精品解析：河南郑州市第八中学2025-2026学年八年级下学期期中数学试题

2026年八年级期中数学试题 一．选择题（共10小题） 1. 科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，把含有的直角三角板斜边放在直线l上，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 设，则下列不等关系正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 用反证法证明命题：“已知，，求证：．”第一步应先假设（ ） A. B. C. D. 5. 下面式子从左边到右边的变形中是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知，若用 “”判定和全等，则需要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的取值范围在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 下列多项式，①，②，③，④能用公式法分解因式的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 如图，中，，，将绕点A顺时针旋转得到，点B，点C的对应点分别为点D，点E，连接，点D恰好落在线段上，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 6 10. 如图，在中，．根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（　　） A. B. C. D. 二．填空题（共5小题） 11. 用适当的符号表示下列关系：是非负数___． 12. 因式分解：______． 13. 如图所示是三个边长相等的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，正多边形①和②的内角都是108°，则正多边形③的边数是______． 14. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是______． 15. 如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则______度． 三．解答题（共7小题） 16. 解不等式： （1）； （2）． 17. 解不等式组，并写出所有非负整数解． 18. 分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）． 19. 某公司计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一种型号的电脑报价均为4000元，并且多买都有一定的优惠．各商场的优惠条件如下： 甲商场优惠条件：第一台按原价收费，其余的每台优惠15%； 乙商场优惠条件：每台优惠10%． （1）设公司购买台电脑，选择甲商场时，所需费用为元，选择乙商场时，所需费用为元，请分别求出，与之间的关系式． （2）若该公司需购买5台电脑，在哪家商场购买更优惠？ （3）若只考虑在其中一家商场购买电脑，请你帮该公司设计更省钱的购买方案． 20. 【阅读理解】在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和运用公式法（平方差公式和完全平方公式），事实上，除了这两种方法外，还可以用其他方法来因式分解，比如配方法，例如，要因式分解，发现既不能用提公因式法，又不能直接用公式法．这时，我们可以采用下面的办法： ． （1）上述解题运用了转化的思想方法，使得原式变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法：显然上述因式分解并未结束，请补全的因式分解： （2）【实战演练】用配方法因式分解； （3）【拓展创新】当x、y为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值． 21. 课本再现 我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等．同时，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． （1）如图1，已知是的角平分线，求证：点G到三边的距离相等； （2）如图2，分别是的一个内角及一个外角的平分线，，连接．若，求的度数． 22. 如图1，D为等边△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接CE，BD的延长线与AC交于点G，与CE交于点F． （1）求证：BD＝CE； （2）如图2，连接FA，小颖对该图形进行探究，得出结论：∠BFC＝∠AFB＝∠AFE．小颖的结论是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年八年级期中数学试题 一．选择题（共10小题） 1. 科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 2. 如图，把含有的直角三角板斜边放在直线l上，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形内角和与平角的性质，熟练掌握直角三角形内角特点和平角为是解题关键． 先确定三角板的内角，再利用平角与对顶角等知识，通过角度关系求出 ． 【详解】解：直角三角板含角，则另一个锐角为 ． ∴ 故选：D ． 3. 设，则下列不等关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解题关键． 根据不等式的基本性质逐一验证选项即可． 【详解】解：由， ∴，故选项A错误； ，故选项B错误； ，故选项C正确； ，故选项D错误， 故选：C． 4. 用反证法证明命题：“已知，，求证：．”第一步应先假设（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】反证法证明命题时，第一步需假设命题的结论不成立，找出原结论的反面即可得到答案． 【详解】解：∵反证法第一步应假设命题的结论不成立，命题要证明的结论为， ∴第一步应先假设． 5. 下面式子从左边到右边的变形中是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解进行分析即可． 【详解】解：A. x2−x−2=x(x−1)-2错误； B. (a+b)(a−b)=a2−b2错误； C. x2−4=(x+2)(x−2)正确； D. x−1=x(1−)错误； 故答案选：C. 【点睛】本题考查的知识点是因式分解的意义，解题的关键是熟练的掌握因式分解的意义. 6. 如图，已知，若用 “”判定和全等，则需要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，能熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．根据垂直定义得出，根据图形可知是公共直角边，根据直角三角形全等的判定得出需要添加的条件是斜边相等． 【详解】解：， ， ， ， 则需要添加的条件是， 故选：． 7. 已知，则的取值范围在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，解一元一次不等式．根据绝对值的性质，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 则的取值范围在数轴上表示正确的是： 故选：A． 8. 下列多项式，①，②，③，④能用公式法分解因式的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查公式法分解因式． 逐个分析每个多项式是否满足公式条件即可． 【详解】解：①为平方和，无公式可分解； ②，可用平方差公式； ③不符合完全平方或平方差公式结构，无法用公式法分解； ④，可用完全平方公式； 能用公式法分解的有②和④，共2个． 故选：B． 9. 如图，中，，，将绕点A顺时针旋转得到，点B，点C的对应点分别为点D，点E，连接，点D恰好落在线段上，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质以及旋转的性质，由等腰三角形的性质得；再由旋转的性质得，从而得，故可得，从而可求出结论． 【详解】解：在中，， ∴； 由旋转可知， ∴， 由旋转得：， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 10. 如图，在中，．根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线的尺规作图、过直线外一点作垂线的尺规作图、得出平分且，再结合角平分线的性质以及三角形的全等相关性质逐一判断即可． 【详解】解：根据作图可知：平分且， ∵， ∴，故A正确； ∵， 在与中， ， ∴， ∴，故B正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故D正确； ∵，但不一定平分， 不一定成立，故C错误，满足题意． 二．填空题（共5小题） 11. 用适当的符号表示下列关系：是非负数___． 【答案】 【解析】 【分析】根据非负数的定义，非负数是大于或等于的数，据此列出不等式即可. 【详解】解：因为非负数是指大于或等于的数，是非负数，所以可得. 12. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用提公因式法进行因式分解，先对式子进行变形，提取公因式，即可得解． 【详解】解： ． 故答案为：． 13. 如图所示是三个边长相等的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，正多边形①和②的内角都是108°，则正多边形③的边数是______． 【答案】10 【解析】 【分析】先根据周角的定义求出正多边形③的每一个内角都是144°，由多边形的每一个内角都是144°先求得它的每一个外角是36°，然后根据正多边形的每个内角的度数×边数＝360°求解即可． 【详解】解：360°−108°−108°＝144°， 180°−144°＝36°， 360°÷36°＝10． 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查的是多边形的内角与外角，明确正多边形的每个内角的度数×边数＝360°是解题的关键． 14. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．观察函数图象，当时，一次函数的图象在的图象的上方，即可得出不等式的解集是． 【详解】解：观察函数图象可知：当时，一次函数的图象在的图象的上方， ∴关于的不等式的解集是． 故答案为：． 15. 如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角定理，等式性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先分别对运用三角形的外角定理，设，则，，则，得到，，同理可求：，所以可得． 【详解】解：如图： ∵，， ∴设，，则，， 由三角形的外角的性质得：，， ∴， 如图： 同理可求：， ∴， ……， ∴， 即， 故答案为：． 三．解答题（共7小题） 16. 解不等式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，解题的关键是掌握解一元一次不等式的一般步骤，并注意在不等式两边同乘（或除以）负数时，不等号方向要改变． （1） 通过移项、合并同类项、系数化为1求解； （2） 先去分母，再去括号、移项、合并同类项、系数化为1求解． 【小问1详解】 解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【小问2详解】 解：， 去分母，得， 去括号，得， 合并同类项，得， 移项，得， 即． 17. 解不等式组，并写出所有非负整数解． 【答案】不等式组的解集为，则非负整数解为 0，1，2，3． 【解析】 【分析】本题考查了求一元一次不等式组的整数解，解本题的关键是熟练掌握求解一元一次不等式组的一般步骤．先求出每个不等式的解集，再找出不等式组的解集，最后找出非负整数解即可． 【详解】解：， 解不等式，得； 解不等式，得； 不等式组的解集为， ∴非负整数解为，1，2，3． 18. 分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的常用方法，解题的关键是根据多项式的结构特征，灵活运用提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）进行分解，并确保分解彻底． （1） 提取公因式； （2） 先提公因式，再用平方差公式分解； （3） 把看作整体，用完全平方公式分解； （4） 先用平方差公式分解，再用完全平方公式分解． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式； 【小问3详解】 解：原式； 【小问4详解】 原式 ． 19. 某公司计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一种型号的电脑报价均为4000元，并且多买都有一定的优惠．各商场的优惠条件如下： 甲商场优惠条件：第一台按原价收费，其余的每台优惠15%； 乙商场优惠条件：每台优惠10%． （1）设公司购买台电脑，选择甲商场时，所需费用为元，选择乙商场时，所需费用为元，请分别求出，与之间的关系式． （2）若该公司需购买5台电脑，在哪家商场购买更优惠？ （3）若只考虑在其中一家商场购买电脑，请你帮该公司设计更省钱的购买方案． 【答案】（1），；（2）若该公司需购买5台电脑，在甲商场购买更优惠；（3）当购买3台时，两家商场的收费相同；当购买电脑台数大于3时，甲商场购买更优惠；当购买电脑台数小于3时，乙商场购买更优惠 【解析】 【分析】（1）根据题意列出算式即可； （2）根据（1）的结论列方程解答即可； （3）根据（1）的结论列方程或不等式解答即可． 【详解】（1）， ； （2）当时， (元)， (元)， ∵， ∴若该公司需购买5台电脑，在甲商场购买更优惠； （3）若两家商场收费相同，则：， 解得：， 即当购买3台时，两家商场的收费相同； 若到甲商场购买更优惠，则：， 解得：， 即当购买电脑台数大于3时，甲商场购买更优惠； 若到乙商场购买更优惠，则： ， 解得：， 即当购买电脑台数小于3时，乙商场购买更优惠． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用问题以及不等式与方程的解法．解题的关键是理解题意，根据题意求得函数解析式，然后利用函数的性质求解． 20. 【阅读理解】在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和运用公式法（平方差公式和完全平方公式），事实上，除了这两种方法外，还可以用其他方法来因式分解，比如配方法，例如，要因式分解，发现既不能用提公因式法，又不能直接用公式法．这时，我们可以采用下面的办法： ． （1）上述解题运用了转化的思想方法，使得原式变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法：显然上述因式分解并未结束，请补全的因式分解： （2）【实战演练】用配方法因式分解； （3）【拓展创新】当x、y为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值． 【答案】（1） （2） （3），时，原式有最小值 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式． （1）用平方差公式继续进行因式分解即可； （2）将原式改写为，先用完全平方公式，再用平方差公式，即可进行因式分解； （3）用题目所给方法，将原式整理为，即可进行解答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ∵， ∴ ∴当，时，多项式有最小值，最小值为5． 21. 课本再现 我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等．同时，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． （1）如图1，已知是的角平分线，求证：点G到三边的距离相等； （2）如图2，分别是的一个内角及一个外角的平分线，，连接．若，求的度数． 【答案】（1） 如图， 过点G作，垂足分别为H，M，N， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 即点G到三边的距离相等； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的判定和性质定理： （1）过点G作，垂足分别为H，M，N，根据角平分线的性质可得，即可求证； （2）过点P作，垂足分别为点E，F，根据角平分线的性质可得，再由角平分线的判定定理可得平分，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点P作，垂足分别为点E，F， ∵分别是的一个内角及一个外角的平分线，， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. 如图1，D为等边△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接CE，BD的延长线与AC交于点G，与CE交于点F． （1）求证：BD＝CE； （2）如图2，连接FA，小颖对该图形进行探究，得出结论：∠BFC＝∠AFB＝∠AFE．小颖的结论是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由． 【答案】（1）证明：如图1，∵线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE， ∴AD＝AE，∠DAE＝60°， ∵∠BAC＝60°， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE， （3）正确，证明如下： 由（1）可知△ABD≌△ACE 则∠ABD＝∠ACE， 又∵∠AGB＝∠CGF， ∴∠BFC＝∠BAC＝60°， ∴∠BFE＝120°， 过A作BD，CF的垂线段分别交于点M，N， 又∵△ABD≌△ACE，BD＝CE， ∴由面积相等可得AM＝AN， 在Rt△AFM和Rt△AFN中， ， ∴Rt△AFM≌Rt△AFN（HL）， ∴∠AFM＝∠AFN， ∴∠BFC＝∠AFB＝∠AFE＝60°． 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质可得AD＝AE，∠DAE＝60°，结合已知条件可得∠BAC＝∠DAE，进而证明△ABD≌△ACE，即可证明BD＝CE； （2）过A作BD，CF的垂线段分别交于点M，N，△ABD≌△ACE，BD＝CE，由面积相等可得AM＝AN，证明Rt△AFM≌Rt△AFN，进而证明∠BFC＝∠AFB＝∠AFE＝60° 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，旋转的性质，正确的添加辅助线找到全等三角形并证明是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $