022年6月神舟十四号成功发射，中国航天人合力将中国太空梦化为现实，并不断取得突破性进展，为此，某中学开展以“航天梦·中国梦”为主题的演讲比赛，赛后，从七，八年级中各随机抽取20名学生的比赛成绩（比赛成绩均为整数，8分及8分以上为优秀）进行整理和分析，绘制出如下统计表． 表一：从七，八年级抽取学生的比赛成绩统计表 成绩（分） 4 5 6 7 8 9 10 抽取的七年级人数（人） 2 0 4 3 6 3 2 抽取的八年级人数（人） 1 2 1 6 5 4 1 表二：学校对平均数，中位数，众数，优秀率进行分析，绘制成如下统计表 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 7.4 a 8 55% 八年级 7.4 b c 50% 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a＝______；b＝______；c＝______； （2）若该校七，八年级共有学生500名，估计该校学生在本次比赛中成绩在9分及9分以上的共有多少人？ （3）根据表二中的数据分析，你认为哪个年级的学生在本次比赛中成绩较好，并说明理由． 21. 如图，已知四边形为平行四边形，分别平分和，交于点，连接． （1）若，求的度数； （2）求证：． 22. 如图，在四边形中，与相交于点，且，点在上，满足． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求四边形的面积． 23. 小明学校八年级开展社会实践活动，如表是“遇数临风”小组的记录表，请根据相关信息解决表中的两个问题． 小明学校社会实践记录表 团队名称 遇数临风 活动时间 2026.4.15 班级人员 小朋、小友 地点 象贤农贸市场 实践内容 调查青菜行情，帮超市解决销售问题的同时为顾客谋实惠． 调研信息 青菜的进价为2元/千克． 青菜售价为2.5元/千克时，每天可销售125千克． 每千克每涨价0.1元，每天少销售5千克． （1）某天超市正好销售105千克的青菜，则获利多少元？ （2）若超市想一天销售青菜获利100元，则青菜的售价为多少元/千克？ （3）若超市想一天销售青菜获利最大，则青菜的售价为多少元/千克？ 24. 如图1，在中，，．点是边上的动点，连接，将绕点旋转至，使点与点重合，连接交于点． （1）当点为中点时，线段________； （2）如图2，作交于点，连接交于点．求证：四边形是平行四边形； （3）在（2）的条件下： ①若，求的度数； ②连接，当时，________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期八年级期中考试 数学试题卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 下面四个图形体现了中华民族的传统文化．其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误； B、是中心对称图形，故本选项正确； C、不是中心对称图形，故本选项错误； D、不是中心对称图形，故本选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称图形轴对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2. 下列方程中，关于的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义（只含一个未知数、未知数最高次数为2、整式方程、二次项系数不为0），逐一判断各选项． 【详解】解：选项A：，只含未知数，最高次数为2，是整式方程，二次项系数，符合定义； 选项B：整理得，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合； 选项C：含和两个未知数，不符合； 选项D：，未说明，当时不是二次方程，不符合． 故选：A． 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】最简二次根式需满足：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．的被开方数不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的定义，是最简二次根式； B．，被开方数含能开得尽方的因数，因此不是最简二次根式； C．，被开方数含能开得尽方的因数，因此不是最简二次根式； D．，被开方数含能开得尽方的因数，因此不是最简二次根式． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算．根据二次根式的运算法则，逐一进行计算，判断即可． 【详解】解：A、，选项错误； B、，选项错误； C、，选项正确； D、不能合并，选项错误； 故选C． 5. 某校举办“汉字听写大赛”，7名学生进入决赛，他们所得分数互不相同，比赛共设3个获奖名额，某学生知道自己的分数后，要判断自己能否获奖，他应该关注的统计量是(　　) A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】由于比赛设置了3个获奖名额，共有7名选手参加，故应根据中位数的意义分析． 【详解】解：因为3位获奖者的分数肯定是7名参赛选手中最高的， 而且7个不同的分数按从小到大排序后，中位数之后的共有3个数， 故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否获奖了． 故选． 【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用． 6. 用反证法证明命题：“在中，若，则．”时，第一步应先假设（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反证法的应用，关键是明确反证法第一步需假设命题结论的反面成立．据此进行判断即可． 【详解】解：∵反证法的第一步是假设原命题的结论不成立，原命题要证明的结论是， ∴该结论的反面为，即第一步应假设， 故选B． 7. 为提升航空运力，南宁吴圩国际机场进行第二条跑道扩建并优化调度，每月航班起降架次经过两次增长，由原来的1200架次增至架次．假设这两次的增长率相同，设每次增长率为x，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查列一元二次方程，关键在于读清楚题意，找出合适的等量关系列出方程．根据增长率模型，初始值经过两次相同增长率增长后得到最终值，即可列出方程． 【详解】解：∵ 初始架次为1200，每次增长率为， ∴由题意得， ． 故选：A． 8. 在某场女排决赛中，队战胜队获得冠军．如图反映了两队队员拦网高度情况，下列说法错误的是（ ） A. 队拦网高度的整体水平比队高 B. 队拦网高度的中位数更低 C. 队拦网高度的波动相对较小，队拦网高度相对分散 D. 队上四分位数更高 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了箱线图，解决本题的关键是根据箱线图中极小值、极大值、上四分位数、下四分位数、中位数的位置判断各项是否正确． 【详解】解：A选项：由箱线图可知，队的极小值、极大值、上四分位数、下四分位数、中位数均高于，队拦网高度的整体水平比队高，故A选项正确； B选项：由箱线图可知，队拦网高度的中位数高，故B选项错误； C选项：由箱线图可知，队的极差小，队的极差大，队拦网高度的波动相对较小，队拦网高度相对分散，故C选项正确； D选项：由箱线图可知，队的上四分位数更高，故D选项正确． 故选：B． 9. 如图，已知D、E分别是的边、的中点，是的中线，连接、、，若的面积为40，则阴影部分的面积为（ ） A. 10 B. 5 C. 8 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高；三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．也考查了三角形中位线性质． 连接，如图，先判断为的中位线，则，根据平行线之间的距离和三角形面积公式得到，然后利用三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，再根据三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：连接，如图， ∵D为的中点，G为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∵E点为的中点， ∴， ∵D点为的中点， ∴， ∵G点为的中点， ∴． 故选：B． 10. 关于x的一元二次方程，下列说法： ①若，则方程一定有两个不相等的实数根； ②若，则方程没有实数根； ③若n是方程的一个根，则； ④若是方程的一个根，则是方程 的一个根． 其中正确的是（　　） A. ①②③④ B. ①③ C. ②④ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的根等知识，证明，即可判断①，证明，即可判断②；根据一元二次方程根的定义得到，则或，即可判断③；由题意可得，即可判断④． 【详解】解：①对于方程， ， 若，则， 则， 即， ∴方程一定有两个不相等的实数根；故选项正确； ②由①可知，， 若，则，即，则， ∴， ∴方程没有实数根；故②正确； ③若n是方程的一个根，则，即， 则或，即或，故选项错误； ④若是方程的一个根， 则， ∵， ∴两边同除以得， ， 即， ∴是方程的一个根． 故④正确； 综上可知，①②④正确， 故选：D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】x≥1 【解析】 【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0， ∴x≥1， 故答案为：x≥1． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握被开方数大于等于0． 12. 甲、乙两人在相同情况下各打靶8次，每次打靶的成绩如图所示，统计两人成绩的方差为，，则__________填“＞”或“＜”）． 【答案】＜ 【解析】 【分析】先根据图甲和图乙中的数据，求出甲、乙两人的方差，然后进行比较即可． 【详解】解：甲的平均数为：（10＋7＋7＋8＋8＋8＋9＋7）÷8＝8，甲的方差S甲2＝[（8−10）2＋3×（8−7）2＋3×（8−8）2＋（8−9）2]÷8＝1； 乙的平均数为（10＋5＋5＋8＋9＋9＋8＋10）÷8＝6.48，乙的方差S乙2＝[2×（8−10）2＋2×（8−8）2＋2×（8−9）2＋2×（8−5）2]÷8＝3.5； ∴S甲2＜S乙2， ∴甲比乙稳定． 故答案为：＜． 【点睛】考查了平均数和方差的概念，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为x，方差S2＝[（x1−x）2＋（x2−x）2＋…＋（xn−x）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大反之也成立． 13. 已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则另一个根是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用即可解答． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为2，另一个根为a， ∴， 解得：， 则另一根是． 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是掌握：对于有两个实数根的一元二次方程，，． 14. 足球表面为什么用正六边形和正五边形构成？因为正六边形的两个内角和正五边形的一个内角加起来接近一个周角，而又不足一个周角．这样，由平面折叠而成的多面体充气后最终就呈现为球形．如图，在折叠前的平面上，拼接点处的缝隙∠AOB的大小为 ______． 【答案】12°##12度 【解析】 【分析】先由多边形的内角和公式求出正六边形和正五边形的内角，再根据周角是360°即可求出∠AOB的大小． 【详解】解：因为正多边形内角和为（n-2）•180°，正多边形每个内角都相等， 所以正五边形的每个内角的度数为（5-2）•180°=108°， 正六边形的每个内角的度数为（6-2）•180°=120°． ∴∠AOB的度数为：360°-108°-120°×2=12°． 故答案为：12°． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式．熟练掌握正多边形的性质，多项式的内角和公式是解决问题的关键． 15. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，且方程的两根满足，则m的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式的意义，一元二次方程根与系数的关系．利用根与系数的关系得到，，代入条件得到关于的方程，解方程并检验判别式，确定的值. 【详解】解：由根与系数的关系，得，， 则， 所以，即， 解得或. 又因为方程有两个实数根，所以判别式，即. 当时，不成立，舍去； 当时，成立. 故. 故答案为：． 16. 如图，在▱中，对角线、相交于点，点、分别是边、上的点，连接、、若，，，则 点到直线的距离是______． 周长的最小值是______． 【答案】 ①. 5 ②. ## 【解析】 【分析】过点作的垂线，交延长线于点，在等腰直角三角形中求即可； 作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，，；则长为周长的最小值；在等腰直角三角形中求，即可. 【详解】解：如图：过点作的垂线，交延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ， ， ∴ ， ， ∴点到直线的距离是5； 故答案为； 如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，，， 则长为周长的最小值； 由知，在中，，， ， ， 由对称性可知，，， 是等腰三角形， 又， ， ， ∴周长的最小值； 故答案为：. 【点睛】本题考查平行四边形的性质，最短路径问题；掌握平行四边形的性质，用勾股定理求边，利用对称性求最短距离是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减乘除混合运算，熟练掌握二次根式的加减乘除混合运算时阶梯的关键． （1）先根据二次根式的性质及二次根式的除法计算，再进行二次根式的减法运算，即得答案； （2）根据平方差公式计算，即得答案． 【小问1详解】 解:原式 ； 【小问2详解】 解:原式 ． 18. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 解得：，． 19. 如图．在网格中，每个小正方形的边长都是1，每个顶点称为格点．线段的端点都在格点上．按下列要求作图，使所画图形的顶点均在格点上． （1）如图1，画出与关于点成中心对称的图形； （2）如图2，画一个以为边，且面积为12的平行四边形． 【答案】（1） 如图所示：即为所求； （2） 如图所示，四边形即为所求； 【解析】 【分析】（1）根据中心对称图形的作法直接作图即可； （2）以为边，作底边为4的平行四边形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形即为所求． 20. 从2003年10月神舟五号载人飞船进入太空，到2022年6月神舟十四号成功发射，中国航天人合力将中国太空梦化为现实，并不断取得突破性进展，为此，某中学开展以“航天梦·中国梦”为主题的演讲比赛，赛后，从七，八年级中各随机抽取20名学生的比赛成绩（比赛成绩均为整数，8分及8分以上为优秀）进行整理和分析，绘制出如下统计表． 表一：从七，八年级抽取学生的比赛成绩统计表 成绩（分） 4 5 6 7 8 9 10 抽取的七年级人数（人） 2 0 4 3 6 3 2 抽取的八年级人数（人） 1 2 1 6 5 4 1 表二：学校对平均数，中位数，众数，优秀率进行分析，绘制成如下统计表 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 7.4 a 8 55% 八年级 7.4 b c 50% 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a＝______；b＝______；c＝______； （2）若该校七，八年级共有学生500名，估计该校学生在本次比赛中成绩在9分及9分以上的共有多少人？ （3）根据表二中的数据分析，你认为哪个年级的学生在本次比赛中成绩较好，并说明理由． 【答案】（1）8，7.5，7 （2）估计该校学生在本次比赛中成绩在9分及9分以上的约有125人 （3） 七年级学生比赛成绩较好， 理由是：七、八年级学生比赛成绩的平均数相等，但七年级比赛成绩的中位数高于八年级，所以七年级学生在本次比赛中成绩较好．（答案不唯一，合理即可） 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义分析确定即可； （2）先计算出所抽取学生中成绩在9分及9分以上的人数，再用该校学生总数乘以所抽取学生中成绩在9分及9分以上的人数所占抽取学生比例即可； （3）从平均数、中位数和众数的角度进行分析，得出答案． 【小问1详解】 解：七年级抽取学生的比赛成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数均为8分，因此中位数是8分，即a=8， 八年级抽取学生的比赛成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数分别为7分和8分，因此中位数是分，即b=7.5， 八年级20名学生成绩出现次数最多的为7分，共出现6次，因此众数为7分，即． 故答案为：8，7.5，7； 【小问2详解】 解：人， 人， 答：估计该校学生在本次比赛中成绩在9分及9分以上的约有125人； 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了中位数、众数、利用样本估计整体等知识，熟练掌握中位数、众数的意义是解题关键． 21. 如图，已知四边形为平行四边形，分别平分和，交于点，连接． （1）若，求的度数； （2）求证：． 【答案】（1） （2） 证明：四边形为平行四边形， ，，， ， 分别平分和， ，， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义得出，由平行四边形的性质得出，即可得出，从而得解； （2）根据平行四边形的性质和角平分线的性质证明，即可得证． 【小问1详解】 解：平分，， ， 四边形为平行四边形， ， ； 【小问2详解】 略 22. 如图，在四边形中，与相交于点，且，点在上，满足． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：在和中， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2）96 【解析】 【分析】（1）证明可得，即可求证； （2）根据等腰三角形的性质可得，从而得到四边形是菱形，再由勾股定理求出，再由菱形面积公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质是解题的关键． 23. 小明学校八年级开展社会实践活动，如表是“遇数临风”小组的记录表，请根据相关信息解决表中的两个问题． 小明学校社会实践记录表 团队名称 遇数临风 活动时间 2026.4.15 班级人员 小朋、小友 地点 象贤农贸市场 实践内容 调查青菜行情，帮超市解决销售问题的同时为顾客谋实惠． 调研信息 青菜的进价为2元/千克． 青菜售价为2.5元/千克时，每天可销售125千克． 每千克每涨价0.1元，每天少销售5千克． （1）某天超市正好销售105千克的青菜，则获利多少元？ （2）若超市想一天销售青菜获利100元，则青菜的售价为多少元/千克？ （3）若超市想一天销售青菜获利最大，则青菜的售价为多少元/千克？ 【答案】（1）获利元； （2）售价为或元/千克； （3）元/千克 【解析】 【分析】（1）先求出青菜的实际售价，再求出售价即可； （2）设青菜的售价为元/千克，根据题意列一元二次方程，求出的值，再结合进价和销量得到的取值范围，即可得解； （3）设青菜的售价为元/千克，获利为元，根据题意得到关于的二次函数，再求出最值即可． 【小问1详解】 解：青菜的实际售价为（元）， 则获利（元）， 答：获利元； 【小问2详解】 解：设青菜的售价为元/千克， 则， 整理得：， 解得：，， ， 解得：， 答：青菜的售价为或元/千克； 【小问3详解】 解：设青菜的售价为元/千克，获利为元， 则， ， 当时，销售青菜获利最大， 即青菜的售价为元/千克． 24. 如图1，在中，，．点是边上的动点，连接，将绕点旋转至，使点与点重合，连接交于点． （1）当点为中点时，线段________； （2）如图2，作交于点，连接交于点．求证：四边形是平行四边形； （3）在（2）的条件下： ①若，求的度数； ②连接，当时，________． 【答案】（1）3 （2） 证明：， ， 由旋转的性质可知，， ，， ， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质求解即可； （2）由等边对等角可得，由旋转的性质可知，，进而推出，则，即可证明； （3）①根据旋转和等边对等角的性质，得出，进而推出，则，再根据平行四边形对角相等求解即可； ②连接交于点，根据同底等高三角形面积相等，推出，由旋转的性质可知，得到，再利用面积的和差计算即可． 【小问1详解】 解：，点为中点， ， 由旋转的性质可知，， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①由旋转的性质可知，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ； ②如图，连接交于点， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由旋转的性质可知，， ， 设，， ，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $