第二章 相交线与平行线 单元测试卷 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

**基本信息** 第二章相交线与平行线单元测试卷，总分120分，涵盖选择、填空、解答题，结合中考真题与创新情境，适配单元复习，强化几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|平行线性质、相交线角度计算（如第2题对顶角与角平分线综合）|融入三角尺摆放（第1题）等操作情境，考查空间观念| |填空题|8/24|折叠问题（第14题）、角度关系分类讨论（第11题）|设置多解问题，培养分类思维与抽象能力| |解答题|8/66|推理证明（第21题）、动态几何（第25题）、光的反射应用（第26题）|结合跨学科情境，综合考查推理能力与模型意识，贴合中考命题趋势|

第二章 相交线与平行线 单元测试卷 用时:120分钟 总分:120分 得分: 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1. (2025·福建中考)某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放,其中点A,E,C,F 在同一条直线上,∠BAC=∠EDF=90°,∠B=45°,∠DEF=60°.当AD∥BC时,∠ADE的大小为( ). A. 5° B. 15° C. 25° D. 35° 2.(2025·潍坊二模)如图,直线AB,CD 相交于点O,∠POC=∠AOC.若∠BOD=25°,则∠BOP 的大小为( ). A. 25° B. 120° C. 130° D. 155° 3. 如图,DF∥AB,∠BAC=120°,∠ACE=100°,则∠CED 为( ). A. 30° B. 40° C. 60° D. 80° 4.下列说法中正确的有( ). ①从直线外一点到已知直线的垂线段叫作点到直线的距离； ②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短； ③A,B,C 三点在同一直线上且AB=BC,则B是线段AC的中点; ④在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行与相交. A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 5.(2025·山东济南高新区期中)如图，把三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=28°，则∠2的度数为( ). A. 68° B. 62° C. 52° D. 28° 6.如图，测量运动员跳远成绩选取的是AB 的长度，其依据是( ). A.两点确定一条直线 B.垂线段最短 C.两点之间线段最短 D.两点之间直线最短 7.(2025·四川成都武侯区期末)直线a,b,c,d如图所示,在下列条件中,能使c∥d 的是( ). A. ∠1=∠2 B. ∠3+∠4=180° C. ∠4=∠6 D. ∠5=∠6 8.(2025·四川甘孜州期末)在同一平面内，两直线可能的位置关系是( ). A.相交 B.平行 C.相交或平行 D.相交、平行或垂直 9.如图是一盏可调节台灯的示意图.固定支撑杆AO垂直底座MN 于点O，AB 与BC 是分别可绕点A和B 旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点 C 旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线CD，CE组成的∠DCE 始终保持不变.现调节台灯,使外侧光线CD∥MN,CE∥BA,若∠BAO=158°,则∠DCE的度数为( ). A. 58° B. 68° C. 32° D. 22° 10.(2025·江西抚州期末)如图,A,O,B 三点在同一直线上,且OC平分∠BOD,OE 平分∠AOD,下列结论:①∠BOC 与∠AOE 互余;②∠BOE 与∠EOD 互补;③∠AOD+∠BOE-∠DOE=180°;④∠AOC-∠BOC=2∠DOE.其中正确的有( ). A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分) 11.如果∠α与∠β的两边分别垂直,∠α比∠β的2倍少42°,则∠α的度数是 . 12.如图,DH∥EG∥BC,DC∥EF,图中与∠1相等的角是 . 13.(2025·浙江绍兴新昌期中)如图,直线AB,CD 相交于点O,OE⊥CD,∠BOE=55°,则∠AOC= 。 14. (2025·山东济南高新区期中)如图，把长方形ABCD 沿EF 折叠，点A，B 分别落在点G,H 处,若∠1=50°,则∠GED 的度数是 . 15.如图,若∠BAP=90°-α,∠APD=90°+α,且 则α= . 16.如图,有两个正方形夹在AB 与CD中,且AB∥CD,若∠FEC=10°,两个正方形临边夹角为150°,则∠1的度数为 度.(正方形的每个内角为90°) 17.若同一平面内的∠A 与∠B 的一组边互相平行，另一组边互相垂直，且∠A 比∠B 的2倍少 30°,则∠B 的度数为 . 18.(2025·上海崇明区期中)如图,已知AB∥CD,点M,N分别是直线AB,CD上的点,点E,F在AB,CD之间,且位于MN的两侧,MF,NF分别平分∠AME 与∠CNE,点G在△MNE内部,且∠GMN= 如果∠MGN=α°,那么∠MFN的度数为 (用含α的代数式表示) 三、解答题(本大题共8小题，共66分) 19.(6分)(2025·广东云浮郁南期中)如图,直线AB,CD 相交于点O,射线OE 在∠DOB 内部,且∠DOE=2∠BOE,过点O作OF⊥OE. (1)若∠COF=54°,求∠BOE 的度数. (2)若∠COF=∠DOE,则OB 平分∠DOF 吗?为什么? 20.(6分)如图,在三角形ABC中,点D,F在边BC上,点E在边AB上,点G在边AC上,EF与GD的延长线交于点 H,∠1=∠B,∠2+∠3=180°. (1)试说明:EH∥AD; (2)若∠DGC=58°,且∠H-∠4=10°,求∠H 的度数. 21.(8分)(2025·湖北黄石大冶期中)完成下面的推理. 如图,点E,F分别在AB 和CD上,∠1=∠D,∠2与∠C互余,AF⊥CE 于点G,试说明:AB∥CD.解:∵AF⊥CE,∴∠CGF=90°( ). ∵∠1=∠D(已知), ∴ ∥ ( ), ∴∠4=∠CGF=90°( ). ∵∠2+∠3+∠4=180°(平角的定义), ∴∠2+∠3=90°. ∵∠2与∠C互余(已知), ∴∠C=∠3(同角的余角相等), ∴AB∥CD( ). 22.(8分)[问题情境]在综合与实践课上，同学们以“一个含 角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动.如图(1)，已知两直线a，b且 三角形 ABC 是直角三角形， [操作发现](1)在图(1)中, 求 的度数. (2)如图(2)，创新小组的同学把直线a向上平移，并把 的位置改变，发现 ，请说明理由.[实践探究](3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图中的图形继续变化得到图(3)，AC平分此时发现 与又存在新的数量关系，请直接写出 与 的数量关系. 23.(8分)(2025·广东惠州惠城期中)如图(1),点 A 是直线HD 上一点,C 是直线GE 上一点,B 是直线HD,GE 之间的一点, (1)试说明: (2)如图(2),作CF 与的平分线交于点 F.若求 的度数； (3)如图(3),CR 平分,BN 平分已知求的度数. 24.(8分)(2025·湖北襄阳期末)已知AB∥CD. (1)如图(1),CM平分∠BCE,若∠ABC=60°,求∠MCE 的度数; (2)如图(2),CM平分∠BCE,CN⊥CM,判断∠BCN 与∠B 的数量关系,并说明理由; (3)如图(3),CM 平分∠BCE,BP 平分∠ABC,CQ⊥CM,试说明:BP∥CQ. 25.(10分)(2025·陕西西安未央区期末)如图(1),AD∥BC,∠BAD的平分线交BC于点G,∠BCD=90°. (1)试说明:∠BAG=∠BGA; (2)如图(2),点F 在AG 的反向延长线上,连接CF 交AD 于点E,若∠BAG-∠F=45°,试说明:CF平分∠BCD; (3)如图(3),线段AG 上有点 P,满足∠ABP=3∠PBG,过点C作CH∥AG.若在直线AG 上取一点M,使∠PBM=∠DCH,求 的值. 26.(12分)(2025·山东济南实验初级中学期中)如图(1)，光的反射遵循反射定律，入射光线经过反射后形成反射光线，ON 是法线，垂直于反射面，其中入射角等于反射角. [问题初探] (1)如图(2),当两面镜子AB,BC的夹角时，若 则 DE 与 FG的位置关系是 ； (2)如图(3),当两面镜子AB,BC的夹角且 时，入射光线 DE 经两次反射后形成反射光线FG，设入射光线 DE 所在直线与反射光线 FG所在直线交于点 H，求 的度数； (3)当两面镜子AB,BC 的夹角. 时，在两面镜子中间点 P 处有一点光源，如图(4)，若从点 P 发射一束光射向AB，入射光线与镜面的夹角反射后的光线为MK，再从点 P 发射一束光射向BC，若使反射后的光线. 求PN与BC的夹角的度数. 1. B [解析]∵∠BAC=90°,∠B=45°,∴∠ACB=45°. ∵AD∥BC,∴∠DAE=∠ACB=45°. ∵∠DEF═60°,∴∠AED═120°,∴∠ADE ═180°═ 故选 B. 2. C [解析]∵∠BOD=25°, ∴∠POC=∠AQC=∠BOD=25°. ∴∠BOP=180°-∠AOC-∠COP=130°.故选 C. 3. B [解析]如图,过点C 作CG∥AB. ∵DF∥AB,∴DF∥AB∥CG, ∴∠1+∠CAB=180°,∠2=∠CED. ∵∠BAC=120°,∠ACE=100°, ∴∠1=60°,∠2=∠ACE-∠1=40°, ∴∠CED=∠2=40°.故选B. 4. C [解析]从直线外一点到已知直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离，故①错误； 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故②正确； A,B,C三点在同一直线上且AB=BC,则B 是线段AC 的中点，故③正确； 在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行与相交，故④正确.综上所述，正确的共有 3个.故选 C. 5. B [解析]如图,由题意,得∠BAC=90°, ∴∠1+∠3=90°. ∵∠1=28°,∴∠3=62°. ∵a∥b,∴∠2=∠3=62°. 故选 B. 6. B 7. C [解析]A.∠1=∠2,判定a∥b,不符合题意; B.∠3+∠4=180°,判定a∥b,不符合题意; C.∠4=∠6,判定c∥d,符合题意; D.∠5=∠6，不能判定任何直线相互平行，不符合题意.故选 C. 8. C 9. B [解析]如图,过点 A 作AG∥MN,过点 B 作BH∥CD. ∵CD∥MN,∴AG∥MN∥BH∥CD. ∵OA⊥MN,∴AG⊥OA,即∠OAG=90°. ∵∠BAO=158°, ∴∠BAG=∠BAO-∠OAG=68°, ∴∠ABH=∠BAG=68°. ∵CE∥AB,BH∥CD, ∴∠ABC+∠BCE=180°,∠CBH+∠BCD=180°, ∴∠ABH+∠CBH+∠BCE=180°,∠CBH+∠BCE+∠DCE=180°,∴∠DCE=∠ABH=68°.故选 B. 10. D [解析]∵A,O,B 三点在同一直线上, ∴∠BOD+∠AOD=∠AOB=180°, ∵OC 平分∠BOD,OE 平分∠AOD, ∴∠BOC 与∠AOE 互余,故①正确; ∵∠BOE+∠EOD=∠BOE+∠AOE=∠AOB=180°, ∴∠BOE 与∠EOD 互补,故②正确; ∵∠AOD +∠BOE-∠DOE =∠AOD +∠BOD +∠DOE-∠DOE=∠AOD+∠BOD=180°,故③正确; ∵∠AOC-∠BOC=∠AOD+∠COD-∠BOC=∠AOD=2∠DOE,故④正确. 综上所述，正确的有4个.故选 D. 11.42°或106°[解析]∵∠α比∠β的2倍少42°, ∴∠α=2∠β-42°. ∵∠α与∠β的两边分别垂直， ∴∠α=∠β或∠α+∠β=180°. 当∠α=∠β时,2∠β-42°=∠β, 解得∠β=42°, 此时∠α=∠β=42°; 当∠α+∠β=180°时,2∠β-42°+∠β=180°, 解得∠β=74°, 综上所述,∠α的度数是42°或106°. 12.∠FEK,∠DCF,∠CKG,∠EKD,∠KDH 13.35 [解析]∵OE⊥CD,∴∠DOE=90°. 又∠BOE=55°,∴∠BOD=90°-55°=35°, 则∠AOC=∠BOD=35°. 14.50°[解析]∵∠1=50°, ∴∠BFH=180°-∠1=130°. 由折叠，得 ∵AD∥BC,∴∠AEF=180°-∠BFE=115°,∠DEF=∠BFE=65°. 由折叠,得∠GEF=∠AEF=115°, ∴∠GED=∠GEF-∠DEF=50°. 15. 20° [解析]如图,过点 E 作 EM∥AB,过点 F 作FN∥CD. ∵∠BAP=90°-α,∠APD=90°+α, ∴∠BAP+∠APD=180°, ∴CD∥AB,∴AB∥ME∥FN∥CD. ∵AB∥ME,FN∥CD, ∴∠BAE=∠AEM,∠NFP=∠CPF. ∵∠BAE=∠CPF,∴∠AEM=∠NFP. ∠NFE=∠EFP-∠NFP=2α-10°-∠NFP. ∵ME∥FN,∴∠MEF=∠NFE, ∵∠AEM=∠NFP, 解得α=20°. 16.70 [解析]如图,作FI∥AB,GK∥AB,HJ∥AB. 因为AB∥CD,所以AB∥CD∥FI∥GK∥HJ, 所以∠IFE=∠FEC=10°, 所以∠GFI=90°-∠IFE=80°, 所以∠KGF=∠GFI=80°, 所以∠HKG=150°-∠KGF=70°, 所以∠JHG=∠HKG=70°, 所以∠2=90°-∠JHG=20°, 所以∠3=∠2=20°, 所以∠1=90°-∠3=70°. 17.40°或100° [解析]如图(1),延长AC,交 BF 于点 D. ∵AE∥BF,∴∠A+∠1=180°,∴∠1=180°-∠A. ∵∠A=2∠B-30°, ∴∠1=180°-(2∠B-30°)=210°-2∠B. ∵AC⊥BC,∴∠1+∠B=90°, ∴210°-2∠B+∠B=90°, ∴∠B=120°(不符合题意,舍去); 若∠B=120°,则∠A>180°,因此不符合题意如图(2), ∵AE∥BF,∴∠A=∠1. ∵∠A=2∠B-30°,∴∠1=2∠B-30°. ∵AC⊥BC,∴∠1+∠B=90°, ∴2∠B-30°+∠B=90°,∴∠B=40°;如图(3),过点C作CM∥BF. ∵AE∥BF,∴AE∥BF∥CM, ∴∠B+∠BCM=180°,∠A+∠ACM=180°, ∴∠B+∠BCM+∠A+∠ACM=360°,即∠B+∠BCA+∠A=360°. ∵AC⊥BC,∴∠BCA=90°,∴∠B+∠A=270°. ∵∠A=2∠B-30°,∴∠B+(2∠B-30°)=270°, ∴∠B=100°. 综上所述,∠B 的度数为40°或 100°. [解析]∵MF平分∠AME, 设∠AMF=∠EMF=x,则∠AME=2x. ∵NF 平分∠CNE,∴∠CNF=∠ENF=∠CNE 设∠CNF=∠ENF=y,∴∠CNE=2y. 如图,过点 F 作FH∥AB. ∵AB∥CD,∴FH∥CD,∴∠HFN=∠FNC=y. ∵AB∥FH,∴∠MFH=∠AMF=x, ∴∠MFN=∠MFH+∠HFN=x+y.如图,过点G作GP∥AB. ∵AB∥CD,∴GP∥CD,∴∠PGN=∠GND. 又 PG∥AB,∴∠MGP=∠BMG,∴∠MGN=∠MGP+∠NGP=∠BMG+∠DNG=α°. 又 如图,过点 E作EQ∥AB. ∵AB∥CD,∴EQ∥CD, ∴∠QEN=∠END=180°-∠CNE=180°-2y. ∵QE∥AB,∴∠QEM=∠BME=180°-∠AME=180°-2x, ∴∠MEN=∠MEQ+∠QEN=180°-2x+180°-2y=360°-2(x+y), 又∠GMN+∠GNM=180°-∠MGN=180°-α°, 19.(1)∵OF⊥OE,∴∠EOF=90°. ∵∠COF=54°,∴∠DOE=180°-∠EOF-∠COF=180°-90°-54°=36°. ∵∠DOE=2∠BOE, (2)OB 平分∠DOF.理由如下: ∵∠COF=∠DOE,∠COF+∠DOE=90°, ∴∠COF=∠DOE=45°. ∵∠DOE=2∠BOE,∴∠BOE=22.5°, ∴∠DOB=∠DOE+∠BOE=45°+22.5°=67.5°,∠BOF=∠EOF-∠BOE=90°-22.5°=67.5°, ∴∠DOB=∠BOF,∴OB 平分∠DOF. 20.(1)∵∠1=∠B,∴AB∥GD,∴∠2=∠BAD. ∵∠2+∠3=180°,∴∠BAD+∠3=180°, ∴EH∥AD. (2)∵AB∥HG,∴∠BAC=∠DGC=58°. ∵EH∥AD,∴∠2=∠H. ∵∠2=∠BAD,∴∠H=∠BAD, ∴∠BAC=∠BAD+∠4=∠H+∠4=58°. ∵∠H-∠4=10°,∴∠H=∠4+10°, ∴2∠4+10°=58°, ∴∠4=24°,∴∠H=34°. 21.垂直的定义 AF DE 同位角相等，两直线平行两直线平行，同位角相等 内错角相等，两直线平行 22.(1)如图(1), ∵∠BCA=90°,∴∠3=90°-∠1=44°. ∵a∥b,∴∠2=∠3=44°. (2)如图(2),过点 B 作BD∥a,则∠ABD=180°-∠2. ∵a∥b,BD∥a,∴BD∥b,∴∠DBC=∠1. ∵∠ABC=60°,∴180°-∠2+∠1=60°, ∴∠2-∠1=120°. (3)∠1=∠2.理由如下: ∵AC平分∠BAM,∴∠BAM=2∠BAC=60°. 如图(3),过点 C作CE∥a, ∴∠2=∠BCE. ∵a∥b,CE∥a,∴CE∥b,∠1=∠BAM=60°, ∴∠ECA=∠CAM=∠BAC=30°, ∴∠2=∠BCE=90°-∠ECA=60°,∴∠1=∠2. 23.(1)如图,过点 B 作BP∥AD, ∴∠ABP=∠HAB. ∵∠ABC=∠ABP+∠CBP,∠ABC=∠HAB+∠BCG, ∴∠CBP=∠BCG,∴BP∥CE,∴AD∥CE. (2)∵AF 平分∠HAB,∴∠HAF=∠FAB=β, ∴∠HAB=2∠FAB=2β. ∵∠BCF=∠BCG=α,∴∠FCG=2∠FCB=2α, 由(1)可知∠B =∠HAB +∠BCG,∠F =∠HAF+∠FCG. ∵α+β=40°, ∴∠B+∠F=∠HAB+∠BCG+∠HAF+∠FCG=2β+α+β+2α=3(α+β)=120°. (3)∵CR平分∠BCG,BN平分∠ABC, ∴∠BCG=2∠BCR,∠ABC=2∠NBC. ∵BM∥CR,∴∠BCR=∠MBC, ∴∠BCG=2∠MBC. ∵∠HAB+∠BCG=∠ABC, ∴∠HAB=∠ABC-∠BCG=2∠NBC-2∠MBC=2(∠NBC-∠MBC)=2∠NBM. ∵∠BAH=50°,∴∠NBM= ∠HAB=25°. 24.(1)如图(1),∵AB∥CD, ∴∠B+∠BCE=180°,∴∠BCE=180°-∠B=120°. ∵CM平分∠BCE,∴∠MCE=∠MCE= ∠BCE=60°. (2)∠B=2∠BCN.理由如下: 如图(2), ∵CN⊥CM,∴∠MCN=90°, ∴∠ECM+∠NCD=90°,∠MCB+∠BCN=90°. ∵CM平分∠BCE,∴∠ECM=∠MCB, ∴∠BCN=∠NCD.∴∠BCD=2∠BCN. ∵AB∥CD,∴∠B=∠BCD=2∠BCN. (3)∵AB∥CD,∴∠ABC+∠BCE=180°. ∵CM平分∠BCE,BP 平分∠ABC, ∵CQ⊥CM,∴∠MCQ=90°,∴∠BCM+∠PBC+∠MCQ=180°,即∠PBC+∠BCQ=180°,∴BP∥CQ. 25.(1)∵AD∥BC,∴∠GAD=∠BGA. ∵AG平分∠BAD,∴∠BAG=∠GAD, ∴∠BAG=∠BGA. (2)如图(1),过点 F 作FM∥BC, ∴∠BGA=∠MFG,∠BCF=∠MFC, 由(1),得∠BAG=∠BGA, ∴∠BAG=∠MFG=∠MFC+∠GFC,即∠BAG-∠GFC=∠MFC. 又∠BAG-∠GFC=45°,∴∠MFC=45°,∴∠BCF=45°.又∠BCD=90°,∴CF 平分∠BCD. (3)设∠ABC=4x(x>0). ∵∠ABP=3∠PBG,∴∠ABP=3x,∠PBG=x. ∵AD∥BC,∴∠BAD=180°-∠ABC=180°-4x. 由(1),得 ∵AG∥CH,∴∠BCH=∠BGA=90°-2x. ∵∠BCD=90°, ∴∠PBM=∠DCH=90°-(90°-2x)=2x. 由题意，分以下两种情况： ①如图(2),当点 M 在BP 的下方时, ∴∠ABM=∠ABP+∠PBM=3x+2x=5x,∠GBM=∠PBM-∠PBG=2x-x=x, ②如图(3),当点 M 在 BP 的上方时, ∴∠ABM=∠ABP-∠PBM=3x-2x=x,∠GBM=∠PBM+∠PBG=2x+x=3x, 综上,∠ABM∠GBM的值是5或 26.(1)55°DE∥FG [解析]∵入射角等于反射角,∴∠1=∠2=35°,∠3=∠4. ∵∠ABC=90°,∴∠2+∠3=180°-90°=90°, ∴∠3=90°-35°=55°, 则∠3=∠4=55°,∴∠EFG=180°-∠3-∠4=70°. ∵∠1=∠2=35°,∴∠FED=180°-∠1-∠2=110°. ∵∠EFG+∠FED=180°,∴DE∥FG. (2)∵入射角等于反射角,∴∠1=∠2,∠3=∠4. ∵对顶角相等,∴∠1=∠HEB,∠BFH=∠4. ∵∠ABC=100°,∴∠2+∠3=180°-100°=80°, ∴∠HEF+∠HFE=2∠2+2∠3=2(∠2+∠3)=160°, ∴∠EHF=180°-(∠HEF+∠HFE)=180°-160°=20°. (3)如图所示. ∵入射角等于反射角,∴∠1=∠7,∠2=∠8. ∵NH∥MK,∴∠5+∠6=180°. ∵∠ABC=30°, ∴∠1+∠3+∠4+∠2=180°-30°=150°. ∵∠1+∠3+∠5+∠7=180°,∠2+∠4+∠6+∠8=180°, ∴2∠1+∠3+∠5=180°,2∠2+∠4+∠6=180°, ∴2∠1+∠3+∠5+2∠2+∠4+∠6=360°, ∵∠1=18°, ∴13°+∠1+∠3+∠2+∠2+∠4+∠5+∠6=360°, ∵∠5+∠6=180°,∠1+∠3+∠4+∠2=150°, ∴13°+∠2+150°+180°=360°,∴∠2=17°. 学科网（北京）股份有限公司 $